PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA UNTUK

ALIRAN FLUIDA PADA CELAH PINTU AIR

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk memenuhi persyaratan kelulusan

Program Studi Matematika

Institut Teknologi Bandung

oleh:

PANDU AGUNG LAKSONO

NIM 10103501

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2010

PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA UNTUK

ALIRAN FLUIDA PADA CELAH PINTU AIR

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk memenuhi persyaratan

sidang sarjana Program Studi Matematika

Institut Teknologi Bandung

oleh:

PANDU AGUNG LAKSONO

NIM 10103501

Telah diperiksa dan disetujui,

Bandung, September 2010

Dosen Pembimbing Dosen Pembimbing

Dr. Leo H Wiryanto Dr. Jalina Widjaja

NIP 131572235 NIP 132162443

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2010

i

ABSTRAK

Sebuah aliran fluida mengalir melalui sebuah celah pintu air dengan ketinggian

tertentu. Tugas Akhir ini mengamati aliran fluida dan memodelkan persamaan

integral pada batas bebas yaitu saat fluida melewati celah pintu air. Aliran fluida

yang diamati bersifat irotasional dan tunak, sementara fluidanya sendiri diasumsikan

bersifat ideal. Asumsi lain adalah daerah aliran fluida merupakan daerah tanpa

hambatan. Permasalahan akan ditinjau dalam kasus 2 dimensi. Dari persamaan

integral yang diperoleh, kita dapat mengklasifikasikan persamaan integral tersebut

sebagai persamaan integral Fredholm bentuk kedua. Setelah itu akan dibahas

beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm bentuk kedua

dengan beberapa sifat kernel yang berbeda.

Kata kunci : persamaan integral Fredholm bentuk kedua, celah pintu air, permukaan

bebas.

ii

ABSTRACT

A flow of fluid passing a sluice gate with certain altitude. This Final Project

observing the fluid flow and modeling an integral equation on a free-surface flow .

The fluid flow that being observed is irrotational and steady and also assumed to be

ideal. Another assumption that the fluid is in area without barrier. The problem will

be reviewed in the case of 2 dimensions. From an integral equation that obtained, we

can classify it as a Fredholm integral equation of the second kind. And then after

that, will be discussed several methods to solve Fredholm integral equation of the

second kind with some properties of different kernels.

Keywords : Fredholm integral equation of the second kind, sluice gate, free surface.

iii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan sedalam-dalamnya kepada Allah SWT atas segala

limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas

Akhir ini yang berjudul “Persamaan Integral Fredholm Bentuk Kedua Untuk Aliran

Fluida Pada Celah Pintu Air”. Selain itu penulis juga mengucapkan rasa terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu penulis di

dalam proses menyelesaikan Tugas Akhir ini. Penulis dengan segala hormat

mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Leo H. Wiryanto dan Ibu Jalina Widjaja selaku dosen pembimbing

yang telah membimbing penulis dengan sabar untuk menyelesaikan Tugas

Akhir ini.

2. Kedua orang tua penulis yang selalu memberikan dorongan motivasi dan doa

kepada penulis selama proses penyelesaian Tugas Akhir ini.

3. Ibu Sri rejeki, Bapak Janson Naiborhu, dan Bapak Oki Neswan selaku dosen

penguji untuk seminar I dan seminar II.

4. Ibu Puji Astuti selaku dosen wali.

5. Ibu Diah yang telah banyak membantu dalam berbagai hal.

6. Para staf TU Matematika yang telah banyak membantu penulis.

7. Alex Rivando, Rudi Haryanto, dan Galih Sandy selaku teman seperjuangan

dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

8. Octavianus Budi Setya Utama selaku rekan penulis yang sering memberikan

masukan tentang Tugas Akhir ini.

9. Fajar Yuliawan selaku rekan penulis yang banyak membantu penulis dalam

penyelesaian Tugas Akhir ini.

10. Soegara Ady Saputra, Aan Hendarto, dan Hendrik yang telah memberikan

penulis ijin serta kesempatan untuk menggunakan komputer serta printernya

untuk kepentingan penyelesaian Tugas Akhir ini.

11. Mega Elvira atas semua doa dan dukungannya yang tanpa henti kepada

penulis, selama proses penyelesaian Tugas Akhir ini.

iv

12. Dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu disini. Mohon

maaf dan terima kasih banyak atas segala bantuannya.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh

karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua

pihak. Semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya.

Terima kasih.

Bandung, 23 September 2010

Penulis

v

DAFTAR ISI

Abstrak………………………………………………………………………….. i

Abstract ……………..………………………………………………………….. ii

Kata Pengantar …………………………………………………………………. iii

Daftar Isi ………………………………………………………………………... v

Daftar Gambar ………………………………………………………………….. vi

BAB I Pendahuluan …………………………………………………………… 1

BAB II Dasar Teori …………………………………………………………… 3

2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak ………………….………

2.1.1 Persamaan Kontinuitas …….……………………...……………

2.1.2 Persamaan Gerak …………………...……………………..……

3

3

5

2.2 Fungsi Arus dan Fungsi Kecepatan …………………………………….. 8

2.3 Transformasi Schwarz-Christoffel ……………………………………… 12

2.4 Integral Cauchy ………………………………………………………… 12

BAB III Pemodelan Persamaan Integral Pada Aliran Fluida ……………… 15

3.1 Deskripsi Masalah ……………………………………………………… 15

3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas ………………………..…………... 15

3.3 Transformasi Pada Domain Fluida ……………………………………... 20

3.4 Variabel Hodograf ……………………………………………………… 22

BAB IV Persamaan Integral Fredholm Bentuk Kedua ..…………………. 29

4.1 Klasifikasi Persamaan Integral ……………….………………………… 29

4.2 Kernel Persamaan Integral …………………………..…………………. 31

4.3 Metode Resolvent Kernel …………………………..………………..…. 37

BAB V Kesimpulan ……………………………………………………………. 40

Daftar Pustaka ………………………………………………………..…………. 41

vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Elemen volume dan aliran massa ……………………….…………… 4

Gambar 2.2 Elemen volume dan tegangan geser ……………………………….… 5

Gambar 2.3 Garis arus ………………………………….……………………….... 9

Gambar 2.4 Fungsi kecepatan …………………………………….……………... 10

Gambar 2.5 Lintasan terhubung sederhana ……………………….……………... 13

Gambar 2.6 Lintasan terhubung tidak sederhana ………………….…………….. 13

Gambar 2.7 Domain terhubung sederhana …………………………….………… 13

Gambar 2.8 Lintasan tertutup sederhana …………………………….……………14

Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi …………………..……….……. 15

Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang ……………………….. 16

Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f ……………….……………. 19

Gambar 3.4 Penampang aliran fluida ……………………………….…………… 20

Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang- ……………….…………… 21

Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline ………….……………. 23

Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida …………….……………………….... 25

Gambar 3.8 Singularitas pada bidang- ……………………….………………… 26