FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS CENDERAWASIHJAYAPURA

2014

SKRIPSI

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN DENGAN METODE

KOEFISIEN TAK TENTU

OLEH

RUTH DIAN FITRIO

NIM. 0100540040

ABSTRAKSkripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui, khususnya yang berorde satu dan memiliki koefisien konstan menggunakan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi sistem persamaan diferensial dengan metode koefisien tak tentu dimulai dengan menuliskan sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks

dengan merupakan matriks koefisien berordo dan merupakan

matriks fungsi tak homogen dari sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi homogen dari sistem homogen dengan cara mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial, yaitu dengan merupakan nilai eigen dan merupakan vektor eigen dari matriks .

Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen . Langkah-langkahnya yaitu, melihat bentuk fungsi yang mirip dengan fungsi tak homogen dari bentuk-bentuk fungsi yang tersedia. Kemudian lihat kesamaan dengan solusi homogen , setelah itu memilih pemisalan yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk dengan mengikuti aturan yang ada. Selanjutnya, substitusikan ke sistem untuk mencari nilai dari koefisien-koefisien pada . Setelah diperoleh hasil dari dan , maka dapat ditentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen yaitu .

Latar BelakangPersamaan diferensial dengan bentuk

dengan dan adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas , dan

merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak homogen.

Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang memuat 2 atau lebih persamaan diferensial linear tak homogen.

Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat dicari dengan menggunakan suatu metode tertentu.

Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak tentu.

Bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

Rumusan Masalah

Sistem dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.

Sistem dengan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.

Batasan Masalah

Tujuan Penelitian

Mengetahui langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

Fungsi

Turunan

Matriks

Sistem Persamaan Linear

Operasi Baris Elementer

Determinan

Invers Matriks

Ruang Vektor

Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Persamaan Diferensial

Metode Koefisien Tak Tentu

LANDASAN TEORI

Invers Matriks

Ruang Vektor

Nilai Eigen Dan Vektor Eigen

Persamaan Diferensial

Metode Koefisien Tak Tentu

Solusi Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Linear Tak Homogen dengan

Metode Koefisien Tak TentuLangkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:

1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks

2. Mencari solusi homogen dari sistem yaitu

dengan dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks .

3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan yang bentuknya sesuai dengan bentuk , setelah itu substitusikan ke sistem untuk mencari koefisien-koefisien dari

4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu

Kasus 1:

Diberikan sebuah SPD linear sebagai berikut

Solusi umumnya yaitu

Bentuk matriks dari Sistem (3.1) adalah dengan dan .

Solusi Homogen dari SPD homogen

Mencari nilai-nilai eigen dari matriks

det(det

(3.1)

Sehingga diperoleh nilai eigen dari yaitu dan .

Selanjutnya, mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen.

Untuk ,

Dengan operasi baris elementer, diperoleh

Misalkan , maka sehingga vektor jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu .

Digunakan cara yang sama untuk , sehingga diperoleh vektor eigen .

Sehingga diperoleh solusi homogen dari SPD yaitu

Solusi khusus dari fungsi tak homogen

Dapat dilihat bahwa memuat bentuk-bentuk polinomial dan eksponensial, dan tidak sama dengan solusi homogen dari SPD, sehingga dapat dipilih pemisalan yang sesuai dengan bentuk yaitu

Substitusikan pada SPD

Dari persamaan di atas, diperoleh koefisien-koefisien dan yang akan dicari.

1) koefisien dari yaitu: …(1)

2) koefisien dari yaitu: …(2)

3) koefisien dari yaitu:

misalkan

Diperoleh

Persamaan (3.1) dan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks

Dengan operasi baris elementer, diperoleh

sehingga,

…(3)

atau …(3.1)

atau …(3.2)

…(3)

4) dan konstanta yaitu:

Sehingga diperoleh solusi khusus yaitu

…(4)

Jadi solusi umum dari SPD tak homogen yang diberikan yaitu

KesimpulanLangkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks 2. Mencari solusi homogen dari sistem yaitu

dengan dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks .

3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan yang bentuknya sesuai dengan bentuk , setelah itu substitusikan ke sistem untuk mencari koefisien-koefisien dari

4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu

Saran

Bagi pembaca yang tertarik untuk membahas lebih mendalam mengenai metode ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi atau solusi persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa Aksara.

Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen. Jakarta : Erlangga.

Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta: Erlangga.

Gazali, Wikaria. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.

Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1 (Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.

Waluya, B. 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial. Semarang: Universitas Negeri Semarang.

TERIMA KASIH