Perbandingan Orde Stokastik dari Distribusi Binomial Negatif dengan Distribusi Binomial—Lindley Negatif

ABSTRAK

Tujuan studi ini adalah membandingkan sebuah distribusi binomial negatif dengan sebuah binomial—Lindley negatif dengan menggunakan orde stokastik. Kami menggolongkan perbandingan dalam orde stokastik biasa, orde rasio kemungkinan, orde konveks, orde ekspektasi, dan lebih banyak orde variabel seragam berdasarkan teorema dan beberapa contoh urutan angka dari perbandingan di antara variabel acak binomial negatif dan variabel acak binomial—Lindley negatif.

Kata kunci: Orde Stokastik, Distribusi Binomial Negatif; Distribusi Binomial—Lindley Negatif

1. IntroduksiDistribusi binomial negatif (BN) adalah sebuah campuran dari distribusi Poisson

dan distribusi gama. Distribusi BN digunakan sebagai bentuk fungsional yang mengurangi pembatasan penyebaran berlebihan (perbedaan lebih besar daripada artinya) dari distribusi Poisson. Jika X menunjukkan sebuah variabel acak dari distribusi NB dengan parameter r dan p lalu fungsi massa probabilitasnya adalah

f ( x )=(r+x−1x ) pr (1− p ) x , x=0,1,2 ,…,

untuk r>0 dan 0< p<1, dengan E (X )=r (1−p)p

dan

Var (X )= r (1−p)p2 .

Distribusi binomial—Lindley negatif (B-LN) yang merupakan campuran distribusi binomial negatif yang diperoleh dengan mencampurkan distribusi binomial negatif dengan distribusi Lindley. Distribusi B-LN diperkenalkan oleh Zamani dan Ismail dan menyediakan model untuk menghitung data klaim asuransi. Jika Y adalah variabel acak B-LN dengan parameter r dan lalu fungsi massa probabilitasnya adalah

ketika θ>2.2. Orde Stokastik

Orde stokastik sangat berguna dalam membandingkan variabel acak mengukur karakteristik tertentu di beberapa area. Termasuk area seperti asuransi, riset operasi, teori pengantrean, analisis pertahanan, dan teori ketahanan uji. Perbandingan termudah adalah dengan membandingkan nilai yang diharapkan dari dua variabel acak yang dapat dibandingkan. Kemudian, kami akan menggunakan konteks dari makalah ini. Untuk lebih detil, kami mengacu kepada Ross, Misra, Shaked, dan Singh.

3. PerbandinganKami membuat perbandingan antara variabel acak binomial negatif dan variabel

acak binomial—Lindley negatif dengan memperhatikan orde rasio kemungkinan, orde stokastik, orde konveks, orde ekspektasi, dan orde banyak variabel seragam. Lema berikut ini akan berguna dalam membuktikan hasil utama.

Oleh karena itu, untuk setiap 0< p<1, terdapat sebuah k yang cukup besar sepertiPr ( X≥k )<Pr (Y ≥k ). Ini memvalidasi hasilnya.

2) Diasumsikan bahwa 0< p1< p<1. Lalu, dari bagian 2) dalam Teorema 1 dan bagian 1) dalam Teorema 2, jelaslah bahwa variabel acak X dan Y tidak berurutan terhadap orde stokastik. Juga, dari argumen yang digunakan dalam bukti dari bagian 1) dalam Teorema 1, untuk p< p0 akan mengikuti bahwa Pr ( X=k )/Pr (Y=k ) adalah tidak bertambah dan unimodal, termasuk bahwa X ≤uvY . Bagian yang berlawanan mengikuti dengan menggunakan argumen yang mirip.

Selanjutnya, Kami menunjukkan beberapa contoh numerik dari perbandingan antara variabel acak binomial negatif dengan variabel acak binomial—Lindley negatif dalam orde stokastik biasa, orde rasio kemungkinan, orde konveks, orde ekspektasi, dan orde banyak variabel seragam dan hasilnya ada dalam Tabel 1.

Kemudian, kami menjelaskan bahwa variabel acak binomial negatif (X) lebih kecil daripada variabel acak binomial—Lindley negatif (Y) dalam orde stokastik biasa termasuk bahwa X ≤EY . Sebagai tambahan, jika X dan Y memiliki dukungan respektif

supp(X) dan supp(Y), misalnya bahwa supp(X) supp(Y) dan rasio Pr(X=k)/Pr(Y=k) merupakan sebuah fungsi unimodal di atas supp(Y) tetapi X dan Y tidak diurutkan dalam orde stokastik biasa. Selanjutnya, jika X dan Y memiliki arti ya ng sama. Maka X ≤uvY termasuk bahwa X ≤cxY .

4. KesimpulanMakalah ini menunjukkan perbandingan orde stokastik dari variabel acak

binomial negatif dengan sebuah variabel acak binomial—Lindley negatif dengan orde stokastik biasa, orde rasio kemungkinan, orde konveks, orde ekspektasi, dan orde banyak variabel seragam. Beberapa keuntungan perbandingan orde stokastik dari variabel acak binomial negatif dengan sebuah variabel acak binomial—Lindley negatif sebagai berikut: Jika variabel acak binomial negatif (X) lebih kecil daripada variabel acak binomial—Lindley negatif (Y) dalam orde stokastik biasa. Kegunaannya adalah bahwa memberikan kondisi cukup mudah untuk X lebih kecil daripada Y dalam orde ekspektasi. Selanjutnya, jika supp(X) supp(Y) adalah bahwa itu termasuk rasio Pr(X=k)/Pr(Y=k) adalah fungsi unimodal di atas supp(Y) tetapi X dan Y tidak diurutkan dalam orde stokastik biasa. Terakhir, Jika X dan Y bermakna sama, diketahui bahwa X lebih kecil daripada Y dalam orde banyak variabel seragam termasuk bahwa X lebih kecil daripada Y dalam orde konveks. Kesimpulan ini didukung oleh contoh numerik.