1 INVERS MATRIK SIMETRI SIRKULAN PADA BIDANG MIRING A.Latar Belakang Masalah Matriksadalahsuatukumpulanangka-angka(seringdisebutelemenelemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjng, dimanapanjangnyadanlebarnyaditunjukkanolehbanyaknyakolomkolomdan baris-baris.Matriksbanyaksekalikegunaannyadalammemecahkanbanyak persoalan dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup hubunganantaravariabel-variabel,salahsatunyauntukmenyelesaikansistem persamaanlinear. Denganmenggunakan persamaanmatriks, suatubentuk sistem persamaanlinearakanlebihsederhanadalampenyelesaiannyadanlebihmudah dalam mencari pemecahannya. Sebagaimanahalnyaoperasimatematispadabilangannyata,padamatriks jugaberlakuoperasipenjumlahan,pengurangan,perkaliandanpembagian. Perkalianmatriksmerupakansalahsatumasalahutamadanmerupakanoperasi yangpentingdalamperhitunganmatriks.Operasiperkalianpadamatrikssering digunakanuntukmemecahkanmasalahyangberkaitandengandunianyata, terutamauntukkepentingansainsdanrekayasaperangkatlunak,misalnya digunakansebagaikomposisitransformasidalamprosespemrograman,juga digunakanuntukmencarimarketsharesetiaplabelprodukdiperiodeyangakan datangpadamasalahmanajemenmarketingdanmasihbanyaklagimanfaatdari perkalian matriks ini. Menentukaninversdarimatriksmerupakanhalpentingdanbergunadalam memecahkanmasalah-masalahyangmemuatbentukmatriks.Cirikhasmatrik sirkulanadalahsetiapbarisnyamemilikielemenyangsamatetapiurutannya berbeda. Bidang miring (skew field) merupakan pembagi ring (division ring) yang setiap elemennya tidak nol merupakan anggota bidang miring (skew field) K yang mempunyai invers. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)2 Menurutsifatnya,matriksAadalahmatrikssimetrisirkulanyangnon singulermakainversnyaA-1jugamerupakanmatrikssimetrisirkulan.Pada umumnyadalamoperasiperkalianmatriksberlakuAA-1= A-1A = I,tetapi karena elemen- elemen matriks A danA-1 merupakan bidang miring (skew field) maka AA-1= A-1A I.Berdasarkan latar belakang tersebut maka dalam pembahasan skripsi ini maka penulistertarikuntukmengkajidanmenelaahtentangmasalahtersebutdengan judul Invers Matrik Simetri Sirkulan pada Bidang Miring. B.Rumusan MasalahPadapenelitianini,rumusanmasalahnyaadalahbagaimanainversmatriks simetri sirkulan pada bidang miring? C.Tujuan Penelitian Sesuaidenganrumusanmasalahmakapenelitianinibertujuanuntuk menentukan invers matrik simetri sirkulan pada bidang miring. D.Batasan Masalah Berdasarkanbatasanmasalah,makaharusdilakukanpembatasanmasalah agartujuandaripenelitianinitercapaidenganbaikdantepatpadawaktunya. Permasalahanpadapenelitianinidibatasipadainversmatrikssimetrisirkulan pada bidang miring. E.Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang bisa diperoleh dari penelitian ini adalah: 1.Memperluaswawasankepadapenulismaupunpembacatentanginvers matriks. 2.Memberikaninformasikepadapembacatentangcara-caraataulangkah-langkahmencariinversmatriks,khususnyamatrikssimetrisirkulanpada bidang miring. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)3 3.Sebagailiteraturpenunjang,khususnyabagiMahasiswa/iJurusan Matematika. F.Sistematika Penulisan BAB IPendahuluan Pendahuluanmenguraikanlatarbelakangpemilihanjudul,tujuan,rumusanmasalah,batasanmasalah,sertasitematikapenulisantugas akhir. BAB IILandasan Teori Landasanteoriberisikantentanghal-halyangdijadikansebagaidasar teori untuk pengembangan tulisan tugas akhir. BAB IIIMetodologi Penelitian Bab ini berisi tentang metode-metode yang dilakukan untuk memperoleh data dan hasil yang dibutuhkan dalam penulisan tugas akhir ini. BAB IVPembahasan Babpembahasanberisilangkah-langkahdanhasildariinversmatriks simetri sirkulan pada bidang miring. BAB VPenutup Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran. G.Landasan Teori 1.Pengertian Matriks Matriksialahsuatukumpulanangka-angka(seringdisebutelemen-elemen) yangdisusunmenurutbarisdankolomsehinggaberbentukempatpersegi panjang,dimanapanjangnyaditunjukkanolehbanyaknyakolom-kolomdan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya baris-baris. apabilasuatumatriksAterdiridarimbarisdannkolom,makamtriksA dapat dituliskan sebagai berikut: Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)4 Am n= (o]) =o11o12 o1] o1no21o22 o2] o2n o1o2 o] on om1om2 om] omn

Dimana:i = 1,2, , mdan] = 1,2, , n o] merupakan elemenmatriksA dari barisi dan kolomj,i danj dinamakan indeks (subscript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen. Indeks i danj menunjukkan bahwa elemen o berasal dari baris i dan kolom j. Suatumatriksadalahjajaranempatpersegipanjangdaribilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Ukuran (size) suatumatriksdinyatakandalamjumlahbaris(arahhorizontal)dankolom(arah vertikal) yang dimilikinya. Contoh : A = _1 23 01 4_;B = [ 2 1 0 3];C =o11o12 o1] o1no21o22 o2] o2n o1o2 o] on om1om2 om] omn; = j12[ MatrikAmemilikiukuran3x2,matriksBmemilikiukuran1x4,matriksC memiliki ukuran m x n , dan matriks D memiliki ukuran 2 x 1. Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom. Dan suatumatriksyangterdiridarisatubarisdisebutmatriksbaris.Dalampenulisan matriksbiasanyadigunakanhurufkapitaluntukmenyatakanmatriksdanhuruf kecil untuk menyatakan kuantitas numerik. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)5 2.Operai Matriks a.Penjumlahan dan Pengurangan matriks Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkanjika danhanyajikamempunyai ordoyangsama.Jumlahatauselisihdariduabuahmatriksmxnadalahsebuah matrikslainyangelemennyaterdiridarijumlahatauselisihdarimasing-masing elemen pada letak yang berhubungan dalam matriks-matriks aslinya, jadi jika A = _o11 o1n om1 omn_;B = _o11 o1n om1 omn_KemudianA B = C C = _ o11 b11 o1n b1n om1 bm1 omn bmn_ = _c11 c1n cm1 cmn_ Yaitu (o]) + (b]) = (c]), dimana c]= o]+ b] untuk semua i dan j. Contoh :DiketahuiduabuahmatriksAdanmatriksB,tentukanpenjumlahandan pengurangannya!A = _3 2 45 6 83 0 0_; B = _0 3 85 6 20 0 4_ PenjumlahanC = A + B = _3 + 0 2 + 3 4 + 85 + ( 5) 6 + ( 6) 8 + 23 + 0 0 + 0 0 + ( 4)_= _3 5 40 0 103 0 4_PenguranganC = A B = _3 0 2 3 4 85 ( 5) 6 ( 6) 8 23 0 0 0 0 ( 4)_ = _3 1 1210 12 63 0 4_ b.Perkalian Matriks dengan Skalar JikaAsuatumatriksdanksuatuskalar,makakAadalahmatriksyang terbentukolehperkalianmasing-masingentridariAdengank.JikaAsuatu Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)6 matriks m n dan k suatu skalar, maka kA adalah matriks m n yang entri ke-i] nya adalah ko] A = _o11 o1n om1 omn_ dan k adalah suatu skalar sebarang, maka kA = _ko11 ko1n kom1 komn_Contoh : Diketahui matriks A = _3 2 45 6 83 0 0_ dan k = 3, tentukan kA? Penyelesaian : kA = _3( 3) 3( 2) 3( 4)3( 5) 3( 6) 3( 8)3( 3) 3( 0) 3( 0)_ = _9 6 1215 18 249 0 0_ c.Perkalian Antar matriks SuatumatriksAdapatdikalikandenganmatriksB,jikahanyajikajumlah kolomdarimatriksAsamadenganjumlahbarismatrikB.JadibilamatriksA berukuran m x n dan matriks B berukuran n x p, maka matriks A dapat dikalikan dengan matriks B. Dan perkalian untuk AB adalah sebuah matriks baru berukuran m x p. Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama AsamadenganjumlahbarisfaktorkeduaBuntukmembentukhasilkaliAB. Perkalian dua buah matriks bisa di wakilkan dengan skema berikut: A B [ mn] [ np] [ mn]C Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)7 Jika dua buah matriks dikalikan, elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks hasil kali adalah produk inti dari perkalian antara vektor baris ke-i dengan vektorkolomke-jpadakeduamatrikstersebut.Jadihasilkaliantaraduabuah matriksdapatditulissebagaisebuahmatriksdariprodukintinya:JikaA =(o])m x n dan B = (b]k)n x p, maka AB = C dimana C = ( ck)m x p= _ o1]n]=1b]1 o1]n]=1b]m om]n]=1b]1 om]n]=1b]n_Contoh : Diketahui matriks A = j4 6 1 30 1 2 1[ dan matriks B = _1 2112163_, tentukan AB? Penyelesaian:C = AB = j4 6 1 30 1 2 1[ _1 2112163_= _( 4 1) + ( 6 1) + ( 1 1) + ( 3 2) ( 4 2) + ( 6 1) + ( 1 6) + ( 3 3)( 0 1) + ( 1 1) + ( 2 1) + ( 1 2) ( 0 2) + ( 1 1) + ( 2 6) + ( 1 3)_ = j3 175 14[ 3.Invers Suatu Matriks Bilasuatuangkariilo 0,dano-1=1o,.Makao-1o = oo-1=1.Kita sebuto-1adalahinversdario.Angkabilanganbulat1memainkanhalyang uniquedalamperkaliandariangkariil.Bilasuatuangkariildikalikandengan1, hasilnya adalah selalu sama dengan nilai dari angka tersebut. Jadi o 1 = 1 o = o. Angka bilangan bulat 1 disebut elemen identited untuk perkalian angka riil. Demikianpulahalnyadenganperkaliandarisuatumatriksdengansuatu matriksidentitasharusmenghasilkanmatrikssemulayangtidakberubah,yaitu A 1 = 1 A = A.JikamatriksAdikalikandenganmatriksBmakamenghasilkan suatu matriks identitas, AB = BA = 1, maka matriks B disebut matriks invers dari matriks A dan ditulis A-1. Sehingga A-1A = AA-1=1Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)8 a.Invers matriks 2 x 2 JikasuatumatriksA = jo11o12o21o22[danmatriksA-1dinotasikandengan B = _b11b12b21b22_, maka secara defenisi AB = 1, yaitu: jo11o12o21o22[ _b11b12b21b22_ = j1 00 1[, jadi _o11b11+ o12b21o11b12+ o12b22o21b11+ o22b21o21b12+ o22b22_ = j1 00 1[ dan o11b11+ o12b21= 1 o11b12+ o12b22= 0 o21b11+ o22b21= 0 o21b12+ o22b22= 1 Penyelesaian keempat persamaan ini untuk b], b11=o22o11o22 o21o12 b12=o12o11o22 o21o12 b21=o21o11o22 o21o12 b22=o11o11o22 o21o12 Yang perlu diingat bahwa determinan A adalah Det A = jo11o12o21o22[ = o11o22 o21o12 Contoh:Tentukanlah invers dari matriks A = j1 64 3[ ! Penyelesaian: Det A = j1 64 3[ = 1 3 6 4 = 27 b11=327= 19 b12=627=29 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)9 b21=427=427 b22=127=127 Jadi A-1= _1929427127_ b.Invers Dengan Operasi Baris atau Kolom Tahap-tahapmengubahmatrikskuadratmenjadimatriksidentitas(gaussian Elimination), Membagibarispertamadarimatriksdenganelemenyangadadalamkolom pertamamatrikstersebut,gunakanlahbarisyangdihasilkanuntuk memperoleh nilai nol pada kolom pertama dari setiap baris yang lain. Membagibariskeduadenganelemendalamkolomkedua,gunakanlahbaris yangdihasilkanuntukmemperolehnilainolpadakolomkeduadarisetiap baris lain. Lakukanlahlangkahtersebutsampaibariskendenganelemenkolomn, gunakanlahbarisyangdihasilkanuntukmemperolehnolpadakolomken setiap baris lainnya. Contoh: Carilah invers dari matriks _0 2 31 3 31 2 2_ ? Penyelesaian:_1 3 30 2 31 2 2_0 1 01 0 00 0 1_(menukarkan baris pertama dengan baris kedua) _1 3 30 2 30 1 1_0 1 01 0 00 1 1_ (b3+b1) Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)10 _1 3 30 132,0 1 1_0 1 012, 0 00 1 1_ ( 12b2) 1 0 32,0 132,0 0 12,__32, 1 012, 0 012, 1 1{ b1+ ( 3b2) }Jon{ b3+ ( b2) } _1 0 32,0 132,0 0 1_32, 1 012, 0 01 2 2_ ( 2b3) _1 0 00 1 00 0 1_0 3 31 3 31 2 2_ ]b1+ [32b3Jon{ b2+ ( 32b3) }Jadi_0 2 31 3 31 2 2_-1= _0 2 31 3 31 2 2_ 4.Matriks Simetris MatriksAdisebutmatrikssimetrisjikaA1= A.DemikianjugaA = ( o,])dikatakansimetrisjugaelemen-elemensimetrisnya(elemen-elemencermin terhadap diagonal) sama, yaitu jika setiap o,]= o,]. MatriksA adalahsimetrismiringjikaA1= Aatau,jikao,]= o],.Jelas bahwaelemen-elemendiagonaldarimatrikssemacaminiharusnol,karena o,= o, bearti o,= 0. Contoh Misalkan A = _2 3 53 6 75 7 8_ Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)11 5.Matriks SirkulanMatrikssirkulanadalahmatriksdenganelemenbarispertamao =( o0, o1,, , on-1) dan baris berikutnya merupakan pergeseran kekanan sekali (satu elemen)darielemen-lemenbarissebelumnya.Jadielemenmatrikssirkulan tergantungpadainputbarispertamanya.Berikutadalahbentukumummatriks sirkulan berukuran n n. o0o1o2 on-1on-1o0o1 on-2on-2o1on-1o2o0o3on-3o0 Defenisi MisalkanA = ( o,]) matriksberukurann n. Aadalahmatrikssirkulanjikadan hanya jika o,]= ok,I dimana ] i = l k( moJ n) . Defenisi i.Diberikano = ( o0, o1, , on-1) makamatrikssirkulanA = ( o,]) dimana o,]= o]-( mod n) dinotasikan oleh CIRCn( o) . ii.Vektor o (baris pertama dari matriks sirkulan) disebut vektor sirkulan. Teorema Jika A, B adalah matriks sirkulan maka A B, A B adalah matriks sirkulan. Contoh Diberikan matriks A = CIRC3( 2, 1,1)dan B = CIRC3( 1,2,3)maka A B = _2 1 11 2 11 1 2_ _1 2 33 1 22 3 1_ = _3 1 44 3 11 4 3_ A B = _2 1 11 2 11 1 2_ _1 2 33 1 22 3 1_ = _3 4 55 3 44 5 3_ Terlihat bahwa A B, A B merupakan matriks sirkulan. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)12 6.Bidang Miring (Skew Field) Bidang miring (skew field) adalah division ring yang tidak komutatif. Defenisi Suatu himpunan tak kosong R bersama dengan dua operasi biner penjumlahan dan perkalian dikatakan ring bila memenuhi aksioma berikut ini: i.Untuk setiap o, b, c R berlaku o + ( b + c) = ( o + b) + c ii.Untuk setiap o, b R berlaku o + b = b + o iii.Terdapat beberapa elemen 0 dalam Rmakao + 0 = 0 + o = ountuksetiap o R iv.Untuksemuao Rterdapatelemen( o) Rmakao + ( o) = ( o) +o = 0 dimana ( o)disebut invers o v.Untuk setiap o, b, c R berlaku o. ( b. c) = ( o. b) . c vi.Untuksetiapo, b, c Rberlakuhukumdistributifkiriyaituo. ( b + c) =o. b + o. c dan hukum distributif kanan yaitu ( o + b) . c = o. c + b. c Defenisi Suatu ring R disebut ring komutatif jika berlaku o. b = b. o untuk setiap o, b R. Jikaterdapatelemenc R, oc = co = ountuksetiapo RmakaRdikatakan ring dengan unity. F.Metodologi Penelitian Dalam penulisan tugas akhir ini penulis menggunakan metode kajian pustaka (studi 12iterature), yaitu penelitian yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasidenganbantuanbermacam-macammaterialyangterdapatdiruang perpustakaan, seperti: buku-buku, jurnal, dokumentasi, catatan, dan juga internet. Dalampenulisanini,langkah-langkahumumyangdilakukanpenulisadalah sebagai berikut: 1.Merumuskanmasalah.Membuatrancanganterlebihdahulumengenai ssspermasalahan yang akan dibahas. 2.Mengumpulkan berbagai 12iterature yang berhubungan dengan permasalahan yang akan dibahas dengan cara membaca dan memahami 12iterature-literatur yang berkaitan. Dalam hal ini, 12iterature yang digunakan berupa buku-buku Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)13 danjurnal-jurnalyangberkaitan denganmasalahmatriks danbidangmiring (skew field). 3.Menyelesaikandanmenganalisispermasalahanyangtelahdiperolehdengan langkah-langkahsebagaiberikut:menjelaskanmatriksatasbidangmiring (skew field), matriks simetri sirkulan dan sifat-sifatnya, invers matriks simetri sirkulandanyangterakhirmenyertakan/memilihcontohyangrelevandan berkaitan dengan permasalahan yang dibahas. 4.Merumuskankesimpulandarihasilanalisiscontohyangtelahdilakukan, dimanakesimpulaninimerupakanjawabansingkatdaripermasalahanyang telah dikemukakan dalam pembahasan. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)14 DAFTAR PUSTAKA Jun-Qing.Wang and chang-Zhou Dong. 2007. Invers of Symetric Circulant Matrix on Skew Field. Internasional Journal Of algebra, I (11): 541-546Hardy Kenneth. 2005. Linear Algebra. Pearson Education Internasional, Carleton University: Ottawa Santosa R Gunawan. 2009. Aljabar Linier Dasar. Andi Yogyakarta: Yogyakarta Sam. P. 1952. Theory of Matrices. Adison-Wesly, USA Lipschuts Seymour. 2004. Aljabar Linear. Erlangga: JakartaAssauri Sofjan. 1983. Aljabar Linear. CV. Raja Wali: Jakarta Weber Jean E. 1999. Analisis Matematika. Erlangga: Jakarta Kutner Neter.1996. Applied Linear Statistical Models.Irwin. Toronto Howar, Anton. 1987. Elementary Linear Algebra.Mc Graw Hill, New York Keith Mathew. 1991. Elementry Algebra. http:www.numbertheory.org/book

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)