DASAR TEORI

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu.  Metode   Iterasi   Jacobi  merupakan   salah   satu  metode   tak   langsung,   yaitu bermula   dari   suatu   hampiran   penyelesaian   awal   dan   kemudian   berusaha  memperbaiki hampiran   dalam   tak   berhingga   namun   langkah   konvergen.   Metode   Iterasi   Jacobi   ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode   ini  ditemukan  oleh matematikawan yang  berasal  dari   Jerman,Carl  Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear,  maka dapat ditulis  sebagai berikut

Kemudian,   diketahui   bahwa  ,   di   mana   merupakan matriks   diagonal,   merupakan   matriks   segitiga   bawah,   dan   merupakan   matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :

Kemudian,

Jika   ditulis   dalam   aturan   iteratif,   maka  metode   Jacobi   dapat   ditulis sebagai :

di   mana   merupakan   banyaknya   iterasi.   Jika   menyatakan hampiran ke-   penyelesaian SPL, maka   adalah hampiran awal.

Penggunaan   algoritma   Metode   Iterasi   Jacobi   dalam   bentuk   matlab.   Matlab merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT :, A, b, dan hampiran awal Y=(y1 y2 y3...yn)T , batas toleransi T, dan maksimum 

iterasi N

OUTPUT :X=(x1 x2 x3...xn)T,   vektor   galat   hampiran  ,   dan   yang  merupakan  matriks 

dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.H=X0'n=length (b)X=X0

for k:=1 until Nfor i:=i until n,S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) * X0 (1:i-1,i+1:n](X(i) = S / A (i,i)endg = abs (X-X0)err = norm (g)relerr = err / (norm (X)+eps)X0 = XH = [H;X0']if (err<T)|(relerr<T), break, endend

Dalam fisika, penurunan problem diferensiasi numerik dapat menggunakan metode  finite difference.  Metode ini  terdiri  dari  metode beda maju (forward difference),  beda mundur (backward difference) dan beda tengah (central difference) yang persamaan-persamaannya antara lain: 

Beda maju 

Beda mundur 

Beda tengah 

atau dapat dinotasikan 

Persamaan-persamaan   di   atas   digunakan   untuk   penurunan   numerik   persamaan diferensiasi  orde satu.  Sedangkan untuk  persamaan diferensiasi  orde dua,  metode yang digunakan merupakan perpaduan dari metode beda maju, beda mundur dan beda tengah di atas, yang bentuk persamaannya adalah: 

ANALISA

Program 1

 

Program 2

fp=fopen('data.txt','w'); n=10;dt=0.05; f=[0 2.49 4.9 7.16 9.2 10.94 12.3 13.21 13.6 13.39]; bd=[];fd=[];cd=[]; %inisialisasi awal bd=f;fd=f;cd=f; %backward difference for i=2:n bd(i)=(f(i)-f(i-1))/dt; end %forward difference for i=1:n-1 fd(i)=(f(i+1)-f(i))/dt; end %central difference for i=2:n-1 cd(i)=(f(i+1)-f(i-1))/(2*dt); end t=0; fprintf(fp,'t BD FD CD\n'); for i=1:n fprintf(fp,'%0.2f %2.7f %2.7f %2.7f\n',t,bd(i),fd(i),cd(i)); t=t+dt; end fclose(fp); disp('Done..');

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100,000,000

0

100,000,000

200,000,000

300,000,000

400,000,000

500,000,000

600,000,000

0.0000000498.000.0000.0000000

DAFTAR PUSTAKA

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta