ppt presentation

Home ReferensiMateri

Pola Bilangan

BarisanAritmatika

DeretAritmatika

BarisanGeometri

DeretGeometri

Peta konsep

Standar kompetensi,kompetensi dasar,

dan indikator

Home Materi

Home Materi

•Menentukan pola barisan bilangan asli, bilangan asli ganjil, bilangan asli genap, bilangan persegi dan bilangan segitiga.

•Mengenal pengertian barisan aritmatika dan barisan geometri.

•Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri.

•Mengenal pengertian deret aritmatika dan deret geometri.

•Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri.

•Menggunakan sifat-sifat dan rumus pada barisan dan deret aritmatika serta geometri untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.

Home Materi

Home Materi

Pola Bilangan, Baris, & Deret

Pola Bilangan DeretBarisan

terdiri atas

• Pola Bilangan Asli• Pola Bilangan AsliGanjil• Pola Bilangan AsliGenap• Pola Bilangan Persegi• Pola Bilangan Segitiga

Syarat :

GeometriAritmatikaGeometriAritmatika

Jumlah Suku ke-n

Jumlah Sukuke-n

Jumlah Sukuke-n

bnaU n 1 1 n

n arU bnan

Sn 122

1)1(

r

raS

n

n

,01 0n

terdiri atas

jika dijumlahkan menjadi

rumusrumusrumus

rumus

terdiri atas

Home Materi

Pola BilanganAsli

Pola BilanganGanjil

Pola BilanganGenap

Pola BilanganPersegi

Pola BilanganSegitiga

Pengertian

Pola adalah sebuah susunan yang mempunyai bentuk

yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk

berikutnya.

Bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk

menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran

(berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek.

Dalam matematika terdapat beberapa bilangan yang

dapat disusun menjadi diagram pohon bilangan.

Home Materi

Pengertian

Pola Bilangan Asli



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil

Adapun diagram pohon bilangan dapat ditunjukkan

sebagai berikut :

Home Materi

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil

Pola Bilangan AsliDalam beberapa kasus sering kita temui sebuah

bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang

mempunyai pola tertentu, maka yang demikian itu

disebut pola bilangan.

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil

Pola Bilangan Asli 1 , 2 , 3 , 4 , .....

● , ●● , ●●● , ●●●● , .....

Pola bilangan asli dapat dilihat sebagai berikut :

1 , 2 , 3 , 4 , .....

1 1 1

, .....

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil


● , ● , ● , ● , .....

●● ● ●

●●● ●

●●●●

Pola bilangan asli ganjil dapat dilihat sebagai berikut :

1 , 3 , 5 , 7 , .....

2 2 2

, .....

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil


● , ●● , ●●● , ●●●● , .....

● ●● ●●● ●●●●

Pola bilangan asli genap dapat dilihat sebagai berikut :

2 , 4 , 6 , 8 , .....

2 2 2

, .....

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil


● , ●● , ●●● , ●●●● , .....

●● ●●● ●●●●

●●● ●●●●

●●●●

Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut :

1 = 1 atau = 1

4 = 1 + 3 atau = 1 +3

9 = 1 + 3 + 5 atau = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 +5 + 7 atau = 1 + 3+ 5 + 7

Pengertian



Pola BilanganGenap

Pola BilanganGanjil


● , ● , ● , ● , .....

●● ●● ●●

●●● ●●●

●●●●

Pola tersebut dapat disusun dangan barisan bilangan berikut :

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan dengan

selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

nUUUU ,...,,, 321 barisan aritmatika jika

1342312 ...... nn UUUUUUUU konstan

Nilai konstan ini disebut beda dari barisan tersebut

dan dilambangkan dengan huruf b.

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Misalkan aU 1 maka :

baU

baU

bUU

2

2

12

baU

babU

bbaU

bUU

23

3

3

23

baU

babU

bbaU

bUU

3

2

2

4

4

4

34

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Sehingga : baaU 111

bnaU

babaU

babaU

babaU

n 1

......

143

132

12

4

3

2

Jadi dari barisan aritmatika diperoleh :

bnabababaa 1,......,3,2,,

2U

1U

3U

4U

nU

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Maka dapat diperoleh rumus suku ke-n

barisan aritmatika adalah

bnaU n 1 Nn

Keterangan :nU : Suku ke-n

a : Suku pertama

b : Beda

n : Banyaknya suku

Artinya :

Untuk 1n

2n

3n

aU 1

baU 2

baU 23 ,dsb

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Suatu barisan aritmatika, suku ke-12 sama dengan 29

sedangkan suku ke-21 sama dengan 56.

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan tersebut!

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Diketahui :

Ditanya : Rumus suku ke-n ?

Jawab :

Dengan menggunakan rumus suku ke-n yaitu

Dari soal diketahui bahwa

2912 U

5621 U

bnaU n 1

baU

baU

11

112

12

12

2911 ba i

2912 U

maka

maka

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

maka

maka

Dengan menggunakan rumus suku ke-n yaitu

Dari soal diketahui bahwa

Mengeliminasi persamaan dan

baU

baU

20

121

21

21

bnaU n 1

5621 U

5620 ba ii

5620 ba2911 ba

3

279

b

b

i ii

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Mensubtitusikan ke persamaan

Jadi rumus suku ke-n adalah

3b i

2911 ba

4

3329

29311

a

a

a

733343141 nnnbnaU n

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

nUUUU ,.....,,, 321merupakan suku-suku dari barisan

aritmatika dengan ,1 bnaU n maka penjumlahan dari

masing-masing suku ditulis dalam bentuk c

nUUUU ....321 disebut dengan deret aritmatika

dan dilambangkan dengan nS

Sehingga deret aritmatika dapat ditulis :

nn UUUUS .....321

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan

aritmatika diketahui bahwa

bnaU

baU

baU

aU

n 1

....

23

2

1

Sehingga deret aritmatika juga dapat ditulis

nn UUUUS .....321

nnnn UbUbUbabaaS )()2(.....2

Misalkan maka,kU n

kbkbkbabaaSn 2......2 i

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Jika urutan suku-suku deret (i) dibalik maka :

abababkbkkSn 2.......2

Persamaan (i) dan (ii) dijumlahkan

kbkbkbabaaSn 2......2

abababkbkkSn 2......2+

ii

babkbkbabkbakaSn 22....222

akbabk

kakakakakakaSn .....2

n suku

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

kan

S

kanS

n

n

2

2

bnaUk n 1 nS

bnan

S

bnaan

S

n

n

122

12

Keterangan : : Jumlah n suku pertamanS

a : Suku pertama b : Beda

n : Banyaknya suku

Karena dapat ditulismaka

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama dari barisan

aritmatika dapat pula diturunkan rumus-rumus yang lain,

yaitu :

1.Jika a adalah suku pertama dan nU

adalah suku ke-n, maka

bnan

Sn 122

bnaan

Sn 12

nn Uan

S 2

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

2. JikanU adalah suku ke-n, dan nS

adalah jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika, maka

1 nnn SSU

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Tentukan jumlah semua bilangan asli

kurang dari 100 yang habis dibagi

dengan 7!

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Deret bilangan asli kurang dari 100 yang habis dibagi 7

adalah 7+14+21+28+….+98

14

798

77798

71798

1

n

n

n

n

bnaU n

Sehingga bnan

Sn 122

735

1057

91147

7.13147

7114722

14

14

14

14

14

14

S

S

S

S

S

Jadi jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 dan habis dibagi 7 adalah 735

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Suatu barisan dengan suku ke-n adalah nU yaitu

nUUUU ,...,,, 321 disebut suatu barisan geometri

apabila memenuhi syarat bahwa :

13

4

2

3

1

2 ......n

n

U

U

U

U

U

U

U

Ukonstan

Nilai konstan inilah yang disebut dengan rasio

dan dilambangkan dengan huruf r.

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Misalkan maka :

Sehingga:

aU 1

arU

ra

U

rU

U

2

2

1

2

2

3

3

2

3

arU

rar

U

rU

U

3

4

2

4

3

4

arU

rar

U

rU

U

11

1

araU

1

132

3

12

2

.......

n

n arU

ararU

ararU

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Jadi dari barisan geometri diperoleh

132 ,.....,,,, narararara

1U

2U

3U

4U

nU

Maka dapat diperoleh rumus suku ke-n

barisan geometri adalah

1 n

n arU Nn

: Suku ke-n r : Rasio

a: Suku pertama n: Banyaknya sukuKeterangan : nU

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Apabila tiga bilangan terurut 63,4,12 kkk

merupakan tiga suku pertama dari

barisan geometri yang semua sukunya positif,

tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut!

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Diketahui : 121 kU

63

4

3

2

kU

kU

Ditanya : nU

Jawab :

Dalam barisan geometri berlaku rU

U

U

U

2

3

1

2 sehingga

020115

02115

0225

696168

63124

4

63

12

4

2

22

2

kk

kk

kk

kkkk

kkk

k

k

k

k

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

5

11k ( tidak memenuhi ) atau 2k

Dengan demikian barisannya adalah

63,4,12 kkk

,...12,6,3

62.3,42,12.2

Sehingga 3a 23

6

1

2 U

Ur

1

1

2.3

n

n

n

n

U

arU

Jadi rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah

12.3 n

nU

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Jika nUUUU ,...,,, 321 merupakan suku-suku

barisan geometri dengan 1 n

n arU

dengan a suku pertama dan r adalah rasio,

penjumlahan-penjumlahan dari masing-masing

suku yang ditulis dalam bentuk nUUUU ...321

disebut deret geometri dan dilambangkan dengan

nS

Sehingga deret geometri dapat ditulis :

nn UUUUS .....321

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1

… Persamaan 1Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan persamaan 2 berikut :rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn

… Persamaan 2Sekarang, kurangkan persamaan 1 denganpersamaan 2

Sn – rSn = (a + ar + ar2 + … + arn-1) – (ar + ar2 + ar3 + … + arn)Sn (1 – r) = a – arn

Dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan

geometri diketahui bahwa

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Sehingga dapat diperoleh rumus jumlah n suku pertamaderet geometri adalah

nS r

ra n

1

1 dan untuk 1r 1r

nS 1

1

r

ra n

1runtuk dan1r

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Diketahui suatu deret geometri dengan 510 33SS

Jika suku ke-3 dari deret geometri itu adalah

24, tentukan suku pertama jika rasionya positif!

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

Diketahui : 510 33SS

243 U

rasionya bilangan positif

Ditanya : 1U ?

Jawab :

Jika 510 33SS , maka

2

32

331

1133111

113311

1

133

1

1

5

5

555

510

510

r

r

r

rrarrra

rrarra

r

ra

r

ra

Definisi

Rumus SukuKe-n

Contoh Soal

243 U , rumus suku ke-n barisan geometri adalah

1 n

n arU maka,

6

4

24

424

224 2

2

3

13

3

a

a

a

a

arU

arU

Karena aU 1maka 61 U

Sukino, wilson Simangunsong.

Matematika untuk SMP kelas IX. 2007.

jakarta: Erlangga.

Home Materi

Terima kasih

Matur nuwunArigatou gozaimasu

Syukron katsironGracias

Thank you

ppt presentation

Internet