Pernyataan Berkuantor

Agi Putra Kharisma, S.T., M.T.

Ganjil 2016/2017

1

Jenis Pernyataan Berkuantor

Kuantor Universal

Kuantor Eksistensial

2

Contoh Kuantor Universal

Semua mahasiswa UB memiliki NIM.

Semua kendaraan bermesin diesel menggunakan bahan bakar solar.

Semua negara memiliki bendera.

3

Contoh Kuantor Eksistensial

Ada bilangan bulat dimana hasil kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.

Ada hewan hidup di dalam tanah.

Ada WNI tidak memiliki KTP.

4

Contoh Kuantor Universal Dalam Model Formal

Proposisi “Semua mahasiswa UB memiliki NIM” dapat dinyatakan dengan:

Misal:

U adalah himpunan mahasiswa ub

q(x) menyatakan x memiliki NIM

Maka model matematika-nya adalah:

∀x ∈ U, q(x)5

Contoh Kuantor Eksistensial Dalam Model Formal

Proposisi “Ada bilangan bulat dimana hasil kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.

” dapat dinyatakan dengan:

Misal:

Z adalah himpunan bilangan bulat

Maka model matematika-nya adalah:

∃x ∈ Z, x2 = x6

Dunia Tarski

Misal:

S(x) menyatakan x adalah segitiga

B(x) menyatakan x berwarna biru

Periksa nilai kebenaran proposisi berikut:

1. ∀x, S(x) → B(x)

2. ∀x, B(x) → S(x)

7

Notasi Formal

8

Negasi

Negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial

Negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal

9

Negasi Kuantor Universal

10

Negasi Kuantor Eksistensial

11

Contoh negasi (1)

Negasi proposisi:

“Semua mahasiswa UB memiliki NIM”

adalah:

“Ada mahasiswa UB tidak memiliki NIM”

12

Contoh negasi (2)

Negasi proposisi:

“Ada hewan hidup di dalam tanah”

adalah:

“Semua hewan tidak hidup di dalam tanah”

13

Latihan (1)

Misal M adalah himpunan mahasiswa FILKOM UB, R adalah himpunan tempat makan di kota Malang, K(m,r) menyatakan “mahasiswa m pernah makan di r”. Tulis ulang pernyataan di bawah ini dengan model informal.

a) ∃m ∈ M dimana K(m, Sate Bunul H. Paino)

b) ∀m ∈ M, K(m, Kantin FILKOM)

c) ∀m ∈ M, ∃r ∈ R dimana K(m,r)

d) ∃r ∈ R dimana ∀m ∈ M, K(m,r)

e) ∃m ∈ M, ∃n ∈ M, dan ∃r ∈ R dimana m ≠ n dan K(m,r) ∧K(n,r)

f) ∃m ∈ M, ∃n ∈ M dimana m ≠ n dan ∀ r ∈ R, K(m,r)

K(n,r)14

Latihan (2)

Misal D = { -48, -14, -8, 0, 1, 3, 16, 23, 26, 32, 36}. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut. Jika bernilai FALSE, maka sebutkan counterexamples-nya.

a) ∀x ∈ D, jika x ganjil maka x > 0

b) ∀x ∈ D, jika x < 0 maka x genap

c) ∀x ∈ D, jika x genap maka x < 0

d) ∀x ∈ D, jika digit satuan x adalah 2, maka digit

puluhannya adalah 3 atau 4.

e) ∀x ∈ D, jika digit satuan x adalah 6, maka digit

puluhannya 1 atau 2.

15

Latihan (3)

Tentukan nilai kebenarannya.

a) ∀ bilangan riil x, ∃ bilangan riil y dimana x + y = 0

b) ∃ bilangan riil y dimana ∀ bilangan riil x, x+ y = 0

c) ∀ bilangan riil bukan nol r, ∃ bilangan riil s dimana

rs = 1

d) ∃ bilangan riil r dimana ∀ bilangan riil bukan nol s,

rs = 1

e) ∃ bilangan riil r dimana ∀ bilangan riil s, rs = 0

16

Latihan (4)

Nyatakan negasi pernyataan berikut ini.

a) ∀x ∃y ∀z T(x,y,z)

b) ∀x ∃y P(x,y) ∨ ∀x ∃y Q(x,y)

c) ∀x ∃y (P(x,y) ∧ ∃z R(x,y,z))

d) ∀x ∃y (P(x,y) → Q(x,y))

17

Jawaban (4)

a) ∃x∀y∃z ¬T(x, y, z)

b) ∃x∀y ¬P(x, y) ∧ ∃x∀y ¬ Q(x, y)

c) ∃x∀y (¬P(x,y) ∨ ∀z ¬R(x,y,z))

d) ∃x∀y (P(x,y) ∧ ¬Q(x,y))

18