Simulasi Numeric Perpindahan Panas Konduksi 1D Menggunakan Pendekatan Beda Hingga (FTCS,

Laasonen dan Crank-Nicholson)

NOVITA PARINGGAI0409036

Universitas Sebelas Maret

PENDAHULUAN Metode numeric merupakan cabang ilmu matematika

yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik. Banyak permasalahan dalam bidang teknik yang dapat diformulasikan kedalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung turunan fungsi , persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial, metode yang digunakan adalah metode beda hingga skema Eksplisit(FTCS), skema Implisit(LAASONEN), skema Crank-Nicholson

Adanya kemajuan dalam teknologi komputer memungkinkan pelaksanaan komputasi secara tepat dan cepat menjadikan berbagai metode penyelesaian persoalan dengan pendekatan numerik sangat berguna. Dengan metode beda hingga sangat memudahkan menyelesaikan persoalan-persoalan perpindahan panas dengan bantuan komputer.

DASAR TEORI

Perpindahan panas Perpindahan panas mengalir pdari tempat yang

bersuhu tinggi ke rendah ada 3 macam perpindahan panas:

1. konduksi: Perpindahan panas secara langsung(padat,cair,gas)

2. konveksi: perpindahan panas hanya pada zat cair

3. Radiasi: perpindahan panas tanpa adanya perantara

Metode beda hingga

Suatu metode numeric untuk menyelesaikan suatu permasalahan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi system persamaan linier. Metode ini untuk mendekati ungkapan turunan pertama dan kedua.

Metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor, yaitu metode pendekatan agar sebuah persamaan diferensial parsial dapat diubah menjadi operasi aritmatika dan operasi logika yang dapat dibaca oleh komputer. Deret Tylor:

Ekspansi deret Taylor untuk fungsi dua variabel menghasilkan beda maju orde pertama, beda mundur orde pertama, beda tengah orde pertama, dan beda tengah orde kedua

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

3

33

2

22

!3

)(

!2

)()()()(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

1 !

)()()(

nn

nn

x

f

n

xxfxxf

Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama

x

f

)(1 xx

ff

x

f ii

211 )(2

xx

ff

x

f ii

1. Pendekatan beda maju (forward difference)

3. Pendekatan beda tengah (central difference)

2. Pendekatan beda mundur (backward difference)

)(1 xx

ff

x

f ii

Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua

2

2

x

f

2

211

2

2 2x

x

fff

x

f iii

1. pendektan beda tengah (central difference)

Ada 3 macam metode beda hingga yang dapat menyelesaikan persamaan perpindahan panas satu dimensi UNSTEADY

Persamaan perpindahan panas konduksi 1D

2

2

x

T

t

T

02

2

x

T

unsteady

steady

1.Metode FTCS (forward in time central in space)

i-1 i i+1x

t

n

n+1

Skema metode FTCS

i = indeks ruang

n= indeks waktu

Diskretisasi persamaan konduksi 1D

2

2

x

T

t

T

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda majuTurunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengahDiskretisasi turunan waktu

2

2

1

2

2 21

xx

TTT

x

Tni

nnii

tt

TT

t

Tnnii

1

Diskretisasi turunan ruang

Sehingga :

211

12

x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

n

ini

ni

nn TTTx

tTT ii 112

1 2

2. Metode Laasonen

t

n+1

n

i+1

ii-1x

i = indeks ruang

n= indeks waktu

Skema metode Laasonen

Diskretisasi persamaan konduksi 1D

2

2

x

T

t

T

tt

TT

t

Tnnii

1

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda majuTurunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengahDiskretisasi turunan waktu

2

2

11

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tni

nnii

Diskretisasi turunan ruang

n1n

1i1n1n

1i ii TTTT

222

111

1112

11

1112

1

2

11

111

1

21

2

2

2

x

t

x

t

x

t

TTTTTx

t

TTTx

tTT

x

TTT

t

TT

nnni

ni

ni

ni

ni

ni

nn

ni

ni

ni

nn

ii

ii

ii

iiii dcba

1n1i

1n1n1i TTT i

Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks

n

iT

i

i

i

i

d

x

tc

x

tb

x

ta

2

2

2

21

3. Metode Crank-Nicolson

n+1/2

t/2

n+1

i+1

ii-1

x

n

t/2

i = indeks ruang

n= indeks waktu

Skema metode Crank-Nicolson

Diskretisasi persamaan konduksi 1D

2

2

x

T

t

T

Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda majuTurunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

xt

TT

t

Tnnii

2/

2/1

Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :Langkah waktu ( nn+1/2)Diskretisasi turunan waktu

Diskretisasi turunan ruang

2

2

1

2

2 21

xx

TTT

x

Tni

nnii

Langkah waktu ( n+1/2n+1)

Diskretisasi turunan waktu

xt

TT

t

Tnnii

2/

2/11

2

2

11

11

2

2 21

xx

TTT

x

Tni

nnii

Diskretisasi turunan ruang

211

2/12

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

211

111

2/112

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

211

2/12

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

2

11

111

211

122

2/ x

TTT

x

TTT

t

TT ni

ni

ni

ni

ni

ni

nnii

Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :

211

111

2/112

2/ x

TTT

t

TT ni

ni

ni

nnii

+

n

ini

ni TTT

x

t

x

t

x

t

x

t

112

222

22

21

2

n

1n1i

1n1n1i

i

i

T

TTT

iiii dcba

1n1i

1n1n1i TTT i

n

ini

niii

ii

TTTx

td

x

tc

x

tb

x

ta

1122

22

222

12

niT

Dimana :

CONTOH SOALSebuah dinding 1 dimensi lebar (L) 0.06 meter terbuat

dari besi dengan difusivitas thermal =0.000217 m2/s. Mula-mula temperatur dinding (To) seragam 0ºC, kemudian dinding sebelah kiri (T1) dipertahankan pada temperature 50 ºC dan kanan (T2) dipertahankan pada temperatur 10ºC. Hitunglah distribusi temperatur pada dinding setelah 0.05s dan 0.15s dengan menggunakan skema FTCS, Laasonen dan Crank Nicholson? 

L

T1T2T0

Jawab :

0.06m

T1=50C

T2=10C

xi=1

i=nx

1. Langkah pertama membagi domain menjadi Nx, = 31 grid dengan lebar tiap grid ∆x = 0.06/31-1= 0.02 mlangkah waktu ∆t= 0.001α = 0.000217m2/sbatas waktu Tmax 0.05s dan 0.15s

2. Langkah kedua menentukan kondisi awal (IC) Ti= 0oC

3. Langkah ketiga menentukan kondisi batas (BC) T1= 50OC, TNX = 10OC

4. Langkah keempat menghitung Ti

n+1 dengan metode FTCS, Laasonen, Crank Nicholson menggunakan program foutran

1. Skema FTCSProgram FTCS

DIMENSION U(100),UN(100),X(100)TP=0.06NX=31DX=TP/(NX-1)DT=0.001ALP=0.000217DO I=1,NXUN(I)=0.ENDDO

UN(1)=50.UN(NX)=10.WRITE(*,10)

10 FORMAT(1X'TMAX=',\)READ(*,*)TMAXT=0.

123 T=T+DTDO I=2,NX-1U(I)=UN(I)+ALP*DT/DX/DX*(UN(I-1)-2*UN(I)+UN(I+1))ENDDO

 DO I=2,NX-1UN(I)=U(I)ENDDO

IF(T<TMAX) GO TO 123DO I=1,NXX(I)=(I-1)*DXWRITE(*,20)I,X(I),UN(I)

20 FORMAT (1X,I2,2X,F8.3,2X,F8.3)ENDDOEND

HASIL

2. Skema Laasonen

Menentukan Kondisi batas:T1= 500C i=1

Persamaan matriks untuk i= 1 menjadi

   agar T1

n+1= 50OC dibuat permisalan 

Untuk i=Nx 

Agar persamaan menjadi , TNXn+1

= 100C

iiii dcba

1n1i

1n1n1i TTT i

1111 dcba 1n2

1n1n0 TTT 1

10 nxnxnxnx dca 0 1b0

11111 Tdcba 0 1 0

nxnxnxnxnx dcba

1n1nx

1n1n1nx TTT

Program LaasonenDIMENSION U(100),X(100)DIMENSION

A(100),B(100),C(100),D(100)NX=31TP=0.06DX=TP/(NX-1)DT=0.001ALPA=0.000217

 DO I=1,NXU(I)=0.ENDDO

 U(1)=50. ! BATAS KIRIU(NX)=10. ! BATAS KANAN

 WRITE(*,10)

10 FORMAT(1X,'tmax= ',\)READ(*,*)tmax

 123 t=t+DT 

DO I=2,NX-1A(I)=-ALPA*DT/DX/DXB(I)=1.+2*ALPA*DT/DX/DXC(I)=-ALPA*DT/DX/DX

D(I)=U(I)ENDDO

 A(1)=0.B(1)=1.C(1)=0.D(1)=U(1)

 A(NX)=0.B(NX)=1.C(NX)=0.D(NX)=U(NX)

 CALL TRIDI(A,B,C,D,1,NX)

 DO I=1,NXU(I)=D(I)ENDDO

 IF((t+DT/2)<tmax)GOTO 123WRITE(*,*)' tmax = ',tmaxDO I=1,NXX(I)=(I-1)*DXWRITE(*,20)X(I),U(I)ENDDO

20 FORMAT(1X,F8.3,1X,F8.3)END

 

SUBROUTINE TRIDI(A,B,C,D,L1,L2) PARAMETER(M=100) DIMENSION A(M),B(M),C(M),D(M)

DO 1 I=L1+1,L2R=-A(I)/B(I-1)B(I)=B(I)+R*C(I-1)

1 D(I)=D(I)+R*D(I-1)D(L2)=D(L2)/B(L2)DO 2 J=L2-1,L1,-1

2 D(J)=(D(J)-C(J)*D(J+1))/B(J)RETURNEND

HASIL

3. Skema Crank NicholsonCara menyelesaikan sama seperti skema Laasonen yang

membedakan rumus a1,b1,c1,d1

Program Crank NicholsonDIMENSION U(100),X(100)

DIMENSION A(100),B(100),C(100),D(100)

TP=0.06NX=31DX=TP/(NX-1)DT=0.001ALP=0.000217

 DO I=1,NX ! ICU(I)=0.ENDDO

 U(1)=50. ! BCU(NX)=10. ! BC

 WRITE(*,10)

10 FORMAT(1X,'TMAX=',\)READ(*,*)TMAX

456 T=T+DT 

DO I=2,NXA(I)=-ALP*DT/DX/DX/2B(I)=1.+ALP*DT/DX/DXC(I)=-ALP*DT/DX/DX/2D(I)=U(I)+ALP*DT/2*(U(I-1)-2*U(I)

+U(I+1))ENDDOA(1)=0.B(1)=1.C(1)=0.D(1)=U(1)

 A(NX)=0.B(NX)=1.C(NX)=0.D(NX)=U(NX)

 CALL TRIDI(A,B,C,D,1,NX)DO I=1,NXU(I)=D(I)ENDDO

 IF(T+DT/2<TMAX)GOTO 456WRITE(*,*)' T= ',TDO I=1,NXX(I)=(I-1)*DXWRITE(*,20)X(I),U(I)ENDDO

20 FORMAT(2X,F8.3,F8.3)END

 

SUBROUTINE TRIDI(A,B,C,D,L1,L2) PARAMETER(M=100) DIMENSION A(M),B(M),C(M),D(M)

DO 1 I=L1+1,L2R=-A(I)/B(I-1)B(I)=B(I)+R*C(I-1)

1 D(I)=D(I)+R*D(I-1)D(L2)=D(L2)/B(L2)DO 2 J=L2-1,L1,-1

2 D(J)=(D(J)-C(J)*D(J+1))/B(J)RETURNEND

HASIL

KESIMPULAN

1. Dengan menggunakan metode numeric pendekatan beda hingga dapat dengan mudah menyelesaikan mensimulasikan persoalan perpindahan panas konduksi satu dimensi dengan bantuan komputer

2. Skema FTCS stabil dengan syarat 3. Skema Laasonen dan Crank Nicholson cara

menyelesaikannya persoaalannya harus terlebih dahulu menentukan kondisi batasnya dengan memisalkan nilai a,b,c,d

4. Skema Crank-Nicolson merupakan metode beda hingga yang memiliki kestabilan tanpa syarat dan nilai error nya paling kecil dibandingkan skema FTCS dan Laasonen.