plat 2 arah.ppt

8/11/2019 Plat 2 arah.ppt

1/36

Plat dengan lenturan 2 arah

(Two way slab)

x

yz

x

y

z

MX M

X

MY

MY


2/36

Hubungan tegangan-regangan dalam bidang

xyxy

yxy

yxx

E

E

E

12

.1

.1

2

2


3/36

2

2

2

2

.

.

y

w

z

xwz

y

x

Besarnya regangan untuk pelat dengan lenturan 2 arah

Distorsi sudut

yx

wzxy

..2

2


4/36

Hubungantegangan-perpindahan

yxxy

y

x

wE

x

w

y

wEz

y

w

x

wEz

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)1(

.

)1(

.


5/36

Momen lentur (integrasi dari tegangan sebelumnya)

yxwDM

xw

ywDM

y

w

x

wDM

xy

y

x

.)1(

2

2

2

2

2

2

2

2

2


6/36

Lintang

2

3

3

3

2

3

3

3

.

.

xy

w

y

wDQ

yx

w

x

wDQ

x

x


7/36

Persamaan umum pelat

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

.2

Persamaan differensial parsial tingkat 4, linier, non homogen

var. terikat : w (lendutan) -------> yang dicari

var. bebas : x dan y

q : beban luar (data)

D : kekakuan lentur plat (data)

persamaan di atas akan menghasilkan 4 koef. Integrasi (c) penyelesaian

umum

penyelesaiannya memerlukan 4 kriteria integrasi, perlu kondisi batas.


8/36

Kondisi Batas

Yg dipertimbangkanjenis tumpuan pada sisi2 pelat

a. Tumpuan sendigabungan kondisi batas: geometris dan statis

(resultan tegangan)

x

y

b

a

Kondisi batas: u/x = 0 dan x = a

w = 0 (lendutan)

Mx= 0

0 =

jika w = 0, maka

2

2

2

2

y

w

x

wD

02

2

x

w

z

xa


9/36

b. Tumpuan jepit kondisi batas geometrik (lendutan + rotasi sudut)


lendutan,w = 0

rotasi sudut thd x = 0

u/y = 0 dan y = b

lendutan,w = 0

rotasi sudut thd y = 0

u/y = 0 dan y = b

w = 0 (lendutan), sehingga 022

y

w

y

b

a

x z

x

a

0

x

w

0

y

w


10/36

c. Tumpuan bebas kondisi batas statis (gaya lintang, momen lentur dan puntir)

mis: pelat pondasi mesin, landasan, rigid pavement, dll

Sisi2 pelat akan melendut/berdeformasi akibat perbedaan kekakuan pelat dan tanah


Mx= 0

Qx= 0

u/y = 0 dan y = b

My= 0

Qy= 0

y

b

a

x z

x

a

tanah

pelat


11/36

penyelesaian

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

.2

persamaan umum pelat klasik:

dalam bentuk operator laplace 2D:

qwD 22

penyelesaian:),(),(),( yxwyxwyxw ph

Dimana: wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)

wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral partikuler (p.d.p non homogen)

C t h


12/36

Pelat segi 4 dengan tumpuan sederhana dan beban

sinusoidal

b

y

a

xqq

.sin

.sin.0

y

b

a

x

R

R R

R

a

b

C o n t o h

persamaan beban:

dengan: q0= intensitas beban di tengah pelat

persamaan umum pelat menjadi:

b

y

a

x

D

q

y

w

yx

w

x

w .sin

.sin

.2 0

4

4

22

4

4

4


13/36


lendutan,w = 0

Mx= 0

Kondisi batas: u/y = 0 dan y = blendutan,w = 0

My= 0

persamaan lendutan pelat:

(yg memenuhi kondisi batas)

b

y

a

xcw

.sin

.sin.

dengan: c = konstanta yang harus dicari/dihitung

sehingga konst. c didapat:

2

22

4

0

11

1.

.

ba

D

qc


14/36

sehingga persamaan lendutan pelat menjadi:

b

y

a

x

ba

D

qw

.sin

.sin.

11

1.

. 2

22

4

0

pada akhirnya parameter lain bisa dihitung:

momen, tegangan, lendutan, reaksi tepi


15/36

Penyelesaian dengan deret fourier

Secara praktis beban sinusoidal tdk ada. (yg ada: merata,

terpusat, dan segitiga) diekspansikan dulu dalam

deret fourier

q0

b. sinusoidal

b. merata

b. terpusat

b. segitiga


16/36

Penyelesaian dengan deret fourier ganda(Metode Navier)

Persamaan beban: yxfqz ,

Pers. beban dalam bentuk deret fourier ganda (trigonometeri):

b

yn

a

xmAyxf

m n

mn

sin.sin.,

1 1

dengan: Amn= koef. Fourier yg hrs dicari sesuai bentuk bebannya:

dydxb

xn

a

xmyxf

abA

a b

mn ..sin.sin).,(4

0 0

Pers. Lendutan u/sisi-sisi sendi:

b

yn

a

xm

ba

A

Dyxw

m n

mn

sin.sin.

11

1,

1 12

22

4


17/36

Utk beban merata f(x,y) = P0b. merata

P0

z

x/y

mn

P

dydx

b

xn

a

xm

ab

P

dydxb

xna

xmPab

A

a b

a b

mn

2

0

0 0

0

0 0

0

16

..sin.sin4

..sin.sin.4

Pers. Lendutan u/sisi-sisi sendi selanjutnya menjadi:

b

yn

a

xm

bamn

A

D

Pyxw

m n

mn

sin.sin.

11

16,

1 12

22

6

0


18/36

Lendutan maks. pada x = a/2 dan y = b/2

1 1

2

22

12

6

0max

11

116

m n

nm

bamn

D

Pw

Untuk macam2 bentuk tumpuan lainnya rumit, perlu metode

lainnya


19/36

Penyelesaian dengan deret fourier tunggal(Metode Levy)

Bentuk pers. Lendutan:

1

sin.),(m a

xmYmyxw

dengan: Ym = f(x,y)

Asumsi: tumpuan pd x = 0 dan x = a adalah sendi (yg // sumbu)

Penyesuaian sistim koordinat:

sendisendi

Tumpuan yg diperkirakan

a

b

y

xx


20/36

Persamaan umum:

D

q

y

w

yx

w

x

w

2

4

22

4

2

4

2

)(),(

),(

xwyxw

wwyxw

PH

PH

Catatan wp = lendutan plat ke arah sb-x saja dengan asumsi

tumpuan sisi y = b/2 di (x)

sehingga

D

q

x

wp

2

4


21/36

Integrasikan 4x+4C dengan kondisi batas di x=0 dan x=a

13

3

cx

D

q

x

wp

21

2

2

2

2

cxcx

D

q

x

wp

32

213

26cxcx

cx

D

q

x

wp

43

22314

2624cxcx

cx

cx

D

qwp

Dengan c1,c2,c3,c4dihitung pada kondisi batas pada x=0 dan x=a

)2(24

)( 334 xaaxxD

qxwp


22/36

Ekspansikan dalam deret Fourier tunggal

1

.)(m a

xmSinAmxwp

Dm

qadxa

xmSinxwpaAm

a

55

4

0

4).(

2

Sehingga:

Maka:

a

xm

mD

qaxwp

m

sin14

)(1

55

4


23/36

Penyelesaian homogen wH(x,y)

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w HHH

1

sin.),(m

Ha

xmYmyxw

0sin.21

4

44

2

2

2

22

4

4

a

xm

a

ym

y

y

a

m

y

y

m

mmm

0.24

44

2

2

2

22

4

4

a

ym

y

y

a

m

y

y mmm

persamaan deff ordiner tk 4, linier,homogen


24/36

Penyelesaian umum persamaan di atas

a

ym

a

ymDm

a

ymCm

a

ym

a

ymBm

a

ymAm

D

qayym

coshsinh.sinhcosh.)(

4

Penyederhanaan pers.tsb atas dasar grs simetris sb z

w(x,y) = w (x,-y) dengan w = lendutan

lendutan

b

y

z

z

y

b b

sendisendi

y

xz

y

w(x,y)

fungsi lendutan: w(x,y) = w (x,-y) fs. genap

U/fungsi ganjil

y

z

* w(x,y) = - w (x,-y) tdk mungkinw(x,y)

* :simetri terhdp sb-z, tumpuan thd sb-x simetris (sendi)


25/36

Solusi persamaan homogen

a

ym

a

ymDm

a

ymCm

a

ym

a

ymBm

a

ymAm

D

qayym

coshsinh.sinhcosh.)(

4

genap genap ganjil ganjil

evaluasi:

x

y

y = cosx genap

x

y

y = sinx ganjil

x

y

y = x ganjil

x

y

y = x2ganjil

yy

yy

eey

eey

2

1

sinh

2

1cosh


26/36

Karena kondisi batas yang digunakan adalah fs genap maka pers.menjadi :

a

ym

a

ymBm

a

ymAm

D

qayym

sinhcosh.)(

4

Ket.: 2 koef Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,

Tumpuan simetris thd x setelah digabung dg solusi non homogen.

Persamaan lendutan total :

a

xm

a

ym

a

ymBm

a

ymAm

mD

qayxw

m

sinhsinhcosh.

4),(

55

4

dengan m = 1,3,5

Hanya berlaku u/ fs genap dgn kondisi batas pada + b/20

0

2

2

y

w

w


27/36

Turunkan persamaan di atas lalu substitusikan ke kondisi batas dan ambil:

m

a

bm

2

0sinhcosh.4

55 mmBmmAm

m

0sinhcosh)2( mmBmmBmAm

sehingga:

mm

mmAm

cosh

2tanh.255

mmBm

cosh2

55


28/36


29/36

Pelat segiempat ditumpu sendi ke-4 sisinya dgn b. merata

sebagian dan b.terpusat

Beban merata sebagian

Jika ditranformasikan dalam deret fourier menjadi :

a

xm

a

xm

m

PyxPz

m

m

sin

2sin

)1(4),(

,..3,1

)2

1(

Bentuk fungsi beban

da

mPa

xmayxq

ua

uam

z

)(

2

1

)(2

11

sinsin2

),(

a/2 a/2

b/2

b/2

v/2v/2

u/2 u/2

p

r r

s


30/36


31/36

Persamaan lendutan di luar jalur p-r-s-t (tanpa beban)

a

xm

a

ym

a

ymmD

a

ymmC

a

ym

a

ymmB

a

ymmAyxw

m

sincoshsinhsinhcosh),(...5,3,1

Koef. yg hrs dicari: Am, Bm, Am, Bm, Cm, dan Dm

Dengan: - kondisi batas di y = b/2

02

2

y

ww =0 dan

- kondisi kontinuitasa) garis ts

y

w

y

w

w = w dan u/y = v/2

lendutan

slope/kemiringan

b) garis ts

My dan Qy hrs kontinyu sepanjang garis

2

2

2

2

y

w

y

w

dan

3

3

3

3

y

w

y

w

u/y = v/2


32/36

Substitusi pers. lendutan pd. bag. jalur prst dan di luar jalur prst pd pers. di atas

ambil:a

vmm

4

mam

mBBm

mmmammAAm

2cosh2

2cosh2sinh

m

ammC

mmmammC

2sinh2

2sinh2cosh

Substitusi pers. di luar jalur prst pd pada kondisi batas di y=b/2, menjadi

0sinhcosh)2

0coshsinhsinhcosh)1

mmDmmB

mmmDmmCmmmBmmA


33/36

Hasil eliminasinya:

mmm

amBm

m

mmmmmmm

m

amAm

2coshcosh2

cosh2

2sinh.2sinh.2cosh

cosh

Shg per. lendutannya menjadi:

a

xm

a

ym

a

ym

m

mm

m

m

m

mmmmm

m

a

ym

a

um

mDpayxw

m

m

sin

sinhcosh2

2cosh(

cosh2

2sinh

2sinh2cosh

cosh

cosh

1

2sin

14),(,..5,3,1

5

2

1

5

4


34/36

mmm

mmmmm

m

a

um

mD

pawmaksm

cosh22sinh

2sinh2cosh

2cosh

1

1

2sin14

,..5,3,155

4

Lendutan maks pada x = a/2 dan y = 0


35/36

BEBAN TERPUSAT

(Po) pada x = dan y = 0

Koefisien Fourier diperoleh dengan mengambil limit u = 0 dan v = 0

mm

a

xm

a

m

ybb

myb

b

m

ybb

mmm

D

Poayxw

s

2cosh

sinsin

2cosh2

2sintanh1

2),(

33

2

a

bv

u

x

y


36/36

Lendutan maksimum :

y = 0

x = = a/2

= a/2

mh

mmmD

aPowmaks

233

2

coshtanh1

2

.

Shg pers. lendutan max menjadi:

plat 2 arah.ppt

Documents