Persamaan Bilangan BulatOleh:Didik Sadiant o, S.Pd. a.Persamaan Diophant ine Linear Definisi Misalkan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat . Persamaan Diophant ine berbent ukc by ax = + disebutPersamaan Diophant ine Linear dan set iap pasangan bilangan bulat(x,y) yang memenuhi c by ax = +disebutsolusi. Teorema 1 Persamaan Diophant inec by ax = +mempunyai solusi j ika c b a FPB ) , ( . Teorema 2 Jika FPB(a, b)= 1, maka Persamaan Diophant inec by ax = +selalu mempunyai sedikit nya sat u solusi bilangan bulat . Teorema 3 Jika 0 0, y xsolusi bilangan bulatkhusus dari Persamaan Diophant ine c by ax = + , maka solusi bilangan bulatumum persamaan ini adalah =+ =tb a FPBay ytb a FPBbx xoo) , () , ( unt uk sebarang bilangan bulatt . Cont oh 1:Hit ung banyak bilangan bulat 100 1 s s nyang dapatdinyat akan dalam bent uky x 8 6+unt uk suat u bilangan bulatx dan y. Pembahasan:Perhat ikan bahwa FPB(6, 8)= 2. Oleh karena it u menurutt eorema 1 di at as, hanya bilangan yang t erbagi 2 yang dapatdinyat akan dalam bent uk 6x+ 8y unt uk suat u bilangan bulatx dan y. Dalam hal ini, 100 1 s s nyang t erbagi 2 ada 50 bilangan. Cont oh 2:Tent ukan solusi umum dari persamaan diophant ine. 70 14 21 = + y xPembahasan:Karena7 ) 14 , 21 ( = FPBdan70 7 maka persamaan t ersebutmempunyai t ak hingga banyak solusi bilangan bulat . Perhat ikan, unt uk menemukan solusi umumnyakit a menggunakan algorit ma euclid: 7 14 . ) 1 ( 21 . 1 = + , sehingga70 14 . ) 10 ( 21 . 10 = + . Jadi,10 & 10 = =o oy x adalah solusi khusus, sehingga solusi umum dari persamaan diophant ine,berbent ukn y n x 3 10 , 2 10 = + =dimana n suat u bilangan bulat . Cont oh 3:Tent ukan x dan y bulatposit if yang memenuhi . 100 5 7 = + y xPembahasan:FPB(7,5)= 1, menurutt eorema 2 di at as, maka persamaan ini mempunyai sedikit nya sat u solusi. Dengan mudah bisa kit a t ulis 5 . 4 7 . 3 1 =5 . 400 7 . 300 100 = . Maka400 , 300 = =o oy x . Solusi umumnya adalah n y n x 7 400 5 300 = + = . Karena yang dimint a x,y bulatposit if, maka haruslah 0 7 400 & 0 5 300 > > + n nyait u.7157 60 < < nJadi, persamaan diophant ine100 5 7 = + y xmempunyai t epatdua solusi bulatposit if yait u := = == = =6 , 10 5813 , 5 59y x ny x n. LATI HAN 7A 1.Unt uk masing-masing persamaan diophant ine linear, t ent ukan semua solusi bulatat au t unj ukkan j ika t idak ada solusi bulat. a.11 5 2 = + y xb.100 13 17 = + y xc.147 14 21 = + y xd.97 18 60 = + y x2.(CHI NA/ 2001) Tent ukan semua solusi bulatposit if unt uk persamaan. 125 5 12 = + y x3.Diket ahui bahwa bilangan bulatposit if x> 1 dan y memenuhi persamaan1923 21 2007 = y x . Tent ukan nilai minimum dari 2x+ 3y? 4.(CHI NA/ 2007) Diket ahui persamaan1405234+ = x a xmempunyai solusi bulatposit if, dimana a suat u paramet er. Tent ukan nilai minimum bilangan bulatposit if dari a. 5.(AHSME/ 1989) Diket ahui n bilangan bulatposit if, dan persamaan n z y x = + + 2 2mempunyai 28 solusi bulatposit if unt uk (x,y,z). Maka nilai n adalah ... 6.Tent ukan solusi bulatdari persamaan diophant ine0 7 13 = y xyang memenuhi kondisi. 120 80 < + < y x7.Berapa banyak cara berbeda perangko seharga 81 cent s dapatdigant i dengan menggunakan perangko seharga 4 cent s dan 7 cent s saj a? 8.Berapa banyak solusi bulatdari persamaan12 16 20 = + y x , 10 < x ,? 10 < y9.(AHSME/ 1992) Jika k bilangan bulatposit if sedemikian sehingga persamaan dalam variabel x; k kx 3 12 = mempunyai akar-akar bulat , maka banyaknya nilai k yang mungkin adalah ... 10.(SSSMO/ J/ 2002) Dua bilangan bulatposit if A dan B memenuhi .333173 11= + B A Tent ukan nilai dari.2 2B A+11.(CHI NA/ 1997) Diket ahui m,n bilangan bulatyang memenuhi 3 5 2 3 + = + n mdan, 40 2 3 30 < + < m t ent ukan nilai dari mn. 12.Diket ahui bilangan 4 digitdan j umlah semua digit -digit nya 2006, t ent ukan bilangan 4 digit t ersebut . 13.(SSSMO/ J/ 1997) Andaikan x, y, dan z adalah bilangan bulatposit if sedemikian sehingga663 > > > z y x dan x, y, dan z memenuhi = + += + +5992 4 3 21998z y xz y x. Teent ukan nilai dari x, y, dan z. 14.(OSK 2010) Pasangan bilangan asli (x,y) yang memenuhi 2010 5 2 = + y xsebanyak .... 15.(OSK 2006) Banyaknya solusi pasangan bilangan bulatposit if persamaan501 5 3 = + y x adalah ... b.Persamaan Diophant ine non-Linear Persamaan j enis ini sangatbanyak bent uknya, kit a t idak mungkin mengkarakt erist ik sat u per sat u. Berikutakan dibahas melalui beberapa cont oh soal dan met ode penyelesaiannya. Cont oh 4:Berapa banyak pasangan t erurutbilangan bulat(x,y) yang memenuhi kondisi + = < y (dari persamaan di soal), sert a (x-y), (x+ y) keduanya j uga bilangan asli, dengan. y x y x + < Dengan mendaft ar faktorisasi dari 64: . 8 . 8 16 . 4 32 . 2 64 . 1 64 = = = = Unt uk menent ukan nilai x dan y, perhat ikan t abel berikut ;x yx +yxyKet16465/ 263/ 2TM 2321715M 416106M 8880TM Jadi, Ada 2 pasangan bilangan asli yang memenuhi kondisi pada soal, yait u (17,15) dan (10,6). Cont oh 6:Jika x dan y bilangan asli sedemikian sehingga, 9 = + + xy y x berapa kemungkinan nilai t erbesar unt uk xy? Pembahasan:Perhat ikan bahwa:9 = + + xy y x10 1 = + + + xy y x10 ) 1 ( ) 1 ( = + + y xPerhat ikan bahwa (x+ 1) dan (y+ 1) keduanya bilangan asli. Kit a mendaft ar fakt orisasi dari 10 sebagai perkalian dua bilangan asli. Kit a dapatmemilih x> y. Jadi,. 2 . 5 1 . 10 10 ) 1 ( ) 1 ( = = = + + y xSekarang 1 1 , 10 1 = + = + y xmakaN e = = 0 , 9 y x , (9,0) bukan pasangan solusi unt uk soal ini. Kemudian unt uk x+ 1= 5, y+ 1= 2 maka x= 4, y= 1. Nilai t erbesar unt uk xy= 4.1= 4. LATI HAN 7B 1.Berapa banyak pasangan bilangan asli (x,y) yang memenuhi persamaan? xy y x = +2.Berapa banyak pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan N e = + y xy x, ,121 1 1? 3.Tent ukan banyaknya solusi bulat(x,y,z) denganz y x = = , dari persamaan. 12 = z y x4.Andaikan a, b, dan c bilangan bulatposit if berbeda sedemikian sehingga. 1000 = + + + + + + c b a bc ac ab abcTent ukan nilai dari . c b a + +5.Banyaknya pasangan t ripel (a,b,c) sedemikian sehingga 2 2 2& 2 c b a c b a = + = +sert aN e c b a , ,adalah ... 6.Berapa banyaknya pasangan t erurut(a,n) dimanaN e n a,yang memenuhi persamaan? 10 !2a n = +7.(SSSMO/ J/ 2008) Misalkan n bilangan bulatposit if sedemikian sehingga48 192+ + n n merupakan bilangan kuadratsempurna. Tent ukan nilai dari n. 8.(CHI NA/ 2003) Tent ukan solusi bulatdari persamaan 0 7 9 4 6 = + y x xy . 9.(SSMO/ J/ 2004) Tent ukan banyaknya pasangan t erurutdari bilangan posit if (x,y) yang memenuhi persamaan.20041 1 1= +y x 10.(SSMO/ J/ 2009) Tent ukan nilai t erkecil dari bilangan bulatposit if m sedemikian sehingga persamaan 0 ) 9 100 ( ) 5 ( 22= + + + + m x m xhanya mempunyai solusi bulat . 11.(CHNMOL/ 2005) p, q adalah dua bilangan posit if, dan dua akar-akar dari persamaan dalam variabel x, 0 16 ) (41591122= + + ++ q p xpxadalah p dan q j uga. Tent ukan nilai p dan q. 12.(CHNMOL/ 2003) Diket ahui bilangan bulata, b yang memenuhi persamaan 321 11.1 11 111 112 2=+|.|

\|(((((

+b ab ab abb aa, t ent ukan nilai dari a+ b. 13.(CHNMOL/ 1995)Banyaknya solusi bulatposit if (x,y,z) yang memenuhi sist em persamaan = += +2363yz xzyz xy. 14.(CHI NA/ 2003) Diket ahui 612602 + a a adalah bilangan bulatposit if, dimana a suat u bilangan bulatposit if. Tent ukan nilai a. 15.(SSSMO/ J/ 2004) Misalkan x, y, z, dan w menyat akan empatbilangan bulatposit if berbeda sedemikian sehingga . 812 2 2 2= = w z y xTent ukan nilai dari. yz xw yw xz + + +16.(CHI NA/ 2003) Tent ukan banyaknya solusi bulatt idak nol (x,y) yang memenuhi persamaan. 22 3 152= +x xyy x 17.(CHI NA/ 2001) Tent ukan banyaknya solusi bulatposit if unt uk persamaan. 3143= +yx 18.(CHI NA/ 2001) Tent ukan banyaknya solusi bulatposit if dari persamaan.41 3 2= y x 19.(SSSMO/ 2005) Berapa banyak pasangan t erurutbilangan bulat(x,y) yang memenuhi persamaan? ) ( 22 2xy y x y x + + = +20.(SSSMO/ 2003) Misal p bilangan prima sedemikian sehingga 0 5802= p px xmempunyai dua solusi bulat . Tent ukan nilai dari p. 21.(OSK, Tipe 1&3/ 2011) Bilanganbulatposit ift erkecil asehingga 2a +4a +6a +... + 200a merupakan kuadratsempurna adalah .... 22.(OSK, Tipe 3/ 2011/ OSP 2008/ Seleksi Awal I MO Hongkong/ 1999) Tent ukan nilai dari 2 23 y xj ika x dan y adalah bilangan bulatyang memenuhi persamaan. 517 30 32 2 2 2+ = + x y x y23.(OSK 2010) Diket ahui bahwa ada t epat1 bilangan asli n sehingga20102+ + n nmerupakan kuadratsempurna. Bilangan asli n t ersebutadalah ... 24.(OSK 2010) Diket ahui p adalah bilangan prima sehingga t erdapatpasangan bilangan bulatposit if (x,y) yang memenuhi . 30 22 2p y xy x + = +Banyaknya pasangan bilangan bulatposit if (x,y) yang memenuhi ada sebanyak ... 25.(OSP 2010) Banyak bilangan bulatposit if n< 100, sehingga persamaanny xxy=+1 3 mempunyai solusi pasangan bilangan bulat(x,y) adalah ... 26.(OSP 2009) Diket ahui k, m, dan n adalah t iga bilangan bulatposit if yang memenuhi 614= +nmmk. Bilangan m t erkecil yang memenuhi adalah ... 27.(OSK 2007) Semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi1 = + xy y xdanxy adalah 28.(OSP 2007) Di ant ara semua solusi bilangan asli (x,y) persamaan , 542= ++xyy x solusi dengan x t erbesar adalah (x,y)= 29.(OSK 2005) Tent ukan banyaknya pasangan bilangan bulatposit if (m,n) yang merupakan solusi dari persamaan. 12 4= +n m 30.(OSP 2005) Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 2xy 5x + y = 55 adalah 31.(OSP 2005) Barisan bilangan asli (a, b, c) dengan a b c, yang memenuhi sekaligus kedua persamaan ab +bc =44 dan ac +bc =23 adalah 32.(OSK 2004) Jika x dan y dua bilangan asli dan x +y +xy =34, maka nilaix +y =33.(OSK 2002) Berapa banyak pasang bilangan bulatposit if (a,b) yang memenuhi?61 1 1= +b a