prolin

PROGRAM LINIER

FINAL TEST

NURUL HILAL 10536 3409 09

MATEMATIKA 5H

NURUL HILAL

10536 3409 09

MATEMATIKA 5H

1) Diketahui fungsi objektif, Z = x1 + 5x2, dengan sumber terbatas x1 + x2 ≥ 48 5x1 + 17x2 ≥ 10 3x1 + 10x2 ≤ 8 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

Tentukanlah solusi optimal dari formulasi permasalahan di atas!

2) Tentukan solusi optimal dari permasalahan berikut dengan fungsi tujuan Z = 2x1 + 5x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 30 3x1 + 8x2 ≥ 12 2x1 + 8 x2 ≤ 6 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

3) Tentukan solusi dari permasalahan pemrograman linier berikut dengan fungsi tujuan (Objective Function), minimalkan : Z = x1 + 4x2

Dengan kendala (Constraint) : x1 + x2 ≥ 24 6x1 + 12x2 ≥ 8 4x1 + 14x2 ≤ 10 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

4) Minimalkan : Z = 3x1 + 5x2 dengan daerah pembatas (limited resources) x1 + x2 ≥ 48 5x1 + 11x2 ≥ 7 x1 + 7x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

5) Carilah solusi optimal dari permasalahan berikut ;

Minimalkan : Z = 2x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 36 6x1 + 12x2 ≥ 8 4x1 + 8 x2 ≤ 6 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) PENYELESAIAN

1) Z = x1 + 5x2, dengan sumber terbatas x1 + x2 ≥ 48 5x1 + 17x2 ≥ 10 3x1 + 10x2 ≤ 8 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 5 x1 + 17 x2 ≥ 10 menjadi 5 x1 + 17 x2 ≥ 10 (x1 + x2) ⟹ 5 x1 + 17 x2 ≥ 10 (x1 + x2) ⟹5 x1 + 17 x2 ≥ 10 x1 + 10 x2 ⟹ (10 x1 - 5 x1) + (10 x2 - 17 x2) ≤ 0 ⟹ 5 x1 - 7 x2 ≤ 0, dengan cara yang sama kendala 3x1 + 10 x2 ≤ 8 diubah menjadi , ⟹ 3x1 + 10 x2 ≤ 8 (x1 + x2) ⟹ 3x1 + 10 x2 ≤ 8 x1 + 8 x2

⟹ (8x1 - 3x1) + (8 x2 – 10 x2) ≥ 0 ⟹ 5 x1 - 2 x2 ≥ 0.

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut :

Fungsi tujuan : Z = x1 + 5x2 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 48, 5 x1 - 7 x2 ≤ 0, 5 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0

(non-negative)

30 25 20 10 5 15 35

5

10

15

20

25

30

Untuk menggambarkan fungsi kendala, maka terlebih dahulu mencari titik potong ketiga kendala, bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Jadi,

Titik potong kendala 5 x1 - 7 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48 5 x1 - 7 x2 ≤ 0 ⟹ 5 x1 = 7 x2 ⟹ x1 = 7

5 x2.

x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 75 x2 + x2 = 48 ⟹ 12

5 x2 = 48, untuk nilai x2 = 20.

x1 + (20) = 48, untuk nilai x1 = 28

Jadi, titik potong kendala adalah (28,20)

Titik potong kendala 5 x1 - 2 x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 48 5 x1 - 2 x2 ≥ 0 ⟹ 5 x1 = 2 x2 ⟹ x1 = 2

5 x2.

x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 25 x2 + x2 = 48 ⟹ 7

5 x2 = 48, untuk nilai x2 = 34,29.

x1 + (34,29) = 48, untuk nilai x1 = 13,71.

Jadi, titik potong kendala adalah (13,71;34,29)

GAMBAR

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 1 (koefisien x1) dan angka 5 (koefisien x2) adalah 5, sehingga fungsi tujuan menjadi 5 = x1 + 5 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,1). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)

Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 28 dan x2 = 20. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh (28) + 5 (20) = 128. Dan pada titik B nilai x1 = 13,71 dan x2 = 34,29, kita peroleh (13,71) + 5 (34,29) = 185,16. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

2) Z = 2x1 + 5x2, dengan fungsi kendala ; x1 + x2 ≥ 26 8x1 + 3x2 ≥ 12 2x1 + 8 x2 ≤ 6 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 8x1 + 3 x2 ≥ 12 menjadi 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 (x1 + x2) ⟹ 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 (x1 + x2) ⟹ 8 x1 + 3 x2 ≥ 12 x1 + 12 x2 ⟹ (12 x1 - 8 x1) + (12 x2 - 3 x2) ≤ 0 ⟹ 4 x1 - 9 x2 ≤ 0,

dengan cara yang sama kendala 2 x1 + 8 x2 ≤ 6 diubah menjadi , ⟹ 2x1 + 8 x2 ≤ 6 (x1 + x2) ⟹ 2x1 + 8 x2 ≤ 6 x1 + 6 x2

⟹ (6x1 - 2x1) + (6 x2 – 8 x2) ≥ 0 ⟹ 4 x1 - 2 x2 ≥ 0.


Fungsi tujuan : Z = 2 x1 + 5 x2 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 26, 4 x1 - 9 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0

(non-negative)


Titik potong kendala 4 x1 - 9 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 26 4x1 - 9 x2 ≤ 0 ⟹ 4 x1 = 9 x2 ⟹ x1 = 9

4 x2.

x1 + x2 ≥ 26 ⟹ 94 x2 + x2 = 26 ⟹ 13

4 x2 = 26, untuk nilai x2 = 8.

x1 + (8) = 26, untuk nilai x1 = 18

Jadi, titik potong kendala adalah (18, 8)


2 x2.

x1 + x2 ≥ 26 ⟹ 12 x2 + x2 = 26 ⟹ 3

2 x2 = 26, untuk nilai x2 = 17,33.

x1 + (17,33) = 26, untuk nilai x1 = 8,67.



Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada

30 25 20 10 5 15 35

5

10

15

20

25

30

area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 2 (koefisien x1) dan angka 5 (koefisien x2) adalah 10, sehingga fungsi tujuan menjadi 10 = 2 x1 + 5 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,2). GAMBAR Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)

Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 18 dan x2 = 8. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 2 (18) + 5 (8) = 76. Dan pada titik B nilai x1 = 8,67 dan x2 = 17,33, kita peroleh 2 (8,67) + 5 (17,33) = 103,99. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

3) Z = x1 + 4x2 Dengan kendala (Constraint) : x1 + x2 ≥ 24 6x1 + 12x2 ≥ 8

4x1 + 14x2 ≤ 10 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 6x1 + 12 x2 ≥ 8 menjadi 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2) ⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2) ⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 x1 + 8 x2 ⟹ (8 x1 - 6 x1) + (8 x2 - 12 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,

dengan cara yang sama kendala 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 diubah menjadi , ⟹ 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 (x1 + x2) ⟹ 4 x1 + 14 x2 ≤ 10 x1 + 10 x2

⟹ (10x1 - 4x1) + (10 x2 – 14 x2) ≥ 0 ⟹ 6 x1 - 4 x2 ≥ 0.


Fungsi tujuan : Z = x1 + 4 x2 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 24, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 6 x1 - 4 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0

(non-negative)


Titik potong kendala 2 x1 - 4 x2 ≤ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 24 2x1 - 4 x2 ≤ 0 ⟹ 2 x1 = 4 x2 ⟹ x1 = 2 x2.

x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 2 x2 + x2 = 24 ⟹ 3x2 = 24, untuk nilai x2 = 8. x1 + (8) = 24, untuk nilai x1 = 16



3 x2.

x1 + x2 ≥ 24 ⟹ 23 x2 + x2 = 24 ⟹ 5

3 x2 = 24, untuk nilai x2 = 14,4.

30 25 20 10 5 15 35

5

10

15

20

25

30

x1 + (14,4) = 24, untuk nilai x1 = 9,6.


GAMBAR


Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 1 (koefisien x1) dan angka 4 (koefisien x2) adalah 4, sehingga fungsi tujuan menjadi 4 = x1 + 4 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (4,0) dan sumbu x2 pada titik (0,1). Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point)

Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 16 dan x2 = 8. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita

peroleh (16) + 4 (8) = 48. Dan pada titik B nilai x1 = 9,6 dan x2 = 14,4, kita peroleh (9,6) + 4 (14,4) = 67,2. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

4) Z = 3x1 + 5x2 dengan daerah pembatas (limited resources) x1 + x2 ≥ 48 5x1 + 11x2 ≥ 7 x1 + 7x2 ≤ 5 x1,x2 ≥ 0 (non-negative) Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 5x1 + 11 x2 ≥ 7 menjadi 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 (x1 + x2) ⟹ 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 (x1 + x2) ⟹ 5 x1 + 11 x2 ≥ 7 x1 + 7 x2 ⟹ (7 x1 - 5 x1) + (7 x2 - 11 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,

dengan cara yang sama kendala x1 + 7 x2 ≤ 5 diubah menjadi , ⟹ x1 + 7 x2 ≤ 5 (x1 + x2) ⟹ x1 + 7 x2 ≤ 5 x1 + 5 x2

⟹ (5x1 - x1) + (5 x2 – 7 x2) ≥ 0 ⟹ 4x1 - 2 x2 ≥ 0.


Fungsi tujuan : Z = 3 x1 + 5 x2 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 48, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 4 x1 - 2 x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0

(non-negative)



30 25 20 10 5 15 35

5

10

15

20

25

30




2 x2.

x1 + x2 ≥ 48 ⟹ 12 x2 + x2 = 48 ⟹ 3

2 x2 = 48, untuk nilai x2 = 32.

x1 + (32) = 48, untuk nilai x1 = 16.


GAMBAR


Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti

nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 3 (koefisien x1) dan angka 5 (koefisien x2) adalah 15, sehingga fungsi tujuan menjadi 15 = 3 x1 + 5 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5,0) dan sumbu x2 pada titik (0,3).

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z

di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 32 dan x2 = 16. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 3(32) + 5 (16) = 176. Dan pada titik B nilai x1 = 16 dan x2 = 32, kita peroleh 3 (16) + 5 (32) = 208. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

5) Z = 2x1 + 6x2, dengan fungsi kendala ;

x1 + x2 ≥ 36 6x1 + 12x2 ≥ 8 4x1 + 7 x2 ≤ 6 x1,x2 ≥ 0 (non-negative)

Untuk memudahkan dalam perhitungan maka kendala di atas ditransform ke bentuk persamaan implisit, sehingga 6x1 + 12x2 ≥ 8 menjadi 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2) ⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 (x1 + x2) ⟹ 6 x1 + 12 x2 ≥ 8 x1 + 8 x2 ⟹ (8 x1 - 6 x1) + (8 x2 - 12 x2) ≤ 0 ⟹ 2 x1 - 4 x2 ≤ 0,

dengan cara yang sama kendala 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 diubah menjadi , ⟹ 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 (x1 + x2) ⟹ 4 x1 + 7 x2 ≤ 6 x1 + 6 x2

⟹ (6 x1 – 4 x1) + (6 x2 – 7 x2) ≥ 0 ⟹ 2x1 - x2 ≥ 0.

30 25 20 10 5 15 35

5

15

25


Fungsi tujuan : Z = 2 x1 + 6 x2 Fungsi kendala x1 + x2 ≥ 36, 2 x1 - 4 x2 ≤ 0, 2 x1 - x2 ≥ 0, dan x1,x2 ≥ 0

(non-negative)





Titik potong kendala 2 x1 - x2 ≥ 0 terhadap daerah pembatas x1 + x2 ≥ 36 2 x1 - x2 ≥ 0 ⟹ 2 x1 = x2 ⟹ x1 = 1

2 x2.

x1 + x2 ≥ 36 ⟹ 12 x2 + x2 = 36 ⟹ 3

2 x2 = 36, untuk nilai x2 = 24.

x1 + (24) = 36, untuk nilai x1 = 12.

Jadi, titik potong kendala adalah (12, 24).

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu :

1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan iso cost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini, angka yang mudah dibagi angka 2 (koefisien x1) dan angka 6 (koefisien x2) adalah 12, sehingga fungsi tujuan menjadi 12 = 2 x1 + 6 x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (6,0) dan sumbu x2 pada titik (0,2).

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) Untuk penyelesaian dengan menggunakan titik sudut, kita mencari nilai z

di kedua titik tersebut kemudian kita pilih nilai z yang paling kecil. Titik A nilai x1 = 24 dan x2 = 12. Dengan mensubstitusi angka tersebut ke fungsi tujuan kita peroleh 2 (24) + 6 (12) = 120. Dan pada titik B nilai x1 = 12 dan x2 = 24, kita peroleh 2 (12) + 6 (24) = 168. Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik B. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

prolin

Education