BAB IIIJALAN RANDOM DAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Muhammad Nasir S.Si., M.Kom

Program Studi Pendidikan Fisika

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Riau

2.1 Pengertian Fisika Statistik

Cabang ilmu fisika yang mempelajari system banyak partikel dari segi pandang statistic pada besaran microskopik untuk menjelalaskan besaran makroskopik (khususnya energi) berdasarkan mekanika klasik dan kuantum

2.2 Mengapa Kita Meski Belajar Fisika Statistik?

Apabila kita ingin mengetahui keadaan system, maka dicari persamaan gerak partikel (Newton, scordinger atau yang lain). Namun tidak mungkin untuk menyelesaikan semua persamaan ini kalau system berisi sekitar 1023 molekul

A. Dari Pandangan Kurikulum

Fisika Dasar (tentang panas)

Termodinamika

Fisika Statistik

2.3 Dimana Letak Fisika Statistik

B. Terhadap cabang fisika dan ilmu lainnya

Chaos

Mekanika Kuantum

Magnetisme

Mekanika Klasik

Pendekatan Statistik

Fisika Statistik

RadiasiZat Padat

Teori Kinetika

Fisika Atom

Gambar 2. 2 Posisi Fisika Statistik terhadap cabang ilmu lainnya

2.4 Jalan Random dan Distribusi Binomial

Di alam terdapat fenomena yang bersifat acak dan kehadirannya hanya dapat dinyatakan secara probabilistic. Untuk mendapatkan gambaran yang memadai tentang fenomena acak ini kita tinjau masalah random walk (perjalanan acak).

2.5 Jalan Random 1 Dimensi

Random walk (perjalanan acak) satu dimensi contohnya, seorang pemuda yang sedang mabuk dan berdiri dibawah lampu alun-alun yang luas dan datar untuk menyederhanakan persoalan kita anggap bahwa si pemabuk hanya dapat bergerak kesamping kanan dan kesamping kiri. Dengan kata lain sipemabuk hanya mempunyai dua arah gerak yang mungkin yaitu kekanan dan kekiri secara acak dan tidak dapat bergerak maju atau mundur.

Jalan Acak (Random Walk)

Jawaban atas maslah ini dapat dirumuskan melalui langkah-langkah berikut. Misalkan dari langkah total N terdapat n1 langkah ke kanan dan n2 kekiri maka

N=n1+n2………….…………………………1

Sedangkan pergeseran

m = n1 – n2

Selanjutanya

m = n1 – (N- n1)= 2 n1 - N

contoh ilustrasi untuk N = 3

n1 n2 m

3 0 3

2 1 1

1 2 -1

0 3 -3

Sekarang tinjau

p Fisika Atom

kemungkinan melangkah ke kanan

q = 1 – p kemungkinan melangkah ke kiri

jadi kemungkinan suatu kejadian n1 step melangkah ke kanan dan n2 step melangkah ke kiri :pp…p qqq…q = pn1 x qn2

n1 kali n2 kali

Namun ada sejumlah cara berbeda pada N langkah : pada sub sistem

!n . !

!

21n

N

Jadi seluruh (sistem) kemungkinan menjadi:

21

!!

!)(

211

nnN qp

nn

NnW

(kemungkinan pada langkah total N terhadap n1 langkah kekanan dan n2 langkah kekiri)Distribusi semacam ini disebut distribusi binomial karena serupa dengan persamaan:

N

n

nNnN qpnNn

Nqp

0 )!(!

!)(

Gunakan persamaan m = n1 – n2 dan N = n1 + n2 maka

),(2

11 mNn ),(

2

12 mNn

Sehingga2/)(2/)( )1(

!]2/)[(]!2/)[(

!)( mNmN

N ppmNmN

NmP

untuk kasus khusus p=q=1/2, diperoleh:

N

N mNmN

NmP

2

1

]!2/)[(]!2/)[(

!)(

Grafik N = 20

Home Work

Exercise 1.1, 1.2, 1.5Fundamental Thermal Physics by Reif

2.6 Harga rata-rata

Tinjau u merupakan sebuah variable yang dapat mempunyai m nilai:

u1, u2,……um

dengan masing-masing kemungkinan:

P(u1), P(u2),…………P(um)Harga rata-rata (mean atau average) dapat dinyatakan:

)(....)()(

)(....)()(

21

2211

M

MM

uPuPuP

uuPuuPuuPu

Lebih umum kalau f(u) merupakan fungsi u, maka harga rata-rata:

M

ii

M

iii

uP

uuPu

1

1

)(

)(

Atau secara simbolik:Atau secara simbolik:

M

ii

M

iii

uP

ufuPuf

1

1

)(

)()()(

Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

M

iiM uPuPuPuP

121 )()(........)()(

Biasanya jumlah kemungkinan adalah 1(satu)

M

iiuP

1

1)(1

d

Sering disebut sebagai “kondisi normalisasi”, sehingga:

M

iii ufuPuf

1

)()()(

Sehingga apabila f(u) dan g(u) adalah dua fungsi u, maka:

M

iiii ugufuPuguf

1

)()()()()(

M

i

M

iiiii uguPufuP

1 1

)()()()(

Sehingga

)()()()( ugufuguf (sifat aditif)

Dengan mudah dapat dibuktikan bila c konstan, maka:

)()( ufcucf (perkalian scalar)

Harga rata-rata merupakan sebuah karakteristik penting distribusi probabilitas