Rambatan Gelombang Optik

Rustam E. Siregar

ISBN : 978-602-6242-38-9

dalam Medium Berlapis

RAMBATAN GELOMBANG OPTIK

DALAM MEDIUM BERLAPIS

Rustam E. Siregar

DepartemenFisika, FMIPA

UNIVERSITAS PADJADJARAN

iii

KATA PENGANTAR

Penemuan sinar laser (1960) dan pengembangannya, telah membuka bidang baru yang

disebut fotonik. Fotonik adalah suatu bidang yang tujuan utamanya adalah

menggunakan cahaya untuk melaksanakan fungsi-fungsi elektronik. Dalam berbagai

aplikasi fotonik, medium berlapis berperan sangat penting, seperti pandu gelombang

planar, serat optik, directional coupler, resonator, reflektor Bragg, multiplekser add-

drop, saklar optik dan sebagainya. Untuk kegiatan desain dan pemanfaatan medium

berlapis secara baik diperlukan pemahaman tentang rambatan gelombang

elektromagnet, dalamhalinisinar laser atau gelombang optik, dan sifat-sifatnya dalam

medium tersebut.

Isi buku ini merupakan pengembangan dari materi kuliah Optik yang diberikan

di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran. Buku ini ditujukan sebagai buku

teks dalam kuliah Optik Moderen untuk mahasiswa Jurusan Fisika dan Teknik. Buku

ini lebih mudah dipelajari oleh pembaca dan mahasiswa yang sudah pernah mengikuti

kuliah-kuliah Gelombang, Teori Medan Listrikmagnet, Aljabar Linier dan Matriks,

Persamaan Differensial dan Pemrograman Komputer. Untuk dapat lebih

memahaminya, dalam setiap bab dalam buku ini diberikan beberapa contoh dan soal-

soal latihan serta program-program komputer yang diperlukan.

Ucapan terimakasih sebesar-besarnya saya sampaikan kepada Universitas

Padjadjaran melalui Unpad Press yang telah bersedia menerbitkan buku ini. Semoga

buku ini bermanfaat bagi para mahasiswa dan pembaca sekalian.

Bandung,10Juni 2016

Rustam E. Siregar

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR iii

BAB 1SUMBER DAN DETEKTOR CAHAYA 1

1.1 Sinar Laser

1.2 Laser Sumur Quantum

1.3 Light Emiting Diode (LED)

1.4 Foto Dioda

Soal-soal

1

8

9

12

17

BAB 2GELOMBANG OPTIK 19

2.1 Persamaan Maxwell

2.2 PersamaanGelombang

2.3 RapatdanFluksEnergi; TeoremaPoynting

2.4 Medan-medanMonokromatikdanBilanganKompleks

2.5 Indeks Bias

2.6 Indeks Bias dengan Model Elektron

2.7 Indeks Bias Logam

2.8 PulsaOptikdanKecepatanGrup

2.9 BahanOptikNonlinier

2.9.1 Generasi Harmonik Kedua

2.9.2 Generasi Harmonik Ketiga

Soal-soal

19

21

28

31

34

36

38

39

45

46

49

53

BAB 3 REFLEKSI DAN TRANSMISSI OLEH LAPISAN TIPIS 57

3.1 Syarat Batas di Antar-muka Dua Bahan Dielektrik

3.2 RefleksidanTransmisi

3.3 RefleksiInternal Total; GelombangEvanescent

3.4 PergeseranGoos-Hanschen

3.5 Reflektans Permukaan Bahan Penyerap

3.6 RefleksidanTransmisi Sistem 3-Lapisan

3.7 Plasmon Permukaan; ATR

3.8RefleksidanTransmissi Sistem Lapisan Tipis

3.9PerumusanMatriks

3.10SistemMultilapis

Soal-soal

57

59

65

70

73

74

77

80

84

87

92

BAB4 PANDU GELOMBANG LAPISAN TIPIS 93

4.1 GelombangTerpandudalamLapisan Tipis

4.2 HubunganDispersif

4.3 KoplingPrisma

93

100

104

vi

4.4 PanduGelombangTerkubur

4.5 Perturbasi Dielektrik; Kopling Antar Modus

4.6Directional Coupler

Soal-soal

105

108

114

119

BAB 5SERAT OPTIK 121

5.1 OptikGeometri Serat Optik

5.1.1 SeratOptik Step Indeks

5.1.2 SeratOptik Graded Index

5.2 PenjalaranGelombangdalamSeratOptikStep Indeks

5.2.1Modus TE

5.2.2Modus TM

5.2.3 Modus Hibrid

5.3 DayaOptik

5.4 Modus-modus Terpolarisasi Linier

5.5 Jumlah Modus

5.6 SeratOptik Modus-Tunggal

5.7 DispersidalamSeratOptik Modus-Tunggal

5.8 Loss dalamSerat Optik

5.9 Penguat Optik

Soal-soal

121

122

124

125

126

132

135

141

146

151

153

156

160

161

166

BAB 6RESONATOR OPTIK 169

6.1ReonatorFabry-Perot

6.2 Analisa Spektrum

6.3 Resonator CerminSperis

6.4 Berkas Gaussian

169

175

178

182

Soal-soal 186

BAB 7 KRISTAL FOTONIK 1-DIMENSI 187

7.1 Pengertian Kristal Fotonik 187

7.2 Persamaan Helmholtz 187

7.3 Struktur Kristal 1D danTeorema Bloch 189

7.4PersamaanNilaieigen;MetodaGelombangBidang 190

7.5 MetodaMatriks Transfer 193

7.6 Reflektor Bragg 200

7.7 Cacatdalam Kisi Bragg 208

7.8 KompensasiDispersi 210

7.9 Multiplekser Add-Drop 213

7.10 Laser Distributed-Feedback 216

7.11 Bistabilitas;SaklarOptik 219

7.12 Soliton Bragg 223

7.13 Pandu Gelobang Bergerigi 224

7.14 Pandu GelombangRefleksi Bragg 228

vii

7.15 Serat Optik Bragg 230

Soal-soal 235

BAB 8 KRISTAL FOTONIK 2-DIMENSI 237

8.1 Struktur Kristal 2D danTeorema Bloch 237

8.2 Zona Brillouin 239

8.3 PersamaanNilaieigen; MetodaEkspansiGelombangBidang 241

8.4 Struktur Pita Kristal Fotonik 2D 246

8.5 AnalisaStruktur Pita; PetaBandgap 249

8.6 Kerapatan Keadaan Fotonik 251

8.7 Cacat Titik 252

8.8 CacatGaris; Pandu gelombang kristal fotonik 2-D 255

8.9 Kristal Fotonik Lapisan tipis 257

APENDIKS 265

Apendiks 7.1Operator H danopreratorE 265

Apendiks 7.2 Program Bandgap Kristal Fotonik 1D; metodaGelombangBidang 267

Apendiks 7.3Program hubungan dispersi denganmetodamatriks Kristal fotonik

1D.

269

Apendiks 7.4PenjabaranMatriks Transfer 270

Apendiks 7.5 Berbagai Program Kisi Bragg 271

7.5.1 Kisi Bragg Multilapis 271

7.5.2 Kisi Bragg Sinusoida 271

7.5.3 Bragg Multulapis dengan Cacat 272

7.5.4 Kisi Bragg dengan Chirp Linier 273

7.5.5 Filter Add-Drop 275

7.5.6 Bistabilitas; Saklar Optik 276

Apendiks 8.1 Program untukBandgap Kristal Fotonik 2D danDOS 277

Apendiks 8.2 Program petabandgapkristal 2D

denganmetodaekspansigelombangbidang.

281

Apendiks 8.3 Program untukBandgap Kristal Fotonik 2D

denganCacattitikMenggunakanMetodaSupersel

287

Apendiks 8.4 Program cacatgarisdalamkristal 2D 291

BEBERAPA KONSTANTA 297

DAFTAR SIMBOL 297

INDEKS 299

DAFTAR PUSTAKA 301

1

BAB 1

SUMBER DAN DETEKTOR CAHAYA

Penemuan sinar laser pada 1960 telah menimbulkan ketertarikan terhadap teknologi

gelombang cahaya untuk komunikasi. Hal ini berhubungan dengan peningkatan

kapasitas informasi yang sebanding dengan peningkatan frekuensi, 10.000 kali lebih

besar daripada frekuensi yang biasa digunakan. Lebih jauh, semua hal yang selama ini

dilakukan secara elektronik diperkirakan dapat dilakukan secara optik (fotonik).

Misalnya, sistem komunikasi optik menggunakan berbagai devais optik seperti laser

sebagai sumber cahaya, pandu gelombang, switching, modulator, amplifier,

directional coupler, dan detektor optik. Bahan optik yang digunakan untuk devais-

devais itu bisa bersifat linier atau bersifat nonlinier secara optik, bergantung kebutuhan

devais. Untuk memfungsikan itu semua, devais-devais itu disusun terintegrasi; inilah

yang disebut integrated optics.

1.1 Sinar Laser

Suatu atom yang tereksitasi, misalnya karena menyerap foton, bisa turun ke energi

keadaan yang lebih rendah atau malah kembali ke keadaan dasarnya melalui dua

proses radiasi. Pertama, emisi spontan yang menghasilkan fluoresensi dan

fosforesensi, dan kedua, emisi stimulasi yang melatar-belakangi mekanisme laser

(light amplification by stimulated emission of radiation). Kedua jenis emisi ini (lihat

Gambar 1.1) masing-masing dirumuskan sebagai berikut:

Emisi spontan: A*A+hv

Emisi stimulasi: hv+A*A+2 hv

di mana A menyatakan atom dalam keadaan dasar dan A* menyatakan atom dalam

keadaan tereksitasi. Dalam emisi stimulasi, foton (hv)pertama dan foton kedua yang

diemisikan saat atom kembali ke keadaan dasar, memiliki frekuensi, fasa dan arah

yang sama; keadaan ini disebut koheren.

Gambar 1.1 Absorpsi (a), emisi spontan (b) dan emisi stimulasi (c).

Tinjaulah sekumpulan atom sejenis dalam keadaan tereksitasi ex; andaikan

ada sebuah foton yang sesuai mengenai dan merangsang sebuah atom, sehingga atom

Eg

Eex Eex

Eg

ex

g

ex

g

(b) (c)

Eex

Eg

ex

g

(a)

2

itu turun ke keadaan dasar g dan dihasilkan dua buah foton yang sama (Gambar

1.1c). Masing-masing foton itu akan merangsang sebuah atom dan menghasilkan dua

foton, demikian selanjutnya. Bisa juga terjadi sebuah foton terserap oleh sebuah atom

di keadaan dasarnya hingga tereksitasi.

Peluang sebuah atom untuk tereksitasi karena menyerap foton sama dengan

peluangnya untuk kembali ke keadaan dasar sambil mengemisikan foton karena

dirangsang oleh foton yang sama. Oleh sebab itu, untuk memperoleh sejumlah foton

sebagai hasil netto dari kedua proses, jumlah atom dalam keadaan tereksitasi harus

lebih besar daripada jumlah atom dalam keadaan dasar. Keadaan ini disebut

pembalikan populasi (population inversion), yakni suatu keadaan yang tidak normal.

Dalam keadaan setimbang termal, sebagian besar atom-atom berada dalam

keadaan dasarnya dan sedikit sekali yang tereksitasi. Perbandingan jumlah (populasi)

atom tereksitasi dan jumlah atom di keadaan dasarnya mengikuti

TBkgEexE

g

ex eN

N /)( (1.1)

di mana Eexdan Eg masing-masing adalah energi keadaan tereksitasi dan energi

keadaan dasar, kB adalah konstanta Boltzmann dan T suhu Kelvin. Karena Eg jauh

lebih rendah daripada Eexmaka NexNg.

Ditinjau dari tingkat-tingkat energi dari suatu atom yang terlibat dalam proses

laser, ada beberapa sistem laser, yakni sistem tiga tingkat dan sistem empat tingkat.

Dalam sistem empat tingkat, seperti laser He-Ne campuran mengandung sekitar 90%

He dan 10% Ne. Seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.2, atom-atom He berperan

Gambar 1.2 Lasersistem empat tingkatHe-Ne.

pumping

He Ne

Tumbukan

HeNe

5s

3p

3s

2s

1s2

()

1s22s

22p

6

Keadaan dasar

laser

3

sebagai penimbul populasi inversi atom-atom Ne. Suatu medan listrik dipakai untuk

mengeksitasikaan atom-atom He dari keadaan dasar (1s) ke keadaan tereksitasi

metastabil (2s) yang berenergi 20,61 eV di atas keadaan dasar. Atom-atom He itu

menumbuk atom-atom Ne sehingga tereksitasi ke keadaan metastabil 5s yang

berenergi 20,66 eV. Energi 0,05 eV adalah energi kinetik atom He. Setelah

bertumbukan, atom-atom He turun ke keadaan dasar dan atom-atom Ne berada dalam

keadaan populasi inversi. Transisi atom-atom Ne ke keadaan 3p yang berenergi 18,7

eV di atas keadaan dasar bisa berlangsung secarastimulasi untuk menghasilkan laser

dengan =632,8 nm.

Untukmemperoleh laser berintensitas tinggi,bahan laser ditempatkan dalam

suatu kavitas yang diperlengkapi dengan cermin-cermin setengah-pantul. Sinar laser

menjalar bolak-balik di antara kedua cermin secara tegak lurus; saat itu intensitas

laserterus meningkat, dan setelah intensitasnya cukup tinggi sinar itu keluar dari

kavitas.

Dalam sistem tiga tingkat seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.3, proses

pumping dilakukan ke tingkat energi teratas yakni keadaan eksitasi ex2dansegera

turun ke keadaan eksitasi ex1yang metastabil. Lasing berlangsung antara ex1 dan

keadaan dasarg. Contoh laser ini adalah dioda semikonduktor GaAs (=800-1600

nm) yang biasa digunakan dalam sistem komunikasi optik. Bahan semikonduktor ini

memiliki struktur pita jenis direct bandgap, di mana energi minimum dari pita

konduksi dan energi maksimum pita valensi berada pada nilai k(=2/) yang sama.

Gambar 1.3 Lasersemikonduktor sistem 3-tingkat.

Untuk dioda laser yang menggunakan lebih dari satu jenis bahan

semikonduktor diperlukan lattice matching untuk mencegah transisi nonradiatif.

Laseryang dirancang dari semikonduktor GaAs/AlxGa1-xAs telah banyak

digunakan(lihat Keiser 1992, Dutton 1998, Agrawal 2002).Karena GaAs dan AlAs

berstruktur sangat mirip, dihasilkan suatu direct bandgap yang besarnya dapat diatur

melalui fraksi mol x dari Al. Hasilnya adalah bandgap dalam daerah energi 1,4-1,8 eV

atau panjang gelombang 0,7-0,9 m.

Sebagai alternatif telah dikembangkan senyawa InxGa1-xAsyP1-y/InP.

Berdasarkan InxGa1-xAsy tambahan In dan P memudahkan matching antara InP dan

GaAs. Dengan pengaturan mol x dan y dapat dirancang panjang gelombang laser yang

dihasilkan, berdasarkan rumus empirik

ex2

ex1

g

4

212,072,034,1 yyh (1.2) dengan

yx

031,01

453,0

(1.3)

Fabrikasi bahan semikonduktor dilakukan dengan metoda liquid-phase epitaxy (LPE).

Dengan metoda ini pertumbuhan film tipis pada suatu subtrat berlangsung dengan

melewatkan larutan di atas subtrat pada suhu rendah. Cara lain yang telah dilakukan

orang adalah vapour-phase epitaxy (VPE), molecular-beam epitaxy (MBE) dan metal-

organic chemical vapour deposition (MOCVD).

Dalam bentuk yang sederhana, laser semikonduktor ini merupakan dioda p-n

junction seperti Gambar 1.4. Permukaan atas dan permukaan bawah yang sejajar

Gambar 1.4 Dioda laser semikonduktor.

dengan junction, merupakan plat logam dihubungkan dengan elekroda. Dengan

memberikan arus maju, elektron-elektron dari bagian-n terinjeksi melalui junction di

mana mereka berekombinasi dengan hole-hole yangdatang dari bagian-p, dan

menghasilkan foton-foton cahaya yang frekuensinya ditentukan oleh gap energi

semikonduktor. Cahaya itu menjalar bolak-balik antara cermin-cermin sejajar (yang

membentuk kavitas) sambil menstimulasi lebih banyak elektron yang berekombinasi

dengan hole-hole. Dengan demikian terjadi penguatan cahaya sebelum keluar melalui

cermin yang lebih rendah koefisien refleksinya. Cahaya tak bisa memasuki daerah-n

dan –p karena indeks bias keduanya lebih rendah daripada daerah aktif.

Proses lasing berlangsung selama ada arus listrik yang dimasukkan. Daya

keluaran sinar laser sebagai fungsi arus injeksi diperlihatkan dalam Gambar 1.5. Daya

itu sangat kecil selama arus injeksi belum melebihi arus ambang. Besarnya arus

ambang Jamb sangat bergantung pada berbagai parameter, yakni

21

1ln

2

11

LJ amb

(1.4)

di mana (cm-1) adalah koefisien loss dalam daerah aktif, adalah faktor gain dari

sistem kavitas (cm/ampere), L panjang kavitas dan 21, adalah reflektans cermin-

cermin kavitas.

cermin

R

5

Gambar 1.5 P vs I suatu dioda laser.

Contoh 1.1

Laser GaAs mempunyai kavitas berukuran panjang 250 m dan lebar 100 m. Dalam

suhu operasionalnya, faktor gainnya 2110-3

cm/A dan koefisien reflektansinya

21 =0.32. Rapat arus ambangnya adalah

Selanjutnya, arus ambang adalah Iamb=(250100) m2 2,6510

3 A/cm

2 =663 mA.

Besarnya arus ambang dipengaruhi oleh suhu operasional. Kebergantungang

arus ambang terhadap suhu untuk dioda laser dengan bahan AlGaAs dan InGaAsP

diperlihatkan dalam Gambar 1.6. Secara umum arus ambang meningkat terhadap suhu,

oTT

amb eJ/

(1.5)

Gambar 1.6 Variasi arus terhadap suhu pada dioda laser (a) AlGaAs dan (b) InGaAsP.

dengan T0 adalah suhu karakteristik yang besarnya berkisara 120-190 K untuk

AlGaAs, dan 40-75 K untuk InGaAsP. Jelas bahwa arus ambang untuk InGaAsP lebih

mudah dipengaruhi suhu dibandingkan dengan AlGaAs.

I

P

Iamb

23

3A/cm1065,2

32,032,0

1ln

2502

110

1021

1

ambJ

200 300 I (mA)

P (mW)

10

5

0

30 40 50 60 oC

100 200 I (mA)

P (mW)

10

5

0

30 40 50 60 oC

(b) (a)

6

Contoh 1.2

Misalkan suhu karakteristik AlGaAs adalah 160 K, dan InGaAsP 55 K. Ratio arus

ambang pada suhu 20 dan 80 oC pada masing-masing adalah:

AlGaAs: 46,1)160/293exp(

)160/353exp(

)20(

)80(

CJ

CJo

amb

o

amb

InGaAsP: 98,2)55/293exp(

)55/353exp(

)20(

)80(

CJ

CJo

amb

o

amb

Jadi, kenaikan suhu dari 20 ke 80 oC pada laser AlGaAs meningkatkan arus ambang

1,46 kali sedangkan pada laser InGaAsP 2,98 kali.

Selain karakteristik-karakteristik yang telah dikemukakan di atas, perlu juga

diketahui bahwa dioda laser mempunyai sifat dinamis. Sifat ini agak kritis khususnya

bila digunakan dalam sistem komunikasi dengan bit rate tinggi. Penggunaan arus

injeksi dalam bentuk step untuk menghidupkan laser menimbulkan waktu tunda yang

diikuti oleh osilasi teredam berfrekuensi tinggi yang disebut osilasi relaksasi.

Fenomena transient ini berlangsung hingga populasi elektron dan foton dalam daerah

aktif mencapai keadaan stabil seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.7.

Gambar 1.7 Dinamika dioda laser; tdadalah waktu tunda yang diikuti oleh osilasi

teredam.

Efisiensi suatu dioda laser semikonduktor didefenisikan dalam berbagai cara (lihat

(lihat Keiser 1992):

(i) Efisiensi diferensial kuantum eksternal D, yaitu variasi jumlah foton sinar

keluaran terhadap jumlah elektron terinjeksi. Jika P adalah daya sinar keluaran, I

arus injeksi bersangkutan, hv energi foton dari sinar dan e muatan elektron, maka

efisiensi itu dirumuskan seperti

dI

dP

EedI

hvdPD

1

/

/ (1.5)

dengan adalah gap energi semikonduktor bersangkutan. Berdasarkan Gambar

1.5dP/dI adalah kemiringan kurva dalam daerah lasing. Dengan dP/dI=0,4

mW/mA dan =1,45 eV maka D=0,28.

P

td t

7

(ii) Efisiensi kuantumQ, yaitu perbandingan antara jumlah foton yang dihasilkan

dalam kavitas dan jumlah elektron yang diinjeksikan

eI

hvPQ

/

/ (1.6a)

Dengan efisiensi D hubungannya adalah

)ln(/21 21RRLQ

D

(1.6b)

(iii) Efisiensi kuantum eksternal (efisiensi total) T, yakni perbandingan antara

jumlah foton sinar keluaran dan jumlah elektron terinjeksi,

I

P

EeI

hvPT

1

/

/ (1.7)

Jika daya sinar keluaran linier terhadap arus injeksi maka

I

I ambDT 1 (1.8)

(iv) Efisiensi daya eksternal (devais) dev, yakni perbandingan antara daya sinar

keluaran dan daya listrik masukan

VI

Pdev (1.9)

dengan V adalah tegangan untuk memperoleh arusinjeksi I. Dengan efisiensi total

maka

V

ETdev

(1.10)

Rangkaian elektronik untuk menghidupkan dioda laser dirancang sesuai

dengan kemampuan berkecepatan tinggi dari dioda. Untuk itu digunakan metal

semikonduktor FET. Offset dari arus diatur sedikit lebih besar daripada arus ambang

dioda laser agar waktu tunda penyalaan laser menjadi lebih singkat. Harus disadari

bahwa suhu sangat mempengaruhi operasional laser. Oleh sebab itu diperlukan

rangkaian terpisah untuk memonitor dan meregulasi suhu operasi. Selain itu, umur

dioda laser menyebabkan meningkatanya kebutuhan arus ambang sehingga daya

sinar keluaran berkurang.Untuk mengatasinya, rangkaian kendalimemerlukan

mekanisme feedback untuk pengaturan arus. Rangkaian standar untuk kendali dioda

laser adalah seperti Gambar 1.8. Feedback dari fotodioda dibandingkan dengan

8

tegangan Vrefuntuk mengendalikan arus bias Ia. Rangkaian ini mampu menghasilkan

stabilisasi 1% pada bit rate 270 Mb/s.

Gambar 1.8 Rangkaian kendali dioda laser dengan feedback.

1.2 LaserSumur Quantum

Bila ketebalan daerah aktif dalam dioda laser seperti dalam Gambar 1.4 diperkecil

hingga sekitar satu panjang gelombang de Broglie dari elektron, maka effek-effek

kuantum akan menjadi menonjol. Elektron-elektron dan hole-hole dalam GaAs yang

di-sandwich antara dua lapisan GaAlAs seperti dalam Gambar 1.9 akan terperangkap

di dalam gap energi GaAlAs yang lebih besar. Sebagai contoh Eg(GaAlAs)=1,65 eV

dan Eg(GaAs)=1,4 eV sedangkan dengan a=140 Å, dihasilkan sumur potensial dalam

pita konduksi Voc=220 meV dan sumur potensial dalam pita valensi Vov=30 meV (lihat

Dingle 1974) .

Gambar 1.9 Diagram tingkat-tingkat energi suatu sumur kuantum.

Dalam Fisika Kuantum dikemukakan bahwa suatu partikel di dalam suatu

sumur potensial yang besarnya Vo dan lebarnya a mempunyai tingkat-tingkat energi

yang terkuantisasi,

......2,1;2 2*

222 n

amnEn

(1.11)

seperti dalam Gambar 1.10. Jumlah tingkat energi ditentukan oleh besarnya Voa2,

yakni:

)2/( *222 eo maV ada satu buah tingkat energi,

fotodioda

Ia

laser

Vref

Vcc

GaAs

GaAlAs

GaAlAs

Eh1

Eh2

Ee3

Ee2

Ee1

Eg (GaAlAs) Eg (GaAs)

Ec

Ev

a

9

)2/(4)2/( *22222 eoe maVm ada dua buah tingkat energi,

4 )2/(9)2/(*22222

eoe maVm ada tiga buah tingkat energi.

Gambar 1.10 Tingkat-tingkat energi elektron dalam sumur potensial dalam satuan

)2/( *22 em .

Dengan *

em =0,0665me maka em2/(22 )=37,6 Å2eV. Jadi dengan Vo=Ec=220

meV maka untuk contoh di atas diperoleh )2/(/*222

eo maV 6,7 ada tiga buah

tingkat energi untuk elektron di pita konduksi, masing-masing Ee1=16 meV, Ee2=61

meV dan Ee3=132 meV. Untuk hole massa effektif adalah *

hm =0,71me sehingga

)2/(22 em 3,8 Å2eV. Dengan Vo=Ev=30 meV maka )2/(/

*222

eo maV =10,6

sehingga ada empat tingkat energi hole di pita valensi, masing-masing Eh1=1,5 meV,

Eh2=5,2 meV, Eh3=11,9 meV dan Eh4=19,2 meV.

Jadi, jika lasing terjadi antara Een dan Ehm, maka panjang gelombang laser yang

dihasilkan adalah

hmeng EEGaAsE

)(

242,1 (1.12)

dengan dalam m dan semua E dalam eV.

1.3 Light Emiting Diode (LED)

Sinar yang dihasilkan oleh suatu LED merupakan hasil dari emisi spontan, yakni emisi

oleh elektron yang turun secara otomatis ke tingkat energi lebih rendah. Foton-foton

yang diemisikan oleh beberapa elektron tidak mempunyai hubungan fasa.Oleh sebab

itu sinar dari suatu LED adalah sinar yang tidak koheren.

20

Ea2

10

0

0 10 20

Voa2

n=3

n=2

n=1

n=5

n=4

10

LED memerlukan sejumlah besar elektron dan hole dalam daerah aktif

senyawa semikonduktor. Untuk itu diperlukan (i) pn junction dalam daerah aktif untuk

injeksi elektron-hole, (ii) material mempunyaidirect bandgap agar radiasi cahaya

berlangsung efisien. Untuk kelangsungan injeksi elektron-hole dan mempertahan-

kannya, digunakan konsep dioda heterojunction di mana elektron dan hole terinjeksi di

dalam daerah aktif dari sisi-n dan sisi-p, dan dicegah agar tidak meninggalkan daerah

itu dengan menggunakan barrier di luar daerah aktif(Keiser 1992, dan Agrawal 2002).

Ada dua jenis LED, yaitu surface-LED (SLED) dan edge-LED (ELED) seperti

dalam Gambar 1.11. Bahan LED yang banyak digunakan untuk panjang gelombang

1,3 m adalah senyawa InGaAsP/InP, baik dalam bentuk SLED maupun ELED. Tebal

Gambar 1.11 Struktur SLED (a) dan ELED (b).

n-InP sekitar 2,5 m didop dengan Sn ~21018

/cm3; tebal InGaAs 0,4-1,5 m didop

dengan Zn~0,5-21018

/cm3 berfungsi sebagai lapisan aktif yang memancarkan

cahaya1,3 m ; p-InP sekitar 1-2 m didop dengan Zn~0,5-21018

/cm3 sedangkan p-

InGaAs sekitar 0,2 m berfungsi untuk mengurangi hambatan kontak dengan

elektroda. ELED memiliki lapisan yang lebih tipis daripada SLED. Cahaya yang

dihasilkan dipandu keluar melalui satu sisi dan sisilain ditutup dengan reflektor.

Dengan demikian cahaya yang keluar cukup terarah.

Daya keluaran sebagai fungsi arus listrik diperlihatkan dalam Gambar 1.12.

Terlihat kurva P-I itu mendekati linier. Daya keluaran sebagai fungsi suhu pada arus

I=200 mA diperlihatkan dalam Gambar 1.13. Selain itu, lebar spektral suatu LED dan

panjang gelombang pusatnya dipengaruhi oleh suhu seperti diperlihatkan

dalamGambar 1.14. Terlihat bahwa lebar spektral dan panjang gelombang pusat

masing-masing adalah 20 nm dan 0,85 m pada suhu 0oC, 25 nm dan 0,86 m pada

suhu 30oC, 30 nm dan 0,875 m pada suhu 60

oC.

(a)

_

+

logam

n-InP

InGaAsP

p-InP

p-InGaAs

SiO2

logam

_

(b) +

logam

n-InP

InGaAsP

Reflector

p-InP

p-InGaAs

SiO2

logam

11

Gambar 1.12 Karakteristik P-I SLED dan ELED.

Gambar 1.13 Karakteristik P-T SLED dan ELED.

Gambar 1.14 Kebergantung lebar spektral dan panjang gelombang pusat sinar LED

AlGaAs terhadap suhu.

Rangkaian elektronik untuk menyalakan LED diperlihatkan Gambar 1.15.

Kebutuhan mendasar bagi suatu LED adalah (i) arus listrik berkisar 50-100 mA, dan

(ii) switch on-off dilakukan dengan signal input level rendah. Rangkaian ini memiliki

gain besar, tegangan input rendah dengan bias yang bebas. Kecepatan switch-

nyadibatasi oleh arus forward,kapasitansi junction dalam LED dan muatan minority

yang tersimpan di collector-base junction dari transistor. Rise time bisa diperbaiki

dengan menggunakan kapasior C, sedangkan fall time bisa dikurangi dengan

mengambil minority carrier yang tersimpan dalam collector-base junction transistor;

ini dilakukan dengan memasang dioda antara base dan collector.

Rangkaian kendali berimpedansi rendah yang mensuplai step tegangan pada

LED dapat juga dipakai untuk operasi berkecepatan tinggi. Salah satu adalah emitter-

ELED

SLED

P(mW)

1,2

0,8

0,4

0 0 100 200 300 I(mA)

ELED

SLED

P(mW)

1,0

0,1

0,01 0 20 40 60 80 T(oC)

P (mW)

1,2

0,8

0,4

0 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 (m)

60oC

30oC

0oC

12

follower seperti dalam Gambar 1.15b. Rangkaian seperti ini mampu menimbulkan

suatu pulsa optik yang memiliki rise time beberapa ns dari suatu LED yang

mempunyai kapasitansi ratusan pF.

Gambar 1.15 Switch jenis common-emitter untuk kendali LED (a) dan emitter-

follower (b).

1.4 Fotodioda

Fotodioda adalah dioda semikonduktor yang dapat mengubah cahaya menjadi listrik.

Persyaratan yang diperlukan dari suatu fotodioda adalah (i) kepekaannya tinggi dalam

daerah panjang gelombang tertentu, (ii) noisnya rendah, (iii) responya cepat, dan (iv)

tidak peka terhadap variasi suhu. Ada dua jenis fotodioda semikonduktor, yakni

fotodioda PIN dan fotodioda APD (Keiser 1992, dan Agrawal 2002).

Fotodioda PIN seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.16, dibangun dari

semikonduktor jenis-p dan jenis-n yang dipisahkan dengan bagian-i yang merupakan

Gambar 1.16 Fotodioda PIN dengan tegangan terbalik.

semikonduktor intrinsik yang didop dengan sedikit n. Dalam operasinya, digunakan

tegangan terbalik yang cukup tinggi skehingga bagian-i kosong (depleted)

darielektron-lubang atau konsentrasinya sangat rendah dibandingkandengan

konsentrasi impuritas. Bila foton dengan hv= (gap energi) mengenai bagian-i,maka

foton itu menciptakan pasangan elektron-hole;elektron naik ke pitakonduksi

meninggalkan lubang di pita valensi dan selanjutnya bertindak sebagai carrier (disebut

(b)

LED

C

R1

R2

Vin

Vcc

(a)

LED

Vin

Vcc

If

hv

RL

p

n

i

13

photocarrier). Carrier itu selanjutnya berubah menjadi arus listrik If (disebut

photocurrent) yang mengalir melalui hambatan RL.

Dalam Gambar 1.17 diperlihatkan daya-daya terkait pada suatu dioda PIN,

dimana Po adalah daya sinar yang memasuki dioda, Pabsdaya sinar yang terserap dan

Gambar 1.17 Daya terabsorpsi Pabs dalam daerah-i.

Pd daya sinar yang keluar dari dioda. Jika d adalah tebal dioda dan adalah

koefisienabsorpsi bahan-i, maka daya yang keluar adalah

d

od ePP (1.11)

Daya yang diserap oleh bahan adalah

dodoabs ePPPP 1 (1.12)

Jadi, semakin tebal bahan dioda semakin besar pula daya yang diabsorpsi. Daya

terabsorpsi dipakai untuk pembentukan photocarrier, yang selanjutnya menjadi

photocurrent If. Dengan demikian maka berlaku

fabs Ie

hvP (1.13)

di mana hv sama dengan gap energi bahan semikonduktor.Dari kedua persamaan di

atas maka diperoleh hubungan

dof ePhv

eI 1 (1.14)

Efisiensi kuantum fotodioda adalah perbandingan antara jumlah photocurrent yang

dihasilkan dan jumlah foton yang memasuki fotodioda. Jadi

R

I

f Pd Po

n

Pabs

p

14

e

hv

P

I

o

f

Q (1.15)

Contoh 1.3

Misalkan energi gap bahan 1,45 eV, tebal dioda 2 mm, koefisien absorpsi 10/cm, daya

sinar yang memasuki dioda 0,1 watt, maka daya terserap adalah:

Pabs=0,1 watt (1-e-2

)=86,5 mW.

Photocurrent yang ditimbulkan adalah:

If=1,610-19

C 86,5 mW /(1,45 1,6 10-19

J)=58,7 mA.

Efisiensi kuantum adalah

Q=58,710-3

A 1,451,610-19

J/(0,1 W1,610-19

C)=0,85

Di dalam fotodioda, sekitar 100 foton yang memasuki daerah-i dapat

menghasilkan 30-95 pasangan elektron-hole sehingga efisiensi kuantum fotodioda

secara umum berkisar 30-95%. Untuk meningkatkan efisiensi, dalam desainnya

fotodioda dibuat agak tebal agar daya terabsorpsi menjadi agak besar.

Kinerja suatu fotodioda PIN seringkali dikarakterisasi dengan responsibilitasR.

Responsibilitas berkaitan dengan efisiensi kuantum Q, dengan hubungan seperti

hc

e

hv

e

P

IR QQ

o

f (1.16)

Untuk berbagai fotodioda PIN responsibilitas itu diperlihatkan dalam Gambar 1.18.

Gambar 1.18 Responsivitas berbagai jenis fotodioda PIN.

Ge

InGaAs

Si

Q=90% 70%

50%

30%

0,5 1,0 1,5 (m)

R (A/W)

0,8

0,6

0,4

0,2

0

15

Terlihat, untuk efisiensi fofodioda PIN InGaAs pada panjang gelombang antara 1,1

dan 1,6 m adalah kira-kira 67%; responsivitas pada panjang gelombang 1,3 m

adalah

%68/1031063,6

103,1106,167,0

834

619

smJs

mCR

Selain jenis PIN ada pula fotodioda jenis APD (avalanche photodiode).

Disebut avalanche karena photocurrent primer terlebih dahulu mengalami penguatan

sebelum keluar ke rangkaian elektronik. Hal ini diharapkan dapat meningkatkan

kepekaan penerima, karena penguatan berlangsung sebelum mengalami noise termal

dalam rangkaian elektronik. Dalam Gambar 1.19 diperlihatkan prinsip dasar suatu

fotodioda APD.Di antara bagian-n dan –i dibuat bagian-p. Dalam daerah-p ini medan

listrik lebih besar daripada daerah lain.Inilah yang disebut daerah avalanche.

Gambar 1.19 Struktur dasar fotodioda APD.

Elektron danhole (carrier) yang ditimbulkan oleh foton di dalam daerah-i

(deplesi) bergerak melalui daerah-p sehingga memperoleh tambahan energi. Dengan

tambahan energi itu carrier mampu menumbuk dan melepaskan elektron yang

sebelumnya terikat dalam pita valensi. Elektron-elektron itu selanjutnya memperoleh

tambahan energi danmelepaskan lebih banyak elektron. Jadi, di dalam daerah-p itu

terjadi penguatanumlah carrier sehingga terjadi penguatan arus primer If menjadi IM.

dengan faktorpenguatan M=IM/If. Hal ini menyebabkan responsivitas menjadi

RMRAPD (1.17)

dengan Rseperti dalam persamaan (1.16).

Contoh 1.4

Misalkan fotodioda APD silikon mempunyai efisiensi kuantum 65% pada panjang

gelombang 0,9 m. Jika daya optik yang memasuki daerah-i adalah 0,5 watt dan arus

yang dihasilkan dalam rangkaian elektronik 10 A hitunglah faktor penguatannya.

V

i

Medan listrik

IM p

n

p daerah avalanche

daerah deplesi

16

AWsmJs

mCP

hv

eI oQf

235,05,0

/1031063,6

109,0106,165,0

834

619

43235,0

10

A

A

I

IM

f

M

Faktor penguatan dalam fotodioda APD silikon sebagai fungsi tegangan V

diperlihatkan dalam Gambar 1.20. Tampak bahwa semakin pendek panjang

gelombang cahaya semakin kecil faktor penguatan M. Hal itu disebabkan oleh

semakin besarnya absorpsi foton dalam bahan.

Gambar 1.20 Faktor penguatan dalam fotodioda APD silicon sebagai fungsi tegangan

pada berbagai panjang gelombang.

1,06 m

0,80 m

0,57 m

M

102

101

100

0 1234 V(volt)

17

Soal-soal

1.1 Tentukanlah komposisi InGaAsP agar diperoleh laser yang beroperasi pada

panjang gelombang 1,3 m.; 1,7 m.

1.2 Panjang daerahaktif laser InGaAsP yang panjang gelombangnya 1,3 m adalah

250 m. Andaikan loss internalnya 30/cm indeks bias modus 3,3 dan faktor

confinement-nya 0,4. Hitunglah gainnya agarlaser mencapai ambangnya.

1.3 Sebuah fotodioda PIN dari Ga0,47In0,53As dengan luas penampang 0,1 mm2

menghasilkan arus-foto 0,96 A bila disinari dengan berkas sinar berintensitas 1

mW/cm2

dan panjang gelombang 1,3 m. Hitunglah a) efisiensi kuantum, b)

arus-foto pada 1,5 m an 1,7 m.

1.4 Daerah i dari fotodioda pin mempunya gap energi 1,45 eV, tebal 1 mm,

koefisien absorpsi 10/cm. Jika daya sinar yang memasukinya 0,1 watt hitunglah

a) daya terserap, b) arus-foto yang dihasilkan.

1.5 Suatu pulsa 100 ns yang mengandung 6106 buah foton berpanjang gelombang

1,3 m menyinari fotodioda GaAs. Jika tercipta 3,9106 pasangan elektron-

lubang, hitunglah arus-foto yang terjadi.

1.6 Misalkan fotodioda pin menerima sinar dari 800 foton/detikberpanjang

gelombang 1,3 m. Jika dihasilkan 550 elektron per detik hitunglah

responsivitas fotodioda itu.

1.7 Efisiensi kuantum sebuah fotodioda InGaAs untuk panjang gelombang antara

1,1 m dan 1,6 m adalah 0,67. Hitunglah responsivitasnya pada panjang

gelombang 1,55 m.

1.8 Sebuah fotodioda APD menerima sinar dari 1,35 m dengan daya 0,2 watt. Jika

arus-foto yang timbul setelah penguatan adalah 4,9 A dan efisiensi kuantumnya

0,4 hitunglah faktor penguatannya.

1.9 Sebuah fotodioda APD mempunyai efisiensi kuantum 0,45 pada panjang

gelombang 0,85 m dan faktor penguatan 250. Jika disinari dengan panjang

gelombang itu diperoleh arus-foto 10 A. Hitunglah daya sinar yang

diterimanya dan hitung pula jumlah foton yang terkandung.

1.10 Jika sinar dari 1011 foton per detik dengan energi masing-masing 0,8 eV diterima

oleh fotodiodaAPD yang efisiensi kuantumnya 0,6 dan faktor penguatannya 18,

hitunglah arus-foto yang dihasilkan.

18

19

BAB 2

GELOMBANG OPTIK

Dalam teori klassik, hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan secara umum

diungkapkan oleh persamaan-persamaan Maxwell. Persamaan-persamaan itu

merupakan sintesis dari teori-teori dan hasil-hasil observasi. Karena itulah maka

persamaan-persamaan Maxwell merupakan kumpulan dari hubungan-hubungan

sejumlah besaran medan listrik dan medan magnet seperti pergeseran listrik 𝐷 , induksi

medan magnet 𝐵 , kuat medan listrik 𝐸 , kuat medan magnet 𝐻 , kerapatan muatan

listrik 𝜌 dan kerapatan arus listrik 𝐽 . Dari persamaan-persamaan Maxwell itu dapat

diturunkan persamaan gelombangelektromagnet, dan salah satu keberhasilannya dapat

memperlihatkan gelombangyang bervariasi secara harmonik dalam bahan dielektrik

(bahan optik). Gelombang itulah yang disebut gelombang optik.

2.1 Persamaan Maxwell

Kuat medan listrik E

di dalam bahan dielektrik isotropik akan menimbulkan apa yang

disebut pergeseran listrik D

, dengan hubungan

ED

(2.1)

di mana adalah permittivitas bahan dielektrik yang sama ke semua arah di dalam

bahan tersebut. Tetapan dielektrik bahan didefenisikan seperti r=/o dengan

o=8,8520-12

farad/meter adalah permittivitas ruang hampa.

Hal mirip, kuat medan magnet H

dalam bahan dielektrik isotropik akan

menimbulkan induksi medan magnet B

, dengan hubungan

HB

(2.2)

di mana adalah permeabilitas bahan. Untuk ruang hampa o=410-7

henry/meter..

Persamaan (2.1) dan (2.2) disebut sebagai hubungan konstitutif bahan dielektrik

isotropik.

Dalam teori listrik-magnet ada tiga hukum penting. Pertama, hukum Faraday

yang mengungkapkan induksi gaya-gerak listrik pada suatu kumparan sebagai akibat

dari perubahan fluks magnet yang melalui kumparan itu:

AC

danBt

ldE ˆ

(2.3)

20

Kedua, hukum Ampere yang mengemukakan bahwa integral medan magnet

sepanjang garis tertutup yang melingkupi suatu arus listrik sebanding dengan besarnya

arus itu; ini secara umum dirumuskan sebagai berikut

tIldB e

C

(2.4)

di mana te / adalah variasi fluks listrik terhadap waktu. Karena A

dAnJI ˆ

dengan Jadalah rapat arus, dan

S

e dAnE ˆ

, maka hukum Ampere di atas dituliskan

seperti

C A

dAnt

EJldB ˆ..

(2.4)

Ketiga, hukum Gaussuntuk medan listrik dan medan magnet. Tentang medan listrik

dikemukakan bahwa fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan

muatan listrik yang terkandung di dalamnya,

dVdAnEA V

ˆ.

(2.5)

Sehubungan denganinduksi medan magnet hukum ini mengemukakan bahwa fluks

magnet melalui permukaan tertutup adalah

A

dAnB 0ˆ.

(2.6)

Untuk memperoleh bentuk umum dari hukum-hukum di atas terlebih dahulu

diperkenalkan dua buah teorema dalam aljabar vektor. Yang pertama adalah teorema

Stokes:

AC

dAnFldF ˆ..

(2.7a)

dan yang kedua teorema divergensi:

A V

dVFdAnF

.. ˆ (2.7b)

di mana n̂ adalah vektor satuan normal (tegak lurus) pada permukaan A, dan

zˆ

yˆ

xˆ

kji . Selanjutnya penerapan persamaan (2.7 a-b) pada persamaan

(2.3) akan menghasilkan

21

t

BE

(2.8a)

pada persamaan (2.4) menghasilkan

(2.8b)

pada persamaan (2.5) menghasilkan

D

. (2.8c)

dan pada persamaan (2.6) menghasilkan

0. B

(2.8d)

Keempat persamaan (2.8a-d) itulah yang disebut persamaan Maxwell dalam satuan SI.

2.2 Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang elektromagnet diturunkan dari persamaan Maxwell (untuk

deteilnya lihat Yariv et al. 1984 dan Yeh 1988). Tinjaulah bahan isotropik di mana

=0, J=0, sedangkan dan berupa skalar. Dari persamaan (2.8a) dan mengingat

persamaan (2.2) berlaku

Ht

E

1

Selanjutnya dari persamaan (2.8b) dan mengingat persamaan (2.2) berlaku pula

2

2

t

EH

t

.

Karena sifat vektor

EEE

111

dan

EEE

2)( . maka

0)(ln .2

22

EE

t

EE

.

Jt

DH

22

Dari persamaan (2.8c) 0 EΕΕ

sehingga

ln1

. EEΕ

maka

0lnln2

22

ΕE

t

EE

. (2.9a)

Inilah persamaan umum gelombang untuk kuat medan listrik. Untuk medan magnet

dapat diturunkan

0lnln2

22

HE

t

HH

. (2.9b)

Di dalam bahan isotropik homogen ln = 0ln sehingga persamaan

gelombang (2.9a dan b) menjadi lebih sederhana, yakni

0

,0

2

22

2

22

t

HH

t

EE

(2.9c)

a. Gelombang dalam bahan dielektrik

Di dalam bahan dielektrik =0 sedangkan tetapan dielektriknya adalah r=/0.

Karena 00=1/c2, c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, maka persamaan

(2.9c) untuk medan listrikmenjadi lebih sederhana, yakni

02

2

2

2

t

E

cE r

(2.10)

dan medan magnet

02

2

2

2

t

H

cH r

(2.11)

Tinjaulah gelombang bidang

)(

0),(ztieEtzE

(2.12)

Persamaan (2.10) menjadi

23

022

2

E

cr

(2.13)

sehingga diperoleh bilangan gelombang dalam bahan dielektrik

2

22

cr

(2.14a)

Bilangan gelombang dapat dinyatakan sebagai

ckkr

00 ; (2.14b)

di mana k0 adalah bilangan gelombang dalam ruang hampa. Persamaan (2.14b) di atas

dikenal sebagai hubungan dispersi.

Dalam prakteknya bahan dielektrik seperti polimer menyerap gelombang

elektromagnet. Penyerapan itu berlangsung karena tetapan dielektriknya merupakan

besaran kompleks, misalnya

"'rrr i (2.15)

Dengan demikian maka persamaan (2.14a) menjadi

"'2

22

rr ic

(2.16)

Nyatakanlah

ik (2.27)

di mana 2/1

2

'

"'

112

r

rr

ck

(2.18a)

2/1

2

'

"'

112

r

rr

c

(2.18b)

Gelombang bidang dalam persamaan (2.12) menjadi

)(

0),(zktiz eeEtzE

(2.19)

Jelas terlihat bahwa bagian imajiner dari tetapan dielektrik menyebabkan amplitudo

berkurang secara eksponensial sepanjang penjalarannya pada sumbu-z.

24

Contoh 2.1:

Pandanglah gelombang bidang dalam bahan untuk medan listrik dan medan magnet

seperti

).(2

).(1 ˆ;ˆ

rktio

rktio eHuHeEuE

(2.20)

di mana Eo dan Ho adalah amplitudo kompleks yang konstan dalam ruang dan waktu.

Gunakan persamaan Maxwell untuk mengevaluasi arah-arah medan dan hubungan

kedua amplitudonya.

Untuk itu, mula-mula gunakan persamaan (2.8c)

0. E

rktiozyx

zkykxkiti

o eEuikzikyikxeeEuz

zy

yx

x zyx

.

11ˆ.ˆˆˆˆ.ˆˆˆ

sehingga diperoleh

0. Ek

(2.22a)

Selanjutnya dengan persamaan (2.8d)

0. H

rktiozyx

zkykxkiti

o eHuikzikyikxeeHuz

zy

yx

x zyx

.

22ˆ.ˆˆˆˆ.ˆˆˆ

sehingga diperoleh

0. Hk

(2.22b)

Jadi, kedua medan E

dan H

masing-masing tegak lurus terhadap arah penjalaran k

.

Kemudian dengan persamaan (2.8a)

).(2).(1 ˆˆ rktiorktio eHt

ueEu

).(21 ˆˆˆˆˆ

rktio

zkykxkitio eHuieeEu

zz

yy

xx zyx

).(2.1 ˆˆˆˆˆ rktiorktiozyx eHuieEuikzikyikx

sehingga

25

HEk

. (2.22c)

Cara yang sama dengan persamaan (2.8b) dengan J=0,

).(1).(2 ˆˆ rktiorktio eEt

ueHu

).(1.2

).(

12

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

rkti

o

rkti

ozyx

rkti

o

zkykxkiti

o

eEuieHuikzikyikx

eEuieeHuz

zy

yx

x zyx

sehingga dihasilkan hubungan

EHk

. (2.22d)

Dari persamaan (2.22c) dan (2.22d) jelaslah bahwa medan E

, medan H

dan k

tegak

lurus satu sama lain seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Medan E

, medan H

dan vektor gelombang k

dari suatu gelombang

elektromagnet.

Besarnya vektor gelombang dalam sesuatu bahan, secara umum adalah

vk

(2.23)

di mana v adalah kecepatan fasa gelombang dalam bahan. Dengan demikian maka

persamaan (2.22a) menjadi

H

k

Ek

(2.24)

Selanjutnya dengan rumusan gelombang bidang dalam persamaan (2. 20), hubungan

antara vektor-vektor satuan adalah

1û

2û k

E

H

E

E

H

H

26

21 ˆ

ˆu

k

uk

Oleh sebab itu hubungan antara amplitudo medan listrik dan amplitudo medan magnet

adalah

oo HE

(2.25)

Dari persamaan (2.25) ini, impedansi yang dialami gelombang di dalam bahan

dielektrik dapat dikemukakan seperti

o

o

H

EZ (2.26a)

Untuk ruang hampa, 0 , 0 , impedansi itu adalah

377o

o

oZ

(2.26b)

dan untuk bahan dielektrik adalah

n

Z

H

EZ o

r

o

o

o

0

(2.26c)

dengan 𝑛 = 𝜖𝑟 adalah indeks bias bahan dielektrik.

b. Gelombang dalam bahan konduktif

Untuk bahan konduktif J0, dan berlaku hukum Ohm

EJ

(2.27)

di mana adalah konduktivitas bahan. Untuk menurunkan persamaan gelombang,

gunakan kembali persamaan (2.8a) dan (2.8b) seperti

Ht

E

1

t

E

t

EH

t

2

2

Mengingata EE

2 maka persamaan gelombang menjadi

27

02

22

t

E

t

EE

(2.28)

Untuk gelombang bidang

)(

0),(ztieEtzE

(2.29)

maka persamaan (2.28) menjadi

022 Ei

sehingga

i 22

Untuk itu misalkan hubungan dispersi adalah

ik (2.30a)

dengan 2/1

2

21 11

k (2.30b)

2/12

21 11

(2.30c)

Maka gelombang bidang pada persamaan (2.29) dapat dinyatakan seperti

)(

0),(zktizeeEtzE

(2.32)

Jadi, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.2, gelombang dalam bahan konduktif

mengalami redaman (loss) sepanjang penjalarannya. Jarak yang ditempuh sehingga

amplitudo menjadi 1/e dari semula disebut kedalaman kulit (skin depth).

Gambar 2.2 Penggambaran medan harmonik yang teredam; Zsd=1/adalah skindepth.

0 2 4 6 8 10

-5

0

55

10-10

z

E

zsd

28

Kembali ke persamaan (2.29), misalkanlah medan E

terletak pada sumbu-x,

yakni

)(

0

)(

0ˆˆ),( zktizzti eeExeExtzE

Berdasarkan persamaan (2.22c), maka HEz

ˆ menghasilkan medan H

)(

0

)(

0ˆˆ zktizzti eeEyeEyH

(2.32)

Karena adalah besaran kompleks, maka boleh dituliskan

ie (2.33a)

dengan

kk

122 tan; (2.33b)

Jadi

)(

0ˆ

zktiz eeEyH

(2.34)

Medan-medan dalam persamaan (2.32) dan (2.34) dilukiskan seperti Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Gambaran gelombang di mana medan H

mendahului medan E

dengan

fasa sebagai akibat dari adanya redaman.

2.3 Rapat dan Fluks Energi; Teorema Poynting

Gelombang elektromagnet membawa energi dalam bentuk radiasi elektromagnet. Ada

dua aspek penting dalam hal ini, yakni (i) rapat energi yang tersimpan dalam

gelombang EM, dan (ii) fluks energi yang berkaitan dengan gelombang EM tersebut.

Dari persamaan Maxwell (2.8b) secara umum berlaku hubungan

t

DEHEEJ

... )( (2.35)

Dalam analisis vektor berlaku hubungan

k̂

ẑ H

E

x̂

ŷ

29

)(

)()()(

..

...

HEt

BH

HEEHHE

(2.36)

sehingga persamaan (2.35) menjadi

t

DE

t

BHHEEJ

.... )(

Tetapi karena

DEtt

DE

BHtt

BH

..

..

maka

DEBHt

HEEJ

..)(..

(2.37)

Oleh sebab itu rapat energi (joule/m3) adalah

DEBHU

.. (2.38)

Jadi, persamaan (2.37) dapat dinyatakan seperti

EJt

UHE

.. )(

(2.39)

Integral volume dari persamaan (2.39) adalah

VAV

dVUt

dAnHEdVEJ ˆ..

(2.40)

di mana telah diterapkan

AV

dAnHEdVHE ˆ..

Fihak kiri dalam persamaan (2.40) adalah penurunan energi dalam volume V, suku

kedua fihak kanan adalah laju peningkatan energi di dalam volume yang sama. Jadi,

suku pertama fihak kanan adalah daya yang mengalir keluar melalui permukaan A

yang melingkupi volume V. Oleh sebab itu besaran

HES

(2.42)

30

merupakan daya per satuan luas atau fluks di setiap titik di permukaan A. S

disebut

vektor Poynting, dan persamaan (2.39) bisa dituliskan seperti

EJt

US

..

(2.42)

Persamaan (2.42) merupakan persamaan kontinuitas, dan persamaan (2.40) yang

ditulis ulang seperti

VAV

dVUt

dAnSdVEJ ˆ..

(2.43)

merupakan hukum kekekalan daya secara umum untuk gelombang EM; inilah yang

disebut teorema Poynting.

Contoh 2.2:

Sebuah gelombang bidang yang menjalar pada sumbu-z mempunyai medan-medan

sebagai berikut

kztZ

EytrH

kztExtrE

y

y

cosˆ),(

cosˆ),(

0

0

Dalam hal ini telah digunakan persamaan (2.33a) di mana ZEH oo / dan

/Z . Tentukanlah vektor Poynting dan kerapatan energi listrik dan magnet

yang tersimpan.Andaikanlah suatu volume berukuran x=a, y=b dan z=c, buktikan

bahwa teorema Poynting terpenuhi.

Jawab:

Dari rumus HES

maka

kztZ

Ez

kztZ

EyxS

y

y

2

2

0

2

2

0

cosˆ

cosˆˆ

Kerapatan energi listrik dan magnet masing-masing adalah

kztEEDEU ye 22

021

2

21

21 cos.

kztEZ

HHBU ym

220221

2

21

21 cos.

31

Selanjutnya, dalam teorema Poynting persamaan (2.46) misalkanlah volume V tidak

mengandung arus, maka

0ˆ.

VA

dVUt

dAnS

kctZ

Edydxt

Z

Edydx

czSdydxzSdydxdAnS

ya ba b

y

a b

z

a b

z

A

22

0

0 00 0

2

2

0

0 00 0

coscos

)()0(ˆ.

tkctZ

Eab

y 22

20

coscos

atau

tkctabZ

EdAnS

y

A

2cos2cos2

ˆ

2

0.

Kemudian

dzkztdydxZ

EdVU

cba

y

V

0

2

00

2

2

021 cos

dzkztabEc

y 0

2

021 )(2cos1

t

kkct

kcabEy 2sin

2

1)(2sin

2

1202

1

tk

kctk

ct

abEdVUt

y

V

2sin2

1)(2sin

2

1202

1

tkctabZ

E

tkctk

abE

y

y

2cos)(2cos2

2cos)(2cos

2

0

2

021

Jelaslah bahwa teorema Poynting tanpa sumberterpenuhi, yakni.

0ˆ.

VA

dVUt

dAnS

2.4 Medan-medan Monokromatik dan Bilangan Kompleks

Tinjaulah fungsi ril

tAta cos)( (2.44)

32

di mana A adalah aplitudo. Jika didefenisikan

ieAA (2.45)

maka a(t) dalam bentuk ril dapat dituliskan seperti

tieAta Re)( (2.46)

sedangkan dalam bentuk kompleksnya adalah

tiAeta )( (2.47)

Fungsi a(t) dalam bentuk kompleks ini disebut fungsi harmonik.

Selanjutnya tinjaulah dua fungsi sinusoida berikut

tia eAtAta Re)cos()( ; aieAA (2.48a)

tib eBtBtb Re)cos()( ; bieBB (2.48b)

Perkalian keduanya dengan menggunakan fungsi ril adalah

baba

ba

titi

tBA

ttBA

BeAetbta

2coscos

coscos

ReRe)()(

21

(2.49)

Perkalian dengan menggunakan fungsi kompleks adalah

tieABtbta 2)()( =)2( batieAB

(2.49)

Jadi, hasil kali bagian-bagian ril dari dua bilangan kompleks tak sama dengan bagian

ril dari perkalian kedua bilangan kompleks itu. Dengan perkataan lain, secara umum

berlaku

tititi ABeBeAe 2ReReRe (2.50)

Medan-medan elektromagnet merupakan vektor-vektor yang berubah sangat

cepat terhadap waktu. Oleh sebab itu, yang sangat penting dari suatu medan adalah

nilai rata-ratanya terhadap waktu. Perkalian dua fungsi medan selalu diungkapkan

dalam bentuk nilai rata-rata waktu, misalnya dari persamaan (2.49)

33

T

ba dttBtAT

tbta0

coscos1

)()( (2.51)

di mana T=2/ adalah perioda waktu dari masing-masing fungsi. Dengan persamaan

(2.51) diperoleh

)cos()()( 21 baABtbta (2.52)

Di lain fihak, Re[AB*]=Re ieA bieB =Re ABeAB bai )( di mana tanda * menyatakan konjugasi kompleks; jadi

*21 Re)()( ABtbta (2.53) atau

)()(Re)(Re)(Re *21 tbtatbta (2.54)

Persamaan (2.54) ini sering dipakai dalam teori elektromagnet.

Dengan menggunakan bentuk kompleks dari medan-medan DHE

,, dan B

,

maka nilai rata-rata rapat energi dalam persamaan (2.38) dan vektor Poynting dalam

persamaan (2.42), mempunyai nilai rata-rata waktu sebagai berikut:

**41 ..Re HBDEU

(2.55)

*21 Re HES

(2.56)

Intensitas cahaya didefenisikan sebagai energi cahaya persatuan luas per selang

waktu. Misalkanlah energi cahaya persatuan volume dalam persamaan (2.55),

mengalir melalui suatu penampang A selama selang waktu t, maka intensitas cahaya

itu adalah

22

22

4

4

1

EHc

tA

tcAEH

I

Tetapi, dengan persamaan (2.28c): HE

/ maka

2

21

2

21 HcEcI

(2.57)

Contoh 2.3:

Sebagai kelanjutan dari contoh 2.2, tunjukkan bahwa bentuk kompleks dari teorema

Poynting terpenuhi untuk gelombang bidang.

Kompleks dari medan-medan adalah sebagai berikut.

34

)(

0ˆ),( kztiy eExtrE

)(0ˆ),( kztiy

eZ

EytrH

Jadi, nilai rata-rata vektor Poynting adalah

Z

EzHES

y

2

0

21*

21 ˆRe

Jelas bahwa vektor Poynting ini ril. Karena volume V tidak mengandung arus, maka

bagian ril dari teorema Poynting dalam persamaan (2.43) adalah nol,

0ˆ AdanSΑ

.

Dengan vektor Poynting di atas, maka

0

2

0

00

2

0

00

21

Z

Edydx

Z

Edydx

yba

yba

Jadi, bagian ril memenuhi teorema Poynting. Selanjutnya, karena S

ril maka =0.

Dari persamaan (2.38), harus berlaku Um=Ue. Untuk membuktikan itu

2

041

2

2

0

41

2

2

0

00 0

41

2

41

y

yyca b

V

m EabcZ

Eabc

Z

EdzdydxdVHU

2

0412

0

00 0

41

2

41

yy

ca b

V

e EabcEdzdydxdVEU

Terbuktilah Um=Ue. Jadi,bagian imajiner juga memenuhi teorema Poynting.

2.5 Indeks Bias

Kehadiran medan listrik dalam bahan optik menyebabkan pergeseran posisi muatan

positip dan muatan negatif dalam setiap atom. Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu

menginduksikan momen dipol:

E

(2.58)

di mana disebut polarizabilitas atom. Jika N adalah jumlah atom per satuan volume,

maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:

)SIm(

35

ENNP

(2.59)

Vektor polarisasi listrik biasanya dituliskan seperti

EP o

(2.60)

di mana 0 adalah permittivitas ruang hampa, dan

o

N

(2.62)

disebut suseptibilitas listrik bahan. Jika susseptibilitas listrik bahan dalam

persamaan (2.60) tidak bergantung pada medan listrik E

, maka bahan itu disebut

bersifat linier secara optik. Tetapi, jika bergantung pada medan listrik E

, maka

bahan disebut bersifat nonlinier secara optik.

Contoh 2.4:

Suseptibilitas listrik suatu bahan didefinisikan seperti persamaan (2.60), di mana E

adalah medan listrik makroskopik. Medan lokal, yakni medan listrik yang bekerja

pada atom adalah

PEEo

a

3

1

Karena EP o

maka

ao

o

ao EPPEP

)

31()

3

1(

maka

aao ENEP

33

Karena aENP

maka akhirnya diperoleh:

o

N

33

(2.62)

Inilah yang disebut persamaan Clausius-Masotti.

Hubungan antara permittivitas dan suseptibilitas bahan adalah sebagai berikut

1),1( ro (2.63)

36

di mana r adalah tetapan dielektrik bahan. Indeks bias adalah

rn (2.64)

Hubungan antara indeks bias dan suseptibilitas bahan adalah

o

Nn

11 (2.65)

2.6 Indeks Bias dengan Model Elektron

Misalkanlah medan listrik luar yang mengenai suatu atom adalah

ti

oeEE (2.66)

Karena medan itu, elektron berosilasi dengan persamaan gerak

ti

oo eqExmdt

dxm

dt

xdm 2

2

2

(2.67)

di mana x adalah posisi elektron relatif terhadap inti atom, m adalah massa elektron,

q=-e adalah muatan elektron, o frekuensi eigen elektron dan koefisien redaman.

Dalam persamaan itu𝑚𝜔02 adalah konstanta pegas yang dialami elektron. Misalkan

solusi persamaan (2.67) adalah

ti

oextx)( (2.68)

Substitusi ke persamaan (2.67) memberikan

)( 22 im

qEx

o

o

(2.69)

Dengan demikian maka momen dipol terinduksi adalah

Eim

qqx

o

ox)( 22

2

(2.70)

Jadi, berdasarkan persamaan (2.58) polarizabilitas atom adalah

)( 22

2

im

q

o (2.71)

37

Oleh sebab itu, dengan persamaan (2.65) indeks bias bahan adalah

)(1

22

2

im

Nqn

oo (2.72)

Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 2, maka

)(21

22

2

im

Nqn

oo (2.73)

Dalam persamaan (2.73) di atas, N dan o bergantung pada bahan. Jadi, indeks bias

bahan yang dirasakan oleh cahaya bergantung pada frekuensi cahaya itu, yakni . Jika

dinaikkan mendekati o, indeks bias juga akan naik. Ini berlaku pada semua bahan

transparan. Indeks bias untuk cahaya biru lebih besar dari pada indeks bias untuk

cahaya merah. Fenomena inilah yang disebut dispersi. Karena i, indeks bias menjadi

kompleks yakni

222222

22222

222

)(2)(2

)(1

oooo

o

m

Nqi

m

Nqn (2.74)

Kebergantungan terhadap menjadi lebih signifikan apabila o. Sebagai

pendekatan berlaku 22222 )(2)( ooo

sehingga persamaan (2.74) menjadi

222

22

2

2/)(82/)(4

)(1

oooooo

o

m

Nei

m

Nen (2.75)

Jika persamaan (2.75) dituliskan seperti "' innn kurva-kurva indeks bias ril

dan imajiner dapat diperlihatkan dalam Gambar 2.4. Terlihat bahwa (n’-1) sebanding

dengan turunan dari n”.

Gambar 2.4 Indeks bias kompleks; n’=komponen ril dan n”=komponen imajiner.

0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

w/wo

1'n "n

ω/ω0

38

Jika indeks bias dituliskan seperti "' innn dan andaikan gelombang EM

menjalar sepanjang sumbu-z,

)( zti

oeEE (2.76)

dengan

ckkinnnk ooo

2;)"'( (2.77)

maka )'(" zokntizokn

o eeEE

(2.78)

Jelas bahwa komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudo

sepanjang penjalaran gelombang.

2.7 Indeks Bias Logam

Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas yang menyebabkan logam bersifat

penghantar listrik. Oleh sebab itu, frekuennsi eigen o=0 dan koefisien redaman kecil

sekali. Dengan gelombang medan listrik luar befrekuensi ω, elektron-elektron bebas

itu berosilasi. Dari persamaan (2.72) indeks bias menjadi:

)(1

2

2

im

Nqn

o (2.79)

Jika

39

Tabel 2.1 Indeks bias beberapa logam pada berbagai panjang gelombang (Yeh 1988)

Jenis logam 0.6 m 0,8 m 2.0 m

Aluminium 2,043-i6,568 2,99-i 7,05 2,992-i 9,3

Tembaga 0,285- i2.98 0,27-i 4,84 0,297-i 6,272

Emas 0,2- i2,897 0,249-i4,654 0,279-i6,044

Timah - 2,52-i4,24 2,42-i5,4

Perak 0,06-i3,75 0,09-i5,45 0,25-i6,82

Contoh 2.5:

Persamaan (2.67) bisa juga dipakai untuk mengungkapkan gerakan elektronbebas

dengan o=0 yang menyatakan tidak adanya gaya pegas, sedangkan koefisien =2/

dengan adalah waktu tumbukan. Dengan demikian maka persamaan (2.72) menjadi

/1)()(

2

2

2

in

p

r

Inilah tetapan dielektrik dari gas elektronbebas sebagai fungsi frekuensi. Besarnya

frekuensi plasma dalam ionosfer di mana N=2022

elektron/m3 adalah

2/1311238211 )101,91085,8/(106,110 p = 28 206 rad/s.

Jika maka tetapan dielekrik menjadi ril jika >p. Tetapi, jika

40

......)()()( 2

0

2

2

21

0

ooo kk

dk

dkk

dk

dk

(2.83)

Jika suku-suku ketiga dan seterusnya dari persamaan (2.83) diabaikan, maka substitusi

persamaan itu ke persamaan (2.82) menghasilkan

dkekAetz o

kkztodkdizoktoi )]()/[()( )(),( (2.84)

Persamaan (2.84) ini dapat dituliskan seperti

])/([),()(

tdkdzEetz oAzoktoi (2.85)

dengan

dkekAtdkdzE o

kkztodkdi

oA

)]()/[()(])/([

(2.86)

merupakan fungsi envelop. Gambaran dari persamaan (2.85) di atas diperlihatkan

dalam Gambar 2.5.

Dari persamaan (2.86) jelas bahwa pulsa menjalar dengan suatu kecepatan

o

gdk

dv

(2.87)

yang disebut kecepatan grup. Rumusan ini mengungkapkan bahwa puncak amplitudo

A(k) adalah di k=ko, dan frekuensi merupakan fungsi k yang mulus di sekitar ko.

Gambar 2.5 Pulsa laser pada t=0, dan spektrum Fourier-nya dalam ruang-k.

Contoh 2.6:

Persamaan (2.84)-(2.86) adalah deskripsi aproksimasi suatu pulsa laser. Jika

cos (koz)

vg

vf z

(z,0) EA

ko k

A(k)

41

A(k)=A(ko) exp[-(k-ko)2

/4q2 ]

tentukanlah fungsi EA() dengan =z-(d/dk)ot.

Jawab:

Dengan

dkekAtdkdzE o

kkztodkdi

oA

)]()/[()(])/([

maka

dkeekAE o

kkiqokk

oA

)(24/2)()()(

Misalkan x=k-ko,dk=dx, maka

dxekAE xiqxoA)24/2()()( . Dengan menggunakan

rumus integral

4/)( 22 edxe xx

maka

22)24/2( )(2)()( qoxiqx

oA ekAqdxekAE

Contoh 2.7:

Pulsa laser satu-dimensi berpusat pada frekuensio dengan bilangan gelombangko dan

fungsi amplop EA(z-vgt) untuk medan listrik Ex=EA(z-vgt)exp[i(ot-koz)] Tentukanlah

fungsi amplop untuk medan magnet.

Jawab:

Dari persamaan Maxwell (2.8a) t

BE

diperoleh

xoxx

x

o

Eikyz

Ey

y

EzEx

zz

yy

xx

Bit

BE

)(ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆ

)](exp[)(; zktitvzEk

HEk

B oogAo

o

yx

o

o

y

Jadi, medan magnet bersangkutan adalah

)](exp[ zktiHH ooAy

dengan fungsi amplop

42

)( tvzEk

H gAo

o

A

Di dalam optik, sifat dispersi suatu bahan diungkapkan oleh indeks biasn()

yang hubungannya dengan bilangan gelombangk adalah

cnk

)( (2.88)

Dalam hal ini, kecepatan fasa adalah

)(n

cv f (2.89)

Selanjutnya, dari persamaan (2.87) dan (2.88), dapat diturunkan kecepatan grup

seperti

ddnnc

vg/

. (2.90)

Untuk dipersi normal, jelaslah bahwa kecepatan fasa selalu lebih besar daripada

kecepatan grup. Dari persamaan di atas jelas pula bahwa kecepatan grup bergantung

pada frekuensi cahaya. Inilah yang disebut sifat dispersi bahan optik.

Sebagaimana telah diketahui, berkas cahaya putih yang melalui prisma terurai

menjadi pelangi. Keluar dari prisma sinar biru membelok dengan sudut yang lebih

besar daripada sinar merah. Itu berarti, sinar biru mengalami indeks bias lebih besar

daripada sinar merah, seperti terlihat dalam Gambar 2.6. Dalam komunikasi serat

optik, pulsa optik mengalami pelebaran karena sifat dispersi dari bahan pandu

gelombang.

Gambar 2.6 Indeks bias sebagai fungsi panjang gelombang.

Kembali ke persamaan (2.83), kalau suku ketiga 22221 / okkdkd tidak diabaikan, maka pulsa akan mengalami pelebaran sepanjang penjalarannya; hal itu

0,4 0,5 0,6 0,7 (m)

n

2,48

2,47

2,46

2,45

43

akan menyebabkan perubahan bentuk pulsa. Jika k adalah pelebaran spektral, maka

pelebaran kecepatan grup dirumuskan seperti

kdk

dvg 2

2

~

(2.92)

Jadi, ketika pulsa menjalar dalam bahan, pelebaran dalam posisi adalah tvg .

Contoh 2.8:

Berdasarkan persamaan (2.90), (a) tentukan kecepatan grup sebagai fungsi panjang

gelombang dan variasinya terhadap panjang gelombang. (b) Tunjukkan bahwa

koefisien ekspansi Taylor 2221 / dkd berbanding lurus dengan kecepatan grup.

Jawab:

(a) ddnnc

vg/

Dengan

cc

2atau2 maka

d

dnc

d

d

d

dn

d

dn2

2

d

dn

d

dnc

d

dn 2

ddnnc

vg/

(2.92)

Selanjutnya,

222

2

22

/

/

/

///

ddnn

dndc

ddnn

dndddnddnc

d

dvg

Dvd

dvg

g 2 (2.93)

dengan

2

2

d

nd

cD (2.94)

disebut dispersi material yang satuannya adalah ps/(nm. km).

(b) c

n

d

dn

cd

dk

cnk

ddnn

cv

dk

dg

/

44

2

2

2

2

/

////

/

ddnn

dkdndddndkddkdnc

ddnn

c

dk

d

dk

d

d

dnv

dk

d

d

dn

dk

dng

2

22

d

ndv

dk

dn

d

d

dkd

ndg

g

vddnn

dndddnc

dk

d2

222

1

2

2

21

/

//

(2.95)

Suatu pulsa monokromatik yang menjalar sejauh z sepanjang pandu gelombang

yang dispersif akan memerlukan waktu

)()(

gv

z .

Jika signal tidak monokromatik, tetapi mempunyai lebar pita , maka terjadi

pelebaran pulsa (identik dengn penyebaran waktu tiba di z)

gvd

dz

1.

Karena 1/vg=dk/d maka

2

2

d

kdz . (2.96)

Tetapi

D

d

nd

c

cd

dnn

d

d

d

kd

2

2

2

2 1

.

Dari persamaan (2.96) maka

zD (2.97)

Inilah pelebaran suatu pulsa yang lebar pitanya menjalar sejauh z dalam pandu

gelombang yang memiliki dispersi material D. Jika 0 adalah pusat panjang

gelombang dalam suatu pulsa, tiba di z pada saat t, maka gelombang dengan 0 tiba pada waktu t+.. Artinya,

gelombang dengan

45

gelombang dengan >0. Misalnya, cahaya biru lebih cepat daripada cahaya merah di

dalam pandu gelombang yang sama.

Berdasarkan persamaan (2.97) dapat pula dinyatakan bahwa panjang pandu

gelombang yang diperlukan hingga mulai terjadi pelebaran pulsa yang melebihi slot

waktu 2 bit adalah L=2/(BD). Jadi, dengan laju data B=20 Gbit/s, parameter

dispersi material pandu gelombang D=27 ps/(nm.km) dan lebar pita =0.2 nm,

panjang L=60 km. Artinya, pada panjangL=60 km itu pulsa sudah rusak dan

diperlukan pemasangan repeater untuk mengembalikan pulsa ke bentuknya semula.

2.9 Bahan Optik Nonlinier

Dalam paragraf 2.5 telah dikemukakan bahwa medan listrik dari cahaya yang datang

mengenai suatu bahan optik akan menginduksikan polarisasi dalam bahan itu.

Polarisasi itu selanjutnya menyebabkan dipol-dipol listrik di dalam bahan akan

meradiasikan cahaya dengan frekuensi dan arah yang sama tapi bergeser fasanya dari

cahaya datang. Cahaya yang diradiasikan itu menjalar melalui bahan dengan kecepatan

fasa v=c/ndengan n adalah indeks bias bahan,

1n

di mana adalah suseptibilitas listrik bahan. Hubungan antara medan listrik dan

polarisasi yang diinduksikan di dalam bahan adalah

xx EP 0

Secara umum adalah besaran tensor, tapi untuk sederhananya di sini dituliskan

dalam bentuk skalar.

Jika medan listrik cahaya cukup kecil, polarisasi listrik Pxberhubungan secara

linier dengan medan Ex (lihat Gambar 2.7). Tetapi jika medan listrik cukup besar,

hubungan itu menjadi tidak linier. Pada suatu material yang memiliki kisi dengan

Gambar 2.7 Untuk medan kecil Px linier terhadap Ex. Untuk medan yang besar

hubungan itu menjadi nonlinier, (a) untuk bahan yang mempunyai simetri inversi, dan

(b) bahan yang tidak bersimetri inversi.

Px

Ex

Px

Ex

(a) (b)

46

pusat simetri (centrosymmetric), jika x diganti dengan –x, y dengan –y dan z dengan –

z, tidak ada perubahan pada material itu. Jika medan Ex diberikan pada arah +xmaka

polarisasi Pxakan terinduksi pada arah +x itu juga. Jika kisi itu dibalik, tidak akan

terjadi perubahan polarisasi karena kisi itu tetap saja. Jadi, pembalikan kisi

menyebabkan Exmenjadi –Exdan Pxmenjadi -Px. Artinya, Pxadalah fungsi ganjil dari

Exsehingga Pxmengandung Exdan 𝐸𝑥3, tapi tidak 𝐸𝑥

2 (lihat Gambar 2.7 a).Jika

Pxmengandung 𝐸𝑥2, tandanya tetap meskipunExdiubah menjadi –Ex. Oleh sebab itu,

material yang mempunyai pusat simetri tidak memiliki (2)

. Material yang memiliki

(2)

adalah material yang tidak mempunyai pusat simetri (non-centrosymmetric) seperti

Gambar 27.b.

2.9.1 Generasi Harmonik Kedua

Misalkan gelombang optik dari cahaya berfrekuensi menjalar di dalam suatu bahan.

Pada suatu titik di dalam material itu, medan listrik dari gelombang mempunyai

kebergantungan waktu seperti

tAtE cos)(

(2.98)

A adalah amplitude medan, dan fasa di set nol di t=0. Medan ini akan menginduksikan

polarisasi

tPtPP

tEtEtP

2coscos

)()]([)(

20

)2()1(

0

(2.99)

dengan

2)2(02

1

2

)1(0

2)2(02

1

0

AP

AP

AP

(2.100)

Terlihat bahwa polarisasi yang terinduksi mengandung:

(i) 0P yang merupakan rektifikasi optikdi mana polarisasi yang statik (dc) dihasilkan

sebagai respon bahan terhadap medan listrik cahaya yang bervariasi cepat;

(ii) P yang menyebabkan dipol-dipol dalam bahan meradiasikan cahaya berfrekuensi

, dan ini menghasilkan indeks bias linier.

(iii) 2P yang menyebabkan dipol-dipol dalam material berosilasi dengan frekuensi 2

dan akan meradiasikan cahaya berfrekuensi 2.

Fenomena di mana cahaya yang diradiasikan berfrekuensi dua kali frekuensi cahaya

yang menyinarinya disebut generasi harmonik kedua(second harmonic generation,

SHG). Sifat ini dimanfaatkan dalam teknologilaser, untuk menghasilkan berkas laser

warna biru (532 nm) dari laser inframerah (1064 nm). Material yang memiliki (2)0

47

tidak mempunyai simetri inversi. Kaca optik yang bersifat isotropis memiliki simetri

inversi sehingga tidak memiliki suseptibilitas orde-2.

Sekarang misalkan selain gelombang optik dari cahaya berfrekuensi material

juga diberikan medan listrik statik,

tAEtE cos)( 0

(2.101)

Polarisasi yang terinduksi adalah

tPtPP

tAEtAEtP

2coscos

)cos()cos()(

20

2

0

)2(

00

)1(

0

(2.102a)

dengan

2)2(02

0)2()1(

0

2)2(00

)1(00

2

1

]2[

2

1

AP

AEP

AEP

(2.102b)

Dari P terlihat

0)2()1( 2 E

Indeks bias

)1(

0

)2()1(

0

)2()1(

1

211

21

E

En

Karena )1(

0 1 n dan 2

00

)2()1(

0

)2( /1)1/(21 nEE maka

0

0

)2(

0n

Enn

(2.103)

Dengan menuliskan

nnn 0 (2.104a)

maka

0

0)2(

n

En

(2.104b)

Jadi, medan statik E0menyebabkan timbulnya tambahan indeks bias material SHG.

Jauh sebelumnya, Pockel menemukan efek elektrooptik terhadapa indeks bias,

dengan

48

030

2

1rEnn

(2.105)

di mana r adalah koefisien Pockel. Beberapa contoh bahan nonlinier order-2

diperlihatkan dalam Tabel 2.2

Tabel 2.2 . Beberapa contoh bahan nonlinier order-2 (Quimby, 2006) .

Kristal Daerah

transmissi(μm)

n0 (2)

(10-12

m/V)

Kalium dihidrogen fosfat

(KDP)

0,18-1,45

1,495

0,86

Litium niobat (LiNbO3) 0,4-5,5 2,234 12

Perak gallium selenida

(AgGaSe)

0,5-13 2,316 40

CdGeAs2 2,4-18 3,530 470

Terlihat dalam tabel bahwa semakin besar n0semakin besar pula (2)

, dan daerah

transmissi bergeser ke panjang gelombang lebih besar. Hal ini berkaitan dengan

bandgap; semakin kecil bandgap semakin kuat interaksi foton-material dan akibatnya

semakin besar n0 dan (2)

.

Salah satu aplikasi efek Pockel adalah switching cahaya dalam pandu

gelombang planar. Pada suatu interferometer Mach-Zehnder seperti dalam Gambar

2.8, satu sisinya diisi dengan kristal dari bahan SHG seperti LiNbO3yang

diperlengkapi dengan sumber tegangan listrik.Kristal diposisikan sedemikian sehingga

cahaya menjalar sepanjang sumbu x, dengan medan dari tegangan listrik dc dan

medan listrik dari cahaya tepat pada sumbu z. Misalkan d tebal pandu gelombang,

sama dengan jarakantarakedua elektroda, danL panjang kristal.Perubahan fasa

Gambar 2.8 Interferometer Mach-Zehnder dengan pandu gelombang planar; satu sisi

diisi dengan kristal LiNbO3 dan diperlengkapi dengan sumber tegangan dc (Quimby,

2006)

gelombang cahaya karena pemberian medan listrik dc akan mengubah amplitudo

keluaran.Perubahan fasa itu merupakan akibat dari perubahan indeks bias:

LnnLk o )(2

.

z

x

V LiNbO3

49

Dengan persamaan (2.103), maka beda fasa itu adalah

LEn

0

)2(

0

12

(2.106)

Medan listrik dc E0 diperoleh dari tegangan V. Karena tegangan itu adalah tegangan

dc maka E0=V/d, sehingga beda fasa menjadi

Ld

V

n

)2(

0

12

(2.107)

Tegangan yang diperlukan agar beda fasa menjadi 1800 adalah

L

dnV

)2(

0

2

(2.108)

Jelas bahwa dengan tegangan dc bisa dilakukan switching cahaya.

Sistem yang sama bisa juga dimanfaatkan untuk memodulasi gelombang

cahaya. Dalam hal ini, tegangan listrik dc diganti dengan tegangan listrik V(m) di

mana m adalah frekuensi modulasi.

2.9.2 Generasi Harmonik Ketiga

Untuk material isotropik seperti glass yang memiliki simetri inversi, polarisasi

terinduksi oleh medan listrik adalah

)()]([)( 2)3()1(0 tEtEtP

Misalkan material disinari dengan medan listrik di suatu titik di dalam material

tAtE cos)(

sehingga

tAtAtP cos])cos([)( 2)3()1(0

Mengingat 4/)3coscos3(cos3 maka

tPtPtP 3coscos)( 3

(2.109a)

di mana

3)3(

03

2)3()1(

0

)4/1(

])4/3([

AP

AAP

(2.109b)

50

Di sini P0 =P2=0 karena material bersimetri inversi. Dalam material terinduksi

polarisasi berfrekuensi 3 yang akan menimbulkan tambahan cahaya dengan

frekuensi tiga kali frekuensi cahaya masuk. Ini disebut generasi harmonik ketiga (third

harmonic generatin, THG). Dari P didapat

2)3()1( )4/3( A

(2.110)

Indeks bias

0

2)3(

0

)1(

2)3()1(

2)3()1(

8

3

1

)4/3(11

)4/3(1

n

An

A

An

Dengan nnn 0 maka tambahan indeks bias itu adalah

0

2)3(

8

3

n

An

(2.111)

Karena intensitas cahaya adalah 2

00)2/1( AcnI , maka Inn 2 sehingga

Innn 20 (2.112)

dengan

0

2

0

)3(

24

3

cnn (2.113)

disebut indeks bias nonlinier. Kalau intensitas dalam satuan W/m2 maka n2 bersatuan

m2/W.Variasi indeks bias dengan intensitas cahaya disebut intensity dependent

refractive index (IDRI). Beberapa contoh bahan nonlinier order-3 diperlihatkan dalam

Tabel 2.3 (Boyd et al., 2001).

Sifat IDRI suatu bahan optik merupakan dasar bagi fenomena degenerate four

wavemixing. Fenomena ini dapat dipakai dalam penentuan respon nonlinier sangat

cepat yang diperlukan untuk devais fotonik. Selain itu, sifat ini pula yang mendasari

self-phase modulation, self-focusing, optical phase conjugation, spatial

solitondantemporal soliton (Boyd, 1992).

Jauh sebelumnya Kerr telah menemukan pengaruh listrik dc terhadap indeks

bias suatu bahan linier orde-3 yang disinari. Pengaruh ini disebut effek elektrooptik

Kerr. Misalkan bahan dikenai medan listrik seperti persamaan (2.102):

tAEtE cos)( 0

51

Tabel 2.3 . Beberapa contoh bahan nonlinier order-3(Quimby, 2006).

Bahan n0 n2 (cm2/W)

(3)(esu)

Al2O3 1,8 2,910-15

2,210-14

CdS 2,34 5,110-14

7,010-12

GaAs 3,47 3,310-13

1,010-10

TiO2 2,48 9,410-15

1,510-12

ZnSe 2,7 3,010-14

4,410-12

As2S3 2,4 2,010-13

2,910-11

BK-7 1,52 3,410-16

2,010-14

SF-55 1,73 2,010-15

1,510-13

SF-99 1,953 3,310-15

3,110-13

Polidiasetilen 1,56 310-12

610-10

4BCMU 1,56 -1,510-13

-9,210-12

Untuk (3)

: 1 esu=17,25410-8

(m/V)2

Polarisasi terinduksi adalah

tPtPtPP

tAEtAEtP

3cos2coscos

)cos()cos()(

320

3

0

)3(

00

)1(

0

dengan

3)3(

03

2

0

)3(

02

2)3(

0

2

0

)3()1(

0

2

0

)3(

0

3

0

)3(

00

)1(

00

4

1

2

3

)4

33(

)2

3(

AP

AEP

AAEP

AEEEP

Dalam hal ini, karena ada medan listrik dc maka P0 dan P2 tidak sama dengan nol.

Indeks bias bahan karena dikenai medan listrik dc di peroleh dari P

2

0

0

)3(

0

2

0

)3()1(

2

3

31

En

n

En

Dengan nnn 0 , maka

2

0

0

)3(

2

3E

nn

(2.114)

Inilah yang disebut effek elektrooptik Kerr. Effek ini dapat dimanfaatkan untuk

switching seperti Gambar 2.8.

52

Jauh sebelumnya, Kerr menemukan efek elektrooptik ini. Dia menggunakan

rumusan seperti

2

0bEn (2.115)

Untuk beberapa bahan, parameter b adalah seperti Tabel 2.4.

Tabel 2.4 Parameter elektrooptik Kerr untuk beberapa bahan (Quimby, 2006).

Bahan b (10-20

m2/V

2)

Nitrobenzen 206

Air 1,85

Kaca 10-2

-1

53

Soal-soal

2.1 Tuliskan ungkapan ruang-waktu dari medan-medan listrik kompleks di bawah ini:

a) ikzexrE ˆ3)(

;

b) ikzeyixrE ˆ2ˆ)(

;

c) ikzeyixrE ˆˆ2)(

2.2 Dari persamaan-persamaan Maxwell turunkan persamaan gelombang yang

bergantung waktu untuk medan magnet di dalam bahan dielektrik homogen.

2.3 Suatu gelombang elektromagnet berosilasi dengan frekuensi sudut 31015 rad/s.

tentukanlah panjang gelombangnya di dalam (a) ruang hampa, dan (b) bahan

dengan konstanta dielektrik 2,25.

2.4 Sebuah gelombang elektromagnet didefenisikan seperti E=Ey0 exp[-ik0(x+√3 z)]

di mana k0 adalah tetapan penjalaran dalam ruang hampa. Tentukanlah (a) arah

polarisasi, (b) arah penjalaran dan (c) indeks bias medium.

2.5 Gelombang optik dengan panjang gelombang 0=0,633 m menjalar dalam bahan

komlpeks yang tetapan dielektriknya 2,25-i10-8

. Tentukanlah (a) tetapan

penjalaran dan koefisien absorpsi, (b) jarak yang dilalui gelombang sehingga

dayanya 1/e daya semula.

2.6 Gelombang bidang yang menjalar sepanjang sumbu-z memiliki medan listrik