GEOMETRI TRANSFORMASI

Oleh:Agus Priyanto

Refleksi

• Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

• Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.

Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 1 0

0 -1xT

Dengan notasi matrik :

Refleksi ditulis dengan notasi :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 0

0 -1x

x x xT

y y y

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a, c) sumbu y

Dengan notasi matrik : -1 0

0 1y

x x xT

y y y

• Refleksi terhadap sumbu y

-1 0

0 1yT

• Refleksi terhadap titik asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

(0,0)

-1 0

0 -1T

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0

0 -1

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = x

Menghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

0 1

1 0y xT

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(c,a) y = x

0 1

1 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = - x

Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

0 -1

-1 0y xT

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-c,-a) y =- x

0 -1

-1 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

1 0 0

0 -1 2

x x

y y h

Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

0 x x x

y y h y h

1 0

0 -1

x x x

y y h y h

0

2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x x

y y h h y h

x x

y h y h

• Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-a,c)x=k

-1 0 2

0 1 0

x x k

y y

Dengan notasi matrik :

Contoh

Bayangan persamaan

lingkaran x2 + y2 - 8y + 7 = 0

yang dicerminkan tehadap

garis y = -x adalah….

'

'

y

x

Bahasan:Matriks transformasi refleksiterhadap y = -x adalah

sehingga:

'

'

y

x

01

10

y

x

y

x

01

10

'

'

x

y

y

x

y

x

01

10

'

'

→ x’ = -y dan y’ = -xatau y = -x’ dan x = -y’

Kemudian disubstitusikan kex2 + y2 – 8y + 7 = 0

x = -y’ dan y = -x’ disubstitusikanke x2 + y2 – 8y + 7 = 0→ (-y’)2 + (-x)2 – 8(-x) + 7 = 0 (y’)2 + (x’)2 + 8x + 7 = 0 (x’)2 + (y’)2 + 8x + 7 = 0Jadi bayangannya adalah x2 + y2 + 8x + 7 = 0