graf pembagi nol atas modul - repository.uinjkt.ac.id

GRAF PEMBAGI NOL ATAS MODUL

RUSNANDA FARHAN

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2018 M / 1439 H

GRAF PEMBAGI NOL ATAS MODUL

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajatSarjana Matematika

RUSNANDA FARHAN1113094000006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2018 M / 1439 H

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SK-

RIPSI ATAU ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANA-

PUN.

Jakarta, Januari 2018

RUSNANDA FARHAN

NIM. 1113094000006

ii

Scanned by CamScanner

Kasih sayang yang tulus untukku dan pengorbanan yang

tak ternilai. Selalu memberikan yang terbaik tanpa

pernah mengeluh. Mereka tak mengharapkan balasan

dariku, hanya berharap kebaikan untukku.

Untuk Mamah dan Papah tercinta

iv

MOTTO

”Karena sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan. Sesungguhnya

bersama setiap kesulitan ada kemudahan.”

(Q.S. Al-Insyirah:5-6)

v

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Segala puji bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala atas rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini, dengan judul ”Graf Pembagi

Nol Atas Modul”. Shalawat dan salam tak lupa tercurahkan kepada baginda Na-

bi Muhammad SAW, beserta keluarga, dan para sahabatnya, yang telah membawa

umatnya dari zaman jahiliyah ke zaman yang terang benderang.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan

program S1 di Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta. Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapat bimbingan dan

bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima

kasih kepada:

1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika

dan Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Budi Ha-

rianto, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa menyediakan

waktunya untuk memberikan nasehat, pengarahan, inspirasi, serta saran-

saran dalam penyelesaian skripsi ini.

4. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah mem-

berikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat selama penulis di

masa studi.

vi

5. Kedua orang tua penulis, Bapak Rustio dan Ibu Dewi Nurliana yang tidak

pernah lelah untuk selalu memberikan yang terbaik untuk penulis, senan-

tiasa memberi doa, kasih sayang, semangat, serta dukungan moril maupun

materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Saudari kandung penulis,

Nurfitriana, yang telah memberikan perhatian dan dukungan materil ke-

pada penulis. Saudara kembar penulis, Rusnandi Fikri, merupakan orang

yang paling dekat dengan penulis, selalu memberikan nasehat dan memo-

tivasi penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.

6. Cynthia Dhevy Retno Palupi yang telah setia menemani penulis saat pe-

ngerjaan skripsi, selalu memberi semangat dan doa untuk penulis sampai

skripsi ini selesai.

7. Sarah dan Nadya, teman seperjuangan penulis yang telah banyak membe-

rikan pengetahuan dalam penyusunan skripsi.

8. Untuk para sahabat lelaki matematika 2013, Angga, Panjul, Aul, Ady,

Emin, Asfar, Putra, Faiz, Bagus, Andika, yang telah menemani penulis

semasa awal masuk kuliah sampai penulis dapat menyelesaikan skripsi.

9. Seluruh cypress family 2013, serta keluarga besar HIMATIKA yang te-

lah membantu penulis baik dari segi pengetahuan, kekeluargaannya, se-

mangat, dan sarana dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari penulisan skripsi ini tidak sempurna. Dengan kerendahan hati

penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar hasil kedepannya

bisa lebih baik. Penulis juga berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat untuk semua

pihak yang membutuhkannya.

Jakarta, Januari 2018

Penulis

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iHALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiHALAMAN PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivHALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR LAMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Pembatasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1. Grup dan Gelanggang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Modul Dan Modul Multiplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Pembagi Nol Atas Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Annihilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5. Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

III PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1. Graf Pembagi Nol Atas Modul (Γ(RM)) . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Γ∗(RM) . . . . . . . . 203.3. Graf Pembagi Nol Z-modul Z2×Zp (Γ(ZZ2×Zp)), Z-modul Z3×Zp

(Γ(ZZ3 × Zp)), dan Z-modul Zp × Zq (Γ(ZZp × Zq)) . . . . . . . . 213.4. Sifat Dasar Graf Γ(RM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

REFERENSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

viii

DAFTAR GAMBAR

2.1 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Graf Bintang S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Graf Bipartit K2,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z4 . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z8 . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Z8 . . . . . . . . . . . 213.5 Graf Γ(ZZ2 × Z7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Graf Γ(ZZ3 × Z5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Graf Γ(ZZ5 × Z7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z5 . . . . . . . . . . . . . . . 353.10 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z6 . . . . . . . . . . . . . . . 37

ix

DAFTAR LAMBANG

r ∈ R : r anggota R

r /∈ R : r bukan anggota R

r ⊆ R : r himpunan bagian (subset) atau sama dengan R

∀ : untuk setiap (semua)

∃ : terdapat

∅ : himpunan kosong

\ : himpunan komplementari (A\B = {a|a ∈ A dan a /∈ B})

Z : himpunan semua bilangan bulat

R : himpunan semua bilangan real

Q : himpunan semua bilangan rasional

� : akhir suatu bukti

3 : sedemikian sehingga

x

ABSTRAK

Graf Pembagi Nol Atas Modul

Oleh

RUSNANDA FARHAN

1113094000006

Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan identitas dan RM adalah R-modul dengan elemen satuan. Akan dihubungkan sifat modul dengan graf yangdisebut graf pembagi nol atas modul, Γ(RM), dengan titik-titiknya Z∗(RM) =Z(RM)\ {0}, dimana x−y adalah sisi diantara titik berbeda x dan y jika dan hanyajika x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M untuk suatu 0 6= y ∈ M . Dalam skripsiini, akan diselidiki graf pembagi nol atas Z-modul Z2 × Zp, Z-modul Z3 × Zp, danZ-modul Zp × Zq, hubungan antara sifat modul RM dengan sifat graf dari Γ(RM),lalu dilihat diameter Γ(RM) ≤ 3 dan girth Γ(RM) ≤ 4.

Kata Kunci : Graf Pembagi Nol, diameter graf pembagi nol, dan girth grafpembagi nol.

xi

ABSTRACT

Zero Divisor Graph of Modules

By

RUSNANDA FARHAN

1113094000006

Let R be a commutative ring with identity and RM be a unitary R-module. Weassociate module properties with a graph called zero divisor of modules,Γ(RM),whose vertices Z∗(RM) = Z(RM)\ {0}, where x − y is an edge between distinctvertices x and y if and only if x ∈ Ann(y)M or y ∈ Ann(x)M for some 0 6= y ∈M . In thid paper, we investigate zero divisor graph of Z-module Z2×Zp, Z-moduleZ3 × Zp, and Z-module Zp × Zq, the interplay between modul properties RM withthe properties of Γ(RM), then we see the diameter of Γ(RM) ≤ 3 and the girth ofΓ(RM) ≤ 4.

Key Word : Zero Divisor Graph, the diameter of zero divisoer graph, and the girthof zero divisor graph.

xii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Menghubungkan graf dengan struktur aljabar merupakan topik penelitian yang

menarik dalam dua puluh tahun terakhir. Ada banyak tulisan tentang penentuan se-

buah graf ke sebuah gelanggang. Kebanyakan fokus pada graf pembagi nol. Konsep

dari graf pembagi nol pada gelanggang R pertama kali diperkenalkan oleh Beck [3],

pada tahun 1988, dimana secara umum dia tertarik pada pewarnaan. Dalam tulisan-

nya, Beck mendefinisikan graf pembagi nol atas gelanggang komutatif R dengan

notasi ΓR(R) adalah graf yang dua titiknya terhubung jika perkalian keduanya nol.

Pembahasan tentang graf pembagi nol dari gelanggang komutatif ini kemudian

dilanjutkan oleh Anderson dan Naseer pada tahun 1993 [1]. Selanjutnya, pada ta-

hun 1999 Anderson dan Livingston [2] menghubungkan sebuah graf, Γ(R), dengan

titik Z∗(R) = Z(R)\ {0}, himpunan dari pembagi nol tak nol dari gelangggang

komutatif R dengan identitas, dan untuk x, y ∈ Z∗(R) yang berbeda, titik x dan y

bertetangga jika dan hanya jika xy = 0. Graf pembagi nol pada gelanggang komu-

tatif telah dipelajari secara terus-menerus oleh banyak penulis, dan menjadi bidang

utama penelitian.

Pada tahun 2002, Redmond meneliti tentang graf pembagi nol atas gelanggang

tak komutatif yang salah satu hasilnya yaitu graf pembagi nol atas gelanggang tak

komutatif adalah graf berarah. Pada tahun 2003, Redmond memperluas graf pem-

bagi nol pada gelanggang komutatif ke graf pembagi nol pada gelanggang komu-

tatif berdasarkan ideal [12], ΓI(R), yaitu sebuah graf tak berarah, dimana I adalah

ideal dari gelanggang R, dengan himpunan titik-titiknya termuat dalam himpunan

{x ∈ R− I|xy ∈ I untuk suatu y ∈ R− I}, dan dua titik berbeda x dan y berte-

tangga jika dan hanya jika xy ∈ I .

Pada tahun 2011, Ghalandarzadeh melakukan penelitian tentang graf pembagi

1

nol atas gelanggang berdasarkan ideal annihilator, dinotasikan dengan ΓAnn(M)(R),

dimana ide awalnya yakni dengan mengganti ideal I pada graf ΓI(R) dengan ideal

annihilator pada suatu R-modul M , menjadi ΓAnn(M)(R). Ghalandarzadeh mende-

finisikan graf ΓAnn(M)(R) merupakan suatu graf sederhana yang titik-titiknya yaitu

{a ∈ R\Ann(M)|abM = 0 untuk suatu b ∈ R\Ann(M)}, dimana titik berbeda a

dan b bertetangga jika dan hanya jika abM = 0. Lalu, pada tahun 2012, Ghalan-

darzadeh melanjutkan penelitiannya dengan meneliti tentang diameter pada graf

ΓAnn(M)(R).

Selanjutnya, banyak penelitian tentang graf pembagi nol untuk gelanggang

komutatif yang telah digeneralisasi ke modul atas gelanggang komutatif, seperti

yang dilakukan Lee [10] dan Safaeeyan [13].

Berdasarkan banyak penelitian tentang teori graf yang dikaitkan dengan teori

aljabar maka penulis tertarik untuk meneliti bagaimana sifat dari graf pembagi nol

atas modul yang ditulis dalam skripsi yang berjudul ”GRAF PEMBAGI NOL

ATAS MODUL”.

1.2. Perumusan Masalah

1. Bagaimana bentuk graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan

Zp × Zq dengan gelanggang Z, dimana p dan q adalah bilangan prima.

2. Bagaimana sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui sifat mo-

dulnya.

3. Bagaimana diameter dan girth graf pembagi nol atas modul, jika diketahui

sifat modulnya.

4. Bagaimana sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui RM ada-

lah modul multiplikasi.

1.3. Pembatasan Masalah

Pembahasan pada skripsi dibatasi pada sifat gelanggang komutatif dan lapang-

an, sifat R-modul dengan elemen satuan dan modul multiplikasi, dan graf pembagi

nol adalah graf sederhana.

2

1.4. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari skripsi ini adalah :

1. Mengetahui bentuk graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan

Zp × Zq dengan gelanggang Z, dimana p dan q adalah bilangan prima.

2. Mengetahui sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui sifat

modulnya.

3. Mengetahui diameter dan girth graf pembagi nol atas modul, jika diketahui

sifat modulnya.

4. Mengetahui sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui RM

adalah modul multiplikasi.

1.5. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah untuk menyelidiki bentuk

graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan Zp × Zq dengan gelanggang

Z dan menyelidiki sifat graf pembagi nol atas modul dalam kaitannya dengan sifat

modul RM dan memperjelas struktur dari Γ(RM).

1.6. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis dalam empat bab. Bab 1 sebagai pendahuluan terdiri dari la-

tar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat

penulisan, dan sistematika penulisan skripsi. Pada bab 2 akan dijelaskan tentang

gelanggang, modul dan modul multiplikasi, pembagi nol atas modul, annilhilator,

dan graf. Selanjutnya pada bab 3 akan dijelaskan definisi graf pembagi nol atas

modul dan definisi graf pembagi nol atas modul multiplikasi, dilanjutkan dengan

pembahasan tetang graf pembagi nol atas modul Z2×Zp, Z3×Zp, dan Zp×Zq, la-

lu akan dibuktikan hubungan sifat modul dengan sifat graf Γ(RM), hubungan sifat

modul dengan diameter graf Γ(RM) dan girth Γ(RM), dan hubungan sifat modul

multiplikasi dengan sifat graf Γ∗(RM)

3

BAB II

LANDASAN TEORI

Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai teori penunjang

dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang grup, ge-

langgang dan gelanggang komutatif, modul atas gelanggang dan modul multiplika-

si, pembagi nol atas modul, annihilator, dan pengertian dasar pada graf.

2.1. Grup dan Gelanggang

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang teori grup dan teori gelanggang. Pem-

bahasan akan diawali dengan definisi dari grup dan grup abelian. Kemudian dilan-

jutkan gelanggang dan gelanggang komutatif, beberapa definisi lainnya dan contoh.

Definisi 2.1.1 Grup[7]

Sebuah himpunan tak kosong G dikatakan membentuk grup jika di dalam G ter-

definisi operasi biner, yang disebut product yang dinotasikan dengan ·, sedemikian

sehingga

1. a, b ∈ G mengakibatkan a · b ∈ G.

2. a, b, c ∈ G mengakibatkan a · (b · c)(a · b) · c.

3. Terdapat e ∈ G sedemikian sehingga a · e = e · a = a, untuk setiap a ∈ G.

4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a−1 ∈ G sedemikian sehingga a·a−1 = a−1·a = e.

Definisi 2.1.2 Grup Abelian[7]

Sebuah grup G dikatakan abelian (atau komutatif) jika untuk setiap a, b ∈ G, a.b =

b.a.

Definisi 2.1.3 Gelanggang [7]

Sebuah himpunan tak kosong R disebut gelanggang assosiatif jika pada R terdefi-

nisi dua operasi, yaitu + dan ·, sedemikian sehingga ∀a, b, c ∈ R berlaku :

4

1. a + b ∈ R

2. (a + b) + c = a + (b + c)

3. ∃0 ∈ R 3 a + 0 = a,∀a ∈ R

4. ∃(−a) ∈ R 3 (−a) + a = 0

5. a + b = b + a

6. a · b ∈ R

7. a · (b · c) = (a · b) · c

8. a · (b + c) = a · b + a · c dan (b + c) · a = b · a + c · a

Definisi 2.1.4 Gelanggang Komutatif [7]

Gelanggang R dikatakan gelanggang komutatif jika operasi perkalian di R meme-

nuhi ab = ba, untuk setiap a, b ∈ R.

Contoh 2.1.5

1. Himpunan bilangan ril R, himpunan bilangan rasional Q, dan himpunan bilang-

an bulat Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa adalah gelanggang

komutatif.

2. Himpunan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah gelanggang komutatif.

Definisi 2.1.6 Elemen Satuan [7]

Misal R adalah gelanggang. Jika terdapat elemen 1 di R sedemikian sehingga

a · 1 = 1 · a = a untuk setiap a ∈ R maka R disebut gelanggang dengan elemen

satuan. Elemen 1 disebut elemen satuan.

Definisi 2.1.7 Gelanggang Pembagian[7]

Sebuah gelanggang dikatakan gelanggang pembagian jika elemen tak nolnya mem-

bentuk grup di bawah operasi perkalian.

Definisi 2.1.8 Lapangan[7]

Lapangan adalah sebuah gelanggang pembagian komutatif.

5

Definisi 2.1.9 Pembagi Nol(Zero Divisor) [7]

Jika R gelanggang komutatif, maka a 6= 0 ∈ R disebut sebagai pembagi nol (zero

divisor) jika ∃b ∈ R, b 6= 0 3 ab = 0.

Contoh 2.1.10

Misalkan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah gelanggang komutatif. Pembagi nol dari Z6

yaitu 2, 3 dan 4.

Definisi 2.1.11 Daerah Integral[7]

Misalkan R adalah gelanggang komutatif. R adalah daerah integral jika R tidak

memiliki pembagi nol.

Definisi 2.1.12 Ideal [9]

Misalkan gelanggang R dengan elemen satuan dan I ⊆ R. Himpunan I disebut

ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi tiga sifat berikut :

1. I 6= ∅.

2. Untuk setiap a, b ∈ I maka a + b ∈ I .

3. Untuk setiap a ∈ I dan r ∈ R, maka ar ∈ I .

Contoh 2.1.13

Himpunan 2Z6 = {0, 2, 4} adalah ideal dari gelanggang Z6.

Bukti.

(i) Akan dibuktikan 2Z6 6= ∅.

Terdapat 0 ∈ 2Z6 sedemikian sehingga 2Z6 tak kosong.

(ii) Akan dibuktikan 2Z6 = {0, 2, 4} tertutup terhadap penjumlahan.

Perhatikan

0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

2 + 4 = 0

Terbukti 2Z6 tertutup terhadap penjumlahan.

6

(iii) Akan dibuktikan untuk setiap a ∈ 2Z6 dan r ∈ Z6, maka ar ∈ 2Z6.

Perhatikan

0 · 0 = 0 ∈ 2Z6

0 · 1 = 0 ∈ 2Z6

0 · 2 = 0 ∈ 2Z6

0 · 3 = 0 ∈ 2Z6

0 · 4 = 0 ∈ 2Z6

0 · 5 = 0 ∈ 2Z6

2 · 0 = 0 ∈ 2Z6

2 · 1 = 2 ∈ 2Z6

2 · 2 = 4 ∈ 2Z6

2 · 3 = 0 ∈ 2Z6

2 · 4 = 2 ∈ 2Z6

2 · 5 = 4 ∈ 2Z6

4 · 0 = 0 ∈ 2Z6

4 · 1 = 4 ∈ 2Z6

4 · 2 = 2 ∈ 2Z6

4 · 3 = 0 ∈ 2Z6

4 · 4 = 4 ∈ 2Z6

4 · 5 = 2 ∈ 2Z6

Terbukti bahwa untuk setiap a ∈ 2Z6 dan r ∈ Z6, maka ar ∈ 2Z6.

Berdasarkan (i), (ii), dan (iii). Maka terbukti 2Z6 merupakan ideal terhadap gelang-

gang Z6. �

Definisi 2.1.14 Ideal Maksimal [7]

Sebuah ideal I 6= R dalam gelanggang R dikatakan ideal maksimal di R jika untuk

sebarang U ideal di R sedemikian sehingga I ⊂ U ⊂ R, maka R = U atau I = U .

2.2. Modul Dan Modul Multiplikasi

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang teori modul. Pembahasan akan diawa-

li dengan definisi dari modul dan submodul. Kemudian dijelaskan definisi modul

7

multiplikasi dan beberapa definisi lainnya serta contoh-contoh.

Definisi 2.2.1 Modul atas Gelanggang [7]

Misalkan R adalah gelanggang. Himpunan tak kosong M adalah R-modul (modul

atas gelanggang R) jika M adalah grup abelian di bawah operasi penjumlahan

sedemikan sehingga ∀ r ∈ R dan m ∈ M terdapat sebuah elemen rm ∈ M yang

memenuhi :

1. r(a + b) = ra + rb

2. r(sa) = (rs)a

3. (r + s)a = ra + sa

Untuk setiap a, b ∈M dan r, s ∈ R.

Selanjutnya modul atas gelanggang disebut R-modul M . Jika terdapat unsur 1 ∈

R, dimana 1.m = m, ∀ m ∈ M maka M dapat dikatakan sebagai R-modul M

dengan elemen satuan, dilambangkan dengan RM .

Contoh 2.2.2

1. Himpunan Zn merupakan modul atas gelanggang Z.

2. Himpunan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan modul atas gelanggang Z6 terha-

dap operasi penjumlahan dan perkalian.

Definisi 2.2.3 Submodul [7]

Misalkan M adalah R-modul. Suatu subgrup aditif A dari M disebut submodul

dari M jika untuk setiap r ∈ R dan a ∈ A, maka ra ∈ A.

Untuk suatu submodul N dari suatu R-modul M , himpunan

(N : M) = {r ∈ R|rM ⊆ N}

disebut colon dari N [8].

Contoh 2.2.4

Himpuan 2Z6 = {0, 2, 4} merupakan submodul dari Z6-modul Z6.

8

Definisi 2.2.5 Modul Prima [11]

Misalkan M adalah R-modul. M 6= 0 disebut modul prima jika submodul nol-nya

prima, yaitu rx = 0 untuk x ∈M , r ∈ R berakibat x = 0 atau rM = (0).

Contoh 2.2.6

Z7 modul atas Z merupakan modul prima.

Teorema 2.2.7 Misalkan R suatu gelanggang. Jika N adalah suatu submodul dari

suatu R-modul M , maka (N : M) merupakan ideal dari R [8].

Bukti.

Akan ditunjukan bahwa himpunan (N : M) = {r ∈ R|rM ⊆ N}, merupakan

ideal dari R.

(i) Akan ditunjukan (N : M) 6= ∅

pilih 0 ∈ R, kita perhatikan bahwa 0M = {0} ⊆ N , sehingga berdasarkan

definisi colon, diperoleh 0 ∈ (N : M).

(ii) Akan ditunjukan untuk sebarang a, b ∈ (N : M) berlaku a + b ∈ (N : M).

Ambil sebarang a, b ∈ (N : M), maka berlaku aM ⊆ N dan bM ⊆ N .

Perhatikan :

aM + bM = {am1 + bm2|m1m,2 ∈M}

merupakan himpunan bagian dari N . Kemudian untuk sebarang c ∈ (a+b)M

maka c = (a+ b)m1 = am1 + bm1 untuk suatu m1 ∈M , sehingga diperoleh

(a+ b)M ⊆ aM + bM ⊆ N . Karena (a+ b)M ⊆ N , diperoleh a+ b ∈ (N :

M).

(iii) Akan ditunjukan untuk sebarang a ∈ (N : M) dan r ∈ R, berlaku ra ∈

(N : M). Ambil sebarang a ∈ (N : M) dan r ∈ R, maka aM ⊆ N . Karena

N merupakan submodul dari M , maka diperoleh r(aM) ⊆ N . Dari definisi

modul r(aM) = (ra)M diperoleh (ra)M = r(aM) ⊆ N . Berdasarkan

definisi colon, diperoleh ra ∈ (N : M).

Karena (i), (ii), dan (iii) memenuhi sifat ideal, maka terbukti bahwa (N : M) me-

rupakan ideal dari gelanggang R. �

9

Definisi 2.2.8 Modul Multiplikasi [11]

Misalkan M adalah R-modul. M dikatakan modul multiplikasi jika untuk setiap

submodul N dari M , terdapat sebuah ideal I dari R sedemikian sehingga N =

IM .

Contoh 2.2.9 Z8 adalah Z-modul multiplikasi, karena untuk setiap submodul N =

nZ8 di Z-modul Z8, terdapat ideal I = nZ di gelanggang Z sehingga berlaku

N = IZ8 atau nZ8 = (nZ)Z8.

2.3. Pembagi Nol Atas Modul

Konsep elemen pembagi nol pada gelanggang, telah digeneralisasi ke modul

[11]:

Zdv(RM) = {r ∈ R|rx = 0 untuk suatu x ∈M tak nol} .

Selanjutnya akan didefinisikan himpunan pembagi nol pada modul.

Definisi 2.3.1 Pembagi Nol Atas Modul [11]

Misal M adalah R-modul. Himpunan pembagi nol dari M adalah Z(RM) =

{x ∈M |x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M untuk suatu 0 6= y ∈M}.

Contoh 2.3.2 Misalkan Z6 adalah Z-modul. Akan ditentukan pembagi nol pada Z6.

Diketahui Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Perhatikan:

Ann(0) = Z, sehingga Ann(0)M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Ann(1) = 6Z, sehingga Ann(1)M = {0}.

Ann(2) = 3Z, sehingga Ann(2)M = {0, 3}.

Ann(3) = 2Z, sehingga Ann(3)M = {0, 2, 4}.



Sehingga Z(Z6) = {0, 2, 3, 4}.

10

2.4. Annihilator

Definisi 2.4.1 Annihilator [9]

Diberikan M adalah R-modul. Ann(M) dikatakan himpunan annihilator dari M

jika

Ann(M) = {r ∈ R|rm = 0,∀m ∈M} .

Ideal (0 : M) disebut annihilator dari M ; untuk x ∈ M , kita dapat tulis

Ann(x) untuk ideal Ann(Rx) [11].

Contoh 2.4.2

Jika diberikan Z6 adalah Z6-modul dengan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, maka himpunan

Ann(Z6) = {0}.

Teorema 2.4.3 Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan identitas, M ada-

lah R-modul multiplikasi dengan annihilator J , A dan B adalah ideal pada R.

Maka AM ⊆ BN jika dan hanya jika A ⊆ B+J atau M = ((B+J) : A)M [14].

2.5. Graf

Definisi 2.5.1 Graf [6]

Sebuah graf G = (V,E), terdiri dari pasangan himpunan tak kosong dari simpul-

simpul yang dinotasikan dengan V (G) dan himpunan sisi yang mungkin kosong,

yang dinotasikan dengan E(G).

Jumlah titik dari sebuah graf G disebut order dengan notasi |G|; jumlah sisi

dari sebuah graf disebut size dinotasikan dengan ||G|| [5].

11

Gambar 2.1 Graf G

Berdasarkan gambar 2.1, graf G memiliki V (G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan

E(G) = {{1, 2} , {1, 5} , {2, 5} , {3, 4} , {5, 7}}.

Definisi 2.5.2 Ketetanggaan (Adjacency) [11]

Misal G adalah sebuah graf dengan himpunan titik V (G). Untuk dua titik berbeda

x dan y di V (G) dikatakan bertetangga jika xy adalah sebuah sisi di G. Notasi

x− y artinya x dan y bertetangga.

Untuk x ∈ V (G) kita notasikan dengan NG(x) adalah himpunan dari semua

titik di G yang bertetangga dengan x. Size dari NG(x) dinotasikan dengan degG(x)

adalah derajat dari x [11].

Contoh 2.5.3

Graf G pada gambar 2.1, titik 5 bertetangga dengan 7, 2 dan 1, 3 bertetangga dengan

4, dan 1 bertetangga dengan 2, dengan masing-masing notasi 5 − 7, 5 − 2, 5 − 1,

3− 4, dan 1− 2. NG(5) = {1, 2, 7} dan degG(5) = 3.

Definisi 2.5.4 Jalan (Walk) [11]

Sebuah walk berukuran n di graf G diantara dua titik x, y adalah sebuah barisan

terurut dari titik x = x0, x1, . . . , xn = y sedemikian sehingga xi−1 adalah berte-

tangga dengan xi, untuk i = 1, . . . , n. Dinotasikan walk dengan x0−x1−· · ·−xn.

12

Jika setiap titik di walk berbeda maka mendefinisikan sebuah lintasan di G.

Sebuah cycle adalah lintasan x0 − · · · − xn dengan sebuah sisi tambahan x0 − xn.

Girth dari G dinotasikan dengan gr(G), adalah panjang dari cycle terpendek di G

(gr(G) =∞, jika G tidak memiliki cycle) [11].

Contoh 2.5.5 Graf G pada gambar 2.1, terdapat jalan (walk) yaitu 1 − 2 − 5 − 7,

cycle 1− 2− 5− 1, dan gr(G) = 3.

Definisi 2.5.6 Graf Sederhana dan Graf Tidak Sederhana [6]

Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori bergantung pada sudut pan-

dang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf berdasarkan ada tidaknya sisi

ganda, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

1. Graf Sederhana

Graf sederhana yaitu graf yang tidak memiliki sisi ganda ataupun loop.

2. Graf Tidak Sederhana

Graf tidak sederhana yaitu graf yang memiliki sisi ganda ataupun loop.

Ada dua macam graf tidak sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu.

Graf ganda adalah graf yang memiliki sisi ganda. Graf semu adalah graf

yang memiliki sisi ganda dan loop.

Definisi 2.5.7 Graf Terhubung [11]

Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk sebarang titik x dan y di G terdapat

sebuah lintasan diantara x dan y.

Definisi 2.5.8 Graf Lengkap[5]

Misalkan G adalah sebuah graf. Jika semua titik di graf G adalah pasangan berte-

tangga, maka graf G adalah graf lengkap. Jika ada sebanyak n titik, maka graf G

dinotasikan dengan Kn.

Definisi 2.5.9 Graf Bintang [15]

Graf bintang, yang dinotasikan dengan Sn, adalah graf dengan n + 1 simpul, me-

miliki satu simpul pusat v0 yang terhubung dengan n simpul lainnya.

13

Derajat dari simpul v0 adalah n sedangkan derajat dari semua simpul lainnya

adalah 1.

Gambar 2.2 Graf Bintang S5

Pada gambar 2.2, graf bintang S5 memiliki titik pusat di v0, dimana titik la-

innya terhubung dengan v0. Derajat v0 adalah 5 sedangkan titik lainnya berderajat

1.

Definisi 2.5.10 Graf Bipartit[4]

Sebuah graf G dikatakan bipartit jika V (G) memuat suatu partisi menjadi dua

kelas sedemikian sehingga titik-titik di kelas partisi yang sama tidak boleh ber-

tetangga. Sebuah graf bipartit sederhana yang setiap dua titik dari kelas partisi

berbeda bertetangga disebut graf bipartit lengkap. Misalkan Km,n notasi graf bi-

partit lengkap atas dua himpunan terpisah tak kosong V1 dan V2 dengan |V1| = m

dan |V2| = n.

Gambar 2.3 Graf Bipartit K2,4

14

Pada gambar 2.3, graf bipartit lengkap K2,4 yang himpunan titiknya dipartisi

menjadi dua kelas partisi. Kelas partisi pertama, V1, beranggotakan titik v1 dan v2,

sedangkan kelas partisi kedua, V2, beranggotakan titik v3, v4, v5, v6, dengan |V1| = 2

dan |V2| = 4.

Definisi 2.5.11 Jarak dan Diameter [11]

Untuk x, y ∈ V (G), jarak antara x dan y, dinotasikan dengan d(x, y), adalah pan-

jang lintasan terpendek antara x dan y. Jarak terbesar antara dua titik sebarang

di G, adalah diameter dari G, dinotasikan dengan diam(G).

Contoh 2.5.12 Pada graf G di gambar 2.1, d(1, 7) = 2 dan diam(G) = 2.

15

BAB III

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas definisi graf pembagi nol atas modul (Γ(RM)), de-

finisi graf pembagi nol atas modul multiplikasi (Γ∗(RM)), graf pembagi nol atas

Z-modul Z2×Zp, Z-modul Z3×Zp, dan Z-modul Zp×Zq, serta sifat Γ(RM) jika

diketahui sifat modulnya.

3.1. Graf Pembagi Nol Atas Modul (Γ(RM))

Definisi 3.1.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul [11]

Misal M adalah R-modul. Didefinisikan graf pembagi nol atas modul, dinotasikan

dengan Γ(RM), yaitu graf tak berarah dengan titik-titiknya Z∗(RM) = Z(M)\ {0},

dimana x − y adalah sisi diantara titik x dan y yang berbeda jika dan hanya jika

x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M .

Contoh 3.1.2

Berikut ini adalah contoh graf pembagi nol atas modul dengan gelanggangnya ada-

lah Z.

1. Z8 adalah Z-modul.

Diketahui Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Cek ketetanggaan:

Ann(0) = Z, sehingga Ann(0)M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Ann(1) = 8Z, sehingga Ann(1)M = {0}

Ann(2) = 4Z, sehingga Ann(2)M = {0, 4}


Ann(4) = 2Z, sehingga Ann(4)M = {0, 2, 4, 6}


Ann(6) = 4Z, sehingga Ann(6)M = {0, 4}


16

Diperoleh, 4 ∈ Ann(2)M dan 4 ∈ Ann(6)M , sehingga 4− 2 dan 4− 6 adalah

sisi pada Γ(ZZ8). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ8):

Gambar 3.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z8

2. Z4 × Z4 adalah Z-modul.

Diketahui Z4 = {0, 1, 2, 3}.

Sehingga

Z4 × Z4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

Cek ketetanggaan:

Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0),

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

Ann((0, 1)) = 4Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0)}

Ann((0, 2)) = 2Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}










17





Diperoleh, (2, 0), (2, 2) ∈ Ann((0, 2))M dan (2, 0) ∈ Ann((2, 2)), sehing-

ga (2, 0) − (0, 2), (2, 2) − (0, 2), dan (2, 0) − (2, 2) merupakan sisi pada graf

Γ(ZZ4 × Z4). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ4 × Z4):

Gambar 3.2 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z4

3. Z2 × Z8 adalah Z-modul.

Diketahui Z2 = {0, 1} dan Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Sehingga

Z2 × Z8 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (1, 0),

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 7)}

Cek ketetanggaan:

Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4),

(0, 5), (0, 6), (0, 7), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 7)}


Ann((0, 2)) = 4Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (0, 4)}





18




Ann(((1, 2))) = 4Z, sehingga Ann(((1, 2)))M = {(0, 0), (0, 4)}






Diperoleh, (0, 2), (0, 4), (0, 6) ∈ Ann((1, 0)), artinya (0, 2) − (1, 0), (0, 4) −

(1, 0), (0, 6)− (1, 0) adalah sisi di graf Γ(ZZ2 × Z8), dan (0, 2), (0, 4), (0, 6) ∈

Ann((1, 4)), artinya (0, 2) − (1, 4), (0, 4) − (1, 4), (0, 6) − (1, 4) adalah si-

si di graf Γ(ZZ2 × Z8). Lalu (0, 4) ∈ Ann((0, 2))M , (0, 4) ∈ Ann((0, 6))M ,

(0, 4) ∈ Ann((1, 2))M , (0, dan4) ∈ Ann((1, 6))M , yang artinya (0, 4)−(0, 2),

(0, 4) − (0, 6), (0, 4) − (1, 2), dan (0, 4) − (1, 6) masing-masing adalah sisi di

graf Γ(ZZ2 × Z8). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ2 × Z8):


19

3.2. Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Γ∗(RM)

Misalkan M adalah R-modul multiplikasi dan N = IM dan K = JM adalah

submodul dari M dimana I dan J adalah ideal atas gelanggang R. Hasil dari N dan

K, dinotasikan dengan N ∗K, didefinisikan sebagai IJM [11].

Definisi 3.2.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi [11]

Misalkan M adalah R-modul multiplikasi. Didefinisikan graf pembagi nol atas

modul multiplikasi, dinotasikan dengan Γ∗(RM), adalah graf tak berarah dengan

titik-titiknya {0 6= x ∈M |Rx ∗Ry = 0 untuk suatu y ∈M}, dimana titik berbeda

x dan y bertetangga jika dan hanya jika Rx ∗Ry = 0.

Contoh 3.2.2 Misalkan Z8 adalah Z-modul multiplikasi.

Diketahui Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Z1 = Z8.

Z2 = 2Z8 = (2Z)Z8.

Z3 = Z8.

Z4 = 4Z8 = (4Z)Z8.

Z5 = Z8.

Z6 = 2Z8 = (2Z)Z8.

Z7 = Z8.

Cek ketetanggaan:

Z2 ∗ Z4 = (2Z)(4Z)Z8 = 0.

Z6 ∗ Z4 = (2Z)(4Z)Z8 = 0.

Z2 ∗ Z6 = (2Z)(2Z)Z8 = (4Z)Z8 6= 0.

Diperoleh 4 bertetangga dengan 2 dan 6. Sehingga bentuk graf Γ∗(ZZ8):

20

Gambar 3.4 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Z8

3.3. Graf Pembagi Nol Z-modul Z2 × Zp (Γ(ZZ2 × Zp)), Z-modul Z3 × Zp

(Γ(ZZ3 × Zp)), dan Z-modul Zp × Zq (Γ(ZZp × Zq))

Teorema 3.3.1 Misalkan Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p pri-

ma. Maka graf pembagi nol atas modul Z2×Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ2×Zp)

adalah graf bintang Sp−1.

Bukti. Diketahui Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima. Akan

dibuktikan graf Γ(ZZ2 × Zp) adalah graf bintang Sp−1, yaitu graf Γ(ZZ2 × Zp)

memiliki satu titik pusat yang terhubung dengan p− 1 titik lainnya, dan titik pusat

berderajat p− 1 sedangkan titik lainnya berderajat 1. Untuk melihat titik-titik pada

graf Γ(ZZ2 × Zp) dan melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel

ketetanggaan berikut:

Tabel 3.1 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZ2 × Zp)

x ∈ Z2 × Zp Ann(x) Ann(x)Z2 × Zp

(1, 0) 2Z{

(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}

(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zp pZ {(0, 0), (1, 0)}

(1, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 2pZ {(0, 0)}

Diperoleh (0, b) ∈ Ann((1, 0))(Z2 × Zp) dan (1, 0) ∈ Ann((0, b))(Z2 × Zp),

dengan 0 6= b ∈ Zp, sehingga (1, 0) bertetangga dengan (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1).

Oleh karena itu, (1, 0) merupakan titik pusat yang bertetangga dengan titik-titik

(0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Titik pusat (1, 0) berderajat p − 1 sedangkan titik-

21

titik (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1) masing-masing berderajat 1. Terbukti bahwa graf

Γ(ZZ2 × Zp) adalah graf bintang Sp−1. �

Contoh 3.3.2

Z2 × Z7 adalah Z-modul.

Diketahui

Z2 × Z7 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2),

(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

Cek ketetanggaan:

Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),

(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)}

Ann((0, 1)) = 7Z, sehingga Ann((0, 1))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}






Ann((1, 0)) = 2Z, sehingga Ann((1, 0))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),

(0, 4), (0, 5), (0, 6)}

Ann((1, 1)) = 14Z, sehingga Ann((1, 1))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}






Diperoleh (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6) ∈ Ann((1, 0))(Z2 × Z7), artinya

(0, 1)−(1, 0), (0, 2)−(1, 0), (0, 3)−(1, 0), (0, 4)−(1, 0), (0, 5)−(1, 0), dan (0, 6)−

(1, 0) merupakan sisi di graf Γ(ZZ2 × Z7). Sehingga bentuk graf Γ(ZZ2 × Z7):

22

Gambar 3.5 Graf Γ(ZZ2 × Z7)

Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ2 × Z7) adalah graf bintang S6.

Karena graf Γ(ZZ2×Zp) adalah graf bintang Sp−1, maka graf Γ(Z2×ZpZ2×Zp)

adalah graf bintang Sp−1 juga.

Teorema 3.3.3 Misalkan Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p pri-

ma. Maka graf pembagi nol atas modul Z3×Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ3×Zp)

adalah graf bipartit lengkap K2,p−1.

Bukti. Diketahui Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima. Akan

dibuktikan graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1, yaitu graf yang

himpunan titiknya dipartisi menjadi dua kelas partisi dan untuk setiap titik dari

kelas pertisi yang sama tidak bertetangga, serta untuk setiap dua titik dari kelas

partisi berbeda bertetangga. Untuk melihat titik-titik pada graf Γ(ZZ3 × Zp) dan

melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel ketetanggaan berikut:

23

Tabel 3.2 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZ3 × Zp)

x ∈ Z3 × Zp Ann(x) Ann(x)Z3 × Zp

(1, 0) 3Z{

(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}

(2, 0) 3Z{

(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}

(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zp pZ {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}

(1, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 3pZ {(0, 0)}

(2, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 3pZ {(0, 0)}

Diperoleh (0, b) ∈ Ann((1, 0))(Z3 × Zp) dan (0, b) ∈ Ann((2, 0))(Z3 ×

Zp), serta (1, 0), (2, 0) ∈ Ann((0, b))(Z3 × Zp), dengan 0 6= b ∈ Zp, sehing-

ga (1, 0) dan (2, 0) bertetangga dengan (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Oleh karena

itu, kita dapat partisi himpunan titik menjadi dua kelas partisi. Kelas partisi perta-

ma beranggotakan (1, 0) dan (2, 0), sedangkan kelas partisi kedua beranggotakan

(0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Dapat dilihat (1, 0) dan (2, 0) tidak bertetangga, begitu

pula dengan titik-titik (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1) tidak saling bertetangga. Terbuk-

ti bahwa graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1. �

Contoh 3.3.4


Diketahui

Z3 × Z5 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}

Cek ketetanggaan:

Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),

(0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}

Ann((0, 1)) = 5Z, sehingga Ann((0, 1))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}





24

(0, 4)}






(0, 4)}





Diperoleh (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((1, 0))(Z3×Z5) dan (0, 1), (0, 2), (0, 3),

(0, 4) ∈ Ann((2, 0))(Z3×Z5), artinya (0, 1)− (1, 0), (0, 2)− (1, 0), (0, 3)− (1, 0),

(0, 4) − (1, 0) dan (0, 1) − (2, 0), (0, 2) − (2, 0), (0, 3) − (2, 0), (0, 4) − (2, 0) me-

rupakan sisi di graf Γ(ZZ3 × Z5). Sehingga bentuk graf Γ(ZZ3 × Z5):


Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ3×Z5) adalah graf bipartit leng-

kap K2,4.

Karena graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1, maka diperoleh

graf Γ(Z3×ZpZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1 juga.

Teorema 3.3.5 Misalkan Zp × Zq adalah modul atas gelanggang Z, dimana p dan

q prima dan p 6= q. Maka graf pembagi nol atas modul Zp × Zq, dilambangkan

dengan Γ(ZZp × Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1.

25

Bukti. Diketahui Zp × Zq adalah modul atas gelanggang Z, dimana p dan q prima

dan p 6= q. Akan dibuktikan graf Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1,

yaitu graf yang himpunan titiknya dipartisi menjadi dua kelas partisi dan untuk

setiap titik dari kelas partisi yang sama tidak bertetangga, serta untuk setiap dua titik

dari kelas partisi berbeda bertetangga. Untuk melihat titik-titik pada graf Γ(ZZp ×

Zq) dan melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel ketetanggaan

berikut:

Tabel 3.3 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZp × Zq)

x ∈ Zp × Zq Ann(x) Ann(x)Zp × Zq

(a, 0) dengan 0 6= a ∈ Zp pZ{

(0, 0), (0, 1), (0, 2), · · · , (0, q − 1)}

(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zq qZ{

(0, 0), (1, 0), (2, 0), · · · , (p− 1, 0)}

(a, b) dengan 0 6= a ∈ Zp pqZ {(0, 0)}

dan 0 6= b ∈ Zq

Diperoleh{

(0, 1), · · · , (0, q − 1)}∈ Ann((a, 0))(Zp×Zq) dan {(1, 0), (2, 0),

· · · , (p− 1, 0)}∈ Ann((b, 0))(Zp×Zq), akibatnya untuk setiap titik pada {(0, 1),

· · · , (0, q − 1)}

bertetangga dengan semua titik pada {(0, 0), (1, 0), (2, 0), · · · ,

(p− 1, 0)}

. Oleh sebab itu, kita dapat partisi himpunan titik menjadi dua kelas par-

tisi. Kelas partisi pertama beranggotakan{

(1, 0), (2, 0), · · · , (p− 1, 0)}

dan kelas

patisi kedua beranggotakan{

(0, 1), (0, 2), · · · , (0, q − 1)}

. Dapat dilihat {(1, 0),

(2, 0), · · · , (p− 1, 0)}

tidak saling bertetangga, begitu pula dengan {(0, 1), (0, 2),

· · · , (0, q − 1)}

tidak saling bertetangga. Terbukti bahwa graf Γ(ZZp × Zq) adalah

graf bipartit lengkap Kp−1,q−1. �

Untuk Z-modul Zp × Zq, dimana p dan q prima dan p = q tidak dapat mem-

bentuk graf pembagi nol. Karena untuk sebarang (0, 0) 6= (a, b) ∈ Zp × Zq,

Ann((a, b)) = pZ = qZ. Sehingga Ann((a, b))(Zp × Zq) = (0, 0). Akibatnya

Z∗(Γ(ZZp × Zq)) = ∅ sehingga tidak memiliki himpunan titik. Jadi, Z-modul

Zp × Zq, dimana p dan q prima dan p = q tidak dapat membentuk graf pemba-

gi nol.

26

Contoh 3.3.6


Diketahui

Z5 × Z7 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2),

(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(2, 6), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 0), (4, 1),

(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}

Cek ketetanggaan:


(4, 0)}


(4, 0)}


(4, 0)}


(4, 0)}


(4, 0)}


(4, 0)}


(0, 4), (0, 5), (0, 6)}








(0, 4), (0, 5), (0, 6)}

27








(0, 4), (0, 5), (0, 6)}








(0, 4), (0, 5), (0, 6)}







Diperoleh, {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((1, 0))(Z5 × Z7),

{(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((2, 0))(Z5 × Z7), {(0, 1), (0, 2),

(0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((3, 0))(Z5 × Z7), {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),

(0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((4, 0))(Z5 × Z7) dan {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈

Ann((0, 1)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈ Ann((0, 2)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0),

(4, 0)} ∈ Ann((0, 3)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈ Ann((0, 4)), artinya un-

tuk setiap titik di (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0) akan bertetangga dengan setiap titik di

{(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)}, sehingga bentuk graf Γ(ZZ5 × Z7):

28


Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ5×Z7) adalah graf bipartit leng-

kap K4,6.

Karena graf Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1, maka diperoleh

graf Γ(Zp×ZqZp × Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1 juga.

3.4. Sifat Dasar Graf Γ(RM)

Proposisi 3.4.1 Misalkan M adalah R-modul. Maka pernyataan berikut ekivalen:

1. Γ(RM) = ∅, yaitu Z(M) = {0}.

2. Zdv(M) = Ann(M).

3. M adalah R-modul prima.

Bukti.

(1)⇒ (2) Diketahui Γ(RM) = ∅ yaitu Z(M) = {0}. Akan dibuktikan Zdv(M) =

Ann(M). Berdasarkan definisi Z(M), maka 0 ∈ Ann(y)M untuk suatu 0 6= y ∈

M . Oleh karena itu terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y) dan m1, . . . ,mn ∈ M sedemi-

kian sehingga 0 = r1m1 + · · · + rnmn. Oleh karena itu rimi = 0 untuk setiap

1 ≤ i ≤ n. Berdasarkan definisi, Zdv(M) = Ann(M).

(2) ⇒ (1) Diketahui Zdv(M) = Ann(M). Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅, ya-

itu Z(M) = {0}. Andaikan Γ(RM) 6= ∅, yaitu Z(M) 6= {0}. Artinya terdapat

x, Y ∈ Z∗(RM) sedemikian sehingga x ∈ Ann(y)M . Oleh karena itu terdapat

29

r1, . . . , rn ∈ Ann(y)dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga x = r1z1 + · · · +

rnzn. Karena riy = 0 maka ri ∈ Zdv(M), untuk setiap 1 ≤ i ≤ n. Akibatnya

ri ∈ Ann(M), untuk setiap 1 ≤ i ≤ n. Oleh karena itu, rizi = 0, untuk setiap

1 ≤ i ≤ n. Akibatnya x = 0. Hal ini kontradiksi dengan asumsi x 6= 0. Maka

pengandaian salah. Haruslah Γ(RM) = ∅, yaitu Z(M) = {0}.

(1) ⇒ (3) Diketahui Γ(RM) = ∅, artinya Z(M) = {0}. Akan dibuktikan M ada-

lah modul prima. Andaikan M bukan modul prima, maka terdapat r ∈ R\Ann(M)

dan elemen tak nol x ∈M sedemikian sehingga rx = 0. Karena r /∈ Ann(M), ma-

ka terdapat elemen tak nol y ∈ M sedemikian sehingga ry = 0. Akibatnya ry − x

adalah sisi di Γ(RM) dan karenanya Γ(RM) 6= ∅. Hal ini kontradiksi dengan asum-

si Γ(RM) = ∅. Maka pengandaian salah. Haruslah M adalah modul prima.

(3) ⇒ (1) Diketahui M adalah R-modul prima, artinya untuk rx = 0 dimana

x ∈ M dan r ∈ R berakibat x = 0 atau rM − 0. Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅,

yaitu Z(M) = {0}. Andaikan Γ(RM) 6= ∅, maka terdapat x, y ∈ Z∗(RM) sede-

mikian sehingga x ∈ Ann(y)M . Oleh karena itu terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y)M

dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga x = r1z1 + · · · + rnzn. Karena riy = 0

umtuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan M adalah modul prima, kita punya riM = 0, umtuk

setiap 1 ≤ i ≤ n. Akibatnya x = 0. Hal ini kontradiksi dengan asumsi x 6=). Maka

pengandaian salah. Haruslah Γ(RM) = ∅.

(2) ⇒ (3) Diketahui Zdv(M) = Ann(M), artinya Zdv(M) = (0 : M) sehingga

Zdv(M) = {r ∈ R|rM = 0}. Akan dibuktikan M adalah modul prima. Berda-

sarkan definisi, jelas bahwa M adalah modul prima.

(3)⇒ (2) Diketahui M adalah modul prima. Akan dibuktikan Ann(M) = Zdv(M).

Berdasarkan definisi 2.2.5, kita punya rx = 0 untuk suatu x ∈ M , r ∈ R beraki-

bat x = 0 atau rM = (0). Berdasarkan definisi 2.4.1, Ann(M) = (0 : M) =

{e ∈ R|rM = 0}. Karena M modul prima, maka Ann(M) = Zdv(M). �

Akibat 3.4.2 Misalkan R adalah gelanggang. Maka R adalah lapangan jika dan

hanya jika Γ(RM) = ∅ untuk setiap R-modul M .

30

Bukti.

⇒Diketahui R adalah lapangan. Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅. Karena R lapangan,

maka R adalah daerah integral sehingga berdasarkan proposisi 3.4.1 mengakibatk-

an Γ(RM) = ∅.

⇐ Diketahui Γ(RM) = ∅, untuk setiap R-modul M . Akan dibuktikan R adalah

lapangan. Andaikan m adalah ideal maksimal tak nol dari R dan 0 6= x ∈ m.

Himpunan M = R/m × R. Maka, (0, x) ∈ Ann(1 + m, 0)M . Oleh karena itu,

(0, x) bertetangga dengan (1 +m, 0). Jadi, Γ(RM) 6= ∅. Hal ini kontradiksi dengan

Γ(RM) = ∅. Maka pengandaian salah. Haruslah m = 0, akibatnya R adalah la-

pangan. �

Lema 3.4.3 Misalkan M adalah R-modul, x, y ∈M dan r ∈ R. Jika x− y adalah

sebuah sisi di Γ(RM), maka ry ∈ {0, x} atau x− ry adalah sisi di Γ(RM).

Bukti. Diketahui x dan y adalah dua titik berbeda di Γ(RM) dan x−y adalah sebuah

sisi di Γ(RM). Akan dibuktikan ry ∈ {0, x} atau x − ry adalah sisi di Γ(RM).

Misalkan ry /∈ {0, x}. Jika x ∈ Ann(y)M , maka x ∈ Ann(ry)M , dan karenanya,

x dan ry adalah bertetangga. Jika y ∈ Ann(x)M , maka ry ∈ Ann(x)M , dan

karenanya x dan ry bertetangga. �

Teorema 3.4.4 Misalkan M adalah R-modul. Maka Γ(RM) terhubung dengan

diam(Γ(RM)) ≤ 3.

Bukti. Diketahui M adalah R-modul dan x, y ∈M adalah titik berbeda di Γ(RM).

Akan dibuktikan diam(Γ(RM)) ≤ 3. Jika x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M ,

maka d(x, y) = 1. Jadi, anggap d(x, y) 6= 1. Terdapat sebuah titik x′ di Γ(RM)

sedemikian sehingga x ∈ Ann(x′)M atau x

′ ∈ Ann(x)M . Kita bagi menjadi dua

kasus:

Kasus 1 Terdapat sebuah titik y′ di Γ(RM) sedemikian sehingga y ∈ Ann(y

′)M .

Maka terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y′) dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga

y = r1z1 + · · ·+ rnzn. Jika rix′= 0 untuk setiap i, maka x− x

′ − y adalah sebuah

lintasan dengan panjang 2. Jika rix′ 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n, maka berdasarkan

lema, x− rix′ − y

′ − y adalah sebuah walk, dan karenanya d(x, y) ≤ 3.

31

Kasus 2 Terdapat sebuah titik y′ di Γ(RM) sedemikian sehingga y

′ ∈ Ann(y)M .

Maka terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y) dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga

y′= r1z1 + · · ·+ rnzn. Jika rix = 0 untuk setiap i, maka x− y

′ − y adalah sebuah

lintasan dengan panjang 2. Jika rix 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n, maka berdasarkan

lema, x− x′ − rix− y adalah sebuah walk, dan karenanya d(x, y) ≤ 3. �

Contoh 3.4.5

Z6 adalah Z-modul.

Diketahui Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Cek ketetanggaan:



Ann(3) = 2Z, sehingga Ann(3)M = {0, 2, 4}.



Diperoleh, 3 ∈ Ann(2)M dan 4 ∈ Ann(3)M , sehingga 3− 2 dan 4− 3 adalah sisi

pada Γ(ZZ6). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ6):

Gambar 3.8 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z6

Dari gambar di atas, terlihat graf Γ(ZZ6) berdiameter 2.

Teorema 3.4.6 Misal M adalah R-modul. Jika Γ(RM) memuat sebuah cycle, maka

gr(Γ(RM)) ≤ 4

Bukti. Misalkan x0−x1−x2−· · ·−xn−x0 adalah cycle di Γ(RM). Akan dibuktikan

gr(Γ(RM)) ≤ 4. Jika n ≤ 4, maka jelas terbukti. Jadi, kita misalkan n ≥ 5. Kita

32

bagi menjadi dua kasus:

Kasus 1: xn−1 ∈ Ann(xn)M . Maka, ∃r1, . . . , rm ∈ Ann(xn) dan z1, . . . , zm ∈ M

sedemikian sehingga xn−1 = r1z1 + · · · + rmzm. Jika rix1 = 0 untuk setiap 1 ≤

i ≤ m, maka x1−xn−1 adalah sebuah sisi, dan karenanya x1−xn−1−xn−x0−x1

adalah sebuah cycle dengan panjang 4. Misalkan rix1 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ m.

Jika rix1 = x0, maka x0 − x2 adalah sebuah sisi dan karenanya x0 − x1 − x2 − x0

adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Jika rix1 = xn, maka x2−xn adalah sebuah

sisi dan karenanya x2 − x1 − x0 − xn − x2 adalah sebuah cycle dengan panjang

4. Jadi, anggap rix1 /∈ {x0, xn}. Maka x0 − rix1 − xn − x0 adalah sebuah cycle

dengan panjang 3.

Kasus 2: xn ∈ Ann(xn−1)M . Maka ∃r1, . . . , rm ∈ Ann(xn−1) dan z1, . . . , zm ∈

M sedemikian sehingga xn = r1z1 + · · · + rmzm. Jika rix1 = 0 untuk setiap

1 ≤ i ≤ m, maka x1 − xn adalah sebuah sisi dan karenanya xn − x0 − x1 − xn

adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Anggap rix1 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ m.

Jika rix1 = x0, maka x0 − x2 adalah sebuah sisi dan karenanya x0 − x1 − x2 − x0

adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Jika rix1 = xn−1, maka x0 − xn−1 adalah

sebuah sisi dan karenanya x0−xn−xn−1−x0 adalah sebuah cycle dengan panjang

3. Jadi, anggap rix1 /∈ {x0, xn−1}. Maka x0− rix1−xn−1−xn−x0 adalah sebuah

cycle dengan panjang 4. �

Contoh 3.4.7


Diketahui Z4 = {0, 1, 2, 3} dan Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Sehingga

Z4 × Z5 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

Cek ketetanggaan:

Ann((0, 1)) = 5Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)}.



33


Ann((1, 0)) = 4Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)}.

Ann((1, 1)) = 20Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}.




Ann((2, 0)) = 2Z, sehingga Ann((2, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4),

(2, 0), (2, 2)}.

Ann((2, 1)) = 10Z, sehingga Ann((2, 1))M = {(0, 0), (2, 0)}.




Ann((3, 0)) = 4Z, sehingga Ann((3, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)}.





Diperoleh, (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((1, 0))M ,

(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (2, 0), (2, 2) ∈ Ann((2, 0))M , dan

(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((3, 0))M . Lalu (2, 0) ∈ Ann((2, 1)),

(2, 0) ∈ Ann((2, 2)), (2, 0) ∈ Ann((2, 3)), dan (2, 0) ∈ Ann((2, 4)).

Sehingga (0, 1)− (1, 0), (0, 2)− (1, 0), (0, 3)− (1, 0), (0, 4)− (1, 0), (0, 1)− (2, 0),

(0, 2)− (2, 0), (0, 3)− (2, 0), (0, 4)− (2, 0), (0, 1)− (3, 0), (0, 2)− (3, 0), (0, 3)−

(3, 0), dan (0, 4) − (3, 0), serta (2, 1) − (2, 0), (2, 2) − (2, 0), (2, 3) − (2, 0), dan

(2, 4)− (2, 0) adalah sisi pada Γ(ZZ4 × Z5). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ4 ×

Z5):

34


Dari gambar di atas, terlihat graf Γ(ZZ4 × Z5) memiliki girth sama dengan 4.

Teorema 3.4.8 Misalkan M adalah R-modul. Jika Γ(RM) memiliki lintasan de-

ngan panjang empat, maka Γ(RM) memiliki sebuah cycle.

Bukti. Misalkan x1 − x2 − x3 − x4 − x5 adalah lintasan dengan panjang empat.

Akan dibuktikan Γ(RM) memiliki sebuah cycle. Kita bagi menjadi dua kasus:

Kasus 1: x1 ∈ Ann(x2)M . Maka, terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(x2) dan y1, . . . , yn ∈

M sedemikian sehingga x1 = r1y1 + · · · + rnyn. Jika rix4 = 0 untuk setiap 1 ≤

i ≤ n, maka x1 dan x4 bertetangga dan karenanya x1 − x2 − x3 − x4 − x1 adalah

sebuah cycle. Sekarang misalkan z = rix4 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n. Maka kita

punya subkasus berikut:

Subkasus 1.1: z = x1. Maka x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − x1 adalah sebuah cycle.

Subkasus 1.2: z = x2. Maka x2 − x3 − x4 − x5 − x2 adalah sebuah cycle.

Subkasus 1.3: z = x3. Maka x3 − x4 − x5 − x3 adalah sebuah cycle.



Subkasus 1.6: z /∈ {x1, x2, x3, x4, x5}. Maka x2 − x3 − x4 − x5 − z − x2 adalah

sebuah cycle.

35

Kasus 2: x2 ∈ Ann(x1)M . Maka, terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(x1) dan y1, . . . , yn ∈

M sedemikian sehingga x2 = r1y1 + · · · + rnyn. Jika rix4 = 0 untuk setiap 1 ≤

i ≤ n, maka x2 dan x4 bertetangga dan karenanya x2− x3− x4− x2 adalah sebuah

cycle. Sekarang misalkan z = rix4 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n. Maka kita punya

subkasus berikut:





Subkasus 2.5: z = x5. Maka x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − x1 adalah sebuah cycle.

Subkasus 1.6: z /∈ {x1, x2, x3, x4, x5}. Maka x3 − x4 − x5 − z − x3 adalah sebuah

cycle. �

Contoh 3.4.9 Z2 × Z6 adalah Z-modul.

Diketahui Z2 = {0, 1} dan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Sehingga

Z2 × Z6 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (1, 0), (1, 1), (1, 2),

(1, 3), (1, 4), (1, 5)}

Cek ketetanggaan:



Ann((0, 3)) = 2Z, sehingga Ann((0, 3))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.









36

Diperoleh, (0, 3), (1, 0), (1, 3) ∈ Ann((0, 2))M , (0, 3), (1, 0), (1, 3) ∈ Ann((0, 4))M ,

sehingga (0, 3)− (0, 2), (1, 0)− (0, 2), (1, 3)− (0, 2), (0, 3)− (0, 4), (1, 0)− (0, 4),

dan (1, 3) − (0, 4), adalah sisi pada Γ(ZZ2 × Z6). Oleh karena itu, bentuk graf

Γ(ZZ2 × Z6):


Dari gambar di atas, terdapat lintasan (1, 0)− (0, 2)− (1, 3)− (0, 4)− (0, 3).

Diketahui (1, 0) dan (0, 2) bertetangga, sehingga (1, 0) ∈ Ann((0, 2))(Z2×Z6) dan

Ann((0, 2)) = 3Z. Perhatikan, 3Z(0, 4) = (0, 0), sehingga (1, 0)− (0, 2)− (1, 3)−

(0, 4)−(1, 0) adalah sebuah cycle. Sekarang, diketahui (0, 2) ∈ Ann(1, 0)(Z2×Z6).

Perhatikan, terdapat 2 ∈ Ann(1, 0) sedemikian sehingga 2(0, 4) = (0, 2) 6= (0, 0).

Oleh karena itu, (0, 2)− (1, 3)− (0, 4)− (0, 3)− (0, 2) adalah sebuah cycle.

Teorema 3.4.10 Misal M adalah R-modul multiplikasi. Maka, Γ(RM) = Γ∗(RM).

Bukti. Misal x dan y dua elemen berbeda dari M dan misal Rx = IM dan Ry =

JM , untuk suatu ideal I dan J dari R. Akan dibuktikan Γ(RM) = Γ∗(RM). Mi-

salkan x − y adalah sisi di Γ∗(RM). Karena Rx ∗ Ry = 0, kita punya IJM = 0

dan karenanya I ⊆ Ann(JM). Sehingga IM ⊆ Ann(JM)M . Oleh karena itu,

Rx ⊆ Ann(Ry)M dan karenanya, x− y adalah sisi di Γ(RM).

Sekarang, misalkan x−y adalah sisi di Γ(RM). mengakibatkan Rx ⊆ Ann(Ry)M .

Sehingga IM ⊆ Ann(JM)M . Berdasarkan [14], kita bagi menjadi dua kasus:

Kasus 1: I ⊆ Ann(JM) + Ann(M). Dalam kasus ini, I ⊆ Ann(JM), karena

Ann(M) ⊆ Ann(JM). Mengakibatkan IJM = 0 dan karenanya, x − y adalah

37

sisi di Γ∗(RM).

Kasus 2: M = ((Ann(JM) + Ann(M)) : I)M . Dalam kasus ini, kita punya

M = (AnnJM) : I)M dan karenanya, IJM = [(Ann(JM) : I)I] (JM) ⊆

Ann(JM)JM = 0. Oleh karena itu, x− y adalah sebuah sisi di Γ∗(RM). �

Contoh 3.4.11 Misalkan Z8 adalah Z-modul sekaligus Z-modul multiplikasi. Ber-

dasarkan gambar 3.1 pada contoh 3.1.2 dan gambar 3.4 pada contoh 3.2.2, jelas

bahwa Γ(ZZ8) = Γ∗(ZZ8).

38

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab 3, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut

1. Jika Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima, maka graf

pembagi nol atas modul Z2 × Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ2 × Zp) adalah

graf bintang Sp−1. Misalkan Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana

p prima, maka graf pembagi nol atas modul Z3 × Zp, dilambangkan dengan

Γ(ZZ3×Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1. Misalkan Zp×Zq adalah modul

atas gelanggang Z, dimana p dan q prima dan p 6= q, maka graf pembagi nol atas

modul Zp×Zq, dilambangkan dengan Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap

Kp−1,q−1. Jika p = q, maka Zp × Zq tidak dapat membentuk graf pembagi nol.

2. Misal M adalah R-modul. Graf Γ(RM) = ∅ jika dan hanya jika Zdv(M) =

Ann(M) dan Γ(RM) = ∅ jika dan hanya jika M adalah R-modul prima. Misal

R adalah gelanggang, maka R adalah lapangan jika dan hanya jika Γ(RM) = ∅

untuk setiap R-modul M . Misalkan M adalah R-modul, x, y ∈ M dan r ∈ R.

Jika x−y adalah sebuah sisi di Γ(RM), maka ry ∈ {0, x} atau x−ry adalah sisi

di Γ(RM). Jika Γ(RM) memiliki lintasan dengan panjang empat, maka Γ(RM)

memiliki sebuah cycle.

3. Misalkan M adalah modul atas gelanggang R, maka Γ(RM) terhubung dengan

diam(Γ(RM)) ≤ 3. Jika Γ(RM) memuat sebuah cycle, maka gr(Γ(RM)) ≤ 4.

4. Misalkan M adalah R-modul multiplikasi, maka Γ(RM) = Γ∗(RM).

4.2. Saran

Saran yang dapat diberikan yaitu untuk penelitian selanjutnya yaitu mengkaji

graf pembagi nol atas modul Zn × Zp dengan n bilangan asli dan p prima dan

mengkaji sifat Γ(RF ), dimana F adalah modul bebas.

39

REFERENSI

[1] Anderson, D.D., Naseer, M. (1993), Beck’s Coloring Of A Commutative Ring.

J. Algebra 159: h.500-514.

[2] Anderson, D.F., Livingston, P. S., (1999)The Zero-Divisor Graph Of A Com-

mutative Ring. J. Algebra 217(2): h.434-447.

[3] Beck, I. (1988), Coloring Of Commutative Rings. J.Algebra 116 (1): h.208-

226.

[4] Bondy, J.A., Murty, U.S.R. (1976), Graph Theory With Applications. Canada:

Department of Combinatorics and Optimization University of Waterloo.

[5] Diestel, Reinhard. (1997), Graph Theory. New York: Springer-Verlag.

[6] Hardsfields, N., Rigel, G. (1994), Pearls in Graph Theory. London: Academic

Press Limited.

[7] Herstein, I.N. (1999), Topics In Algebra, Second Edition. New York: John

Wiley and Sons.

[8] Harianto, Budi. (2016), Beberapa Sifat Gelanggang Komutatif Dan Modul

Multiplikasi Atas Graf Pembagi Nol. Thesis. Pascasarjana Institut Teknologi

Bandung.

[9] Keating, M.E. (1998), A First Course In Module Theory. London: Imperial

College Press.

[10] Lee, S.C., Varmazyar, R. (2012), Zero-Divisor Graphs Of Multiplication Mo-

dules. Honam Math 34 (4): h.571-584.

[11] Naghipour, A.R. (2017), The Zero-Divisor Graph Of A Module. Journal of

Algebraic Systems 4 (2): h.155-171.

40

[12] Redmond, S.P. (2001), Generalization Of The Zero-Divisor Graph Of A Ring,

Doctoral Dissertation. Knoxville: The University of Tennessee.

[13] Safaeeyan, S. (2014), Baziar, M., dan E. Momtahan (2014), A Generalization

Of The Zero-Divisor Graph For Modules. J. Korean Math. Soc.51 (1): h.78-

98.

[14] Smith, P.F. (1998), Some Remarks On Multiplication Modules. Arch. Math.

50: h.223-235.

[15] Sugeng, K.A., Slamet, S., dan Silaban, D.R. (2014), Teori Graf dan Aplikasi-

nya. Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.

41

graf pembagi nol atas modul - repository.uinjkt.ac.id

Documents