1

A. BESARAN DAN SATUAN

� Teori Singkat :

Di dalam Fisika gejala alam diamati melalui

pengukuran.

Pengukuran adalah membandingkan suatu

besaran dengan besaran sejenis yang

disepakati sebagai patokan (standart).

Besaran adalah sesuatu yang dapat diukur

dan dinyatakan dengan angka.

Satuan adalah sesuatu yang menyertai

besaran

Contoh : besaran panjang satuannya meter,

besaran waktu, satuannya detik dan lain

sebagainya

Dimensi adalah cara besaran itu disusun

dari besaran pokok

Besaran dibagi 2 macam : Besaran Pokok

dan Besaran Turunan

Besaran Pokok Satuan Dimensi

1. Panjang

2. Massa

3. Waktu

4. Suhu

5. Kuat arus

6. Kuat cahaya

7. Jumlah zat

meter (m)

kilogram (kg)

detik (s)

kelvin (k)

ampere (A)

kandela (cd)

mol (n)

[ L ]

[ M ]

[ T ]

[ θ ] [ I ]

[ J ]

[ N ]

Selain besaran pokok diatas adalah besaran

turunan

Contoh : gaya, berat, massa jenis, volume

dan lain sebagainya

� Tips Soal Dimensi :

Langkah penyelesaian jika menghadapi soal

yang menanyakan tentang dimensi :

1. Mengetahui rumusnya

2. Menerjemahkan rumus ke dalam

besaran pokok

3. Mengubah satuan ke dimensi

Ketelitian Pengukuran dan Angka

Penting Di dalam pengukuran kita mengenal

berbagai perangkat ukur dan hasil

pengukuran yang berujud angka-angka.

Diantara alat ukur panjang yang perlu

diketahui adalah :

1. Mistar

2. Jangka sorong

3. Mikrometer sekrup

1. Mistar

Mistar mempunyai skala terkecil dalam

milimeter (mm) dan memiliki ketelitian = 1

mm atau 0,1 cm . Ketelitian mistar adalah

setengah dari skala terkecilnya. Jadi 2

1x 1

mm = 0,5 mm atau 0,05 cm

2. Jangka Sorong

Jangka sorong mempunyai dua skala yaitu

skala utama dan skala nonius. Skala nonius

terdiri dari 10 bagian yang panjangnya 9

mm. Selisih satu skala utama dengan satu

skala nonius sama dengan 1 mm – 0,9 mm

= 0,1 mm. Ketelitian jangka sorong adalah

setengah dari skala terkecilnya. Jadi 2

1x 0,1

mm = 0,05 mm atau 0,005 cm

Skala nonius

Skala utama

Sebagai contoh pada pengukuran diatas,

kita dapatkan 2,3 cm + 0,2 mm = 2,32 cm

3. Mikrometer Sekrup

Mikrometer Sekrup mempunyai dua skala

yaitu skala utama dan skala nonius. Skala

nonius terdiri dari 50 skala. Setiap kali skala

nonius diputar 1 kali, maka skala nonius

bergerak maju atau mundur sejauh 0,5 mm.

Sehingga satu skala nonius sama dengan

50

mm5,0= 0,01 mm. Ketelitian mikrometer

sekrup adalah setengah dari skala

terkecilnya. Jadi 2

1x 0,01 mm = 0,005 mm

atau 0,0005 cm

2

Skala Utama Pemutar

Benda yang diukur

Skala nonius

Sebagai contoh pada pengukuran diatas,

kita dapatkan 9,5 mm + 0,40 mm = 9,90

mm

Angka Penting

Penulisan angka penting mengikuti aturan :

1. Semua angka bukan nol merupakan

angka penting

Contoh :

564,9 m � empat angka penting

76,824 kg � lima angka penting

2. Angka nol yang terletak diantara angka

bukan nol merupakan angka penting

Contoh :

20,7 m � tiga angka penting

96, 04 kg � empat angka penting

3. Angka nol yang terletak disebelah

kanan angka bukan nol tanpa koma

desimal adalah bukan angka penting,

sedangkan angka nol di sebelah kanan

angka bukan nol dengan koma desimal,

merupakan angka penting

Contoh :

340 m � dua angka penting

54,80 kg � empat angka penting

4. Angka nol yang terletak disebelah kiri

angka bukan nol, baik yang disebelah

kiri maupun sebelah kanan koma

desimal, bukan merupakan angka

penting Contoh :

0,67 m � dua angka penting

0,007 kg � satu angka penting

5. Angka yang diberi garis bawah atau

garis di atasnya merupakan batas angka

penting dihitung paling kiri penulisan

angka

Contoh :

6987 m � tiga angka penting

9,047 kg � dua angka penting

Aturan operasi angka penting:

1. Penjumlahan dan pengurangan

Hasil penjumlahan dan pengurangan

hanya diperbolehkan mengandung satu

angka taksiran (angka terakhir suatu

angka penting)

Contoh :

45,67 (4 angka penting)

12,4 (3 angka penting)

+

70,17 (ditulis 70,2 memiliki 3 angka

penting)

2. Perkalian, Pembagian dan akar pangkat

dua atau lebih

Hasil akhir operasi diatas, hanya boleh

memiliki angka penting paling sedikit

dari komponen-komponen operasi

tersebut

Contoh :

4,38 x 1,2 = 5,256 (ditulis 5,3 memiliki

2 angka penting, karena komponen

pengali terkecil adalah 2 angka penting)

Aturan pembulatan angka dibelakang koma

1. Jika angka dibelakang koma yang akan

dibulatkan kurang dari 5, maka angka

dibulatkan ke bawah

Contoh :

36,632 → 36,63 atau 36,6

78,73 → 78,7

2. Jika angka dibelakang koma yang akan

dibulatkan 5 atau lebih, maka angka

dibulatkan ke atas

Contoh :

92,676 → 92,68 atau 92,7

23,45 → 23,5

Kesalahan dalam Pengukuran

Pengukuran dalam fisika dapat berupa :

1. Pengukuran tunggal

2. Pengukuran berulang

1. Pengukuran Tunggal

Hasil pengukuran yang dilakukan dengan

sekali percobaan dinyatakan oleh :

Dengan :

X1 = hasil pengukuran tunggal

�X = nilai ketidakpastian

X = X1 ± �X

�X = 1/2 X skala terkecil

3

Contoh : Hasil satu kali pengukuran sebuah

tongkat dengan mistar adalah 23,56 cm,

maka penulisan hasil yang benar adalah …

L = (23,56 ± 0,01) cm

Yakni dengan mengingat

�X = 1/2 x 1 mm

= 0,5 mm

�X = 0,005 cm = 0,01 cm

2. Pengukuran Berulang

Hasil pengukuran yang dilakukan dengan

beberapa kali percobaan dinyatakan oleh :

X = nilai rata-rata

�X = nilai ketidakpastian

Ketidakpastian relatif = %100xX

X∆

N = Banyaknya pengukuran

� Ketidakpastian relatif sekitar 10 %

berhak atas 2 angka penting

� Ketidakpastian relatif sekitar 1 %

berhak atas 3 angka penting

� Ketidakpastian relatif sekitar 0,1 %

berhak atas 4 angka penting

� Banyak desimal hasil pengukuran

harus sama dengan banyak desimal

ketidakpastian

Contoh :

Seorang anak mengukur panjang sebuah

meja dengan hasil berturut-turut 55,6 cm,

55,7 cm, 55,9 cm, 55,1 cm dan 55, 4 cm.

Tentukan hasil pengukuran beserta ketidak

pastiannya !

Pengu

kuran

L (cm) L2 (cm

2)

1 55,6 3091,36

2 55,7 3102,49

3 55,9 3124,81

4 55,1 3036,01

5 55,4 3069,16

∑L = 277,7 ∑ L2 = 15423,83

L = (5

55,4 + 55,1 + 55,9 + 55,7 + 55,6 ) cm

= 55,54 cm

( )1-N

LΣ-LΣN

N

1=L∆

2

i

2

i

( ) ( )1-5

277,7-83,154235

5

12

=∆L

= 0,136 cm

Ketidakpastian relatif = % 100 x L

L∆

= 0,24 %

Karena ketidakpastian sekitar 1%, maka

hasil laporan pengukuran ditulis dalam 3

angka

Jadi L = ( 55,5 ± 0,1) cm

Besaran Vektor dan Besaran

Skalar

Besaran dapat pula dibagi menjadi Besaran

Vektor dan Besaran Skalar

Besaran Vektor adalah besaran yang

memiliki nilai (magnitude) dan arah.

Notasi vektor biasa ditulis dengan huruf

tebal atau dengan memberi tanda panah

kecil diatas huruf atau hanya memberi tanda

garis diatas huruf

Contoh : V (=kecepatan), ar

(= percepatan),

F (= gaya), dan lain sebagainya

Besaran Skalar adalah besaran yang hanya

memiliki nilai (magnitude)

Contoh : suhu, waktu, laju, perlajuan dan

lain sebagainya

Resultan Vektor adalah operasi-operasi

yang terjadi dari 2 besaran vektor atau lebih

Vektor satuan adalah suatu vektor yang

nilainya 1 satuan dan memiliki arah searah

dengan sumbu koordinat. Pada koordinat

kartesian 2 dimensi dinyatakan oleh i dan j,

sedang pada koordinat 3 dimensi dinyatakan

oleh i, j dan k

� 2 dimensi

Y

j

i X

X = X± �X

Nilai rata-rata :

⋅+++

=Σ

=N

XXXX n....

N

X X 321i

( )1-N

XΣ-XΣN

N

1=X∆

2

i

2

i

4

i dan j vektor posisi pada sumbu X dan

Y

� 3 dimensi

Z

k

j

Y

i

X

i , j dan k vektor posisi pada sumbu X,Y

dan Z

Metode Resultan Vektor :

1. Metode poligon

2. Metode jajaran genjang

3. Metode menguraikan vektor

1. Metode poligon

Metode ini dilakukan dengan cara

menyambung kepala vektor dengan ekor

vektor lain dan resultan vektor tersebut

adalah menghubungkan ekor vektor

pertama dengan kepala vektor yang

terakhir.

Contoh :

F1 F2 F3

FR = F1 + F2 + F3

F2 F3

F1

FR

Catatan : Tanda (-) negatif menunjukkan

arah vektor berlawanan dengan arah semula

Contoh :

F1 F2 F3

FR = F1 - F2 + F3

F2

F3 F1

FR

2. Metode jajaran genjang

Metode ini dilakukan dengan cara

menyatukan ekor vektor, sehingga

membentuk sudut θ dan resultan vektor

tersebut adalah diagonal jajaran genjang

kedua vektor tersebut

Penjumlahan 2 vektor

R=b+arrr

Besar :

Arah :

ar

Rr

θ

br

Contoh :

1. Jika θ = 00 Dua vektor searah

F1

F2

FR

Bukti : FR = 0cosFF2+F+F 21

2

2

2

1

= ( )2

21 FF +

FR = F1 + F2 terbukti

2. Jika θ = 900

Dua vektor tegak lurus

F2 FR

F1

Bukti : FR = 90cosFF2+F+F 21

2

2

2

1

FR = 2

2

2

1 F+F terbukti

3. Jika θ = 1800

Dua vektor

berlawanan arah

1800

F2 F1

Bukti : FR = 0

21

2

2

2

1 180cosFF2+F+F

= ( )2

21 - FF

FR = F1 - F2 terbukti

FR = F1 + F2

FR = 21 FF +

FR = F1 - F2

θcosab2+b+a=R 22r

5

4. Jika 0 < θ < 900 (atau sembarang θ)

FR

F2

θ F1

� Catatan :

Resultan gaya berada pada Interval :

3. Metode menguraikan vektor

Paduan lebih dua vektor dapat dihitung

besar dan arah resultannya melalui

koordinat kartesius, yaitu masing-masing

vektor diproyeksikan terhadap sumbu-x dan

sumbu-y sehingga resultannya dapat

ditentukan.

Y

F1y F1

F2

F2y θ2 θ1

X

F2x F1x

F3

F Sumbu x Sumbu y

F1 F1x = F1 cos θ1 F1y = F1 sin θ1

F2 F2x = F2 cos θ2 F2y = F2 sin θ2

F3 -- F3

∑ Fx = F1x - F2x Resultan

∑ Fy = F1y +F2y –F3

Arah Resultan tan θ = X

y

FΣ

FΣ

Perkalian Vektor :

1. Perkalian Titik Vektor

2. Perkalian Silang Vektor

1. Perkalian Titik Vektor

Hasil perkalian titik dua besaran vektor

merupakan besaran skalar

B

θ A

Jika A = Ax i + Ay j + Az k dan

B = Bx i + By j + Bz k

maka

Dengan mengingat :

2. Perkalian Silang Vektor

Hasil perkalian silang dua besaran vektor

merupakan besaran vektor yang arahnya

tegak lurus terhadap kedua vektor dengan

besarnya adalah AB sin θ

C

B

θ A

Besar :

Arah :

� Catatan :

a. Arah perkalian silang vektor memiliki

kaidah "putaran sekrup".

Z

k

j

Y

i

X

Dengan demikian secara umum :

A x B ≠ B x A

b. Penyelesaian persamaan untuk tiga

dimensi dapat digunakan dengan

persamaan matriks sebagai berikut :

A = Ax i + Ay j + Az k

A X B = ?

B = Bx i + By j + Bz k

FR = θcosFF2+F+F 21

2

2

2

1

FR = 2

Y

2

X FΣ+FΣ

A . B = AB cos θ

A X B = AB sin θ

A . B = AxBx + AyBy + AzBz

A X B = C

i .i = j.j = k.k = 1

i x j = k ; j x i = - k

j x k = i ; k x j = - i

k x i = j ; i x k = - j

F1 – F2 ≤ FR ≤ F1 + F2

6

i j k

A X B = Ax Ay Az

Bx By Bz

=====O0O=====

Interpretasi Grafik

� Teori Singkat :

Di dalam fisika, disamping kemampuan

menganalisis soal berbentuk uraian diperlu

kan pula keterampilan menganalisa soal

berbentuk grafik. Langkah penyelesaian jika

menghadapi soal yang menanyakan bentuk

grafik dari suatu perumusan adalah :

1. Mengetahui rumusnya

2. Dapat menginterpretasikan rumus dalam

bentuk grafik

Secara umum perlu diketahui 4 bentuk

interpretasi grafik sebagai berikut :

1. Berbanding lurus linear

tg α = c = gradien grafik

contoh :

1. S = V t ===> GLB

S

t

2. P V = n R T ===> Gas ideal

Pada volume tetap (proses isochorik)

TV

Rn = P ===> P = C T

P

T

2. Berbanding lurus kuadratis

Contoh :

1. S = Vo t + ½ a t2 ===>GLBB

s (m)

t (dt)

2. Ep = ½ k x2 ===> Energi potensial

pegas

Ep (J)

x (m)

3. Berbanding terbalik linear

Contoh :

1. f = v/ λ ===> frekuensi

f

λ

2. P V = n R T ===> Gas ideal

Pada suhu tetap (proses isothermis)

TV

Rn = P ===>

V

C = P

P

V

4. Berbanding terbalik kuadratis

A X B = + i (AyBz – AzBy)

– j (AxBz – AzBx)

+ k (AxBy – AyBx)

Bentuk rumus Y = C X

Y

Bentuk Grafik

α)

X

Bentuk rumus Y = C X2

Y

C > 0

Bentuk Grafik X

C < 0

Y

Bentuk Grafik

X

Bentuk Rumus Y = X

C

Bentuk Rumus Y = 2

X

C

7

Contoh :

2ο

21

rπε4

qq=F 1. ===> Gaya Coulomb

F

r

2. 2

21

r

mmG = F ===> Gaya Gravitasi

F

r

Disamping ke empat konsep grafik diatas,

masih terdapat interpretasi yang lain sebagai

berikut :

� Tipe : 1

Tinjau V = dS/dt ===> V merupakan

gradien grafik S – t.

S

α t

tg α = V = dS/dt

� Tipe : 2

Tinjau V = dS/dt, ===> dS = V dt, maka :

S = ∫ V dt ===> Artinya S (jarak) dapat

ditentukan dengan menghitung besarnya

luasan di bawah kurva V – t.

Misal :.

V

S = luasan segitiga

t

Hal ini berlaku pula untuk semua

perumusan lain yang memiliki tipe

perumusan sebagai mana diatas.

Contoh yang lain :

1. a = dt

dV 4. I =

dt

dq dsb

2. F = dt

dp

3. P = dV

dW

Masing-masing dapat diuraikan satu

diantara dua kemungkinan, kalau bukan

berbicara gradien, pasti luasan.

� Catatan :

Bangun yang sering keluar dalam soal

adalah luasan bangun trapesium :

a b

c

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Besaran-besaran di bawah ini yang TIDAK

merupakan besaran besaran turunan

adalah:

A. momentum D. gaya

B. volume E. massa

C. kecepatan

Jawaban : E

(Lihat teori singkat)

2. Meter2

kilogram per detik adalah satuan

A. energi D. momen kelembaman

B. daya E. momentum sudut

C. momen gaya

Jawaban : E

A. Energi (w) =

1. ½ m v2

= m g h

= kg m2/dt

2 = Joule

2. q V (energi listrik)

= elektron-volt

3. P t

= watt-detik

= kilowatt-jam (Kwh)

= daya kuda (Hp)

B. Daya (P) = t

w= kg m

2/dt

3

C. Kelembaman (I) = ∑ m r2 = kg m

2

D. Momen gaya (τ ) =d x F = kg m2/dt

2

E. Momentum sudut (L) = I ω = kg m2/dt

3. Besaran di bawah ini yang memiliki

dimensi [ M ] [ L ]-1

[ T ] –2

adalah

A. gaya D. momentum

B. tekanan E. percepatan

C. energi

Jawaban : B

Y

Bentuk Grafik

X

L = ½ c ( a + b )

8

Dari dimensi [ M ] [ L ]-1

[ T ] –2

di dapat

satuannya kg/ms2

Analisa :

A. Gaya ===> F = m a

= kg m/s2

= [ M ] [ L ] [ T ] –2

B. Tekanan ===> P = F/A = mg / A

= kg m/s2 / m

2

= [ M ] [ L ]-1

[ T ] –2

C. Energi ===> W = m g h

= kg m/s2

= [ M ] [ L ] 2[ T ]

–2

D. Momentum ===> P = m v

= kilogram m/dt

= [ M ] [ L ] [ T ] –1

E. Percepatan ===> a = v/t

= kilogram m/dt 2

= [ M ] [ L ] [ T ] –2

4. Rumus dimensi momentum adalah :

A. [ M ] [ L ] [ T ] –2

B. [ M ] [ L ] -2

[ T ] –2

C. [ M ] [ L ]-1

[ T ] –1

D. [ M ] [ L ] [ T ] –1

E. [ M ] [ L ]-1

[ T ]

Jawaban : D

Rumus : P = mv

(satuan) = kgm/s

(dimensi) = [ M ] [ L ] [ T ]-1

5. Untuk mengukur diameter lubang botol

bagian dalam, agar teliti harus digunakan

alat yaitu…

A. penggaris dengan skala cm

B. jangka sorong

C. respirometer

D. mistar dengan skala mm

E. mikrometer sekrup

Jawaban : B

Untuk mengukur diameter lubang botol

bagian dalam alat ukur yang tepat adalah

jangka sorong

6. Hasil pengukuran tebal sebuah buku adalah

0,02540 m. Banyaknya angka penting pada

hasil pengukuran tersebut adalah …

A. dua D. lima

B. tiga E. enam

C. empat

Jawaban : C

Angka nol yang terletak disebelah kiri

angka bukan nol, baik yang disebelah kiri

maupun sebelah kanan koma desimal,

bukan merupakan angka penting

7. Sebuah pita diukur ternyata lebarnya 12,3

mm dan panjangnya 125,5 cm. Luas pita

mempunyai angka penting sebanyak …

A. dua D. lima

B. tiga E. enam

C. empat

Jawaban : B

Hasil akhir operasi diatas, hanya boleh

memiliki angka penting paling sedikit dari

komponen-komponen operasi tersebut

8. Dua buah gaya yang besarnya 10 N dan 5 N

bekerja pada satu titik tangkap dan

keduanya membentuk sudut α. Agar

dihasilkan gaya resultan sebesar 25 Newton,

maka nilai cos α adalah …

A. 4 D. 7

B. 5 E. 8

C. 6

Jawaban : B

FR = αcos2 21

2

2

2

1 FFFF ++

25 = αcos)5()10(2+5+10 22

625 = 125 + 100 cos α

cos α = 100

500 cos α = 5

9. Jika sebuah vektor dari 12 N diuraikan

menjadi dua buah vektor yang saling tegak

lurus dan yang sebuah dari padanya

membentuk sudut 300 dengan vektor itu,

maka besar masing-masing vektor adalah

A. 6 N dan 6 3 N

B. 6 N dan 6 2 N

C. 6 N dan 3 2 N

D. 3 N dan 3 2 N

E. 3 N dan 3 3 N

Jawaban : A

Perhatikan grafik berikut !

Fy F = 12 N

30

Fx

Fx = 12 cos 300 N Fx = 6 3 N

Fy = 12 sin 300 N Fx = 6 N

9

10. Dua vektor A = -2i + 3j - 4k dan B = 2i +

2j - 3k, maka A x B adalah …

A. i + 14j + 10k

B. -i - 14j - 10k

C. i - 14j + 10k

D. -i + 10j - 14k

E. -i + 10j + 14k

Jawaban : B

i j k

A X B = -2 3 -4

2 2 -3

= i(-9 + 8) – j(6 + 8) + k (-4 – 6)

A X B = -i - 14j - 10k

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Satuan kuat medan listrik dinyatakan dalam

1. Newton/coulomb 3. Volt/meter

2. Joule/newton 4. Coulomb/volt

Pernyataan diatas yang sesuai adalah :

A. 1, 2 dan 3 D. 4

B. 1 dan 3 E. semua salah

C. 2 dan 4

2. KWh adalah satuan dari …

A. kuat arus listrik D. daya listrik

B. hambatan listrik E. energi listrik

C. potensial listrik

3. Satuan tekanan dalam S.I. adalah :

A. Atmosfer D. Newton

B. Pascal E. Mm Hg

C. Cm Hg

4. Pada hukum Boyle PV = k ; k mempunyai

dimensi :

A. daya D. momentum linear

B. usaha E. konstanta pegas

C. suhu

5. Dalam sistem SI, satuan kalor adalah :

A. kalori D. derajat kelvin

B. joule E. derajat celcius

C. watt

6. Yang bukan besaran vektor diantara besaran

berikut ini adalah …

A. kecepatan D. gaya

B. laju E. pergeseran

C. percepatan

7. Lintasan sebuah partikel dinyatakan dengan

x = A + Bt + Ct2. Dalam rumus itu x

menunjukkan tempat kedudukan dalam cm,

t waktu dalam sekon, A, B, dan C masing-

masing merupakan konstanta. Satuan C

adalah …

A. cm/s D. s/cm

B. cm/s2 E. cm

C. cm.s

8. Permitivitas hampa mempunyai dimensi :

A. [ M ] [ L ] [ T ] –2

[ I ]–1

B. [ M ] [ T ] –2

[ I ] –1

C. [ M ]2[ L] [ T ]

–2[ I ]

–1

D. [ M ] [ L ]–1

[ T ] –3

[ I ]2

E. [ M ]-1

[ L ]-3

[ T ]4[ I ]

2

9. Dimensi konstanta Planck adalah

A. [ M ] [ L ]2 [ T ]

–3

B. [ M ] [ L ]2 [ T ]

–1

C. [ M ] [ L ]2 [ T ]

–2

D. [ M ] [ L ]–2

[ T ] –3

E. [ M ] [ L ]3 [ T ]

–3

10. Meter kubik adalah …

A. besaran pokok

B. besaran tambahan

C. besaran turunan

D. satuan besaran turunan

E. satuan besaran pokok

11. Alat ukur jangka sorong mempunyai

ketelitian …

A. 0,01 cm D. 0,001 cm

B. 0,01 mm E. 1 mm

C. 0,1 cm

12. Pada pengukuran pelat logam diperoleh

hasil panjang 1,75 m dan lebar 1,30 m. Luas

pelat menurut aturan penulisan angka

penting adalah …

A. 2,275 m2 D. 2 m

2

B. 2,28 m2 E. 2,2750 m

2

C. 2,3 m2

13. Tiga buah gaya F1, F2 dan F3 memiliki arah

dan besar seperti pada gambar. Pernyataan

yang benar adalah …

F3 F2

F1

A. F1 + F2 = F3 D. F1 – F2 = F3

B. F2 + F3 = F1 E. F3 + F1 = F2

C. F1 + F2 + F3 = 0

14. Dua vektor besarnya masing-masing 6

satuan dan 8 satuan. Besarnya vektor

resultan yang tidak mungkin adalah …

A. 1 satuan D. 10 satuan

10

B. 2 satuan E. 14 satuan

C. 9 satuan

15. Dua buah vektor masing-masing

mempunyai nilai atau harga sama dengan

resultannya apabila kedua vektor tersebut

saling mengapit sudut …

A. 300 D. 90

0

B. 450 E. 120

0

C. 600

16. Besaran berikut yang berdimensi sama

adalah …

A. massa dan berat

B. kecepatan dan percepatan

C. energi potensial dan usaha

D. energi kinetik dan tekanan

E. gaya dan daya

17. Pada gambar berikut ini B x A adalah

vektor

C

B

A

A. –A D. C

B. – C E. A

C. – B

18. Hasil pengukuran massa sebuah kelerang

adalah 54 gram. Jumlah massa sembilan

kelereng yang sejenis dan seukuran dengan

kelereng pertama adalah …

A. 486 gram D. 500 gram

B. 490 gram E. 400 gram

C. 480 gram

19. Pada GLBB, grafik yang menyatakan

hubungan antara energi kinetik suatu benda

dengan waktunya adalah :

A. Ek D Ek

t t

B. Ek E. Ek

t t

C. Ek

t

20. Hukum coulomb dapat dinyatakan melalui

persamaan 2

21

r

qqk F = grafik berikut yang

menggambarkan persaman tersebut adalah

A. F D. F

r2 r

2

B. F E. F

r2 r

2

C. F

r2

=====O0O=====

B. GERAK

Gerak Lurus

Secara umum gerak lurus dibagi menjadi 2 :

1. GLB

2. GLBB

1. GLB

(Gerak Lurus Beraturan)

� Teori Singkat :

Perumusan gerak lurus beraturan (GLB)

Grafik untuk GLB berupa :

V S

t t

Yang perlu diperhatikan pada GLB :

(1). Resultan gaya yang bekerja pada benda

nol (∑ F = 0), maka akibatnya adalah :

a. Percepatannya nol (a = 0)

b. Usaha yang dilakukan pada benda

nol (w = 0)

(2). Kecepatan benda tetap (V = tetap),

maka akibatnya adalah :

a. Energi kinetis benda tetap (Ek = c)

b. Momentum yang bekerja pada

benda tetap (P = c)

S = V t

t

11

Em = Ep + Ek = tetap

2. GLBB

(Gerak Lurus Berubah Beraturan)

Rumus-rumus GLBB:

Keterangan :

S = Jarak yang ditempuh (m)

Vt = kecepatan akhir (m/s)

Vo = kecepatan mula-mula (m/s)

a = percepatan (+) dan perlambatan (-)

(m/s2)

t = lama benda bergerak (s)

Grafik untuk GLBB berupa :

V V

V0 α tg α = a =

dt

dV

t t

Vo = 0 Vo ≠ 0

a > 0 a > 0

V a

Vo

t t

Vo ≠ 0 a = konstan

a < 0

S a > 0

a < 0

t

Yang perlu diperhatikan pada GLBB :

(1). Resultan gaya yang bekerja pada benda

adalah tetap (Σ F = C), maka

akibatnya adalah

a. Percepatannya tetap (a = C)

b. Usaha yang dilakukan pada benda

tetap (w = C)

(2). Kecepatan benda sebagai fungsi waktu

v = f (t), maka akibatnya adalah :

a. Energi kinetis benda berbanding

lurus terhadap t2

b. Momentum benda berbanding

lurus terhadap waktu

=====O0O=====

Gerak Vertikal Gerak vertikal dibagi menjadi 2 :

1. GJB

2. GVA

1. GJB

(Gerak Jatuh Bebas)

� Teori Singkat :

Gerak jatuh bebas (GJB) adalah merupakan

GLBB dalam keadaan khusus, yaitu : a = g

(gravitasi bumi)

Vo = 0

g (tanda g + searah

dengan gerak benda)

h

rumus – rumus GJB mirip GLBB dengan

percepatan a = g dan S = h :

Vt = Vo + g t

Vt2 = Vo

2 + 2 g h

h = Vo t + ½ g t2

Karena pada GJB Vo = 0, maka :

� Catatan :

Tinjau kasus saat benda jatuh bebas, maka

benda akan memiliki 3 keadaan sebagai

berikut :

(1) Epmaks = mgh

Ekmin = 0

h

(2) Ep ≠ 0

Ek ≠ 0

(3) Epmin = 0

Ekmaks = 1/2 mV2

1. Energi mekanik (Em) benda disepanjang

jalur lintasan saat jatuh adalah konstan,

karena pengurangan energi potensial

(Ep) selalu diimbangi dengan

penambahan energi kinetik (Ek),

sehingga energi mekaniknya (Em) selalu

tetap

2. Benda yang jatuh bebas dari ketinggian

h ketika mencapai tanah seluruh energi

potensialnya berubah menjadi energi

kinetik

Vt = Vo ± a t

Vt2 = Vo

2 ± 2a S

S = Vo t ± ½ a t2

tg =Vt

h g 2 =Vt

h = ½ g t2

12

Vo

3. Waktu yang dibutuhkan oleh dua buah

benda yang mengalami GJB pada

ketinggian yang sama, jika gesekan

udara diabaikan adalah sama.

2. GVA

(Gerak Vertikal ke Atas)

Vt = 0

g (tanda g – berla

wanan arah dengan

gerak benda)

rumus – rumus Gerak Vertikal ke Atas

(GVA) mirip perumusan GJB dengan

percepatan a = - g dan S = h

:

Vt = Vo - g t

Vt2 = Vo

2 - 2 g h

h = Vo t - ½ g t2

Karena pada GVA Vt = 0, maka :

� Catatan :

1. Waktu yang dibutuhkan untuk naik sama

dengan waktu yang dibutuhkan untuk

turun

2. Pada ketinggian yang sama, besar

kecepatan naik sama dengan kecepatan

turun.

=====O0O=====

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Gerak lurus dipercepat beraturan

mempunyai persamaan perpindahan yang

kuadratis terhadap waktu

Sebab

Pada gerak lurus dipercepat beraturan selalu

terjadi percepatan atau perlambatan

Jawaban : B

Rumus GLBB

Grafiknya : s (m)

t (dt)

pernyataan dan alasan benar ===> tidak

berhubungan

2. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan

antara jarak yang di tempuh S dengan waktu

t, untuk sebuah benda yang bergerak dalam

suatu garis lurus

S

t

Dari grafik terlihat bahwa :

1. kecepatan benda tetap

2. percepatan benda nol

3. selang waktu yang sama benda

menempuh jarak yang sama

4. pada saat t = 0, kecepatan benda nol

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : A (1, 2, 3, benar)

Ingat ! Pada saat t = 0, kecepatan benda

tetap ( V = c) sehingga V ≠ 0

3. Grafik di bawah ini menghubungkan

kecepatan (V) dan waktu (t) dari dua mobil

A & B pada lintasan dan arah yang sama.

Jika tg α = 0,5 m/s2, maka :

V B A

40

α ) 30

20 t

1. Setelah 20 detik kecepatan ke dua mobil

sama

2. Percepatan mobil B = 2 m/s2

3. Setelah 40 detik mobil B menyusul

mobil A

4. Jarak yang di tempuh pada waktu

tersusul 800 meter

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : A (1, 2, 3, benar)

1. Pada saat t = 20 detik, tampak dari

grafik kecepatan ke dua mobil sama

2. Kemiringan garis B, menyatakan

percepatan mobil B (aB) = 2 m/s2

3. Pada saat mobil B tepat menyusul mobil

A berlaku SA = SB, sehingga di dapat :

VoA t + ½ aA t2 = VoB t + ½ aB t

2

30 t + ½ (0,5) t2 = 0 + ½ (2) t

2

S = Vo t + ½ a t2

tg = Vo

h g 2 = Vo

h = Vo t - ½ g t2

13

X (dt)

0,75 t = 30 ===> t = 40

4. Jarak yang ditempuh pada waktu

tersusul :

SA = SB = ½ (2) (40)2 = 1600 m

4. Y

Perhatikan grafik di se

belah kiri. Besaran yang

sesuai untuk sumbu Y

adalah :

1. Laju gerak benda oleh gaya konstan

2. Jarak tempuh benda dengan laju konstan

3. Kecepatan benda jatuh bebas

4. Percepatan benda jatuh bebas

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : A (1, 2, 3, benar)

analisa :

(1) Jika Y = V, maka jawaban benar, (lihat

teori singkat soal 13)

(2) Jika Y = S, maka jawaban benar, (lihat

teori singkat soal 11)

(3) Pada benda jatuh bebas berlaku

persamaan Vt = g t, dengan Vo = 0

(4) Percepatan benda jatuh bebas adalah (a)

= g = konstan (jawaban salah)

5. Grafik di bawah menunjukkan kecepatan

terhadap waktu untuk mobil yang bergerak

menurut garis lurus selama 7 detik. Dari

grafik dapat ditentukan jarak yang ditempuh

dalam waktu 7 detik, yaitu …m

50 V (m/s)

30

18 t (s)

2 5 7

A. 72 m D. 152 m

B. 80 m E. 188 m

C. 108 m

Jawaban : E

50 V (m/s)

30

I II

18

III t (s)

2 5 7

•) Luasan I : L I = ½ (2) (30 + 50) m = 80 m

•) Luasan II : L II = ½ (3) (18 + 30) m = 72 m

•) Luasan III : L III = (2) (18) m = 36 m

Jadi jarak yang ditempuh selama 7 detik :

St = L I + L II + L III = 188 m

6. Jika suatu benda jatuh bebas, maka :

1. Energi mekaniknya tetap

2. Energi potensialnya tetap

3. Gerakannya dipercepat beraturan

4. Energi kinetiknya tetap

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1,3 benar) → B

Pada GJB berlaku Em = Ek + Ep = tetap,

artinya penurunan Ep selalu diimbangi oleh

penambahan Ek sehingga energi potensial

nya selalu tetap. Adapun gerakannya ada

lah gerakan dipercepat beraturan oleh

percepatan gravitasi g.

7. Dua buah benda A dan B yang bermassa

masing-masing m, jatuh bebas dari

ketinggian h meter dan 2h meter. Jika A

menyentuh tanah dengan kecepatan V m/s,

maka benda B akan menyentuh tanah

dengan energi kinetis sebesar :

A. ½ mv2 C. 1/4 mv

2

B. mv2

D. 3/2 mv2

C. ¾ mv2

Jawaban : B

(Lihat teori singkat GJB catatan no. 2)

Saat tiba di tanah seluruh Ep berubah

menjadi Ek, sehingga :

EpA = EkA ==> m g h = ½ m v2

Jadi untuk benda B :

EkB = 2 m g h = 2 (½ m v2) = m v

2

8. Bila sehelai bulu ayam dan sebutir batu

kerikil dijatuhkan pada saat yang sama di

dalam suatu ruang hampa dari ketinggian

yang sama dan tanpa kecepatan awal, maka

batu akan sampai di bawah lebih dulu

sebab

massa jenis batu lebih besar dari pada massa

jenis bulu ayam

Jawaban : D

(Lihat teori singkat GJB catatan no. 3)

Pernyatan salah, sebab waktu yang

dibutuhkan tidak tergantung pada massa

jenis benda, namun hanya bergantung pada

ketinggian h dan percepatan gravitasi g,

perhatikan :

2h/g t tg /21 h 2 =→=

14

Adapun alasan benar

9. Sebuah benda jatuh bebas dari tempat yang

tingginya 80 meter. Jika energi potensialnya

mula-mula besarnya 4000 Joule dan g = 10

m/s2, maka :

1. Massa benda itu 5 kg

2. Benda sampai di tanah setelah 4 detik

3. Tepat sebelum sampai di tanah kecepa

tan benda itu 40 m/s

4. Tepat sebelum sampai di tanah energi

kinetiknya 4000 Joule

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1,2,3,4 benar) ==> E

1. Ep = m g h ==> 4000 = m (10) (80)

m = 5 kg

2. => 10 / (80) 2 =t = 4 dt

3. V = g t ==> V = 10 (4) m/dt = 40 m/dt

4. Ek = ½ mV2 ==> Ek = ½ (5) (40)

2 J

= 4000 Joule

10.Bila sebuah bola dilemparkan secara vertikal

ke atas, maka pada titik tertinggi bola itu

berhenti sesaat

sebab

Pada saat berhenti bola tidak mengalami

percepatan

Jawaban : C

Pernyataan benar, pada titik tertinggi gerak

vertikal keatas Vt = 0. Alasan salah, sebab

bola masih merasakan percepatan gravitasi g

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Benda A dikatakan bergerak terhadap benda

B jika benda A …

A. memiliki kecepatan

B. memiliki kelajuan

C. memiliki percepatan

D. panjang lintasannya setiap saat berubah

E. jaraknya terhadap B berubah

2. Grafik di bawah ini menyatakan hubungan

antara kelajuan dan waktu suatu benda yang

bergerak. Jarak yang ditempuh selama

benda dipercepat adalah …

V (m/s)

10

4

t (s)

1 3 4

A. 1,0 m D. 10,0 m

B. 4,0 m E. 20,0 m

C. 5,0 m

3.

X (m)

c

b

a d

e t (s)

Gerak suatu benda digambarkan dengan

grafik kedudukan x terhadap waktu t.

Bagian grafik yang menunjukkan kecepa

tan benda nol adalah :

A. a C. c E. e

B. b D. d

4. X (m)

X2

2

X1 1

X0

t1 t2 t3 t (s)

A. Benda mulai bergerak dengan kecepatan

awal nol

B. Kecepatan maksimal di dapat pada saat t

= t2

C. Pada saat t = t2 kecepatan benda nol

D. Arah kecepatan benda pada saat t = t1

sama dengan arah garis singgung pada

lengkung di titik 1

E. Pada saat t = t3 kecepatan benda nol

5.

V (m/s)

b

c e

a d

t (s)

Grafik di atas ini menunjukkan hubungan

kecepatan (V) dan waktu t dari suatu gerak

lurus. Bagian grafik yang menunjukkan

gerak lurus beraturan adalah :

gh / 2 =t

15

A. a D. d

B. b E. e

C. c

6. Pada GLBB, grafik yang menyatakan

hubungan antara energi kinetik suatu benda

dengan waktunya adalah :

A. Ek D. Ek

t t

B. Ek E. Ek

t t

C. Ek

t

7. Perhatikan ngambar berikut :

V (m/s)

12

4 12 t (s)

Jarak yang ditempuh dalam selang waktu t

= 4 s dan t = 12 s adalah ...

A. 144 m D. 60 m

B. 116 m

E. 48 m

C. 96 m

8. Mobil A dan B memiliki grafik x – t seperti

pada gambar di bawah ini

X (km)

B

A 100

2 4 6 t (jam)

Perbandingan kecepatan mobil A dan mobil

B adalah ...

A. 1 : 1 D. 2 : 5

B. 1 : 3

E. 5 : 2

C. 3 : 1

9. Panjang lintasan yang ditempuh mobil A

dengan percepatan 2 m/s2 selama 10 sekon,

adalah sama dengan yang ditempuh oleh

mobil B dengan percepatan 5 m/s2 dalam

waktu ...(anggap A dan B mula-mula diam)

A. 2 s D. 3 √2 s

B. 2 √10 s

E. 4 √10 s

C. 3 s

10. Gerak benda P dan Q memiliki grafik x – t

seperti pada gambar

X (km)

P

Q 300

9 12 t (jam)

Ketika P telah menempuh jarak 200 m, saat

itu Q menempuh jarak ...

A. 150 m D. 230 m

B. 180 m

E. 260 m

C. 200 m

11. Sebuah bola 50 gram dilemparkan vertikal

ke atas. Setelah 2 detik kembali ke asal. Jika

g = 10 m/s2, maka kecepatan awal bola :

A. 0,25 m/s D. 20 m/s

B. 10 m/s

E. 5 m/s

C. 1 m/s

12. Grafik kecepatan terhadap waktu untuk

suatu bola yang dilempar vertikal ke atas

dan kembali pada pelempar setelah

mencapai ketinggian tertentu adalah :

A. V B. V

t

t

C. V D. V

t t

E. V

t

13. Sebuah benda massanya 2 kg terletak

diatas tanah. Benda tersebut ditarik ke atas

dengan gaya 30 N selama 2 detik, lalu

dilepaskan. Jika g = 10 m/s2, maka tinggi

maksimum yang dicapai benda adalah :

A. 10 m D. 18 m

B. 12 m

E. 20 m

C. 15 m

14. Sebuah benda massanya 2 kg terletak

diatas tanah. Benda tersebut ditarik ke atas

dengan gaya 25 N selama 2 detik, lalu

dilepaskan.Jika g = 10 m/s2, maka energi

kinetik benda saat mengenai tanah adalah :

A. 150 J C. 25 J

16

B. 125 J

D. 50 J

C. 100 J

15. Sebuah benda dilempar vertikal ke atas

dengan kecepatan awal 10 m/s dari

ketinggian 40 m seperti pada gambar.

Bila g = 10 m/s2, maka

kecepatan benda saat

menyentuh tanah adalah :

A. 40 m/s C. 30 m/s

B. 45 m/s

D. 35 m/s

C. 30 m/s

16. Benda yang jatuh bebas memilki

1. kecepatan awal nol

2. percepatan tetap

3. geraknya dipercepat beraturan

4. kecepatan tergantung pada massa benda

Yang benar adalah pernyataan …

A. 4 saja D. 1, 2 dan 3

B. 2 dan 4

E. 1, 2, 3, dan 4

C. 1 dan 3

17. Dua buah benda masing-masing massanya

m1 dan m2, jatuh bebas dari ketinggian yang

sama pada tempat yang sama. Jika m1 = 2

m2, maka percepatan benda pertama adalah

…

A. 2 kali percepatan benda kedua

B. 1/2 kali percepatan benda kedua

C. sama dengan percepatan benda kedua

D. 1/4 kali percepatan benda kedua

E. 4 kali percepatan benda kedua

18. Bola A dilemparkan vertikal ke atas dengan

kelajuan 20 m/s. Dua sekon kemudian dari

tempat yang sama bola B dijatuhkan bebas.

Dua sekon setelah B dijatuhkan,

perbandingan kelajuan bola A terhadap bola

B adalah …

A. 1 : 1 D. 2 : 3

B. 1 : 2

E. 3 : 2

C. 2 : 1

19. Jika benda jatuh bebas, maka

1. energi mekaniknya tetap

2. energi potensialnya tetap

3. gerakannya dipercepat beraturan

4. energi kinetiknya tetap

Yang benar adalah pernyataan …

A. 1, 2, 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3

E. 1, 2, 3, dan 4

C. 2 dan 4

20. Bola basket menumbuk lantai secara tegak

lurus dengan kelajuan 7 m/s setelah

dilempar ke bawah dengan kelajuan 5 m/s

dari ketinggian h. Nilai h adalah ...

A. 0,8 m D. 2,4 m

B. 1,2 m

E. 3,0 m

C. 1,8 m

=====O0O=====

GERAK PELURU

� Teori Singkat :

Y Vy = 0

Vy = Vo sin α Vo hmaks

α

Vx = Vo cos α X

Xmaks

� Gerak parabola terdiri dari dua

komponen gerak yaitu :

A. Gerak horisontal berupa GLB

B. Gerak vertikal berupa GLBB

A.Gerak horisontal (searah sumbu-x)

berupa GLB

B.Gerak vertikal (searah sumbu-y) berupa

GLBB

• Tanda positif jika gerakan benda

menuju ke bawah

• Tanda negatif jika gerakan benda

menuju ke atas

� Catatan :

1. Kecepatan dititik tertinggi :

• Vy = 0

• Vx = Vo cos α (tetap)

Secara umum :

V V V 2

y

2

x +=

Vo

40 m

X = Vx t → X = Vo cos α t

dengan Vx = Vo cos α

Vty = Vo sin α ± g t

Vty2 = Vo

2 sin

2 α ± 2 g h

h = Vo sin α t ± ½ g t2

17

Vy = 0

Y V = Vx = Vo cos α Vy V Vx

Vx Vy V

X

- g + g

2. Dari perumusan :

Vty2 = Vo

2 sin

2 α – 2 g h, di titik tertinggi

kita dapatkan Vty = 0, maka diperoleh :

h = hmaks

hmaks = tinggi maksimum

3. Dari perumusan :

Vty = Vo sin α – g t, di titik tertinggi Vy =

0, maka didapat :

padahal txmaks = 2 thmaks, sehingga :

Jika nilai txmaks ini dimasukkan ke

dalam nilai t pada X = Vo cos α t, maka

akan diperoleh :

Xmaks = Jauh maksimum

4. Energi kinetik pada titik tertinggi :

Ek = ½ m Vx2 = ½ m ( Vo cos α )

2

5. Energi potensial pada titik tertinggi :

Ep = mghmaks = m g g 2

sinVo 22 α

6. Perbandingan antara Xmaks dan hmaks adalah :

αα

α

ctg 4

g 2

sin Vo

g

2sin Vo

h

X22

2

maks

maks ==

7. Dua benda yang menjalani lintasan parabola

akan jatuh tepat berimpit pada jarak terjauh

yang sama jika jumlah sudut elevasi

keduanya 900. Pada gambar di bawah α + β

= 900

Y

α berimpit

β

X

=====O0O=====

GERAK MELINGKAR

� Teori Singkat :

Gerak melingkar dibagi menjadi 2 :

1. GMB

2. GMBB

Sebelum membahas lebih jauh perumusan

gerak melingkar, perlu diingat terdapat

konversi awal hubungan antara gerak lurus

(linear) dengan gerak melingkar (rotasi)

� Keterangan :

ω = Kecepatan sudut / anguler (rad/det)

α = Percepatan sudut (rad/s2)

θ = Jarak lintasan sudut (rad)

1. GMB

(Gerak Melingkar Beraturan)

Perumusan GMB mirip GLB, sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Dari GLB → S = V t, maka :

θ R = ω R t, diperoleh :

Ep = Eko sin2 α

Ek = Eko cos2 α

thmaks = g

αsin Vo =

g

h 2 maks

txmaks = g

αsin Vo 2 = 2

g

h 2 maks

Xmaks = g

α2sin Vo 2

α ctg 4h

X

maks

maks =

V = ω R

a = α R

S = θ R

θ = ω t

g

Vh o

maks2

sin22 α=

18

2. Dari GLB → V = tetap, maka :

ω R = tetap, diperoleh :

3. Dari GLB → a = 0, maka

α R = 0 diperoleh :

� Catatan :

1. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

adalah gerak yang lintasannya berupa

lingkaran dengan kelajuan konstan

( konstan=v )

VB

VA ≠ VB

R VA = VB

θ � ω

S R

VA

Kecepatan pada GMB tidak sama di

setiap lintasannya, sebab kecepatan

adalah besaran vektor yang

mensyaratkan adanya besar (magni-

tude) dan arah. Namun lajunya tetap

2. Penyebab gerak melingkar adalah

percepatan sentripetal (asp) atau

percepatan radial (ar) yang arahnya

menuju ke pusat lingkaran

3. Gaya Sentripetal :

4. 1 putaran = 3600 = 2 π radian

� Keterangan :

V = Kecepatan linear (m/s)

S = Jarak (m)

asp = Percepatan sentripetal / radial

(m/s2)

aT = Percepatan tangensial(m/s2)

a = Percepatan linear / total(m/s2)

Fsp = Gaya sentripetal (N)

2. GMBB

(Gerak Melingkar Berubah Beraturan)

Perumusan GMBB mirip dengan GLBB, dan

dengan konversi sebagaimana yang terdahulu

diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Vt = Vo ± a t, dikonversi menjadi :

2. Vt2 = Vo

2 ± 2 a S, dikonversi menjadi :

3. S = Vo t ± ½ a t2, dikonversi menjadi :

� Catatan : 1. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

(GMBB) adalah gerak yang lintasannya

berupa lingkaran dengan percepatan

sudut konstan (α = konstan)

2. Percepatan linear total (at) adalah

merupakan resultan percepatan

tangensial (aT) dan percepatan

sentripetal (asp)

R

θ � ω a

asp

aT

Secara vektor :

Secara skalar :

at = 22

spT aa + , karena

asp = R2ω dan aT = α R, maka

at = 2422RR ωα +

=====O0O=====

ω = tetap

α = 0

asp = ar = RR

V 22

ω=

Fsp = RmR

Vm

22

ω=

ωt = ωo ± α t

ωt2

= ωo2

± 2 α θ

θ = ωo t ± ½ α t2

at = R 42 ωα +

aspaaaT

rrr+=

19

Aplikasi Gerak Melingkar

1. (Benda diputar vertikal)

1

T

mg

T

θ 3

T θ mg cos θ 2 mg

mg

� Ketentuan :

1. Gaya berat selalu berarah ke bawah

2. Gaya tegangan tali selalu menuju pusat

lingkaran

3. Dalam perumusan, arah gerak ke pusat

lingkaran di beri tanda positif, sedang

gaya yang menjauhi pusat negatif.

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

1. Kondisi di titik tertinggi :

2. Kondisi di titik terendah :

3. Kondisi di titik yang membentuk sudut θ terhadap vertikal

2. (Benda bergerak di luar bola)

N

1 2 N

mg

θ θ

mg cos θ

mg

� Catatan :

Persamaan untuk kondisi ini sesuai dengan

persamaan untuk benda diputar vertikal dengan

mengganti T dengan N (gaya normal)

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

• Kondisi pada nomor 1.

mg – N = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 2.

mg cos θ – N = m ω2 R

3. (Benda bergerak di dalam bola)

1

N

mg

N 2

N

mg cos θ

3

mg

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

• Kondisi pada nomor 1.

mg + N = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 2.

N - mg cos θ = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 3.

N – mg = m ω2 R

4. (Hubungan roda-roda)

1. Roda A dan roda B sesumbu :

ωA

ωB

2. Roda A dan roda B bersinggungan :

ωB

ωA

RA RB

3. Roda A dan roda B dihubungkan tali

ωB

ωA RA

RB

T + W = m ω2 R

T - W cos θ = m ω2 R

T - W = m ω2 R

ωA = ωB

B

B

A

A

R

V=

R

V

VA = VB

ωA RA = ωB RB

20

gRV =

4. (Kecepatan di sepanjang Lingkaran)

B

R

A

� Keterangan :

•) VA = Kecepatan minimum agar benda

dapat bergerak satu kali

lingkaran penuh

•)VB = Kecepatan di titik tertinggi

sedemikian sehingga gaya

normal / gaya tegang tali nol

•) Bukti R g=VB

Σ Fsp = m V2/R

W – N = m V2/R → mg = m V

2/R

•) Bukti R g 5=VA , dapat diperoleh

sebagai berikut :

Dari hukum kekekalan energi :

EpA + EkA = EpB + EkB

2

B

2

A V m 1/2 +h g m=V m 1/2 + 0

Dengan mengingat hB = 2 R, maka :

R g 5 R g (2R) g 2V2

A =+=

5. (Benda di putar horizontal / ayunan

konis)

θ θ

T T cos θ

l

T sin θ

R Fsf

R = l sin θ W = mg

•) Gaya pada arah sumbu –x :

R

Vm=θsin T

2

...............................(1)

•) Gaya pada arah sumbu –y :

g m=θ cos T ..................................(2)

•) Persamaan (1) jika dibagi persamaan (2) :

R g

V tg

2

=θ →

6. (GMB pada bidang datar kasar)

Fsp m Fges

•) Fges = gaya gesekan, berfungsi sebagai

gaya sentrifugal (menjauhi pusat)

R

V mF

2

sp = , dan Fges = µ N = µ mg

Dari skema diperoleh Fsp = Fges, maka

diperoleh hubungan :

R

V m2

= µ mg →

=====O0O=====

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Terhadap koordinat x horisontal dan y

vertikal, sebuah benda yang bergerak

mengikuti gerak peluru mempunyai

komponen-komponen kecepatan yang :

A. Besarnya tetap pada arah x dan berubah-

ubah pada arah y

B. Besarnya tetap pada arah y dan berubah-

ubah pada arah x

C. Besarnya tetap baik pada arah x maupun

pada arah y

D. Besarnya berubah-ubah baik pada arah x

maupun pada arah y

E. Besar dan arahnya terus-menerus

berubah-ubah terhadap waktu

Jawaban : A

Vx = Vo cos α (tetap)

Vy = Vo sin α – g t (berubah-ubah

tergantung waktu)

2. Bila besar sudut antara horisontal dan arah

tembak suatu peluru 450, maka

perbandingan antara jarak tembak dalam

VA = VB

ωA RA = ωB RB

R g=VB

R g 5=VA

R g υ=V

θ tgR gV =

R g 5VA =

21

arah datar dan tinggi maksimum peluru

adalah :

A. 8 D. 0,25

B. 4

E. 0,125

C. 1

Jawaban : B

(Lihat catatan no.6)

4=45 ctg 4=hmaks

Xmaks0

3. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan

yang sama dengan sudut elevasi yang

berbeda. Peluru A dengan sudut 300 dan

peluru B dengan sudut 600. Perbandingan

antara tinggi maksimum yang dicapai

peluru A dan B adalah :

A. 1 : 2 D. 1 : √3

B. 1 : 3

E. √3 : 1

C. 2 : 1

Jawaban : B

3

1

60 sin

30 sin

hmaks.B

hmaks.A2

2

==

4. Sebuah peluru bergerak mengikuti lintasan

parabolik seperti tergambar. Sumbu tegak h

menyatakan tinggi sedangkan sumbu

mendatar s jarak yang ditempuh peluru

dalam arah horisontal. Pada kedudukan A

dan B masing-masing :

(1) Energi potensial peluru sama besar

(2) Laju peluru sama besar

(3) Energi total peluru sama besar

(4) Besar momentum peluru sama

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

h

A B

α // h // h

S

Jawaban : (semua benar) → E

Dua titik dengan lintasan parabolik pada

posisi yang berbeda, namun memiliki

ketinggian sama, akan mempunyai nilai

yang sama untuk :

- Energi potensial - Laju

- Energi total - momentum

7. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah

horisontal dengan kecepatan V pada

ketinggian h dari permukaan tanah. Jika

gesekan udara diabaikan, jarak horisontal

yang ditempuh peluru tergantung pada :

Vo

h

x

1. Kecepatan awal V

2. Ketinggian h

3. Percepatan gravitasi

4. Massa peluru

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1, 2, dan 3 benar) → A

(Lihat catatan no. 3)

Jarak horisontal yang dapat ditempuh

peluru pada posisi hmaks adalah :

X = V t → X = V g

h 2 maks

6. Setiap benda yang bergerak secara

beraturan dalam suatu lintasan bentuk

lingkaran ...

A. vektor kecepatannya tetap

B. vektor percepatannya tetap

C. gaya radialnya tetap

D. momentum linearnya tetap

E. semua jawaban diatas salah

Jawaban : E

Pilihan A,B,C dan D merupakan besaran

vektor, sedang besaran vektor mensyaratkan

adanya besar (magnitude) dan arah. Pada

pilihan A,B,C,D besar/magnitude nya tetap,

namun arah pada gerak melingkar berubah-

ubah sehingga pilihan tersebut semua salah.

7. Suatu benda bergerak melingkar beraturan,

maka :

1. Benda mendapat gaya yang besarnya

sebanding dengan lajunya

2. Kecepatan benda tetap

3. Benda mempunyai percepatan radial

yang besarnya sebanding dengan

lajunya

4. Benda mempunyai percepatan radial

menuju pusat lingkaran

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

22

Jawaban : (4 saja benar) → D

Analisa :

1. (salah, lihat perumusan GMB) Gaya

sebanding kuadrat lajunya

Σ Fsp = m V2/R

2. (salah, lihat catatan 3) kecepatan tidak

tetap, karena besaran vektor yang

arahnya berubah-ubah

3. (salah, lihat perumusan GMB) besar

percepatan radial sebanding dengan

kuadrat lajunya asp = V2/R

4. (benar. lihat catatan 1) percepatan

sentripetal arahnya selalu menuju ke

pusat lingkaran

8. Sebuah benda bermassa 5 kg bergerak

secara beraturan dalam lintasan yang

melingkar dengan kelajuan 2 m/s. Bila jari-

jari lingkaran itu 0,5 m, maka :

1. Waktu putarnya adalah 0,5 π detik

2. Percepatan sentripetalnya 8 m/s2

3. Gaya sentripetalnya 40 Newton

4. Vektor kecepatannya tidak tetap

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1,2,3,4 benar) → E

(Lihat teori singkat soal no.51, perumusan

GMB)

Analisa :

1. (benar) Rumus kecepatan :

V = 2 π R / T → sπ5,0=2

(0,5) π 2 = T

2. (benar) rumus percepatan :

asp = V2/R → asp = (2)

2/0,5 = 8 m/s

2

3. (benar) Rumus gaya sentripetal :

Σ Fsp = m asp → Σ Fsp = (5) (8) = 40 N

4. (benar) vektor kecepatannya tak tetap,

karena arahnya berubah-ubah

9. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan

garak rotasi dengan percepatan sudut 15

rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut,

berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat

setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A

mengalami percepatan total (dalam m/s2)

sebesar :

A. 1,5 D. 3,9

B. 2,1

E. 5,1

C. 3,6

Jawaban : D

•) α = 15 rad/s2, t = 0,4 dt, ωo = 0 (diam)

•) ωt = ωo + α t → ωt = α t → ωt = 6 rad/s

•) asp = ω2 R → asp = 3,6 m/s

2

•) aT = α R → aT = 1,5 m/s2

•) 2

sp

2

Ttotal )a(+)a(=a

•)2222

total m/s 3,9=m/s)3,6(+)1,5(=a

10. Sebuah batu dengan massa 2 kg diikat

dengan tali dan diputa, sehingga lintasannya

berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari

0,5 m. Jika kecepatan sudut batu 6 rad/s dan

g = 10 m/s2, maka tegangan tali pada saat

batu di titik tertinggi adalah :

A. 36 N D. 124 N

B. 144 N

E. 56 N

C. 16 N

Jawaban : C

Pada kondisi di titik tertinggi :

T = m ω2 R – mg

T = (2) (6)2 (0,5) –(2) (10) N = 16 N

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat

terbang yang sedang melaju horisontal 720

km/jam pada ketinggian 490 m. Benda itu

akan jatuh pada jarak horisontal sejauh

...meter (diketahui g = 9,8 m/s2)

A. 1000 D. 2900

B. 2000

E. 4000

C. 2450

2. Pada tendangan bebas suatu permaian

sepakbola, lintasan mencapai titik tertinggi

45 m di atas tanah. Berapa lama harus

ditunggu sejak bola ditendang sampai bola

kembali di tanah. Abaikan gesekan udara

dan ambil g = 10 m/s2

A. 3 detik D. 9 detik

B. 4,5 detik

E. 10 detik

C. 6 detik

3. Sebuah peluru ditembakkan dengan

kecepatan awal tertentu, maka jarak tembak

yang sama akan dihasilkan oleh pasangan

sudut :

A. 300 dan 45

0 D. 53

0 dan 37

0

B. 450 dan 60

0 E. 60

0 dan 35

0

C. 750 dan 25

0

4. E (Joule)

400

Ek

300

Ep

t detik

Grafik hubungan antara energi terhadap

waktu dari gerak parabola seperti pada

23

gambar. Dari grafik tersebut dapat

disimpulkan bahwa sudut elevasi

penembakan adalah :

A. 300 D. 90

0

B. 450

E. 600

C. 750

5. Agar suatu lemparan sebuah bola dapat

mencapai jarak terjauh, maka besar sudut

lemparan terhadap bidang horisontal

sebesar ...

A. 300 D. 90

0

B. 450

E. 600

C. 750

6. Tentukan besar tan α bila benda tiba di B

setelah 2 detik Vo = 50 m/s

A

α

B

A. 0,2 D. 0,5

B. 0,3

E. 0,6

C. 0,4

7. Pada tendangan bebas suatu permainan

sepakbola, bola ditendang melayang di

udara selama 4 detik. Jika gesekan udara

diabaikan dan g = 10 m/s2, maka bola

mencapai tinggi sebesar ...

A. 12 m D. 30 m

B. 16 m

E. 48 m

C. 20 m

8. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan

awal 20 m/s dengan sudut elevasi 300. Jika

g = 10 m/s2 jarak mendatar terjauh yang

dicapai bola adalah ...

A. 20 √3 m D. 10 m

B. 20 m

E. 5 m

C. 10 √3 m

9. Sebuah peluru ditembakkan sedemikian

rupa sehingga jarak tembakannya sama

dengan tiga kali tinggi maksimum. Jika

sudut elevasi α, maka besar tan α adalah ...

A. 4/3 D. 2

B. 3/4

E. 1/4

C. 1/2

10. Sebuah peluru bermassa 10 gram dan

kecepatan 100 m/s mengenai dan

menembus sebuah balok dengan massa 10

kg yang diam di atas bidang datar tanpa

gesekan. Ternyata kecepatan balok setelah

tumbukan 0,05 m/s dan jatuh sejauh Xb =

0,2 m dari titik 0. Berapa jauh peluru tiba di

tanah ?.

0 Xb Xp

A.100 m D. 250 m

B. 200 m

E. 275 m

C. 225 m

11. Sebuah benda dengan massa 5 kg diikat

dengan tali berputar dalam satu bidang

vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah

satu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Jika

kecepatan sudut tetap 2 rad/s, dan g = 10

m/s2, maka tegangan tali pada saat benda itu

ada pada titik terendah adalah :

A. 30 N D. 70 N

B. 40 N

E. 80 N

C. 50 N

12. Akibat rotasi bumi, keadaan Hasan yang

bermassa a dan ada di Bandung, dan David

yang bermassa a dan ada di London, akan

sama dalam hal :

A. laju linearnya

B. kecepatan linearnya

C. gaya gravitasi buminya

D. kecepatan angulernya

E. percepatan sentripetalnya

13. Seorang anak duduk di atas kursi pada roda

yang berputar vertikal. Jika g = 10 m/s2 dan

jari-jari roda 2,5 m, maka laju maksimum

roda agar anak tidak terlepas dari tempat

duduknya ...m/s

R

A. 8 D. 4

B. 6

E. 2

C. 5

14. Sebuah benda dengan massa 10 kg diikat

dengan tali dan diputar sehingga lintasan

berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari

1 meter. Gaya tegang maksimum yang

dapat ditahan tali 350 N. Jika g = 10 m/s2,

kecepatan benda maksimum ...m/s

A. 4,5 D. 6

B. 5

E. 6,5

C. 5,5

24

15. Pada gerak melingkar beraturan, bila ω =

kecepatan sudut, f = frekuensi dan T =

periode, maka hubungan antara ω, f dan T

adalah …

A. f

2 dan

T

1 f

πω ==

B. T π 2 = ωdan T

1 = f

C. f π2= ωdan T

1 = f

D. T π 2 = ωdan f

1 = T

E. f

π 2 = ωdan

f

1 = T

16. Sebuah benda yang melakukan gerak

melingkar beraturan mempunyai …

A. Kecepatan yang konstan

B. Percepatan yang konstan

C. Sudut simpangan yang konstan

D. Kelajuan yang konstan

E. Gaya sentripetal yang konstan

17. Sebuah benda bermassa m diikatkan di

ujung seutas tali, lalu diayunkan di bidang

vertikal. Agar benda dapat melakukan gerak

melingkar penuh, maka di titik terendah

gaya sentripetal maksimum haruslah :

A. 5 mg D. 2 mg

B. 4 mg

E. 1 mg

C. 3 mg

18. Sebuah sepeda motor membelok pada

tikungan berbentuk busur lingkaran dengan

jari-jari 5 meter. Jika koefisien antara roda

dan jalan 0,5 dan g = 10 m/s2 , maka

kecepatan motor terbesar yang diizinkan

adalah :

A. 5 m/s D. 2,0 m/s

B. 3,0 m/s

E. 1,5 m/s

C. 2,5 m/s

19. Sebuah batu massanya 1 kg diputar

mendatar di atas kepala dengan seutas tali

yang panjangnya 1 meter. Gaya tegang tali

maksimum 500 N. Jika tinggi batu dari

tanah 2 meter dan tiba-tiba tali putus

(seperti pada gambar), maka jarak mendatar

terjauh yang dapat ditempuh batu adalah :

h = 2m

X = ? X = ?

A. 20 m D. 21 m

B. 14 m

E. 8,5 m

C. 15 m

20. Sebuah benda 100 gram diikat dengan tali

sepanjang 50 cm digantung dan diputar

pada suatu ayunan konis. Tentukan kelajuan

ayunan tersebut jika sin θ = 0,6

A. 1,3 m/s D. 1,6 m/s

B. 1,4 m/s

E. 1,8 m/s

C. 1,5 m/s

=====O0O=====

C. DINAMIKA PARTIKEL

HUKUM-HUKUM NEWTON

Hukum I Newton : "Bila gaya yang bekerja

pada suatu benda sama dengan nol (gaya-gaya

seimbang), maka benda yang semula diam akan

tetap diam atau yang semula bergerak akan

terus bergerak lurus beraturan selama tidak ada

gaya lain yang mengubahnya"

Hukum II Newton : " Percepatan yang

ditimbulkan oleh resultan gaya yang bekerja

pada suatu benda sebanding dengan resultan

gaya yang bekerja dan berbanding terbalik

dengan massa benda tersebut "

Hukum III Newton : "Untuk setiap gaya aksi

yang dilakukan benda pertama, selalu ada gaya

reaksi yang besarnya sama tetapi berlawanan

arah pada benda ke dua"

� Catatan :

1. Pasangan gaya aksi-reaksi selalu hadir

ketika dua benda berinteraksi.

2. Pasangan gaya aksi-reaksi selalu bekerja

pada dua benda yang berbeda

GAYA GRAVITASI

Sir Isaac Newton yang terkenal dengan

hukum-hukum Newton I, II dan III, juga

terkenal dengan hukum Gravitasi Umum.

Σ F = 0

a = m

F Σ

Faksi = - Freaksi

25

Didasarkan pada partikel-partikel bermassa

senantiasa mengadakan gaya tarik menarik

sepanjang garis yang menghubungkannya,

Newton merumuskan hukumnya tentang

gravitasi umum yang menyatakan :

Gaya antara dua partikel bermassa m1 dan m2

yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik

menarik sepanjang garis yang menghubungkan

kedua partikel tersebut, dan besarnya dapat

dinyatakan dengan persamaan :

dengan G = 6,67 x 10-11

Nm2/kg

2 (konstanta

gravitasi umum)

Gaya gravitasi adalah besaran vektor yang

arahnya senantiasa menuju pusat massa

partikel.

Untuk gaya gravitasi yang disebabkan oleh

beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya

ditentukan secara geometris.

Misalnya dua buah gaya F1 dan F2 yang

membentuk sudut α resultante gayanya dapat

ditentukan berdasarkan persamaan :

Gambar :

MEDAN GRAVITASI

Kuat medan gravitasi (intensitas gravitasi)

oleh gaya gravitasi didefinisikan sebagai :

Perbandingan antara gaya gravitasi yang

dikerjakan oleh medan dengan massa yang

dipengaruhi oleh gaya gravitasi tersebut.

Dalam bentuk persamaan, dapat dinyatakan

dengan :

Persamaan di atas menunjukkan kuat medan

gravitasi oleh benda bermassa m pada suatu

titik berjarak r dari benda itu.

Kuat medan gravitasi adalah suatu besaran

vektor yang arahnya senantiasa menuju ke

pusat benda yang menimbulkannya. Kuat

medan gravitasi di suatu titik oleh beberapa

benda bermassa diperoleh dengan

menjumlahkan vektor-vektor medan gravitasi

oleh tiap-tiap benda.

Sebagai contoh : Kuat medan gravitasi yang

disebabkan oleh kedua dua buah benda yang

kuat medannya saling membentuk sudut α,

dapat dinyatakan dengan persamaan :

• Bumi :

m

M

R

Berat benda W = mg, dan percepatan

gravitasi bumi g = G 2R

M,

Sehingga

Apabila dimasukkan nilai massa bumi

M = 5,98 x 1024

kg dan jari-jari bumi

R = 6400 km ke dalam persamaan

g = G 2R

M, maka di dapat percepatan

gravitasi bumi g = 9,8 m/s2

ENERGI POTENSIAL GRAVITASI

Benda bermassa m yang terletak diluar

bumi, energi potensial gravitasinya pada jarak r

dari pusat bumi, dinyatakan dengan persamaan :

Tanda negatif (-) berarti jika benda bergerak di

bawah pengaruh gaya gravitasi dari jarak tak

terhingga (∞) ke jarak r maka energi

potensialnya akan berkurang, karena

dipergunakan untuk menambah energi kinetik

dengan makin besarnya laju benda waktu

bergerak mendekati bumi.

Jika mula-mula benda berada di tempat

yang jauh tak hingga ( r = ∞ ) dengan energi

2R

M mG W F ==

F = G m m

r

1 2

2

F F F F F= + +1

2

2

2

1 22 cosα

gF

m

Gm m

r

mG

m

r= = =

'

'

'

2

2

g g g g g= + +1

2

2

2

1 22 cosα

Ep = - G M m

r

.

26

kinetik sama dengan nol, maka dalam

perjalanan mendekati bumi, medan gravitasi

merubah energi potensial menjadi energi

kinetik. Pada waktu sampai di bumi energi

kinetik benda sama dengan energi potensial

gravitasi. Jadi :

m = massa benda.

M = massa bumi.

R = jari - jari bumi.

v = kecepatan benda di permukaan bumi.

HUKUM KEKEKALAN ENERGI

Hukum kekekalan energi mekanik total

berlaku untuk medan gravitasi dan harganya

adalah :

EM = Ek + Ep

Kita dapat mendefinisikan energi potensial

sebagai berikut : Jika Ep(A) = energi potensial

di titik A dan Ep(B) = energi potensial di titik

B, maka beda energi potensialnya :

rA = jarak titik A ke pusat bumi.

rB = jarak titik B pusat bumi.

Oleh karena usaha merupakan perubahan

energi potensial maka usaha yang dilakukan

sepanjang garis dari A ke B dapat dinyatakan

dengan :

WA----> B = Usaha dari A ke B.

Untuk gerakan benda dalam medan

gravitasi yang tidak sama kekuatannya di

semua titik, hendaknya dipecahkan dengan

perhitungan potensial gravitasi atau tenaga

potensial gravitasi. Jika gaya-gaya gesekan

diabaikan, dasar perhitungannya hanyalah

kekekalan energi, yaitu :

Disini pembicaraan akan kita batasi hanya

mengenai gerakan massa m dalam medan

gravitasi yang ditimbulkan oleh titik tunggal

yang tetap atau bola homogen bermassa m.

Sehingga :

Ek = 12

mv2

dan Ep = m V = - G M m

r

Akhirnya kita dapatkan bahwa :

12

m(v1)2 - G

M m

r1

= 12

m(v2)2 - G

M m

r2

POTENSIAL GRAVITASI

Potensial gravitasi didefinisikan sebagai :

Tenaga potensial gravitasi per satuan massa.

Dapat dinyatakan dengan persamaan :

V = potensial gravitasi pada jarak r dari massa

m

m = massa benda

r = jarak tempat yang mengalami potensial

gravitasi ke benda.

Potensial gravitasi merupakan besaran

skalar, karena itu potensial yang disebabkan

oleh berapa benda bermassa merupakan jumlah

aljabar dari potensial gravitasi masing-masing

benda bermassa itu, Jadi :

Beda potensial antara dua titik dalam

medan gravitasi didefinisikan sebagai :

Potensial di titik yang satu dikurangi dengan

potensial ditItik yang lain.

Usaha yang dilakukan untuk mengangkut,

massa m dari satu titik ke titik lain lewat

sembarang lintasan sama dengan massa benda

itu kali beda potensial antara kedua titik itu.

WA----> B = Usaha dari A ke B.

12

2mv GM m

R=

.

R

mMGmvEM

.2

21 −=

Ep(B) - Ep(A) = - G M m (1 1

r rB A

− )

WA----> B = - G M m (1 1

r rB A

− )

r

mG

m

r

mmG

m

EpV −=

−==

'

'

'

Vt = V1 + V2 + V3 + ...... + Vn

WA----> B = m (VB - VA)

Ek + Ep = konstan.

Ek(1) + Ep(1) = Ek(2) + Ep(2)

(v2)2 = (v1)

2 + 2G M (

1 1

2 1r r− )

27

KELAJUAN LEPAS

Sebuah benda yang dilemparkan lurus ke

atas dari permukaan bumi hanya dapat naik

sampai jarak tertentu, kemudian akan kembali

lagi ke permukaan bumi. Jika suatu benda

dilemparkan dari permukaan bumi dengan

energi kinetik yang besarnya sama dengan

energi potensial dipermukaan bumi, maka

energi totalnya sama dengan nol.

Ini berarti benda bergerak ke jauh tak

terhingga atau lepas dari bumi. Kelajuan awal

agar ini terjadi disebut kelajuan lepas, dan dapat

ditentukan dengan persamaan :

12

mv2

= G M m

R

v = kelajuan lepas

R = jari-jari bumi

g = percepatan gravitasi bumi.

GERAKAN PLANET

Menurut Keppler (Hukum Keppler),

perbandingan antara T2 dari gerakan planet

yang mengelilingi matahari terhadap r3 adalah

konstan.

T = periode

r = jari-jari lintasan 3

2

1

2

2

1

=

r

r

T

T

Dan dari gerak melingkar beraturan dapat kita

peroleh :

v = 2π r

T

Karena planet bergerak pada lintasan yang

tetap maka terdapat gaya sentripetal yang

mempertahankan planet tetap pada lintasannya.

Gaya sentripetal dalam hal ini adalah gaya

gravitasi yang dialami oleh planet yang

disebabkan oleh matahari.

Bila massa planet m dan massa matahari M

maka gaya gravitasi antara planet dan matahari

pada jarak r, adalah :

F GM m

r=

2

Gaya ini merupakan gaya sentripetal. Bila

selama mengitari matahari planet bergerak

dengan laju tetap sebesar v, maka dapat

dinyatakan bahwa :

GM m

rm

v

r2

2

=

GM

rv= 2

v GM

r=

Jika planet bergerak dengan kelajuan sudut

ω maka dapat dinyatakan suatu persamaan

dalam bentuk :

ω = kelajuan sudut

M = massa matahari

r = jari-jari lintasan

� Catatan :

Perbedaan massa dan berat

No Massa Berat

1 Massa benda tetap Berubah tergantung

gravitasi

2 Besaran skalar Besaran vektor

3 Satuannya kg Satuannya Newton

4 Ukuran inersia

benda

Gaya gravitasi yang

dialami benda

GAYA NORMAL

Gaya Normal adalah gaya yang arahnya

tegak lurus dengan bidang batas permukaan dua

benda yang bersentuhan

Terdapat beberapa tipe contoh gaya normal

a) Gaya normal pada benda dengan gaya

sejajar bidang perpindahan

N

F

W

b) Gaya normal pada benda dengan gaya

membentuk sudut α dengan bidang

perpindahan

N = W

Rgv 2=

cr

T=

3

2

ω 2 = G

M

r3

28

F

fs fk

� Tipe : 1

N Fy F

αααα

Fx

W

W

Dengan Fx = F cos α dan

Fy = F sin α

Dari gambar diatas di dapat, bahwa :

N + Fy = W sehingga

� Tipe : 2

N

Fy αααα F

W

Dari gambar diatas di dapat, bahwa :

N - Fy = W sehingga

c) Gaya normal pada benda di bidang miring

N

Fges

mg sin αααα mg cos α

α } mg

GAYA GESEK

Gaya gesek adalah gaya yang arahnya

berlawanan dengan arah gerak benda.

Terdapat dua jenis gaya gesek yaitu :

a. Gaya gesek statis (fs) : gaya gesek

yang bekerja pada saat benda diam

hingga tepat saat akan bergerak

b. Gaya gesek kinetis (fk) : gaya gesek

yang bekerja saat benda bergerak

Dengan µ = koefisien gesek benda

Besar koefisien gesek : 0 ≤ µ ≤ 1

Grafik antara gaya gesek f dengan gaya F

yang bekerja pada benda

f

� Teori Singkat :

N

Fges

mg sin αααα mg cos α

α } mg

� Rumus-rumus :

•) Fs = Gaya searah bidang miring

•) N = Gaya normal selalu tegak lurus

bidang permukaan

•) Fges = Gaya gesek berlawanan dengan

arah gerak benda

� Catatan :

A. Pada bidang miring sering dijumpai variasi

soal :

1. Hukum Newton

2. Perumusan GLB dan GLBB

3. Gerak peluru

B. Percepatan benda yang meluncur ke bawah

bidang miring :

• Jika tanpa gesekan :

∑ F = m a ==> Fs = m a

m

αsinmg=a ==>

• Jika terdapat gaya gesek :

∑ F = m a ==> Fs – Fges = m a

Fs = mg sin α

N = mg cos α

Fges = µ N = µ mg cos α

a = g sin α

N = W - F sin α

N = W + F sin α

N = mg cos α

fs = µs N

fk = µk N

GERAK PADA BIDANG MIRING

29

m

αcosmgµαsinmg=a

• Jika benda meluncur dengan kecepatan

tetap (a = 0) atau benda diam, namun

tepat akan bergerak (tergelincir), maka

koefisien gaya geseknya adalah :

∑ F = 0 ==> Fs – Fges = 0

αµα cossinmg mg=

C. Kasus penembakan benda pada bidang

miring

1. Pada kasus penembakan dari kaki ke

arah puncak bidang miring

Y X

Vo sin β

β Vo cos β

g sin α α

g

g cos α

2. Pada kasus penembakan dari puncak ke

arah kaki bidang miring

Vo sin β X

g sin α β

Vo cos β

αααα g g cos α

� Catatan :

Jauh sasaran tembakan akan mencapai

maksimum bila sudut elevasi terhadap

bidang sasaran (β) adalah setengah sudut

bidang sasaran dengan vertikal (D)

D

β

β αααα

Sasaran ke atas atau ke bawah

D

β

β

Sasaran mendatar

=====O0O=====

APLIKASI HUKUM II NEWTON

Untuk memudahkan pemahaman terhadap

aplikasi hukum II Newton, maka tinjau

persoalan sebagai berikut :

A. Katrol tidak bergerak

1)

m1 > m2

a = ?

m1 m2

2)

fges m1 a = ?

m2

3)

m1 m2 a = ?

f1 f2

m3

4)

a = ?

m1 fges

m2

αααα

a = g ( sin α - µ cos α )

µ = tg α

X = Vo cos β t + ½ g sin α t2

Y = Vo sin β t - ½ g cos α t2

Vx = Vo cos β + g sin α t

Vy = Vo sin β - g cos α t

X = Vo cos β t - ½ g sin α t2

Y = Vo sin β t - ½ g cos α t2

Vx = Vo cos β - g sin α t

Vy = Vo sin β - g cos α t

β = ½ D

30

5) m2

f2

m1 f1 a = ?

αααα

Penyelesaian

Cara Biasa :

Ketentuan : * Searah percepatan (a) : +

* Berlawanan percepatan (a) : -

* Tegangan tali T1 = T2

Tinjau soal 1)

1)

a T1 T2 m1 > m2

m1 m2 a

W1 W2

Tinjau m1 : Σ F = m1 a

W1 - T1 = m1 a → T1 = W1 - m1 a ------(1)

Tinjau m2 : Σ F = m2 a

T2 – W2 = m2 a → T2 = W2 + m2 a -----(2)

Karena (1) = (2), maka :

W1 - m1 a = W2 + m2 a

Tinjau soal 2)

a

2)

fges m1 T1

T2

a

m2

W2

Tinjau m1 : Σ F = m1 a

T1 - fges = m1 a → T1 = fges + m1 a -----(1)

Tinjau m2 : Σ F = m2 a

W2 – T2 = m2 a → T2 = W2 - m2 a -----(2)

Karena (1) = (2), maka :

fges + m1 a = W2 - m2 a

Cara Praktis :

*) Σ m = Jumlah massa sistem

*) Σ F = Penyebab gaya – penghalang

gaya

Jika diterapkan pada soal a) dan b), maka

akan diperoleh jalan yang lebih singkat dan

cepat

Soal 1)

Soal 2)

Dengan demikian jika diterapkan pada

soal yang lain akan diperoleh :

Soal 3)

Soal 4)

m1 fges

m1 g sinα m2

αααα W2

a = g m m

m - cos m sin m

21

211

+

− αµα

a = g m m

m m

21

21

+

−

a = g m m

m m

21

12

+

− µ

m

F a∑

∑=

m

F a∑

∑=

g

+

−=→

+=

21

21

21

21

mm

mma

mm

W-W a

m

F a∑

∑=

g

+

−=→

+=

21

12

21

ges2

mm

m ma

mm

f -W a

µ

m

F a∑

∑=

g

++

−−=→

++=

321

212

321

212

mmm

m m ma

mmm

f-f -W a

µµ

m

F a∑

∑=

21

2ges1

mm

W- f -sin g m a

+=

α

31

Soal 5) m2

f2

m1 f1

m1 g sin α

αααα

Ingat ! f1 = µ m1 g cos α ( gaya gesek pada

bidang miring)

f2 = µ m2 g, sehingga :

a = g m m

m - cos m sin m

21

211

+

− µαµα

B. Gerak Lift

Pada kasus gerak lift, terdapat dua variasi

gaya yang bekerja pada lift yaitu gaya normal

(N) dan gaya tegang tali lift (T). Ketentuan

yang berlaku pada gerak lift ini sama dengan

ketentuan pada katrol tidak bergerak yaitu :

* Searah percepatan (a) → +

* Berlawanan percepatan (a) → -

a) Percepatan benda ke atas

N a T

W W

b) Percepatan benda ke bawah

N T

a

W W

=====O0O=====

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Jika sebuah benda terletak pada bidang

miring, maka gaya normal benda itu adalah

A. Sama dengan berat benda

B. Lebih kecil dari berat benda

C. Lebih besar dari berat benda

D. Dapat lebih besar atau lebih kecil dari

berat benda

E. Dapat sama atau tidak sama dari berat

benda

Jawaban : B

Gaya normal pada bidang miring : N = mg

cos α. Syarat sudut bidang miring adalah 0

< α < 90o, sehingga di dapat 0 < cos α < 1,

maka N < mg

2. Sebuah benda yang beratnya W meluncur

ke bawah dengan kecepatan tetap pada

suatu bidang miring kasar. Bidang miring

tersebut membentuk sudut 30o dengan

horisontal. Koefisien gesekan antara benda

dan bidang tersebut adalah :

A. 32

1 D. 1/2

B. 33

1 E. . 2

3

1

C. 22

1

Jawaban : B

( Lihat gerak pada bidang miring, catatan

nomor 3 )

µ = tg 30o = 3

3

1

3. Sebuah satelit mengorbit pada ketinggian h

dari permukaan bumi yang berjejari R

dengan kecepatan v. Bila percepatan

gravitasi di bumi g, maka percepatan

gravitasi pada ketinggian h adalah …

A. ( )2

2

h R

R g

+ D.

( )2

2

h R

R g

+

v

B. ( )2

h R

R g

+ E.

( )h R

R g 2

+

C. ( )2

h R

vR g

+

Σ F = m a

N – W = m a

N = W + m a

Σ F = m a

T – W = m a

T = W + m a

Σ F = m a

W – N = m a

N = W - m a

Σ F = m a

W – T = m a

T = W - m a

m

F a∑

∑=

21

211

mm

f-f -sin g m a

+=

α

32

Jawaban : A

( )( )2

2

2

2

h R

R '

R

MG

h R

MG

'

+=→

+=

gg

g

g

4. Seseorang yang massanya 80 kg ditimbang

dalam sebuah lift. Jarum timbangan

menunjukkan angka 1000 newton. Apabila

percepatan gravitasi bumi 10 m/s2, dapatlah

disimpulkan bahwa ...

A. massa orang dalam lift menjadi 100 kg

B. lift sedang bergerak ke atas dengan

kecepatan tetap

C. lift sedang bergerak ke bawah dengan

kecepatan tetap

D. lift sedang bergerak ke bawah dengan

percepatan tetap

E. lift sedang bergerak ke atas dengan

percepatan tetap

Jawaban : E

Ada dua kemungkinan gerak lift, ke bawah

dan ke atas

N = 1000 N

W = 800 N

Jika gerak lift keatas: N = W + m a, maka

80

8001000

m

W- N a

−== m/s

2 = 2,5 m/s

2

Jika gerak lift kebawah: N = W - m a, maka

80

1000800

m

N -W a

−== m/s

2 = - 2,5 m/s

2

(tanda negatif berati perlambatan). Jadi

jawaban yang tepat pilihan E

5. Sebuah kotak yang massanya 10 kg, mula-

mula diam kemudian bergerak turun pada

bidang miring yang membentuk sudut 300

terhadap horisontal tanpa gesekan

menempuh jarak 10 m sebelum sampai ke

bidang mendatar. Kecepatan kotak pada

akhir bidang miring, jika g = 9,8 m/s2

adalah :

A. 4,43 m/s D. 7 m/s

B. 44,3 m/s E. 9,9 m/s

C. 26,3 m/s

Jawaban : E

Karena gesekan diabaikan, maka :

a = g sin α ==> a = 9,8 sin 300

= 4,9 m/s2

Karena ada percepatan berarti berlaku

perumusan GLBB. Dari soal diketahui Vo =

0 dan St = 10 m

Vt2 = Vo

2 + 2 a St

Vt2 = 0 + 2 (4,9) (10) m/s

Vt = 9,9 m/s

6. Gaya F sebesar 12 N bekerja pada sebuah

benda yang massanya m1 menyebabkan

percepatan sebesar 8 m/s2. Jika F bekerja

pada benda yang bermassa m2, maka

percepatan yang ditimbulkan 2 m/s2. Jika F

bekerja pada benda yang bermassa m1 + m2,

maka percepatan benda ini adalah …

A. 1,2 m/s2 D. 3,0 m/s

2

B. 1,6 m/s2 E. 3,6 m/s

2

C. 2,4 m/s2

Jawaban : B

Massa m1 dapat dicari :

kgkg 5,1 8

12

a

Fm

1

1 ===

Massa m2 dapat dicari :

kgkg 6 2

12

a

Fm

2

2 ===

Massa percepatan benda bermassa m1 + m2

adalah …

22

21

/ 6,1/ 5,7

12

mm

Fsmsma ==

+=

7. ujung tetap

tali

roda 200 kg

3 meter

α

4 meter

Pada gambar di atas ini, gaya gesekan

diabaikan. Besarnya gaya tarikan

(minimum) yang diperlukan agar roda

bergerak ke atas adalah :

A. 600 N D. 1000 N

B. 700 N E. 1200 N

C. 200 N

Jawaban : A

Dari gambar diperoleh sin α = 3/5

33

T

T

W sin α

2 T = w sin α ==> T = ½ w sin α

Jadi T = ½ (200) (10) (3/5) N = 600 N

8. Dua buah balok yang beratnya sama yaitu

100 N dihubungkan dengan seutas tali

melalui sebuah katrol (lihat gambar).

Koefisien gesek ke dua bidang sama µ =

0,2. Bila massa tali serta gesekan tali

dengan katrol diabaikan, maka percepatan

gerak balok adalah :

4

α

3

A. 4,2 m/s2 D. 8,2 m/s

2

B. 2,4 m/s2

E. 2,8 m/s2

C. 4,4 m/s2

Jawaban : B

Perhatikan skema gambar berikut :

m2

f2

m1 f1

m1 g sin α

αααα

Ingat ! f1 = µ m1 g cos α ( gaya gesek pada

bidang miring)

f2 = µ m2 g

•) Dari gambar di dapat :

•) cos α = 3/5 dan sin α = 4/5

•) f1 = µ N1 = µ m1 g cos α

= 0,2 (100) (10) (3/5) = 120 Nt

•) f2 = µ N2 = µ m2 g

= 0,2 (100) (10) = 200 Nt

Sehingga diperoleh hasil :

a = 2m/s 200

200 - 120 (4/5) (10) 100

−

a = 2,4 m/s2

9. C

A

Meja B

Ditentukan : mA = 4 kg, mB = 5 kg, g = 10

m/s2. Koefisien gesek statis antara benda A

dengan C adalah 0,3 dan antara benda A

dengan meja 0,2 (lihat gambar). Sistem

tidak bergerak. Pernyataan di bawah ini

yang benar adalah …

1. gaya gesek antara A dan C adalah nol

2. tegangan tali 50 N

3. massa minimum benda C adalah 21 kg

4. gaya gesek antara A dan meja adalah 50

N

Jawaban : E (1,2,3 dan 4 benar)

(1) Gaya gesek antara A dan C nol, karena

tidak ada gaya pada benda C

(2) T = WB = 50 N

(3) Σ F = 0, maka T = fges = µs N

50 = 0,2 (mA + mC) 10, dengan

memasukkan nilai mA = 4 kg di dapat

mC = 21 kg

(4) fges = T = 50 N

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

10. Sebuah peluru ditembakkan dengan

kecepatan awal 10 m/s dari puncak ke arah

kaki bidang miring selama 5 detik (lihat

skema gambar). Jarak terjauh yang dapat

ditempuh peluru tersebut adalah :

45 meter

30 }

90 meter

A. 97,5 m D. 45,5 m

B. 87,5 m E. 27,5 m

C. 50,5 m

Jawaban : B

x = Vo cos β t + ½ g sin α t2

= 10 cos 60 (5) + ½ (10) sin 30 (5)2

m

F a∑

∑=

21

211

mm

f-f -sin g m a

+=

α

34

= 10 (1/2)(5) + ½ (10) (1/2) (25)

x = (25 + 62,5) m = 87,5 m

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Sifat yang dimiliki benda untuk tetap

mempertahankan keadaan geraknya di sebut

…

A. ketahanan gerak D. perlambatan

B. kelembaman

E. kelajuan

C. percepatan

2. Sebuah gaya F bekerja horizontal pada

benda yang berada pada bidang miring yang

licin dengan sudut kemiringan θ seperti

pada gambar di bawah. Bila massa benda

adalah m percepatan gravitasi adalah g,

maka resultan gaya yang bekerja pada

benda itu adalah …

F

θ

A. F cos θ - mg sin θ

B. F sin θ + mg cos θ

C. F sin θ - mg cos θ

D. F cos θ + mg sin θ

E. F + mg tan θ

3. Pada gambar sistem katrol berat benda A

dan E masing-masing 100 N dan 10 N.

Apabila tali AC horizontal dan tali AB

sejajar bidang serta bidang miring dan

katrol licin, maka sistem setimbang untuk

berat D sebesar …

B

C D

A

E

300

A. 50,5 N D. 72,5 N

B. 58,5 N

E. 81,5 N

C. 62,5 N

4. Besar gaya gesekan yang bekerja pada

benda yang bergerak di bidang miring

kasar, jika gaya gesekan dengan udara

diabaikan, tergantung pada :

1. Berat benda

2. Sudut miring bidang

3. Kekasaran permukaan bidang

4. Kecepatan gerak benda

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. semuanya

C. 2 dan 4

5. Pada gambar, jika massa katrol diabaikan.

Nilai tegangan tali T adalah …

6 kg T

µk = 1/3

g = 10 m/s2

3 kg

A. 6 N D. 27 N

B. 14 N

E. 34 N

C. 20 N

6. Dari gambar di bawah ini, jika massa benda

2 kg, gaya yang bekerja pada benda sebesar

10 N, dan g = 10 m/s2, maka percepatan

yang dialami benda adalah …

370

A. nol D. 8 m/s2

B. 2 m/s2

E. 10 m/s2

C. 4 m/s2

7. Sebuah benda bermassa 20 kg terletak pada

bidang miring dengan sudut 300 terhadap

horisontal. Jika g = 9,8 m/s2 dan benda

bergerak sejauh 3 m ke arah bawah, usaha

yang dilakukan oleh gaya berat adalah :

A. 60 Joule D. 294 Joule

B. 65,3 Joule E. 294 √3 Joule

C. 588 Joule

8. Sebuah bola meluncur ke bawah pada

sebuah lengkungan seperti pada gambar,

selama meluncur bola tersebut :

A. Kelajuan bertambah, percepatan berku-

rang

B. Kelajuan berkurang, percepatan ber-

tambah

C. Kelajuan dan percepatan bertambah

D. Kelajuan dan percepatan berkurang

E. Kelajuan bertambah, percepatan ber-

kurang

35

9. Apabila sebuah bola pejal dapat bergerak

dengan bebas dari puncak sebuah bidang

miring yang licin (koefisien gesek nol),

maka :

1. Bola akan menggelinding dan meng

gelincir

2. Bola akan menggelincir

3. Bola akan menggelinding

4. Hukum kekekalan energi berlaku untuk

gerak bola ini

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

10. Seseorang dengan massa 60 kg berada

dalam lift yang sedang bergerak ke bawah

dengan percepatan 3 m/s2. Jika percepatan

gravitasi bumi 10 m/s2, maka desakan kaki

orang pada lantai adalah …N

A. 420 N D. 630 N

B. 570 N

E. 780 N

C. 600 N

11. Sebuah elevator bermassa 400 kg bergerak

vertikal ke atas dari keadaan diam dengan

percepatan tetap sebesar 2 m/s2. Jika

percepatan gravitasi bumi 9,8 m/s2, maka

tegangan tali penarik elevator adalah …

A. 400 N D. 3920 N

B. 800 N

E. 4720 N

C. 3120 N

12. Bila perbandingan jari-jari sebuah planet

dan jari-jari bumi 2 : 1, sedangkan massa

planet dan massa bumi berbanding 10 : 1,

maka orang yang beratnya di bumi 100 N,

di planet menjadi …

A. 100 N D. 400 N

B. 200 N

E. 500 N

C. 250 N

13. Suatu planet X mempunyai massa a kali

massa bumi dan jari-jari b kali jari-jari

bumi. Berat suatu benda di planet tadi

dibandingkan dengan beratnya di bumi

menjadi …

A. ab kali D. a/b2 kali

B. ab2 kali

E. (ab)

-1 kali

C. a/b kali

14.

C A

B F

Balok A beratnya 100 N diikat dengan tali

mendatar di C (lihat gambar). Balok B

beratnya 500 N. Koefisien gesek antara A

dan B = 0,2 dan koefisien gesek antara B

dan lantai = 0,5. Besarnya gaya F minimal

untuk menggeser balok B adalah …newton

A. 950 N D. 320 N

B. 750 N

E. 100 N

C. 600 N

15. Balok 1 kg ikut bergerak melingkar pada

dinding sebelah dalam sebuah tong yang

berputar dengan koefisien gesek statis 0,4.

Jika jari-jari tong 1 m, kelajuan minimum

balok bersama tong agar tidak terjatuh

adalah … m/s

A. 0,4 D. 8

B. 4

E. 25

C. 5

16. Sebuah mobil bermassa 4 ton melewati

sebuah tikungan jalan. Poros tengah-tengah

jalan merupakan bagian lingkaran

horizontal dengan jari-jari kelengkungan 30

m. Bila kemiringan jalan 370 dan koefisien

gesek statis jalan 3/16, maka kecepatan

maksimum mobil yang diperbolehkan

dalam m/s adalah …

A. 10 D. 30

B. 18

E. 33

C. 25

17. Benda dengan massa 4 kg terletak di atas

bidang mendatar. Pada benda bekerja gaya

mendatar sebesar 50 N. Bila koefisien

gesekan statis 0,75, koefisien gesekan

kinetis 0,5 dan g = 10 m/s2, maka …

1. benda bergerak

2. gaya gesekan yang bekerja 20 N

3. percepatan benda 7,5 m/s2

4. benda bergerak dengan percepatan tetap

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

18. Sebuah balok yang massanya 2 kg terletak

di atas lantai mendatar dan ditarik oleh gaya

4 N miring ke atas membentuk sudut 600

dengan arah mendatar. Jika g = 10 m/s2 dan

koefisien gesekan kinetis dan statis antara

balok dan lantai masing-masing 0,1 dan 0,9.

Gaya gesekan yang bekerja antara balok

dan lantai …N

A. 0 D. 20 N

B. 2

E. 40 N

C. 4

19. Balok A bermassa 2 kg dan balok B

bermassa 1 kg. Balok B mula-mula diam,

36

A

F =σ

lalu bergerak ke bawah sehingga menyentuh

lantai setelah selang waktu ….

A

µk = 0,2

g = 10 m/s2

B

25 m

A. 2 detik D. 4 detik

B. √5 detik

E. 3 detik

C. 5 detik

20. Benda yang massanya 2 kg terletak diam di

permukaan tanah. Benda itu kemudian

ditarik ke atas dengan gaya 30 N selama 2

detik, lalu dilepaskan. Maka tinggi

maksimum yang dapat dicapai benda …

A. 10 m D. 18 m

B. 12 m

E. 20 m

C. 15 m

=====O0O=====

D. GAYA PEGAS

ELASTISITAS. Elastisitas adalah : Kecenderungan pada

suatu benda untuk berubah dalam bentuk baik

panjang, lebar maupun tingginya, tetapi

massanya tetap. Hal itu disebabkan oleh gaya-

gaya yang menekan atau menariknya, pada saat

gaya ditiadakan bentuk kembali seperti semula.

Tegangan (Stress)

Jika suatu benda homogen yang mendapat

tarikan atau gaya desak dilakukan pemotongan

secara tegak, maka tegangan yang dihasilkan

disebut tegangan tarik atau tegangan desak,

karena tiap bagian saling tarik atau saling desak

Stress (σ) didefinisikan sebagai : Gaya F

persatuan luas (A).

Regangan (Strain)

Yang dimaksud regangan disini adalah

mengenai perubahan relatif dari ukuran-ukuran

atau bentuk suatu benda yang mengalami

tegangan.

Regangan karena tarikan di dalam batang

(e) didefinisikan sebagai perbandingan dari

tambahan panjang (∆L) terhadap panjang

mula-mula (L0).

Modulus Kelentingan.

Perbandingan antara suatu tegangan (stress)

terhadap regangannya (strain) disebut : modulus

kelentingan, atau disebut juga modulus young

(E).

E = regangan

tegangan =

e

σ

Energi Potensial Pegas. Jika sebuah pegas digantungkan dan

mempunyai konstanta pegas k, maka besar gaya

pegas adalah sebanding dengan pertambahan

panjang pegas.

Jika pegas kita tarik dengan gaya Ftangan

maka pada pegas akan bekerja gaya pegas Fpegas

yang arahnya berlawanan dengan Ftangan. Jadi

Fpegas = - gaya oleh tangan pada pegas.

Tanda (-) hanya menunjukkan arah berlawanan.

Jika digambarkan dalam grafik, hubungan

antara F dan x, maka akan diperoleh grafik

berupa garis lurus.

F

x

Energi potensial pegas didefinisikan sebagai :

Dapat dicari dari Luas grafik F terhadap x.

Usaha yang diperlukan untuk regangan x1 – x2

dapat dituliskan sebagai :

e = L

L

0

∆

E = LA

LF

∆= 0

0

L∆L/

F /A

Fpegas = - k x

Ep = 2

1 k x

2

W = 2

1 k (x2

2 – x1

2)

37

Susunan Pegas.

Rangkaian Seri

Jika dua buah pegas dengan konstanta

pegas k1 dan k2 disusun seri maka diperoleh

konstanta pegas gabungan (kP)

k1

k2

atau

� Jika n buah pegas yang mempunyai

konstanta pegas sama diseri, maka :

� Jika terdapat 3 pegas yang mempunyai

konstanta pegas (k1, k2 dan k3) diseri, maka :

Rangkaian Paralel Jika dua buah pegas dengan konstanta

pegas k1 dan k2 disusun paralel maka diperoleh

konstanta pegas gabungan (kp)

k1 k2

� Jika n buah pegas yang mempunyai

konstanta pegas sama diparalel, maka :

� Untuk beberapa buah pegas. Berlaku :

E. GERAK HARMONIK SEDERHANA

Getaran Harmonis : Gerak bolak-balik

disekitar titik setimbang.

Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh

satu lintasan bolak-balik disebut Periode (T),

sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu

disebut Frekwensi (f).

n = banyaknya getaran

t = lamanya bergetar

Hubungan antara periode (T) dan frekwensi

(f) menurut pernyataan ini adalah :

Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per

detik atau Hertz (Hz).

Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada

partikel yang bergetar sama dengan nol disebut

posisi seimbang.

Phase.

Gerak harmonis sederhana akan lebih

mudah diketahui bila dikenal keadaannya

(phasenya). Phase suatu titik yang bergetar

didefinisikan sebagai waktu sejak

meninggalkan titik seimbang dibagi dengan

periodenya.

Bila titik Q telah bergetar t detik maka

phasenya :

Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya :

( )ϕ =

+= +

t T

T

t

T1

Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q

dalam hal yang pertama.

Mudah dipahami bahwa titik-titik yang

phasenya t

T

t

T

t

Tdst, , .......1 2+ + keadaan

nya sama.

k

1

S

= k

1

1

+ k

1

2

Disusun Paralel : kP = k1 + k2 + k3 + k4 …….

Disusun Seri : k

1

S

= k

1

1

+ k

1

2

+ k

1

3

+ k

1

4

….

ktot = n

k

21

21.kktot

kk

k

+=

ktot = n.k

kp = k1 + k2

323121

321

...

..kktot

kkkkkk

kk

++=

T = f

1

ϕθ

Q

t

T= =

360

t

nf =

38

Perbedaan phase.

• Titik-titik yang phasenya sama

mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 ,

4 , ..... dst.

• Titik-titik yang keadaannya berlawanan

mempunyai perbedaan phase :

dst............2

13,

2

12,

2

11,

2

1

� Contoh getaran harmonis :

1. Pegas

(1) (2) (3)

A

B

C

• Kondisi (1) :

Pegas dalam keadaan tergantung bebas.

Konstanta pegas k belum dapat ditentukan

dari keadaan (1) ini

• Kondisi (2)

Pada kondisi (2) dicapai keseimbangan

antara gaya pemulih (restoring Force) yang

berarah ke atas pada pegas dengan berat

benda ke bawah, sehingga konstanta pegas k

dapat ditentukan

Fpegas = W→ k ∆x = mg

• Kondisi (3)

Pada saat beban diberi simpangan y dari titik

setimbang kemudian dilepaskan, maka pegas

akan menjalani gerak harmonis

Simpangan yang terbesar disebut amplitudo

getaran (A).

Waktu yang diperlukan pegas untuk

melakukan satu kali getaran (periode) dari A-B-

C-B-A dapat dinyatakan dalam persamaan

berikut :

dan

� Catatan :

Hendaklah dibedakan Eppegas ≠ Epsistem pegas

• Jika yang dimaksud adalah Eppegas, maka

perhitungan ∆x dihitung saat pegas belum

diberi beban (pada titik A).

Jadi ∆x' = ∆x + y

• Jika jika yang dimaksud Epsistem pegas,

maka perhitungan ∆x dihitung saat pegas

telah diberi beban (Titik B)

Jadi ∆x' = y

2. Bandul

θ L

C A

B F = mg sin θ

Pada gambar diatas menunjukkan sebuah

ayunan yang bergerak harmonik dengan simpangan

sudut θ, L panjang tali dan y adalah simpangan

yang besarnya L sin θ. Pada saat ayunan bergerak

maka pada ayunan bekerja gaya pemulih yang

besarnya F = mg sin θ.

Waktu yang diperlukan bandul untuk

melakukan satu kali getaran (periode) dari A-B-C-

B-A dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

dan

� Persamaan Gerak Harmonik :

• Simpangan :

• Kecepatan :

V = dt

dy= A ω cos ω t

atau

• Percepatan :

a = dt

dv= - A ω2

sin ω t

atau

∆x

x

mgk

∆=

T = 2πk

m

T = 2πg

L

y = A sin ω t

V = ω 22yA −

a = - ω2 y

f = π2

1

m

k

f = π2

1

L

g

39

• Energi Kinetik :

Ek = ½ m V2

Ek = ½ m ω2 ( )22 yA −

atau

dengan k = m ω2

• Energi Potensial :

• Energi Mekanik :

Em = Ek + Ep

= ½ k ( )22 yA − + ½ k y2

Em = ½ k A2 (tetap)

� Catatan :

1. Terdapat 2 keadaan "spesifik" pada gerak

harmonik yaitu :

1. Saat Simpangan Maksimum (ymaks = A),

maka :

• Kecepatan : Vmin = 0

• Percepatan : amaks = - ω2 A

• Energi Kinetik : Ekmin = 0

• Energi Potensial : Epmaks = Em = ½ k A2

2. Saat Simpangan Minimum (ymin = 0),

maka :

• Kecepatan : Vmaks = A ω

• Percepatan : amin = 0

• Energi Potensial : Epmin = 0

• Energi Kinetik : Ekmaks = Em = ½ k A2

2. Rumus Praktis Hubungan energi dengan

simpangan, kecepatan dan percepatan

• Simpangan

Bukti : y = A 2

2

21

21

kA

ky→ terbukti

• Kecepatan

Bukti : v = Aω 22

2

21

21

Am

mv

ω→ terbukti

• Percepatan

Bukti :

a = - ω2y = -ω2

AKP

P

EE

E

+→ terbukti

3. Kecepatan sudut

Dengan f = frekuensi (Hz)

T = periode (detik)

=====O0O=====

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Untuk benda yang menjalani getaran

harmonik, maka pada....

A. simpangan maksimum, kecepatan dan

percepatannya maksimum

B. simpangan maksimum, kecepatan dan

percepatannya minimum

C. simpangan maksimum, kecepatannya

maksimum, dan percepatannya

minimum

D. simpangan maksimum, kecepatannya

nol, dan percepatannya maksimum

E. simpangan maksimum energinya

maksimum

Jawaban : D

Jawaban cukup jelas lihat catatan no.1

2. Pada benda yang mengalami getaran

harmonik, maka jumlah energi kinetik dan

energi potensialnya adalah . ...

A. maksimum pada simpangan maksimum

B. maksimum pada simpangan nol

C. tetap besarnya pada simpangan berapa

pun

D. berbanding lurus dengan simpangannya

E. berbanding terbalik dengan simpangan

nya

Jawaban : C

Jawaban cukup jelas, lihat persamaan gerak

harmonik

Ek = ½ k ( )22 yA −

Ep = ½ k y2

KP

P

EE

EAy

+=

KP

K

EE

EAv

+= ω

KP

P

EE

EAa

+−= 2ω

Tf

ππω

22 ==

40

3. Sebuah benda diikat pada ujung suatu pegas

dan digetarkan harmonis dengan amplitudo

A. Konstanta pegas = C. Pada saat

simpangan benda 0,5 A, energi kinetik

benda sebesar ....

A. 1/8 CA2 D. 3/8 CA

2

B. 3/4 CA2 E. 1/2 CA

2

C. 1/4 CA2

Jawaban : D

y = 1/2 A, gunakan rumus Ek = 1/2 mv2

dengan v = ω 22yA − . Jadi

Ek = 1/2 k ( )22yA − = 3/8 CA

2

4. Sebuah benda melakukan gerak harmonis

dengan amplitudo A. Pada saat

kecepatannya sama dengan setengah

kecepatan maksimum, simpangannya

adalah......

A. nol D. 0,87A

B. 0,5 A E. 1 A

C.0,64 A

Jawaban : D

V = 1/2 Vmaks → V = 1/2 Aω

ω 22yA − = 1/2 Aω

A2 – y

2 = 1/4 A

2→ y2 = 3/4 A

2

Jadi y = 1/2 AA 87,03 =

5. Pada getaran harmonik, massa beban yang

digantung pada ujung bawah pegas 1 kg,

periode getarannya 2 detik. Jika massa

beban ditambah sehingga sekarang menjadi

4 kg, maka periode getarnya adalah ....

A. 1/4 detik D.4detik

B. 1/2 detik E. 8 detik

C. 1 detik

Jawaban : D

Karena T∼ m , maka : m

m

T

T''

=

ikTT

det41

4

2

''

=→=

6. Sebuah benda diikat dengan seutas benang

dan dibiarkan berayun dengan simpangan

kecil. Supaya periode ayunan bertambah

besar, maka . ...

A. benda diberi simpangan mula-mula

yang besar

B. benang penggantung diperpendek

C. benang penggantung diperpanjang

D. massa benda ditambah

E. massa benda berkurang

Jawaban : C

Dari T = 2πg

L, tampak bahwa untuk

memperbesar T dilakukan dengan menam

bah panjang tali

7. Pada gambar di bawah ini k1 ≠ k2, apabila

massa beban adalah m bergetar secara

periodik dalam arah vertikal, maka periode

getarannya adalah …

k1

k2

A. 2 π 21 kk

m

+

B. 2 π m

kk 21 +

C. 2 π 21

21

.

)(

kk

kkm +

D. 2 π 21

21 ).(

kk

kkm

+

E. 2 π ).( 21

21

kkm

kk +

Jawaban : C

Ingat untuk 2 pegas disusun seri, maka

konstanta pegasnya totalnya adalah :

21

21.kktot

kk

k

+= . Jadi dari T = 2π

totk

m,

diperoleh T = 2 π 21

21

.

)(

kk

kkm +

8. Sebuah pegas yang panjangnya 20 cm

digantungkan vertikal. Kemudian ujung

bawahnya diberi beban 200 gr sehingga

panjangnya bertambah 10 cm. Beban ditarik

5 cm ke bawah kemudian dilepas sehingga

beban bergetar harmonik. Jika g = 10 m/s2

maka frekwensi getaran sistem pegas adalah

A. 0,5 Hz D. 8,8 Hz

B. 2,25 Hz E. 10,8 Hz

C. 5,0 Hz

Jawaban : B

Pada saat pegas telah diberi beban, maka

didapat x

mgk

∆= → k =

2105

)10)(2,0(−

xN/m

k = 40 N/m. Selanjutnya dari f = π2

1

m

k

41

f = π2

1

2,0

40Hz = 2,25 Hz

9. Sebuah pegas bila diberi beban yang

massanya 1 kg meregang 1 cm. Beban

ditarik vertikal ke bawah dan bila

dilepaskan bergetar harmonik. Pada saat

energi potensialnya 20 joule, pegas itu

meregang dari kedudukan setimbang

sebesar ....

A. 0,1 meter D. 0,3 meter

B. 0,13 meter E. 0,4 meter

C. 0,2 meter

Jawaban : C

x

mgk

∆= → k =

210

)10)(1(−

N/m = 1000 N/m

Ep = 1/2 k y2 → 20 = 1/2 (1000) y

2

y = 0,2 m

10. Pada saat energi kinetik benda yang

bergetar selaras sama dengan energi

potensialnya, maka …

A. sudut fasenya 1800

B. sudut fasenya 450

C. fasenya 1/4

D. fasenya 3/4

E. percepatannya nol

Jawaban : B

KP

P

EE

EAy

+= →

p

P

E

EAy

2=

A sin ω t = 1/2 2 A. Jadi ω t = 450

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Pada gerak harmonik sederhana selalu

terdapat perbandingan yang tetap antara

simpangan dan ....

A. kecepatannya D. frekuensinya

B. percepatannya E. massanya

C. periodenya

2. Frekuensi nada A =440 Hz. Oktaf nada

tersebut mempunyai frekuensi....

A. 880Hz D. 110Hz

B. 440 Hz E. 55 Hz

C. 220 Hz

3. Sebuah benda yang massanya 0,005 kg

bergerak harmonik sederhana dengan

periode 0,04 sekon dan amplitudonya 0,01

m. Percepatan maksimum benda sama

dengan ... .

A. 123 m/s2 D. 988 m/s

2

B. 247m/s2 E. 1976m/s

2

C. 494 m/s2

4. Ketika simpangan sebuah pegas yang ber

getar harmonis setengah dari amplitudonya,

energi potensial dan energi kinetisnya

berbanding …

A. 1 : 1 D. 1 : 2

B. 1 : 3 E. 1 : 3

C. 1 : 4

5. Simpangan sebuah pegas yang bergetar

harmonis dengan amplitudo 2 cm, pada

waktu energi kinetisnya dua kali energi

potensialnya adalah …

A. 6 cm D. 2 cm

B. 6 / 2 cm E. 1 cm

C. 6 /3 cm

6. Sebuah benda melakukan getaran harmonis

dengan periode T. Waktu minimum yang

diperlukan benda agar simpangannya 1/2 A

adalah …

A. 2

T D.

6

T

B. 3

T E.

12

T

C. 4

T

7. Sebuah benda melakukan getaran selaras,

maka besaran yang berbanding lurus

dengan simpangannya adalah . . ..

A. energi potensialnya D. percepatannya

B. energi kinetiknya E. amplitudonya

C. kecepatannya

8. Sebuah ayunan sederhana, panjang tali 100

cm, massa benda 100 gr, percepatan

gravitasi 10 m/s2. Kedudukan tertinggi 20

cm dari titik terendah. Kecepatan

berayunnya pada titik terendah adalah....

A. 40 m/s D. 2 m/s

B. 20 m/s E. 0,2 m/s

C. 4 m/s

9. Sebuah partikel melakukan getaran selaras

dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 10

cm. Kecepatan partikel pada saat berada

pada simpangan 8 cm adalah (dalam

cm/detik)

A. 80 π D. 30 π

B. 72 π E. 8 π

C. 60 π

42

10.Sebuah benda bermassa 0,2 kg melakukan

gerak harmonis dengan amplitudo 0,5 m dan

frekuensi 4 Hz. Besar energi kinetik pada

saat simpangannya 1/2 amplitudonya adalah

… (π2 = 10)

A. 120 Joule D. 40 Joule

B. 40 Joule E. 1,2 Joule

C. 12 Joule

11. Pada saat energi kinetik suatu benda yang

bergerak harmonik sama dengan energi

potensialnya, maka besar sudut fase dan

fase getarannya adalah …

A. π/6 dan 1/4 D. π/4 dan 1/4

B. π/2 dan 1/8 E. π/4 dan 1/8

C. π/6 dan 1/2

12. Seutas tali bergetar menurut persamaan Y =

10 Sin 628t dengan t adalah waktu.

Frekuensi getaran tali adalah .. ..

A. 10 Hz D. 200 Hz

B. 50 Hz E. 400 Hz

C. 100 Hz

13. Periode getaran selaras yang terjadi pada

sebuah bandul sederhana pada waktu siang

adalah Ts dan pada waktu malam yang

dingin Tm. Jika dibandingkan maka....

A. Ts > Tm

B. Ts < Tm

C. Ts = Tm

D. perbandingan itu tergantung jenis kawat

E. perbandingan itu tergantung jenis

bandulnya

14. Apabila Ek menyatakan energi kinetik, Ep

menyatakan energi potensial, dan Em

energi mekanik suatu getaran selaras, maka

pada, saat simpangan getaran maksimum ....

A. Ek = Em dan Ep = 0

B. Ek = 1/2 Ep

C.Ek = 0 dan a = 0

D. Ek = 0, Ep = Em

E. Ek = Ep = 1/2 Em

15. Sebuah partikel menempel diujung sebuah

garpu tala sehingga turut bergetar harmonik

bersama dengan amplitudo 1 mm.

Kccepatan partikel pada saat melalui titik

setimbang 2 m/s. Frekuensi garpu tala

adalah . . .

A.500/π D. 1250/π Hz

B. l000/π Hz E. 900/π Hz

C. 800/π Hz

16. Energi getaran selaras ....

A. berbanding terbalik dengan kuadrat

amplitudonya

B. berbanding terbalik dengan periodenya

C. berbanding lurus dengan kuadrat

amplitudonya

D. berbanding lurus dengan kuadrat

periodenya

E. berbanding lurus dengan amplitudonya

17. Kecepatan sebuah benda bergerak selaras

sederhana adalah ....

A. terbesar pada simpangan terbesar

B. berbanding terbalik dengan periodenya

C. terbesar pada simpangan terkecil

D. tidak tergantung pada frekuensi getaran

E. tidak tergantung simpangannya

18. Sebuah partikel melakukan getaran selaras

sederhana. Jumlah energi kinetik dan energi

potensialnya adalah ……

A. tetap

B. sebanding dengan massa partikel

C. sebanding dengan pangkat dua dari

frekuensi

E. sebanding dengan amplitudo getaran

19. Sebuah titik bergetar selaras dengan waktu

getar 1,20 detik dan amplitudo 3,6 cm. Pada

saat t = 0 detik, titik itu melewati titik

kesetimbangannya ke arah atas, maka

simpangannya pada saat t = 0,1 detik dan t

= 1,8 detik adalah ....

A. 1,8 cm dan 0 cm

B. 0 cm dan 1,8 cm

C. 1 cm dan 0,5 cm

D. 0,5 cm dan 1 cm

E. 1,5 cm dan 1 cm

20. Sebuah benda bermassa 0,2 kg melakukan

gerak harmonis dengan amplitudo 0,5 m

dan frekuensi 4 Hz. Besar energi kinetik

pada saat simpangannya 1/2 amplitudonya

adalah … (π2 = 10)

A. 120 Joule D. 40 Joule

B. 40 Joule E. 1,2 Joule

C. 12 Joule

=====O0O=====

43

F. MOMENTUM DAN TUMBUKAN

� Teori Singkat :

1. Perkalian antara massa (m) dan kecepatan

(V) disebut momentum (P)

2. Hasil kali antara gaya (F) dan selang

waktu (∆t) menghasilkan perubahan

momentum (∆P) disebut pula Impuls (I)

3. Setiap tumbukan berlaku hukum

kekekalan momentum

Secara ringkas dapat pula ditulis :

� Keterangan :

•) P = Momentum (kg m/dt)

•) I = Impuls (N dt)

•) V1 dan V2 = Kecepatan sebelum

tumbukan (m/dt)

•) V1’ dan V2’ = Kecepatan sesudah

tumbukan (m/dt)

•) e = koefisien restitusi / tumbukan

4. Ada 3 jenis tumbukan :

a) Tumbukan lenting sempurna, e = 1

Berlaku hukum kekekalan energi kinetik

b) Tumbukan lenting sebagian, 0 < e < 1

Hukum kekekalan energi kinetik tidak

berlaku

c) Tumbukan tidak lenting, e = 0

Hukum kekekalan energi kinetik tidak

berlaku

� Catatan :

1. Momentum merupakan besaran

vektor sehingga mempunyai besar

dan arah

2. Tanda negatif pada kecepatan berarti

arah kecepatan itu berlawanan

dengan arah semula

5. Untuk benda yang dijatuhkan dari

ketinggian h1 diatas lantai dan memantul

setinggi h2, maka berlaku :

V1 V2’ = 0

h1

V1’ h2

V2 = 0

V2 adalah kecepatan lantai

11 h g 2=V dan 2

'

1 h g 2-V =

Perhatikan tanda V1’ negatif karena

berlawanan arah dengan V1. Dari

persamaan :

21

'

2

'

1

V-V

V-V e −= →

1

'

1

V

V e = sehingga

=====O0O=====

APLIKASI MOMENTUM DAN

TUMBUKAN

Terdapat beberapa variasi soal untuk

menentukan kecepatan peluru dari

tumbukan antara peluru dengan balok yang

diam . Variasi ini diperoleh berdasar soal-

soal yang pernah muncul di soal test untuk

masuk ke perguruan tinggi .

1. Balok diam di lantai yang kasar :

VB = 0 V’ = 0

mB mp + mB mp + mB

mp

Vp V’

peluru balok S

bergeser sejauh S

(1) (2) (3)

P = m V

I = ∆P = ∫ F dt

'

22

'

112211

'

2

'

121

VmVmVmVm

PPPP

+=+

+=+

V1’ = C + e ( C – V1 )

V2’ = C + e ( C – V2 )

21

2211

mm

VmVm C

+

+=

21

'

2

'

1

V-V

V-V - e =

0 ≤ e ≤ 1

1

2

h

h=e

Ek1 + Ek2 = Ek1’ + Ek2’

44

•) Pada keadaan 1 :

Peluru dengan kecepatan Vp, bermassa mp

datang dan siap menumbuk balok yang

diam

•) Pada keadaan 2 :

Pada saat terjadi tumbukan, berlaku hukum

kekekalan momentum : '

BpBBpp )Vm+m(=Vm+Vm , karena balok

diam berarti VB = 0, jadi :

V' )m

m+m(=V

p

Bp

p ................................(1)

Persamaan (1) ini dapat diterapkan pada

kasus lain (variasi balok diam tertumbuk

peluru) dengan mengganti nilai V’

sebagaimana yang akan dijelaskan

kemudian

•) Pada keadaan 2 dan 3 :

Energi kinetik balok setelah terkena peluru,

digunakan seluruhnya untuk memindahkan

balok tersebut sejauh S

Ek = Wges → Ek = Fges S

½ (mp + mB) V’2 = µ (mp + mB) g S

Jadi s g 2V' µ= .................................(2)

Masukkan persamaan (2) ke (1)

2. Balok diam dan tergantung pada tali :

α

mp

Vp mB (2) h

peluru balok

VB = 0

(1)

Energi kinetik balok setelah terkena

peluru, dirubah seluruhnya menjadi

energi potensial untuk menaikkan balok

setinggi h. Ek = Ep

½ (mp + mB) V’2 = (mp + mB) g h

h g 2=V' ....................(3)

Masukkan persamaan (3) ke (1)

3. Balok diam dan tergantung pada tali agar

dapat berputar 1 lingkaran penuh :

l = h

mp Vp

peluru balok

VB = 0

Kecepatan minimum agar benda dapat

melingkar penuh h g 5 =V' .........(4)

(Lihat bab gerak melingkar)

Masukkan persamaan (4) ke (1)

4. Balok berpegas :

X Vp mp

peluru

balok

VB = 0

Energi kinetik balok setelah terkena

peluru, dirubah seluruhnya menjadi

energi potensial pegas untuk menekan

pegas sejauh x. Ek = Eppegas

½ (mp + mB) V’2 = ½ k X

2

)m(m

kXV'

Bp += …….…..(5)

Masukkan persamaan (5) ke (1)

)m

mm(V

p

Bp

p

+=

)m(m

kX

Bp +

=====O0O=====

Sgm

mmV

p

Bp

p µ2

+=

h g 2)m

mm(V

p

Bp

p

+=

h g 5 )m

m+m(=V

p

Bp

p

)m (mk )m

X(V Bp

p

p +=

45

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Dua benda mempunyai momentum sama,

tetapi massanya berbeda, maka benda yang

massanya lebih besar mempunyai energi

kinetik lebih besar

sebab

energi kinetik suatu benda adalah

berbanding lurus dengan massa dan kuadrat

momentum

Jawaban : E

m 2

PV m

2

1E

22

k == dari perumusan ini

tampak jika massa benda (m) besar, maka

energi kinetik (Ek) kecil, sehingga

pernyataan salah, demikian juga alasan salah

karena Ek berbanding lurus dengan kuadrat

momentum dan berbanding terbalik dengan

massa benda

2. Sebuah bola A yang mempunyai

momentum P bertumbukan dengan bola lain

B, sehingga setelah tumbukan mo mentum

bola A tersebut menjadi 3P. Maka

perubahan momentum bola B adalah :

A. 2 P D. 4 P

B. – 2 P

E. P

C. – 3 P

Jawaban : B

(Lihat teori singkat no. 2)

Perubahan momentum :

PA + PB = PA’ + PB’

P + PB = 3 P + PB’ → PB’ - PB = P - 3 P

∆ PB = – 2 P

3. Peluru dengan massa 10 gram dan

kecepatan 1000 m/s mengenai dan

menembus sebuah balok dengan massa 100

kg yang diam di atas bidang datar tanpa

gesekan. Kecepatan peluru setelah

menembus balok 100 m/s. Kecepatan balok

karena tertembus peluru adalah :

A. 900 m/s D. 0,09 m/s

B. 0,9 m/s

E. 9 m/s

C. 90 m/s

Jawaban : D

(Lihat teori singkat no. 3)

Hukum kekekalan momentum

'

BB

'

ppBBpp VmVmVmVm +=+

(0,01) (1000) + (100)(0) = (0,01)(100) +

100 VB’→ VB’= 0,09 m/s

4. Sebuah benda bermassa 4 kg dijatuhkan

tanpa kecepatan awal dari ketinggian 62,5

meter. Jika g = 9,8 m/s2, ketika menumbuk

permukaan tanah, momentum benda sama

dengan :

A. 7,9 kg m/s D. 140 kg m/s

B. 35 kg m/s

E. 1225 kg m/s

C. 70 kg m/s

Jawaban : D

Soal ini merupakan gabungan antara soal

GJB dengan soal momentum

h g 2V = → (62,5) (9,8) 2V = m/s

V = 35 m/s. Jadi P = m V

P = (4) (35) = 140 Kg m/s

5. Sebuah truk yang massanya 2000 kg dan

melaju dengan kecepatan 36 km/jam

menabrak sebuah pohon dan berhenti dalam

waktu 0,1 detik. Gaya rata-rata pada truk

selama berlangsungnya tabrakan adalah

(dalam Newton)

A. 200 D. 200.000

B. 2000

E. 2.000.000

C. 20.000

Jawaban : D

V = 36 km/jam = 10 m/s

V’ = 0 (setelah tumbukan benda berhenti)

F ∆ t = ∆ P→ F (0,1) = m (V’- V)

= 2000 (0- 10) N

F = - 200.000 N

Tanda negatif menunjukkan arah gaya

berlawanan dengan gerakan

6. Jika dua benda bertumbukan, maka selalu

berlaku hukum :

A. kekekalan momentum dan energi

mekanik

B. kekekalan energi mekanik

C. kekekalan momentum

D. kekekalan momentum dan energi kinetik

E. kekekalan momentum dan energi

potensial

Jawaban : C

(Lihat teori singkat no. 3)

∆ P = P’ – P

46