PERNYATAAN, NILAI PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT KEBENARAN, DAN KALIMAT

TERBUKATERBUKA

a.a. PernyataanPernyataan

b.b. Lambang dan nilai kebenaran Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataansuatu pernyataan

PernyataanPernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang hanya Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi dapat benar saja atau salah saja, tetapi dapat sekaligus benar dan salah.sekaligus benar dan salah.

Contoh :a.4 adalah bilangan genapb.Besi adalah benda padat

Lambang dan nilai Lambang dan nilai kebenaran suatu kebenaran suatu pernyataanpernyataan

Suatu pernyataan biasanya Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, ........., p, q, r, kecil, seperti a, b, c, d, ........., p, q, r, s, .........dan seterusnya.s, .........dan seterusnya.

Benar atau salah dari suatu pernyataan Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris.dan dasar tak-empiris.

Dasar EmpirisDasar Empirisyaitu menentukan benar atau salah yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dari sebuah pernyataan berdasarkan berdasarkan

Contoh :Contoh : ““Ibukota jawa timur adalah Ibukota jawa timur adalah

surabaya”, merupakan pernyataan surabaya”, merupakan pernyataan benar.benar.

““Air adalah benda padat”, Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah.merupakan pernyataan salah.

Dasar Tak EmpirisDasar Tak EmpirisContoh :Contoh :

““Akar persamaan 3x - 1 = 5 adalah Akar persamaan 3x - 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar2”, merupakan pernyataan benar

Kalimat TerbukaKalimat TerbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).(benar atau salah).

Contoh :Contoh :Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”,merupakan pernyataan salah11”,merupakan pernyataan salah

Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.11”, merupakan pernyataan benar.

Ingkaran atau negasiIngkaran atau negasi Ingkaran atau negasi ialah sebuah pernyataan yang Ingkaran atau negasi ialah sebuah pernyataan yang

dibentuk dengan membubuhkan kata tidak benar di dibentuk dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau dengan menyisipkan depan pernyataan semula atau dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula.kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula.

Jika p adalah pernyatan yang diketahui, maka Jika p adalah pernyatan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang memakai lambang ~~p.p.

Contoh :Contoh :Tentukan ingkaran dari q:7 adalah bilangan prima.Tentukan ingkaran dari q:7 adalah bilangan prima.

Jawab :Jawab :~~q: Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atauq: Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau~~q: 7 bukan bilangan primaq: 7 bukan bilangan prima

DisjungsiDisjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p v q.

p v q benar, jika salah satu diantara p dan q benar dan p dan q dua-duanya benar.

P v q salah, jika p dan q dua-duanya salah.

Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan.

Konjungsi pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut : p ٨ q dibaca p dan q.

P ٨ q benar, jika p dan q benar. p ٨ q salah, jika salah satu p atau q salah

atau p salah dan q salah.

Implikasi• Implikasi adalah pernyataan majemuk

yang disusun dari dua buah pernyataan p da q dalam bentuk jika p maka q.

• Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut : p => q.

• Nilai kebenaran implikasi p => q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikit : p => q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p => q dinyatakan benar.

Biimplikasi atau Implikasi Dwiarah Pernyataan p dan q dapat dirangkai dengan

menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru yang dibentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang p <=> q, dibaca p jika dan hanya jika q.

Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya.

• Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

• Di samping pernyataan majemuk sederhana di atas, seringkali dijumpai pernyataan majemuk yang lebih rumit. Pernyataan majemuk yang rumit terdiri dari pernyataan p, q r, .....dan seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

• Secara umum dapat disimpulkan “jika sebuah majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n

TautologiTautologi

Tautologi adalah sebuah pernyataan Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan dari pernyataan semua kemungkinan dari pernyataan komponennya.komponennya.

Implikasi logis adalah sebuah Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan tautologi yang memuat pernyataan implikasi. implikasi.

Dua buah pernyataan Dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalenmajemuk yang ekuivalen Untuk memahami pengartian dua buah Untuk memahami pengartian dua buah

pernyataan majemuk yang ekuivalen, pernyataan majemuk yang ekuivalen, perhatikan dua buah pernyaan berikut :perhatikan dua buah pernyaan berikut :

a = (p v q ) dan b = ( q v p )a = (p v q ) dan b = ( q v p ) Dari pernyataan a dan b itu dapat dibentuk Dari pernyataan a dan b itu dapat dibentuk

biimplikasi.biimplikasi.

a a <=><=> b atau (p v q) b atau (p v q) <=><=> (q v p) (q v p) Nilai kebenaran biimplikasi (p v q) Nilai kebenaran biimplikasi (p v q) <=><=> (q v p) (q v p)

Secara umum dapat disimpulkan :Secara umum dapat disimpulkan :

Tautologi yang berbentuk a Tautologi yang berbentuk a <=><=> b b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a dengan lambang a ΞΞ b. b.

Dua buah pernyataan majemuk dikatakan Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan –pernyataan komponennya.pernyataan –pernyataan komponennya.

Sifat komutatifSifat komutatif a) p v q a) p v q ΞΞ q v p q v p b) p b) p ٨٨ q q ΞΞ q q ٨٨ p .................. (4-2)p .................. (4-2) Sifat asosiatifSifat asosiatif

a. (p v q) v r a. (p v q) v r ΞΞ p v (q v r) p v (q v r) b. (p b. (p ٨٨ q) q) ٨٨ r r ΞΞ p p ٨٨ (q (q ٨٨ r) ..................(4-3)r) ..................(4-3) Sifat distributifSifat distributif a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi.a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi. p v (q p v (q ٨٨ r) r) ΞΞ (p v q) (p v q) ٨٨ (p v r)(p v r) b) Distributif konjungsi terhadap dijungsi.b) Distributif konjungsi terhadap dijungsi. p p ٨٨ (q v r) (q v r) ΞΞ (p (p ٨٨ q) v (p q) v (p ٨٨ r) ............(4-4) r) ............(4-4)

Ingkaran dari pernyataan Berkuantor

• Kita telah membahas ingkaran dari sebuah pernyataan. Paling tidak ada 3 hal yang perlu diingat kembali, yaitu:

1. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p.

2. Jika p pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.

3. Jika p pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

SILOGISME, MODUS PONENS, DAN SILOGISME, MODUS PONENS, DAN MODUS TOLLENSMODUS TOLLENS

• Penarikan kesimpulan yang diturunkan Penarikan kesimpulan yang diturunkan dari premis-premis semula disebut dari premis-premis semula disebut argumentasiargumentasi