KALIMAT TERTUTUP DAN KALIMAT TERBUKA

Sebuah kalimat dapat dibuat dengan kata-kata biasa atau dengan

menggunakan lambang-lambang tertentu. Dalam matematika sebuah kalimat

dapat digolongkan ke dalam dua golongan besar, yaitu kalimat tertutup dan

kalimat terbuka.

A. Kalimat Tertutup (Pernyataan)

Perhatikan kalimat-kalimat ini.

1. 6 + 4 = 10

2. 9 adalah bilangan genap.

3. Jika x bilangan asli maka 2x + 2 bilangan ganjil

Dari ketiga kalimat diatas terlihat bahwa ruang lingkup pembahasan hanya

ada kemungkinan, yaitu benar atau salah. Dengan rincian kalimat (1) menyatakan

kalimat yang benar karena memberikan informasi yang sesuai dengan keadaan

yang adaa. Kalimat 2 dan 3 menyatakan kalimat yang salah karena informasi yang

diberikan bertentangan dengan kenyataan yang ada. Kalimat benar atau salah

disebut kalimat tertutup atau pernyatan.

B. Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

1. + 2 = 6

2. 2x – 3 = 7

3. adalah bilangan ganjil yang kurang dari 5

Ketiga kalimat di atas belum dapat ditentukan sebagai kalimat benar atau

salah karena masih bergantung pada unsur tertentu. Kalimat (1) bergantung pada

, kalimat (2) pada x , dan kalimat (3) pada .

Kaliamt-kalimat tersebut disebut kalimat terbuka. Unsur tertentu dari

masing-masing kalimat terbuka disebut peubah atau variabel. Kalimat (1) akan

menjadi kalimat tertutup jika diisi. Jika diisi 4 maka kalimat dikatakan benar

1

dan jika diisi selain 4 maka kalimat dikatakan salah. Adapun pengganti variabel

berupa bilangan disebut konstanta.

C. Himpunan Penyelesaian Suatu Kalimat Terbuka

Setiap kalimat terbuka yang memuat variabel harus diganti oleh satu atau

beberapa anggota himpunan semesta yang didefinisikan. Pengganti variabel yang

membuat kaliam terbuka menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian

(solusi). Himpunan dari semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.

Contoh:

1. x – 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 8. Penyelesaiannya adalah

x = 8 dan himpunan penyelesaiannya adalah {8}.

2. t adalah bilangan genap, t ∈ {2, 4, 5, 7, 8, 9, 10}.

Pengganti t yang benar adalah 2, 4, 8, 10. Himpunan penyelesaiannya

adalah {2, 4, 8, 10}.

3. 2r + 1 = 3 dengan r ∈ {2, 3, 4, 5}.

Pengganti r yang benar tidak ada. Himpunan penyelesaiannya adalah ∅

atau { }.

Keterangan : ∅ atau { } berarti himpunan kosong. “∈ berarti

anggota.

2

1. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai

kebenarannya (benar atau salah)

2. Variabel adalah lambang atau simbol yang dapat diganti oleh

sembarang anggota dari himpunan semesta

3. Konstanta adalah pengganti dari sudut variabel.

Himpunan Penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuat kalimat tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat dengan HP.

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (Satu Peubah)

Perhatikan kaliamat-kalimat terbuka berikut ini.

a. a + 1 = 6 c. 6 + 2y = 3y – 1 e. t 2 – 6 = 10

b. x – 2 = 6 d. x – 8 = 3x – 6 f. 3x – y = 6

Kalimat-kalimat terbuka tersebut mengandung tanda sama dengan (=) dan

beberapa variabel, maka dapat dicirikan sebagai berikut.

1. Bentuk (a) sampai (d) disebut persamaan linear satu variabel (PLSV)

2. Bentuk (e) disebut persamaan kuadrat dengan satu variabel

3. Bentuk (f) disebut persamaan linear dengan dua variabel.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

A. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Suatu Persamaan

Ahmad ingin menjawab secara mencongak soal persamaan linear satu

variabel 3x = 9 dengan x variabel bilangan asli. Dia mengganti x dengan 3

sehingga kalimat terbuka 3x = 9 menjadi benar.

3x = 9 → 3 . 3 = 9 (benar).

x = 3 adalah penyelesaian/jawaban akar PLSV 3x = 9.

Jadi, himpunan penyelesaian dar 3x = 9 adalah {3}.

3

1. Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama

dengan (=).

2. Persamaan yang hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu

disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu variabel adalah bilangan

pengganti dari variabel pada daerah definisi persamaan yang membuat

persamaan menjadi pernyataan yang benar.

Selain cara mencongak, kita juga dapat menyelesaikan persamaan linear

dengan satu variabel dengan cara substitusi satu per satu variabel yang terdefinisi

sehingga persamaan itu menjadi kalimat yang benar.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian y + 1 = 2, y anggota pada himpunan

bilangan asli.

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, kita menggunakan cara substitusi yaitu

mengganti y dengan setiap anggota bilangan asli sehingga kalimat itu menjadi

benar.

Untuk y = 1, maka 1 + 1 = 2 (merupakan kaliamt benar)

Untuk y = 2, tidak perlu dilakukan lagi karena kita telah mendapatkan kalimat

benar untuk y = 1.

Penyelesaian dari y + 1 = 2 adalah y = 1 dan HP = {1}.

B. Kalimat Matematika (Model Matematika)

Suwarno akan menterjemahkan kalimat cerita: “x dikurangkan dengan 6

menghasilkan 10” ke dalam kalimat matematika. Ia membuat persoalan di atas

menjadi sangat mudah, yaitu : x – 6 = 10 (kalimat matematika).

Kalimat matematika adalah kalimat yang ditulis dengan lambang-lambang

matematika yang dapat membuat kalimat itu menjadi benar ataupun salah.

Untuk menterjemahkan kalimat cerita ke dalam kalimat matematika,

diperlukan beberapa penguasaan tentang pengertian istilah-istilah dan

penulisannya.

4

Istilah Penulisan Istilah Penulisan

Jumlah x dan y x + y Hasil bagi x dan y xy

Selisih x dan y x - y Selisih kuadrat x dan y x2 - y2

Kebalikan x 1x

Kuadrat selisih x dan y (x− y )2

Kuadrat x x2 Kuadrat jumlah x dan y (x+ y )2

Hasil kali x dan y xy Jumlah kuadrat x dan y x2 + y2

C. Penyelesaian Kalimat Terbuka yang Berbentuk Cerita

Untuk menyelesaikan kalimat terbuka yang berbentuk cerita, dapat

ditempuh langkah-langkah sebagai berikut.

Perhatikan cara penyelesaian kalimat cerita berikut.

1. Kalimat cerita : p dan (q + 35) menyatakan dua bilangan

yang sama. Jika q = 15 dan p ∈ himpunan

bilangan asli, berapakh p?

Kalimat matematika : p = q + 35 dan q = 15, p = ?

Penyelesaian : p = 15 + 35 = 50 ( 50 ∈ himpunan

bilangan asli)

Himpunan Penyelesaian : HP = {50}.

2. Kalimat cerita : hasil kali t dan 4 adalah 28, berapakh t?

Kalimat matematika : 4t = 28, t = ?

Penyelesaian : t =7 (karena 4.7 = 28 adalah kalimat benar)

Himpunan Penyelesaian : HP = {7}.

5

1. Terjemahkan kalimat cerita itu ke dalam kalimat matematika yang

berbentuk persamaan. Jika perlu, gunakan gambar (sketsa diagram)

2. Selesaikan persamaan itu dengan cara substitusi

Contoh:

Sebuah buku cerita setebal 238 halaman sedang dibaca oleh Kevin dalam

beberapa hari. Dalam 6 hari ia telah membaca sebanyak 103 halaman. Berapa

halaman yang harus dibaca oleh Kevin untuk mengetahui akhir cerita buku

tersebut?

Jawab:

Misalkan jumlah halaman yang tersisa/bekum dibaca = x, maka kalimat

matematikanya adalah : 103 + x = 238.

Penyelesaian :

x = 135 (karena 103 + 135 = 238 merupakan kalimat benar).

Jadi, Kevin harus membaca sebanyak 135 halaman lagi untuk mengetahui akhir

cerita buku tersebut.

D. Persamaan yang Ekuivalen

Perhatikan persamaan-persamaan berikut ini.

1. x + 6 = 18, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}

2. x – 2 = 10, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}

3. 3x – 6 = 30, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}

1. Menyelesaikan persamaan dengan sifat-sifat operasi suatu persamaan

yang ekuivalen

Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan linear dengan satu

variable, kita dapat menggunakan sifat-sifat berikut ini.

6

Persamaan yang ekuivalen adalah suatu persamaan yang memounyai

himpunan penyelesaian yang sama, apabila pada persamaan itu dikenakan

suatu operasi tertentu. Notasi ekuivalen adalah ↔.

a. Sifat penambahan

Persamaan berikut ini, akan kita selsesaikan dengan sifat penambahan.

x– 3 = 10 dengan x ∈ (bilangan asli)

↔ x – 3 + 3 = 10 + 3 kedua ruas ditambah 3

↔ x + 0 = 13

↔ x = 13

Jadi, penyelesaian dari x – 3 = 10 adalah x = 13.

b. Sifat pengurangan

Persamaan berikut ini, akan kita selesaikan dengan sifat pengurangan

p + 2 = 9 dengan p ∈ (bilangan cacah)

↔ p + 2 - 2 = 9 - 2 kedua ruas dikurangi 3

↔ p + 0 = 7

↔ p = 7

Jadi, penyelesaian dari p + 2 = 9 adalah p = 7.

7

Kedua ruas suatu persamaan boleh ditambah dengan bilangan yang

sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

Kedua ruas suatu persamaan boleh dikurangi dengan bilangan yang

sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

c. Sifat perkalian

Berikut ini kita akan selesaikan dengan penambahan.

34

p = 9 dengan p ∈ (bilangan rasional)

↔ 34

p x 43

p = 9 x 43

p kedua ruas dikalikan 43

p

↔ p = 3 x 4

↔ p = 12

Jadi, penyelesaian dari 34

p = 9 adalah p = 12.

d. Sifat pembagian

Berikut ini akan diselesaikan sebuah persamaan dengan sifat pembagian

5x = 20 dengan x ∈ (bilangan cacah)

↔ 5x : 5 = 20 : 5 kedua ruas dibagi 5

↔ x = 4

Jadi, penyelesaian 5x = 20 adalah x = 4.

8

Kedua ruas suatu persamaan boleh dikalikan dengan bilangan yang

sama untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

Kedua ruas suatu persamaan boleh dibagi dengan bilangan yang sama

untuk mendapatkan persamaan yang ekuivalen.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persaman berikut ini dengan variable x

merupakan anggota himpunan asli.

4x – 8 = 6x – 12.

Kemudian lukislah himpunan penyelesaian tersebut dalam garis bilangan.

Jawab:

4x – 8 = 6x – 12

↔ 4x – 8 + 12 = 6x – 12 + 12 kedua ruas ditambah 12

↔ 4x + 4 = 6x + 0

↔ 4x + 4 = 6x

↔ 4x + 4 - 4x = 6x – 4x kedua ruas dikurangi 4x

↔ 0 + 4 = 2x

↔ 4 = 2x

↔ 2x = 4

↔ 2x : 2 = 4 : 2 kedua ruas dibagi 2

Jadi, HP = {2}.

Garis bilangan :

1 2 3 4

9

2. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan lawan dan kebalikan

bilangan

Pada pembahasan yang lalu kita telah menerapkan keempat sifat operasi

pada persamaan yang ekuivalen untuk menyelesaikan suatu persamaan. Pada

pembahsan kali ini kita perluas lagi sehingga didapat cara yang lebih mudah, yaitu

dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

a. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan lawan

Hal yang patut diingat sebelum kita menyelesaikan persamaan dengan

menggunakan lawan adalah definisi tentang lawan tersebut.

Ruas kiri dan ruas kanan suatu persamaan dipisahkan oleh tanda ”=”.

Misalnya persamaan:

x – a = b

ruas kiri ruas kanan

Dalam menyelesaikan persamaan, kita usahakan agar variabel yang akan

dicari bernilai positif dan berdiri sendiri di satu sisi.

10

Lawan dari +a adalah –a, lawan dari –a adalah +a

Jika suatu elemen (variabel bilangan) berpindah ruas maka elemen

tersebut juga berubah taanda menjadi “lawannya”.

Agar lebih jelas, perhatikan bentuk-bentuk berikut ini.

(i) Bentuk :

x = b ↔ x = b

pindah ruas berubah tanda

(ii) Bentuk :

x = b ↔ x = b

pindah ruas berubah tanda

(iii) Bentuk :

Usahakan x positif

a – x = b

a = b + x

a – b = x

b. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kebalikan bilangan

Untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan kebalikan

bilangan, hal yang patut diingat adalah

11

x – a = b

x + a = b

x – a = b

– a + a

+ a – a

ab

merupakan kebalikan dari ba

, dengan a ≠ 0 , b ≠ 0

1a

merupakan kebalikan dari a, dengan a ≠ 0.

Apabila di dalam persoalan kita jumpai bentuk-bentuk berikut ini,

gunakanlah perkalian dengan kebalikannya.

(i) Bentuk :

x = c ↔ x = c . ↔ x = b ca

lakukan perkalian dengan kebalikan ab

(ii) Bentuk :

x = b ↔ x = b . ↔ x = ba

lakukan perkalian dengan kebalikan a

PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL (Dua Peubah)

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang memiliki

dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel adalah satu. Persamaan

linier dua variabel dapat dicirikan dengan memuat dua variabel dan kedua

variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linier dua peubah dengan

peubah x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut.

a1 x + b1 y = c1

atau a2 x + b2 y = c2

12

ax + by = c

dengan a, b, dan c ∈ R

ab

x =

ax = b

ab

ba

a1a

dengan a1 , a2 , b1 , b2, dan c1 , c2 adalah bilangan real, x dan y adalah variabel.

Pada persamaan pertama a1 atau b1 boleh nol tetapi tidak boleh kedua-duanya,

demikian juga pada persamaan kedua, a2 atau b2 salah satunya boleh nol dan

tidak boleh kedua-duanya nol.

Contoh persamaan linear dengan dua Variabel.

a. 2x + 3y = 12

b. 5x – 2y = 7

c. x + y = -6

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4 untuk x dan y

anggota bilangan cacah!

Jawab :

x + y = 4

x = 0, maka x + y = 4

0 + y = 4

y = 4 – 0

y = 4

x = 1, maka x + y = 4

1 + y = 4

y = 4 – 1

y = 3

x = 2, maka y = 2

x = 3, maka y = 1

13

x = 4 , maka y = 0

x = 5 , maka y = -1 (tidak memenuhi)

Pasangan berurutan (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) merupakan penyelesaian,

sedangkan (5, -1) buka penyelesaian karena y = -1 bukan bilangan cacah. Jadi

himpunan penyelesaian dari x + y = 4 adalah {(0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)}

Secara geometris, grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear x +

y = 4 dengan x dan y bilangan cacah adalah koordinat titik-titik pada bidang

Cartesius.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan beberapa

cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

a. Metode Substitusi

Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan mengganti atau

menyulih suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain melalui langkah-

langkah sebagai berikut.

Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi

1. Pilih salah satu persamaan (jika ada pilih yang paling sederhanan), kemudian

nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.

2. Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya.

Contoh:

Himpunan penyelesaian sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 adalah…

14

Jawab :

Dari persamaan 2x + y = 8 y = 8 – 2x …………………………(1)

Persamaan (1) disubtitusikan ke persamaan 4x + y = 12, diperoleh :

4x + (8 – 2x) = 12 4x + 8 – 2x = 12

2x = 4

x = 2

Nilai x = 2 subsitusikan ke persamaan (1), maka diperoleh :

y = 8 – 2x

y = 8 – 2(2)

y = 8 – 4

y = 4

Jadi himpunan penyelesaian sitem persamaan tersebut adalah (2,4)

b. Metode Eliminasi

Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara atau menyembunyikan

salah satu variabel sehingga dari dua variabel menjadi hanya satu variabel dan

sistem persamaannya dapat diselesaikan.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Perhatikan koefisien x atau y

2. Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y

dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari 2x – y = 6 dan x + y = 3 !

15

Jawab:

Untuk mencari nilai y, kita eliminasi peubah x:

2x – y = 6 | x 1 |2x – y = 6

x + y = 3 | x 2 |2x + 2y = 6 -

-3 y = 0

y = 0

Untuk mencari nilai x, kita eliminasi peubah y:

2 x – y  = 6

      x + y = 3 -

        3x = 9

x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

c. Metode Grafik

Metode Grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan

dengan cara menggambar garfik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian

menentukkan titik potongnya.

Langkah-langkah menggambar grafik :

1. Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang

Certesius dengan menggunakan metode titik potong sumbu.

2. Bila kedua garis itu berpotongan pada sebuah titik potong himpunan

penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu (x,y)

3. Bila kedua garis itu sejajar (tidak berpotongan) maka himpunan

penyelesainya tidak memiliki anggota, yaitu {}atau∅

16

4. Bila kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki

anggota yang tak hingga banyaknya.

Contoh :

Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : 2x + y = 5 dan 3x – 2y = -3

Maka nilai x + y sama dengan…

Jawab :

Grafik persamaan garis 2x + y = 5

Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0

2x + 0 = 5 2x = 5

x = 52

Titik potongnya ( 52

,0) Titik potong dengan sumbu Y, maka x = 0

2 (0) + y = 5 y = 5 titik potong (0,5)

Grafik persamaan garis 3x – 2y = -3

Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0

3x – 2 (0) = -3 3x = -3

x = -1

Titik potong (-1, 0)

Titik potong dengan sumbu Y, maka x = 0

3 (0) – 2y = -3 2y = -3

y = 32

17

Titik potongnya (0 ,32 )

(0,5)

Garis 3x-2y=-3

(1,3)

(0 ,32 )

( 52

,0)(-1,0)

Garis 2x + y = 5

d. Metode Campuran dari Metode Eliminasi dan Substitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan

dengan metode campuran dari eliminasi dan subtitusi. Metode gabungan eliminasi

dan substitusi dilakuka dengan cara mengeliminasi salah satu variable kemudian

dilanjutkan dengan mensubstitusikan hasil dari eliminasi tersebut.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 3x + 4y = 17 dan 5x + 7y =28

Jawab :

18

Mengeliminasi x

3x + 4y = 17 │× 5 │ 15x + 20y = 85

5x + 7y =28 │× 3 │ 15x + 21y = 84 –

-y = 1

y = -1

Substitusikan nilai y = -1 ke persamaan 3x + 4y = 17, diperoleh :

3x + 4y = 17

3x + 4(-1) = 17

3x = 17 + 4

3x = 21

x = 7

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7,-1)}.

Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penggunaan sistem persamaan linear satu variabel juga dapat diterapkan

dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 1:

Harga 4 buah buku tulis dan 3 buah pensil adalah Rp. 25.000,00. Harga 2 buah

buku tulis dan 7 buah pensil adalah Rp. 29.000,00. Berapakah harga 2 lusin buku

tulis dan 4 lusin pensil ?

19

Jawab:

Misalkan, harga sebuah buku tulis dilambangkan x dan harga sebuah pensil

dilambangkan y.

Dengan demikan diperoleh :

4x + 3y = Rp25.000,00 …. (i)

2x + 7y = Rp 29.000,00 …. (ii)

Misalkan sistem persamaan linear dua variabel diatas akan diselesaikan dengan

metode eliminasi.

Langkah awal

Hilangkan variabel x

4x + 3y = 25.000|x 1|4x + 3y  = 25.000

2x + 7 y = 29.000|x 2|4x+14y = 58.000

                                    -11 y = – 33.000

y  = 3. 000

Langkah kedua

kita dapat  menggunakan metode substitusi.

Masukkan nilai y = 3. 000 ke salah satu persamaan. Misalkan (i), diperoleh :

4x + 3.3000 = 25.000

4x = 25.000 – 9.000

x = 4.000

20

Dengan demikian, diperoleh bahwa harga sebuah buku tulis adalah Rp 4.000,00

dan harga sebuah pensil adalah Rp3.000,00. harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin

pensil adalah :

= 2. 12. Rp 4.000,00 + 4.12.Rp3.000,00

= 24. Rp 4.000,00 + 48.Rp3.000,00

= Rp 96.000,00 + Rp144.000,00

= Rp 240.000,00

Jadi harga 2 lusin buku tulis dan 4 lusin pensil adalah Rp 240.000,00

Contoh 2:

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila

membeli 5 buah mangga dan  4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli  4 buah

mangga dan 5 . buah jeruk ?

Jawab:

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan

model matematika.

Misal: 

Harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya  4 x + 5 y =  ?

Kita eliminasi variable x :

21

2x + 3 y = 6000     | x 5 |  = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500   | x 2 |  = 10x +   8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)

7y  = 7000

y  = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x   = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah

jeruk adalah 

4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000

22