PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 1

MODUL 2

Rangkaian Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus

2-6 Kombinasi Tahanan dan Sumber Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-

rangkaian seri dan paralel yang sederhana dapat dihindari. Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.

Gambar 2-15: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan.

(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: Neq RRRR +++= L21 .

Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 2-15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah kotak hitam, atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan Req sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.

+ _

+ v1 - + v2 - + vN -

R1 RN R2 i

vs vs

+ _

i

Req

(a) (b)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 2

Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff

Ns vvvv +++= L21

dan hukum Ohm iRRRiRiRiRv NNs )( 2121 +++=+++= LL

dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 2-15b,

iRv eqs =

Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah

Neq RRRR +++= L21 (7) Karena itu kita mampu menggantikan sebuah jaringan dua pintu yang terdiri

N tahanan dalam seri, dengan satu elemen Req berterminal dua, yang mempunyai hubungan v-i yang sama. Tak ada pengukuran yang dilakukan terhadap kotak hitam tersebut, dapat mengungkapkan yang mana dari jaringan yang asli.

Pemeriksaan persamaan tegangan Kirchoff untuk sebuah rangkaian seri juga memperlihatkan dua penyederhanaan lain yang mungkin. Tak ada perbedaan dalam urutan tempat elemen-elemen di dalam sebuah rangkaian seri, dan beberapa sumber tegangan seri dapat diganti dengan sumber tegangan ekivalen yang mempunyai tegangan sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan tersebut. Biasanya ada sedikit keuntungan mengikutsertakan sebuah sumber tegangan tak bebas dalam sebuah kombinasi seri.

Gambar 2-16: (a) Sebuah rangkaian seri yang diketahui. (b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.

Penyederhanaan ini dapat digambarkan dengan meninjau rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 2-16a. Mula-mula kita pertukarkan kedudukan elemen-elemen dalam rangkaian, dan dengan seksama mempertahankan arah yang

i

20 V

+

-

10

80 V

+ -

30 V

- 7 5

8

i

+

-

30

90 V

(a) (b)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 3

wajar dari sumber, dan kemudian menggabungkan ketiga tegangan tersebut ke dalam sebuah sumber ekivalen 90-V dan keempat tahanan tersebut dalam sebuah tahanan ekivalen 30-, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2-16b. Jadi, dari pada menuliskan -80 + 10i - 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0 kita hanya mempunyai -90 + 30i = 0 dan i = 3 A Untuk menghitung daya yang diberikan kepada rangkaian oleh sumber 80 V yang muncul di dalam rangkaian yang diketahui, maka kita perlu kembali kepada rangkaian dengan mengetahui bahwa arusnya adalah 3 A. Daya yang ditanya adalah 240 W. Adalah hal yang menarik bahwa tidak ada elemen dari rangkaian semula yang tinggal di dalam rangkaian ekivalen, kecuali jika kita ingin menghitung kawat-kawat penyambung sebagai elemen-elemen. Penyederhanaan yang serupa dapat diterapkan kepada rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N konduktansi yang dipasang paralel, seperti dalam Gambar 2-17a, menghasilkan persamaan hukum arus Kirchoff,

Gambar 2-17: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung N tahanan paralel yang mempunyai konduktansi NGGG +++ L21 . (b) Rangkaian ekivalen

yang lebih sederhana: Neq GGGG +++= L21 .

Ns iiii +++= L21

atau vGGGvGvGvGi NNs )( 2121 +++=+++= LL sedangkan ekivalennya di dalam Gambar 2-17b memberikan

vGi eqs =

is

iN GG1 G2

+

v

-

i2 i1

Geq

+

v

-

(a) (b)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 4

sehingga Neq GGGG +++= L21

Dinyatakan dalam tahanan dan bukan di dalam konduktansi,

Neq RRRR1

31111

21

++++= L

atau N

eq RRRRR

11111

321 ++++=

L (8)

Persamaan terakhir ini barangkali cara yang paling sering digunakan untuk mengkombinasikan elemen-elemen penahan yang pararel. Kombinasi pararel sering dinyatakan dengan tulisan R eq = R1 R2 R3, misalnya.

Hal khusus untuk hanya dua tahanan paralel

2121 11

1RR

RRReq +== atau

21

2121 RR

RRRRReq +

== (9)

seringkali diperlukan. Bentuk terakhir tersebut sangat baik untuk dihafal. Sumber-sumber arus pararel dapat juga dikombinasikan dengan

menambahkan secara aljabar masing-masing arus tersebut, dan urutan elemen-elemen pararel dapat diatur sesukanya.

Berbagai kombinasi yang diterangkan dalam bagian ini digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dari Gambar 2-18a. Misalkan bahwa kita ingin mengetahui daya dan tegangan dari sumber tak bebas. Boleh saja sumber tersebut kita biarkan sendirian, dan kemudian mengkombinasikan kedua sumber yang masih tinggal menjadi satu sumber 2 A. Tahanan dikombinasikan mulai dengan kombinasi paralel dari dua tahanan 6- menjadi sebuah tahanan 3-, diikuti oleh kombinasi seri dari 3 dan 15 . Elemen-elemen 18- dan 9- berkombinasi paralel untuk menghasilkan 6 , dan sampai sejauh inilah yang dapat diteruskan. Tentu yang 6 dalam susuna paralel dengan 3 menghasilkan 2 , tetapi arus i3, pada mana sumber tergantung menjadi hilang.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 5

Gambar 2-18: (a) Sebuah rangkaian yang diketahui, (b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan.

Dari rangkaian ekivalen dalam Gambar 2-18b, kita peroleh

06

29,0 33 =++vii

dan 33iv =

menghasilkan 3

103 =i A

v = 10 V

Jadi, sumber tak-bebas menghasilkan 303

109,010)9,0( 3 =

=iv W kepada sisa

dari rangkaian. Sekarang jika kita akhirnya ditanyakan mengenai daya yang hilang pada tahanan 15-, maka kita harus kembali kepada rangkaian semula. Tahanan ini adalah seri dengan tahanan ekivalen 3-; tegangan sebesar 10 V terdapat melintasi

3

+

v

-

4 A

9

6

0,9i3

15

i3

6

6 A

(a)

(b)

0,9i3 2 A

+

v

-

3

i3

6

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 6

tahanan total 18-, jadi arus sebesar 95 A mengalir melalui tahanan 15- dan daya

yang diserap oleh elemen ini adalah ( )1595 2

, atau 4,63 W.

Soal Contoh 2-6 Ohmmeter adalah sebuah alat yang mengukur nilai tahanan di antara kedua

terminalnya. Berapakah pembacaan yang benar jika alat tersebut dipasangkan pada jaringan dari Gambar 2-19.

Gambar 2-19: Lihat Contoh Soal 2-6.

Jawab

Gambar 2-20: Bentuk lain dari Gambar 2-19.

Mula-mula kita serikan tahanan 12 dan 4 , menghasilkan tahanan 16 , kemudian diparalelkan dengan tahanan 16 menghasilkan tahanan 8 . Tahanan 8 tersebut diserikan lagi dengan tahanan 7 menjadi 15 . Langkah terakhir yaitu dengan memparalelkan tahanan 15 tadi dengan tahanan 30 menjadi tahanan 10 . Untuk lebih jelasnya dapat dilihat sebagai berikut :

50

15

7

4 25 30 16

12

a

b c

50

15

7

4 25 30 16

12

a

b c

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 7

=+= 164121SR

=+

== 81616161616161PR

=+= 15872SR

=+

== 101530153015302PR

Sehingga Gambar 2-20 dapat disederhanakan menjadi :

Gambar 2-21: Penyederhanaan Gambar 2-20. maka

(a) )155010(25)( ++=abeqR

=+

== 75,18752575257525

(b) )105025()1525()( +++=aceqR

=+

== 24604060406040

(c) )105025(15)( ++=bceqR

=+

== 75,12851585158515

2-7 Pembagian Tegangan dan Arus Dengan mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber, maka kita

telah mendapatkan satu metode untuk memperpendek kerja dalam menganalisis sebuah rangkaian. Jalan singkat lain yang berguna adalah pemakaian ide pembagian tegangan dan arus.

50

15

25 10

a

b c

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 8

Gambar 2-22: Gambaran pembagian tegangan, vRR

Rv

21

22 +

= .

Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan melintasi salah satu di antara dua tahanan seri, dinyatakan dalam tegangan melintasi kombinasi itu. Di dalam Gambar 2-22, tegangan R2 adalah

21222 RR

vRiRv+

== (10)

atau vRR

Rv

21

22 +

=

dan dengan cara yang serupa, tegangan melintasi R1 adalah,

vRR

Rv

21

11 +

= (11)

Bila jaringan pada Gambar 2-22 digeneralisir dengan menggantikan R2 dengan R2, R3, ......, RN yang berhubungan seri, maka didapat hasil umum pembagian tegangan melintasi suatu untaian N tahanan seri,

vRRR

Rv

N+++=

L21

11

Tegangan yang timbul melintasi salah satu tahanan seri tersebut adalah tegangan total dikalikan rasio (perbandingan) dari tahanan dan tahanan total. Pembagian tegangan dan kombinasi tahanan keduanya dapat digunakan.

+ v1 -

+

v

-

R2

i

R1

+ v2

-

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 9

Gambar 2-23: Gambaran pembagian arus, iRR

RiGG

Gi21

1

21

22 +

=

+=

Ganda (dual) dari pembagian tegangan adalah pembagian arus. Kita sekarang diberi arus total yang masuk ke dalam dua konduktansi pararel, sebagai yang digambarkan oleh rangkaian dari Gambar 2-23. Arus mengalir melalui G2 adalah

21222

1GG

GvGi+

==

atau iGG

Gi21

22 +

=

dan, dengan cara yang serupa iGG

Gi21

11 +

=

Jadi arus yang mengalir melintasi salah satu di antara konduktansi pararel tersebut adalah arus total dikalikan perbandingan dari konduktansinya dengan konduktansi total.

Karena kita lebih sering diberikan nilai tahanan daripada konduktansi, maka bentuk yang lebih penting dari hasil terakhir didapatkan dengan menggantikan G1 dengan 1/R1 dan G2 dengan 1/R2,

(12)

Kedua persamaan terakhir mempunyai sebuah faktor yang sangat berbeda dari faktor yang digunakan dengan pembagian tegangan dan sejumlah usaha diperlukan untuk menghindari kesalahan-kesalahan. Banyak mahasiswa memandang pernyataan pembagian tegangan sebagai yang jelas dan pembagian

+

v

-

G2

i

G1

i2 i1

iRR

RidaniRR

Ri21

21

21

12 +

=

+=

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 10

arus sebagai sesuatu yang berbeda. Akan menolong juga untuk menyadari bahwa tahanan yang lebih besar selalu mengangkut arus yang lebih kecil.

Bisa juga kita generalisir hasil ini dengan menggantikan G2 pada Gambar 2-23 dengan kombinasi pararel G2, G3, .... , GN. Jadi, bagi N konduktansi pararel,

iGGG

GiN+++

=

L21

11

Dinyatakan dalam harga-harga tahanan, hasilnya adalah

iRRR

RiN/1/1/1

/121

11 +++

=

L

Soal Contoh 2-7 Dalam rangkaian pada Gambar 2-24: (a) pakailah metode kombinasi tahanan

untuk mencari Req; (b) pakailah pembagian arus untuk mencari i1; (c) pakailah pembagian tegangan untuk mencari 2; (d) pakailah arus untuk mencari i3.

Gambar 2-24: Lihat Contoh Soal 2-7. Jawab

(a) Req didapat dengan memparalelkan tahanan 70 dan 30 yang menghasilkan tahanan 21 , kemudian diserikan dengan tahanan 9 yang menghasilkan tahanan 30 .

( )=+=+

+

=

+=

30921930703070

93070eqR

(b) Req, 30 diparalelkan dengan tahanan 75 menghasilkan 7321

kemudian dengan mempergunakan pembagian arus akan didapat,

50 75 70 30

9

2 A

i1 i3

2 +

Req

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 11

A

i

6,0532

1062

73717321

250

7321

7321

1

====

+=

Gambar 2-25: (a)Penyederhanaan dari Gambar 2-24. (b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan

(c) tahanan 50 , 75 dan 30 memiliki tegangan yang sama karena satu simpul (paralel) yaitu,

Vi 30506,0501307550 =====

Dengan mempergunakan pembagian tegangan, 2 dapat dihitung

V930309

30219

992

==

+==

(d) arus di tahanan 9 adalah

Ai 199

92

9 ===

maka i3 dapat dihitung dengan mempergunakan pembagian arus,

Ai 7,013070

703 =+

=

50 75 30 2 A

i1

(a)

50 7321 2 A

i1

(b)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 12

Soal Latihan 4. Carilah Req bagi jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 2-25.

Gambar 2-25: Lihat Latihan Soal 4. 5. (a) Tulis ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan

pembagian tegangan, untuk mendapat 57 dalam rangkaian pada Gambar 2-24a. (b) Tuliskan ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian arus, untuk mendapat i57 bagi rangkaian pada Gambar 2-24b.

Gambar 2-24: Lihat Latihan Soal 5.

100

9 2 25

6

30 30

3 20

15 Req

13

151

207 60 V 23 57 57 +

_

(a)

23

57

151

207

111 112 i57 10 A

(b)

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 13

6. Rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar dibawah ini berisi jaringan tangga tahanan tiga seksi. (a) Misalkan iO = 1 A dan setiap kali satu langkah dari kanan ke kiri jaringan kea rah sumber, tentukan VS. (b) Berapakah VS bila iO = 0,4 A ? (c) Bila VS = 100 V, carilah iO.

.

10

20 5

16 Vs 20

30 io