BAB 1PENDAHULUAN1.1 Latar BelakangSaat ini perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalamberbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang sulit untukdikerjakan secara analitik dimana analitik disini adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhanatetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknikyang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah,kurang, kali, dan bagi). Dalam penyelesaian persoalan rumit fisika penggunaan metode numerik sendiri sudah banyak diterapkan misalnya saja penyelesaian untuk mengetahui hubungan kecepatan termal dengan koefisien kekentalan zat cair menggunakan metode interpolasi,kemudian persoalan gerak peluru dengan spin yang bisa diselesaikan menggunakan metode runge kutta,dan masih banyak contoh persoalan rumit fisika yang dapat diselesaikan menggunakan metode numerik.Dalam hal ini penulis akan membahas mengenai persoalan fisika mengenai debit air yang dapat diselesaikan menggunakan Metode eliminasi gauss(Upper dan Lower) dan LU Decomposition (Metode Doolittle). Untuk lebih jelasnya akan dibahas pada bab-bab selanjutnya

1.2 Rumusan MasalahBerapakah besar debit air pada sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan Metode eliminasi gauss (Upper) dan LU Decomposition (Metode Doolittle).1.3 TujuanMenentukan besar debit air pada sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan Metode eliminasi gauss (Upper) dan LU Decomposition (Metode Doolittle)1.4 ManfaatDengan adanya program yang telah disediakan pada MATLAB kita dapat menggunakan metode secara tepat agar permasalahan fisika yang rumit dapat terselesaikan dengan baik, misalnya pada persoalan yang akan dibahas dalam makalah ini mengenai besar debit air pada sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu menggunakan Metode eliminasi gauss (Upper dan lower) dan LU Decomposition (Metode Doolittle)

BAB 2TINJAUAN PUSTAKA2.1 Eliminasi GaussEliminasi Gaussadalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Prosedur penyelesaian dari metode ini adalahdengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yangEselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriksEselon-baris, lakukansubstitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Sebagai contoh berikut ada 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (1.a)a21x1 + a22x2 + a23x3 = b3(1.b)a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3(1.c)Persamaan pertama dibagi koefisien pertama dari persamaan kesatu a11 dan dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua a21 :

a21x1 + a21x2 + a21x3 = a21 (1.1)Persamaan (4.1.b) dikurangi persamaan (4.2) didapat :

(a22 - a21) x2 + (a23 - a21) x3 = (b2 - a21 )atau a22 x2 + a23 x3 = b2 (1.2)

Langkah berikut, dengan cara yang sama dilakukan pada persamaan pertama dengan persamaan ketiga, sehingga didapat persamaan :

a31x1 + a31x2 + a31x3 = a31 (1.3)dan persamaan (1.c) dikurangi persamaan (1.3) didapat :

(a32 - a31) x2 + (a33 - a31) x3 = (b3 - a31 )atau a32 x2 + a33 x3 = b3 (1.4)Langkah berikut mengeliminasi persamaan (1.3) dan (1.4) yaitu membagi persamaan (1.2) dengan koefisien a22 dan dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (1.4) hasilnya :

a32 x2 + a32 x3 = a33 (1.5)Persamaan (4.5) dikurangi persamaan (4.6)

(a33 - a32 ) x3 = (b3 - a33 ) atau : a33 x3 = b3 (1.6)Dengan demikian terbentuk persamaan dalam bentuk matrix segitiga atas :a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (1.a) a22 x2 + a23 x3 = b2 (1.2) a33 x3 = b3 (1.6)Maka hasilnya dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan (1.6) didapat nilai x3 kemudian dengan memasukan nilai x3 ke persamaan (1.2) didapat x2 dan selanjutnya dengan memasukan nilai x2 dan x3 pada persamaan (1.a) didapatkan nilai x1 . dengan demikian sistim persamaan dapat diselesaikan.

2.1.1 Ciri-ciri Eliminasi Gaussa. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)b. Baris nol terletak paling bawahc. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnyad. Dibawah 1 utama harus nol2.1.2 Algoritma dasar metode eliminasi gauss Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.1. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22,..., ann atau disingkat aii. Jika aii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii 0.c. Proses triangularisasi.d. Hitunglah nilai xn e. Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 , ....,x2 , x1

2.1.3 Kelebihan dan KekuranganMetode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahapa. menentukan apakah sistem konsisten.b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka.c. lebih mudah untuk memecahkankelemahan :a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan decimalUntuk function Metode eliminasi gauss yang dapat digunakan dalam menyelesaiakan persoalan menghitung debit air dalam sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu : function x=gauss(A,b)[n,n]=size(A);k=1;[n1,k]=size(b);x=zeros(n,k);for i=1:n-1; m=-A(i+1:n,i)/A(i,i); A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:); b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);endx(n,:)=b(n,:)./A(n,n);for i=n-1:-1:1; x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);end

2.2 LU DekomposisiLU dekomposisi memiliki tempat dalam memecahkan persamaan linear.metode dekomposisi LU komputasi ini memiliki kelebihan yakni lebih efisien daripada eliminasi Gauss. Metode LU-decomposisi bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, karena beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU decomposisi Pada LU dekomposisi ini persamaan linier Ax=b mengubah matriks A menjadi matriks upper dan matriks lower, A=LUA=metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut: Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U A = LU. Menghitung vektor y dengan operasimatrik Ly = b. Ini adalah proses forward-substitutionatau substitusi-maju. Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses backward-substitution atau substitusi mundur.Untuk function Metode LU Decomposition (Metode Doolittle) yang dapat digunakan dalam menyelesaiakan persoalan menghitung debit air dalam sebuah pipa dengan menggunakan Sistem Persamaan Linier yaitu :

function x=ludec(A,b)n=size(A,1);for k=1:n-1; for i=k+1:n if A(i,k)~=0.0 lambda=A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-lambda*A(k,k+1:n); A(i,k)=lambda; end endendif size(b,2)>1;b=b';endfor k=2:n b(k)=b(k)-A(k,1:k-1)*b(1:k-1);endfor k=n:-1:1 b(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);endx=b;

2.3 Debit airVolume suatu fluida yang mengalir melalui penampang dalam selang waktu tertentu dikenal dengan Debit Air. Debit adalah besaran yang menyatakan banyaknya air yang mengalir selama 1 detik yang melewati suatu penampang luas. Ambillah sebuah selang dan nyalakan kran, air akan mengalir melalui penampang ujung selang itu. Jika selama 6 detik air yang mengalir adalah lewat ujung selang adalah 12 m3, maka kita katakan debit air adalah (12/6) m3/detik = 2 m3/det.

Bila fluida mengalir dalam pipa yang mempunyai luas penampang A dan mengalir sejauh L maka volume fluida yang ada di dalam pipa adalah Vol = A.L , karena selama fluida mengalir dalam pipa sepanjang L, fluida menempuh selang waktu tertentu selama t.Q = Volume / Waktu = A.L / tv = L / t maka Q = A.(vt) / tQ = A.v ( Persamaan debit air)

Gbr.1Gambar di atas menunjukkan aliran fluida dari kiri ke kanan ( fluida mengalir dari pipa yang berdiameter besar menuju diameter yang kecil ). Garis putus-putus merupakan garis arus. Jika dicermati, garis-garis pada aliran ini sama sekali tidak berpotongan satu sama lainnya. Garis alir semacam ini dinamakan Garis alir (stream line) yang didefinisikan sebagai lintasan aliran fluida ideal. Pada pipa alir, fluida masuk dan keluar melalui mulut-mulut pipa. Air masuk dari ujung kiri dengan kecepatan v1 dan keluar di ujung kanan dengan kecepatan v2. Jika kecepatan fluida konstan, maka dalam interval waktu (t) fluida telah menempuh jarak L= v.t .Keterangan gambar :v1 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar(ms-1)v2 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil(ms-1)A1 = luas penampang bagia pipa yang berdiameter besar( m2 )A2 = luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil( m2 )L = jarak tempuh fluida( m )t = selang waktu fluida ( s )

Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang berdiameter besar (A1) sejauh L1 (L1 = v1 t). Volume fluida yang mengalir adalah V1 = A1L1 = A1v1t. Selama selang waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya kecil (A2) sejauh L2 (L2 = v2 t). Volume fluida yang mengalir adalah V2 = A2L2 = A2 v2 tMassa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A1 (diameter pipa yang besar) selama selang waktu tertentu adalah sbb : =m = Vm1 = 1V1V1 = A1 L1 = A1 v1 tm1 = 1 A1 v1 t

Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penamang A2 (diameter pipa yang kecil) selama selang waktu tertentu adalah :m2 = 2V1V2 = A2 L2 = A2 v2 tm2 = 2 A2 v2 tUntuk fluida yang tunak dimana kecepatan aliran fluida di suatu titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang melewati titik itu, maka jumlah massa yang menembus penampang 1 (A1) dan penampang 2 (A2) haruslah sama. Sehingga dapat dibuat persamaan sbb :m1 = m21 A1 v1 t =2 A2 v2 t 1 A1 v1 =2 A2 v2Jika fluida tersebut tak termampatkan atau tidak bisa ditekan, maka1 = 2 ( tidak berubah terhadap tekanan), maka :Av= tetapQ1 = Q2A1 v1 = A2 v2 (Persamaan kontinuitas)Keterangan :v1 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar(ms-1)v2 = kecepatan aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil(ms-1)A1 = luas penampang bagia pipa yang berdiameter besar( m2 )A2 = luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil( m2 )

BAB 3METODOLOGI PRAKTIKUM3.1 Langkah Kerja1. Membuka Program Matlab2. Menuliskan persamaan dibawah ini dalam bentuk matrik-2 v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6 v2+12 v3=105 v1+4v2-8v3=23. Memanggil function dari gauss dan LU dekomposisi pada common window dimana function tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-File lalu disimpan.4. Setelah mengetahui harga kecepatan (v1,v2,v3) maka selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan memanggil function dari M-File sesuai dengan rumus debit air (Q=A.v).3.2 Metode Analisis dataMetode yang digunakan yakni metode eliminasi gauss (upper,lower) dan LU decomposition(Dollite)

BAB 4HASIL PENGAMATAN dan ANALISIS DATA4.1 Hasil Pengamatanv1

v2v3

A2 A3A1A2

Dari gambar tersebut, sebuah fluida mengalir dalam pipa dimana diketahui pipa tersebut memiliki luas penampang berturut-turut A1=2,9 m2, A2=2.7 m2, A3=2,5 m2 dengan persamaan kecepatan v dalam m/s sebagai berikut:-2 v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6 v2+12 v3=105 v1+4v2-8v3=2Tentukan Debit air pada Q1,Q2,Q3 dalam m3/s!

4.2 Hasil Analisis Data Hasil Perhitungan analitik Metode Lower

didapatkan

12+a(-8)=0 a=1,56+(1.5)(4)=-123+(1.5)(5)=10.59+ (1.5)(13)=10.5 5+a(-8)=0 a=0,6254+(0,625)(4)=6.52+(0,625)(5)=1.1253+ (0,625)(13)=4.25 6.5+a(12)=0 a=-0.5411.125+(-0.541)(10.5)=-4.554.25+(0.541)(13)=-2.783A.v=b

v1=

v1Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2,9 m3. 0.610 m/s=1,769 m3/sQ2=A2.v2= 2,7 m3.0.549 m/s = 1.4823 m3/sQ3=A3.v3= 2,5 m3.0.405m/s= 1,0125 m3/s Metode Upper

Didapatkan

3+a(-2)=0 a= - 1.56+(1.5)(4)= - 1212+(1.5)(5)=19.510+ (1.5)(13)=14.5 5+a(-2)=0 a=2.54+(2.5)(4)=14-8+(2.5)(5)=4.52+ (2.5)(3)=9.5 14+a(12)=0 a=-1.1664.5+(19.5)(-1.166)=-18.2379.5+(14.5)(-1.166)=-7.407A.v=b ,v=x

v3=

Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2,9 m3. 0,611 m/s=1,7719 m3/sQ2=A2.v2= 2,7 m3.0,548m/s = 1,4796 m3/sQ3=A3.v3= 2.5 m3.0.405m/s= 1,0125 m3/s Metode LUDEC (dollite)

U11= -2 U12= 4 U13= 5 U13= 5 L21. U11= 3 L21.= -1.5

L21 U12 + U22 = 6U22=12 L31 U12 + L32 U22 = 4L32 = 1.167 L21 U13 + U23 = 12U23 = 19.5 L31 U13 + L32 U23 + U33 = -8U33 = 18.256A = L. U

LY= b= Y1= 3 -1.5 Y1+ Y2 = 10 Y2 = 14.5 -2.5 Y1+1.167 Y2+ Y3 = 2 Y3 = 7.421U v = Y , v=x

Selanjutnya menghitung debit air yang mengalir sesuai dengan hasil perhitungan analitik yakni :Q1=A1.v1= 2.9 m3. 0.611 m/s=1,7719 m3/sQ2=A2.v2= 2.7 m3.0.548m/s = 1,4796 m3/sQ3=A3.v3= 2.5 m3.0.406m/s= 1,015 m3/s

3.2.2 Hasil perhitungan MATLABDengan menggunakan fungsi eliminasi gauss :function x=gauss(A,b)[n,n]=size(A);k=1;[n1,k]=size(b);x=zeros(n,k);for i=1:n-1; m=-A(i+1:n,i)/A(i,i); A(i+1:n,:)=A(i+1:n,:)+m*A(i,:); b(i+1:n,:)=b(i+1:n,:)+m*b(i,:);endx(n,:)=b(n,:)./A(n,n);for i=n-1:-1:1; x(i,:)=(b(i,:)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,:))./A(i,i);endEksekusi pada command windowDiary onformat longA=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]

A =

-2 4 5 3 6 12 5 4 -8

b=[3;10;2]

b =

3 10 2

gauss(A,b)

ans =

0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927

ludec(A,b)

ans =

0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927

Untuk mendapatkan hasil Debit air dalam pipa, maka diperlukan fungsi pada m-file,kemudian eksekusi pada command window dengan klik run.FLOW CHART menentukan debit air : START

INPUT : Luas penampang (A), kecepatan(v)

Hitung: Q (debit air)

OUTPUT: Q=A*v

C = ?

STOP

M-Filefunction Q = debitairA = input('luas penampang: ');v = input('kecepatan: ');Q = A*vend

Hasil run dari M-Fileformat long% Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.9kecepatan: 0.611 Q = 1.771900000000000 ans = 1.771900000000000 % Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.7kecepatan: 0.547 Q = 1.476900000000000 ans = 1.476900000000000 % Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.5kecepatan: 0.406 Q = 1.015000000000000

ans = 1.015000000000000 diary off

Sehingga diketahui debit air Q1= 1.7719 m3/s, Q2=1,4769 m3/s, Q3=1,015 m3/s

BAB 5PEMBAHASANPada penyelesaian soal berkaitan dengan menghitung debit air yang mengalir pada sebuah pipa, menggunakan metode eliminasi Gauss dan LU dekomposisi dimana metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan dari kecepatan (v) yang diketahui memiliki persamaan berikut :-2 v1+4 v2+5 v3=33 v1 +6 v2+12 v3=105 v1 + 4v2 - 8v3 = 2Dalam pengerjaan di MATLAB, langkah pertama yakni menuliskan persamaan tersebut dalam bentuk matrik>>A=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]A = -2 4 5 3 6 12 5 4 -8>> b=[3;10;2]b = 3 10 2Selanjutnya memanggil function dari gauss dan LU dekomposisi pada common window dimana function tersebut telah ditulis sebelumnya pada M-File lalu disimpan. Setelah memanggil fungsi gauss dan LU dekomposisi didapatkan hasil sebagai berikut:format longA=[ -2 4 5; 3 6 12; 5 4 -8]

A =

-2 4 5 3 6 12 5 4 -8

b=[3;10;2]

b =

3 10 2

gauss(A,b)

ans =

0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927

ludec(A,b)

ans =

0.611872146118722 0.547945205479452 0.406392694063927

Diary off

Sehingga dapat kita ketahui harga v1= 0.61m/s,v2=0.54 m/s,v3=30.40 m/s.Jika v1,v2,v3 dimasukkan kedalam persamaan v maka akan didaptakan hasil yang sama.Setelah mengetahui harga kecepatan (v) maka selanjutnya kita dapat menentukan besar debit air dengan memanggil function dari M-File sesuai dengan rumus debit air (Q=A.v).M-Filefunction Q = debitairA = input('luas penampang: ');v = input('kecepatan: ');Q = A*vend

Hasil run dari M-Fileformat long% Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.9kecepatan: 0.611 Q = 1.771900000000000 ans = 1.771900000000000 % Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.7kecepatan: 0.547 Q = 1.476900000000000 ans = 1.476900000000000 % Modify expression to add input arguments.% Example:% a = [1 2 3; 4 5 6]; % foo(a); debitluaspenampang: 2.5kecepatan: 0.406 Q = 1.015000000000000 ans = 1.015000000000000 diary off

Dari perhitungan tersebut diketahui besarnya debit air yang melalui sebuah pipa yakni: Debit air saat A= 2,9 m2 dan v=0.611m/s adalah 1.7719 m3/s, Debit air saat A= 2,7 m2 dan v=0.547 m/s adalah 1.4769 m3/s, Debit air saat A= 2,5 m2 dan v=0.402 m/s adalah 1,015 m3/s,Untuk perhitungan secara analitik maupun perhitungan matlab didapatkan hasil yang sama baik dalam memecahkan persamaan kecepatan (v) maupun perhitungan debit(Q).

BAB 6PENUTUP6.1 KesimpulanDari pembahasan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan dimana dari perhitungan tersebut diketahui besarnya debit air yang melalui sebuah pipa yakni: Debit air saat A= 2,9 m2 dan v=0.611m/s adalah 1.7719 m3/s, Debit air saat A= 2,7 m2 dan v=0.547 m/s adalah 1.4769 m3/s, Debit air saat A= 2,5 m2 dan v=0.402 m/s adalah 1,015 m3/s,Penyelesaian menggunakan MATLAB antara metode eliminasi gauss dengan LU dekomposisi menghasilkan hasil data yang sama dalam menentukan kecepatan air dalam pipa yang memiliki luas penampang berbeda.6.2 SaranSebaiknya dalam pemecahan soal menghitung debit air ini lebih banyak menggunakan variasi metode lainnya.

lampiranLEMBAR PERHITUNGAN Metode Lower(1)(2)

didapatkan(3)

Perhitungan (1)12+a(-8)=0 -8a=-12 a=1,56+(1,5)(4)=6+6=123+(1,5)(5)=3+7,5=10,510+ (1,5)(2)=10+3=13 Perhitungan (2) 5+a(-8)=0 -8a=-5 a=0,6254+(0,625)(4)=4+2,5=6,5-2+(0,625)(5)=-2+3,125=1,1253+ (0,625)(13)=3+8,125=4.25 Perhitungan 3 6,5+a(12)=0 12a=-6.5 a=-0,5411,125+(-0,541)(10,5)=1,125-5,6805=-4.554,25+(-0,541)(13)=4,25-7,033=-2,783

A.v=b

v1=

v1

Metode Upper(2)(1)

Didapatkan(3)

3+a(-2)=0 -2a=-3 a=1,56+(1,5)(4)=6+6=1212+(1,5)(5)=12+7,5=19,510+ (1,5)(13)=10+4,5=14,5 5+a(-2)=0 -2a=-5 a=2,54+(2,5)(4)=4+10=14-8+(2,5)(5)=-8+12,5=4,52+ (2,5)(3)=2+7,5=9,5 14+a(12)=0 12a=-14 a=-1,1664,5+(19,5)(-1,166)=4,5-22,737=-18,2379,5+(14,5)(-1,166)=9,5-16,907=-7,407A.v=b

v3=

Metode LUDEC (dollite)

U11= -2 U12= 4 U13= 5 U13= 5 L21. U11= 3 L21.= -1,5

L21 U12 + U22 = 6-1,5(4)+ U22 = 6 U22=12 L31 U12 + L32.U22 = 4-2,5(4)+ L32(12) = 412 . L32 =14L32 = 1.167 L21 U13 + U23 = 12-1,5 (5) + U23 = 12-7,5+ U23 = 12U23 = 19.5 L31 U13 + L32 U23 + U33 = -8-2,5(5) + 1,167(19,5) + U33 = -8-12,5 + 22,756 + U33 = -8 U33 = -10,256 -8 U33 = 18,256A = L. U

LY= b= Y1= 3 -1.5 Y1+ Y2 = 10 Y2 = 14.5 -2.5 Y1+1.167 Y2+ Y3 = 2-2.5 (3)+1.167 (14.5) + Y3 = 2-7,5 + 16,921 + Y3 = 2 Y3 = 7,421U v = Y, x= v