r i k lum a n matematika
TRANSCRIPT
1
MATEMATIKA
INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
A. DEFINISI INTEGRAL TENTU
Bentuk integral f x dx f x c’( ) ( )= +∫ disebut sebagai integral tak tentu karena hasil dari pengintegralannya masih berupa fungsi. Integral tentu adalah bentuk pengintegralan di mana hasil integralnya berupa nilai tertentu. Bentuk umumnya adalah
f x dx f x fx a
x b
a
b
a
b
’( ) ’( )dx f(x) (b) f(a)= = ] = −=
=
∫ ∫
Di mana : x = a dinamakan batas bawah
x = b dinamakan batas atas
B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU
Apabila f(x), g(x) terde� nisi pada selang [a, b], maka:
1. f x dx f x xa
b
a
b
a
b
( ) g(x) ( )dx g( )dx±( ) = ±∫ ∫ ∫ 4. f x dx f x dx f x dxa
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( ) = +∫ ∫ ∫
2. k f x dx k f xa
b
a
b
( ) ( )dx=∫ ∫ 5. f x dx f x dxb
a
a
b
( ) ( ) = −∫ ∫
3. f x dxc
c
( ) 0=∫
KE
LAS XII -
KURIKULUM GABUNG
ANSe
si
N
05
2
CONTOH SOAL
1. Nilai dari 2 50
2
x dx−( )∫ adalah ....
Jawab:
2 5 5
2 5 2 0 5 0
6
0
22
0
2
2 2
x dx x x−( ) = −( )= − ⋅( ) − − ⋅( )= −
∫
2. Nilai dari 3 51
4
x x x dx+( )∫ adalah ....
Jawab:
3 5 3 5
3 5
3
1
4 12
32
1
4
12
1
4 32
1
4
x x x dx x x dx
x dx x dx
x
+( ) = +
= +
=
∫ ∫
∫ ∫
112
1
4 32
1
4
32
1
452
1
4
5
323
525
dx x dx
x x
∫ ∫+
= ⋅
+ ⋅
== ( ) + ( )= −( ) + −( )= +=
2 2
16 2 64 2
14 6276
1
42
1
4
x x x x
3. sin2x cosx ⋅ =∫ dx0
6π
....
Jawab:
sin2x cosx
⋅ = +( )
= +
∫ ∫
∫
dx x x dx
x dx
0
6
0
6
0
6
12
3
12
312
π π
π
sin sin
sin siin
cos cos
cos
x dx
x x
0
6
0
6
0
612
13
312
16
9
π
π π
∫
= −
+ −( )
= −
00 012
30 0
16
12
12
3 1
23
14
3
°− °( ) − °− °( )
= − −
= −
cos cos cos
3
sin2x cosx
⋅ = +( )
= +
∫ ∫
∫
dx x x dx
x dx
0
6
0
6
0
6
12
3
12
312
π π
π
sin sin
sin siin
cos cos
cos
x dx
x x
0
6
0
6
0
612
13
312
16
9
π
π π
∫
= −
+ −( )
= −
00 012
30 0
16
12
12
3 1
23
14
3
°− °( ) − °− °( )
= − −
= −
cos cos cos
4. Diketahui f(x) dx
1
3
6∫ = dan g(x) dx3
1
4∫ = maka nilai 2f(x) 3g(x) −( )∫ dx1
3
adalah ....
Jawab:
2f(x) 3g(x)
−( ) = −
= −
∫ ∫ ∫
∫
dx f x dx g x dx
f x dx g
1
3
1
3
1
3
1
3
2 3
2 3
( ) ( )
( ) (( )
( ) ( )
x dx
f x dx g x dx
1
3
1
3
3
1
2 2 3
2 6 3 4
12 1
∫
∫ ∫= − −
= ⋅ − ⋅ −( )= +
2224=
5. Diketahui f(x) dx2
5
7∫ = dan 3f(x) dx1
2
9∫ = . Nilai dari 4f(x) dx1
5
∫ adalah ....
Jawab:
3f(x)
f(x)
f(x)
dx
dx
dx
1
2
1
2
1
2
9
3 9
3
∫
∫
∫
=
=
=
Maka
4f(x) f(x)
dx dx
f x dx x dx
1
5
1
5
1
2
2
5
4
4
4 3 7
∫ ∫
∫ ∫
=
= +
= +[
( ) f( )
]] = 40
4
6. Diketahui f xx x
x( )
,
,=
+ ≤
+ >
3 2 0
2 0
x maka nilai f(x) dx
−∫ =2
4
....
Jawab:
f(x)
dx f x dx x dx
x dx x
− −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
= +
= +( ) + +( )2
4
2
0
0
4
2
0
0
4
3 2 2
( ) f( )
ddx
x x x x= +
+ +
= −( ) + +
−
32
223
2
0 2163
8
2
2
0
0
4
x
−
= +
=
0
6163
343
7. Jika 2x+2 ( ) =∫ dxa
1
12 , maka nilai a yang memenuhi adalah ....
Jawab:
2x+2 ( ) =
+( ) =
+( ) − + ⋅( ) =+ − =
∫ dx
x
a a
a a
a
a
1
2
1
2 2
2
12
2 12
2 1 2 1 12
2 15 0
x
aa a+( ) −( ) =5 3 0
8. Hitunglah nilai x 2 − =∫ dx1
4
....
Jawab:
xx x
x xx
x xx x
− =− − ≥
− −( ) − <
⇒ − =
− ≥− <
22 2 0
2 2 02
2 22 2
,
,,,
maka
x 2 − = −( ) + −( )
= −( ) + −( )=
∫ ∫ ∫dx x dx x dx
x x x x
1
4
1
2
2
4
2
1
22
2
4
2 2
2 2
44 4 2 1 16 8 4 4
1 87
−( ) − −( ) + −( ) − −( ) = − +=
5
x 2 − = −( ) + −( )
= −( ) + −( )=
∫ ∫ ∫dx x dx x dx
x x x x
1
4
1
2
2
4
2
1
22
2
4
2 2
2 2
44 4 2 1 16 8 4 4
1 87
−( ) − −( ) + −( ) − −( ) = − +=
C. LUAS DAERAH
Salah satu aplikasi dari integral tertentu adalah menghitung luas daerah di bawah kurva atau di antara kurva. Suatu daerah di bawah kurva dapat dihitung menggunakan integral dengan mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Batas-batas daerah tersebut diketahui. Daerah yang dapat dihitung luasnya perlu diketahui:
a. Batas kiri dan kanannya,
b. Batas atas dan bawahnya.
Bentuk-bentuk batas daerah bisa berupa fungsi konstanta, fungsi linier atau nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat). Bila salah satu batas belum diketahui, maka perlu dicari terlebih dahulu sehingga luas daerah dapat dihitung.
2. Gambar daerah bila daerah tersebut masih dinyatakan dalam bentuk batas-batasnya. Kemampuan menggambar kurva atau garis sangat diperlukan agar dapat menghitung luas daerah.
3. Gunakan formula yang tepat untuk menghitung jenis-jenis daerah tertentu. Perhatikan gambar-gambar daerah dan rumus yang bersesuaian.
a. Bentuk Daerah Jenis 1
Bentuk yang pertama adalah:
y
a b
x = a x = b
y = f(x)
y = g(x)bawah
atas
kiri
kana
n
x
y
a b
y = f(x)
x
L f x g x dx
a
b
= −[ ]∫ ( ) ( )
L f x dxa
b
= ∫ ( )
6
CONTOH SOAL
1. Hitunglah luas daerah di bawah ini!
y
x1 4
y = x
Jawab:
L dx
L x x
L satuan luas
=
=
=
∫ x
1
4
1
423
143
2. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2, sumbu x, dan 1 < x < 3adalah ....
Jawab: Gambar daerah dengan teknik plot titik:
X Y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Menghasilkan gambar
Batas atas: y = x2
Batas bawah: sumbu x
Batas kiri: x = 1
Batas kanan: x = 3
4
y9 y = x2
1
-2 -1 1 2 3
7
L x dx
L x
L satuan luas
=
=
=
∫ 2
1
3
3
1
313263
3. Hitunglah luas daerah berikut!
y
y6
6
2y = -x + 6
y x x= − +12
4 62
Jawab: Batas atas: y = -x + 6, Batas bawah: y x x= − +1
24 62 .
Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6.
L x x dx
L x x dx
L
= − +( ) − −
= −
=
∫
∫
612
312
0
6
0
6
2
2
4x+6
332
16
32
3616
216 0
18
2 3
0
6
x x
L
L satuan l
−
= ⋅ − ⋅
− ( )
= uuas
8
4. Luas daerah yang dibatasi oleh y x y x x= = =3 12
2, , dan adalah ....
Jawab:
Plot titik untuk y = x3 Plot titik untuk y x y x x= = =3 12
2, , dan
X Y X Y
-2 -8 0 0
-1 -1 2 1
0 0
1 1
2 8
Gambar kurva
-2 1 2
8
1
y
y = x3
x-1
-8
y x= 12
Batas atas y = x3, Batas bawah y x y x x= = =3 12
2, , dan .
Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2.
L x dx
x x
= −
= −
= ⋅ − ⋅
∫ 3
0
2
4 2
0
2
4 2
12
14
14
14
214
2
x
− ( )
=
0
3 satuan luas
9
5. Perhatikan gambar daerah berikut!
6 y = 6 – x
64
y = x
Luas daerah arsiran di atas adalah ....
Jawab: Batas atas: y x dan y x= − =6 , Batas bawah: sumbu x {y = 0}. Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6. Karena daerah memiliki 3 batas atas maka daerah harus dibagi menjadi 2, tepatnya oleh
x = 4.
Daerah 1
4
y = x
L x dx
x x
satuan luas
10
4
0
423163
=
=
=
∫
Daerah 2
y = 6 – x
4 6
L x dx
x x
s
24
6
2
4
6
6
612
36 18 24 8
18 162
= −( )
= −
= −( ) − −( )= −=
∫
aatuan luas
Luas total
L L L
satuan luas
= +
= +
=
1 2
163
2
223
10
6. Luas daerah yang dibatasi y = x2 + 1, y = 7 – x di kuadran 1 adalah ....
Jawab: Plot titik untuk y = x2 + 1 Plot titik untuk y = 7 – x
X Y X Y
-2 5 0 7
-1 2 1 6
0 1
1 2
2 5
Gambar kurva
A
1-1-2 2x
5
y
7
Titik A adalah titik potong fungsi y = x2 dan y = 7 – x. Koordinatnya bisa langsung didapatkan bila gambar gra� knya presisi. Bila khawatir dengan ketidakakuratan titik bisa didapatkan dengan substitusi
y y
x x
x x
x x
=+ = −
+ − =+( ) −( ) =
2
2
1 7
6 0
3 2 0
x = -3 x= 2
Maka Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2. Batas atas y = 7 – x, Batas bawah y = x2 + 1.
11
L x x dx
x x dx
x x x
= −( ) − +( )
= − −( )
= − −
∫
∫
7 1
6
612
13
2
0
2
2
0
2
2 3
= − −
− ( )
=
0
2
12 283
0
223
satuan luas
b. Bentuk Daerah Jenis 2
Bentuk daerah jenis kedua adalah
y
x
x = g(y)
y = b
y = a
x = f(y)
b
a
L f y g y dy f y g y dy
y a
y b
a
b
= −[ ] = −[ ]=
=
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )
x
a
by x = f(y)
L f y dy f y dy
y a
y b
a
b
= ==
=
∫ ∫( ) ( )
12
CONTOH SOAL
1. Luas daerah gambar di bawah ini adalah ....
y
9
x
x y=
Jawab: Batas kanan: x y= , Batas kiri: sumbu y (x = 0). Batas atas: y = 9, Batas bawah: y = 0.
L y dy
dy
y
satuan luas
y
y
=
=
=
=
=
=
∫
∫
y
0
9
12
0
9
32
0
923
18
2. Luas daerah yang dibatasi oleh x = y + 6 dan x = y2 adalah .... Jawab: Plot titik untuk x = y2 Plot titik untuk x = y + 6
Y X Y X
-2 4 (4, -2) 0 6 (6, 0)
-1 1 (1, -1) 1 7 (7, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 4 (4, 2)
13
Gambar kurva
x = y2
y
x
B
A-2
2 x = y + 6
Dari gambar nampak jelas batasnya, yaitu: Batas kanan: x = y + 6, Batas kiri: x = y2. Batas atas: y = 3, Batas bawah: y = -2.
L y y dy
y y y
= +( ) −( )
= + −
= + −
− − +
−∫ 6
12
613
92
18 9 2 128
2
2
3
2 3
0
9
33
272
223
1256
= − −
= satuan luas
c. Rumus Cepat Mencari Luas
Rumus cepat dapat digunakan pada daerah-daerah yang memiliki kondisi sebagai berikut:
1. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat, atau
2. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear.
Dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus:
L
D Da
=6 2
Dimana D = b2 – 4ac
14
Dimana a, b, dan c didapatkan dari proses sebagai berikut:
1. Bila fungsinya y = f(x) dan y = g(x), maka buat fungsi selisihnya y = f(x) – g(x).
Bila fungsinya x = f(y) dan x = g(y) , maka buat fungsi selisihnya x = f(y) – g(y).
2. Jangan sederhanakan fungsi selisihnya, kemudian tentukan a, b, dan c.
3. Tentukan D kemudian substitusikan ke formula luas: LD D
a=
6 2
CONTOH SOAL
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x – 10 dengan y = x + 2 ....
Jawab: Syarat dipenuhi, karena daerah dibatasi oleh 2 fungsi, yaitu satu fungsi kuadrat y = x2 – 3x
– 10 dan fungsi linier y = x + 2. Membentuk fungsi selisih
y x x x
y x x
= − −( ) − +( )= − −
2
2
3 10 2
4 12
a c
D b ac
D
D
= = − = −= −= − ⋅ ⋅ −( )=
1 4 12
4
16 4 1 12
64
2
, , b
Maka luas daerahnya
LD D
a
L
=
=⋅
=
664 64
6 1256
3
2
2 satuan luas
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 + 2y – 1 dengan x = -y2 + 7y – 3.
Jawab: Memenuhi syarat. Daerah dibatasi oleh dua fungsi kuadrat. Membentuk fungsi selisih
x y y y y
x y y
= + −( ) − − + −( )= − +
2 2
2
2 1 7 3
2 5 2
15
a = 2, b = -5, c = 2 maka D = b2 – 4ac = 9
Maka luas daerahnya
L
D Da
= =⋅
=6
9 96 2
982 2 satuan luas
LATIHAN SOAL
1. x x dx+( ) −( ) =∫ 1 2 31
3
....
A. 263
B. 25
3
C. 233
D. 223
E. 213
2. 2 2
1
4 x x
xdx
+ =∫ ....
A. 44215
B. 44115
C. 43215
D. 41215
E. 40215
3. Bila f(x) 1
6
7∫ =dx dan 3f(x) 6
4
6∫ =dx maka 2f(x) 4
1
∫ =dx ....
16
A. -16 B. -18 C. -20 D. -22 E. -24
4. Diketahui 2f(x) 2
3
10∫ =dx , 12
22
3
g(x) ∫ =dx maka nilai dari f(x) g(x) −( )∫2
3
dx adalah ....
A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4
5. 4 5 52
x dxa
−( ) =∫ , maka nilai a adalah ....
A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7
6. Perhatikan gambar berikut!
8x
yy
x= 2
Luas daerah arsiran diatas adalah .... satuan luas.
A. 603
B. 613
C. 623
D. 643
E. 703
17
7. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 + 2, sumbu x, dan 2 < x < 3 adalah ....
A. 303
satuan luas
B. 283
satuan luas
C. 273
satuan luas
D. 263
satuan luas
E. 253
satuan luas
8. Perhatikan gambar berikut!
y
x2
y = x
yx
= 12
Luas daerah arsiran di atas adalah .... satuan luas.A. 4B. 3
C. 52
D. 2E. 1
9. Luas daerah pada gambar di bawah adalah .... satuan luas.
2
2y = 2 – x
y = x2
18
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5
10. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 – x2 dengan y = 3x – 1 adalah .... satuan luas.
A. 3236
B. 3426
C. 3436
D. 3606
E. 3766