Gambar 3. (a) Variasi energi potensial yang dilakukan sebuah elektron terkonduksi di dalam bidang inti ion dari kisi linear. (b) Distibusi

Kepadatan Probabilitas ρ pada kisi untuk dan untuk

gelombang berjalan. Fungsi gelombang menumpuk muatan pada medan inti ion positif dengan mengecilkan energi potensial

rata-rata gelombang berjalan. Fungsi gelombang menumpuk muatan di daerah sekitar ion dengan memperbesar energi potensial rata-rata gelombang berjalan. Gambar ini adalah kunci untuk memahami asal celah energi.

Gambar 3a memvisualisasikan variasi energi potensial elektrostatik yang dilakukan elektron dalam medan inti ion positif. Inti ion menahan muatan positif bersih karena atom-atomnya terionisasi dalam metal, dengan elektron valensi yang diambil untuk membentuik pita konduksi. Energi potensial elektron pada medan ion postitif adalah negatif sehingga gaya antar muatan tarik menarik.

Untuk gelombang berdiri kepadatan probabilitasnya adalah

Dengan konsentrasi elektron jauh dari ion positif. Gambar 3b menunjukkan konsentrasi elektron gelombang berdiri , dan sebuah gelombang berjalan.

Ketika menghitung rata-rata atau nilai ekspektasi dari energi potensial tiga distibusi muatan

ini, dapat ditemukan bahwa energi potensial dari lebih rendah dari gelombang berjalan

dimana energi potensial lebih tinggi dari gelombang berjalan. Didapatkan celah energi dengan

lebar jika energi dari dan dipisahkan dengan jarak .

Besar dari Celah Energi

Fungsi gelombang dari zona Brillouin dibatasi oleh dan

, ternormalisasi sepanjang unit panjang dari garis. Didefinisikan energi potensial dari elektron dalam kristal pada titik x adalah

Orde pertama beda energi antara dua gelombang berdiri dinyatakan dalam

Sehingga dapat dilihat celah energinya senilai dengan komponen Fourier potensial dari kristal.

FUNGSI BLOCH

Pembuktian F. Bloch merupakan teorema penting yang merupakan solusi dari persamaan SchrÖdinger untuk sebuah potensial periodik fungsi spesial:

Dimana punya periode kisi kristal dengan . Dengan T adalah vektor translasi dari kisi. Dari persamaan (7), Bloch membuat teorema:

Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk potensial yang periodik adalah hasil dari

gelombang bidang dikali dengan sebuah fungsi dengan keperiodikan dari kisi kristal.

Fungsi gelombang satu elektron dari persamaan (7) disebut Persamaan Bloch dan diuraikan ke dalam sebuah jumlah gelombang berjalan. Fungsi Bloch dapat disatukan menjadi paket-paket energi yang merepresentasikan elektron merambat bebas melalui medan potensial dari inti ion.

Teorema Bloch berlaku jika nondegenerasi, ketika tidak ada fungsi gelombang dengan energi

yang sama dan vektor gelombang seperti . Kasus umum lainnya akan dijelaskan nanti. Kita asumsikan N titik kisi yang identik pada lingkar dari panjang Na. Energi potensial periodik pada a,

dengan , dimana s adalah integer.

Didefinisikan simetri dari fungsi lingkar untuk mendapat solusi persamaan gelombang:

Dimana C adalah konstanta. Kemudian dengan keseluruhan lingkar,

karena harus bernilai tunggal. Oleh karena itu C adalah salah satu dari akar satuan N, atau

Dengan melihat persamaan 9 didapatkan

memenuhi persamaan (8), menyatakan bahwa mempunyai keperiodikan a, jadi

yang merupakan hasil dari persamaan Bloch (7).

MODEL KRONIG-PENNEY

Sebuah potensial periodik dari persamaan gelombang dapat diselesaikan dalam hal fungsi dasar yang merupakan susunan persegi dengan baik seperti gambar 4. Fungsi gelombangnya adalah

dimana adalah potensial energi dan adalah nilai eigen dari energi.

Di sekitar dalam U = 0, fungsi eigennya adalah kombinasi yang linear,

dari bidang gelombang berjalan dari kanan ke kiri dengan energi

Di sekitar dalam tahanan solusinya adalah dalam bentuk

dengan

Untuk mencari solusi lengkap fungsi Bloch dalam persamaan (7). Solusinya adalah di sekitar

harus berhubungan dengan solusi persamaan (14) di sekitar dari teorema Bloch:

yang merupakan definisi vektor gelombang k yang digunakan sebagai indeks label dari persamaan.

Konstanta A, B, C, D dipilih sehingga dan kontinu saat x = 0 dan x = a. Ini adalah kondisi batasan mekanika kuantum biasa dalam masalah yang melibatkan sumur potensial persegi. Saat x = 0,

Dengan Q dari persamaan (14). Saat x = a dengan menggunakan persamaan (16) untuk di

bawah tahanan dari bentuk ,

Empat persamaan dari persamaan (17) sampai (20) mempunyai sebuah solusi jika deteriman dari koefisien A, B, C, D menghilang, yang menghasilkan

Hasilnya disederhanakan jika potensial direpresentasikan fungsi delta periodik ketika

melewati batasan b = 0 dan Uo = ~ sedemikian rupa sehingga nilai yang kuantitif

berhingga. Dalam batasan dan sehingga persamaan (21a) dapat disederhanakan menjadi

FUNGSI GELOMBANG ELEKTRON DALAM POTENSIAL PERIODIK

Dari gambar 3 dapat diketahui perkiraan persamaan untuk solusi dari persamaan SchrÖdinger jika

vektor gelombang dalam daerah batasan seperti . Dengan meneruskan persamaan gelombang untuk potensial yang umum pada nilai dari k.