PENGENDALIAN OPTIMAL

PADA MODEL

KEMOPROFILAKSIS DAN

PENANGANAN TUBERKULOSIS

Oleh:

Citra Dewi Kusuma P.

1206 100 007

Dosen pembimbing:

DR. Subiono, MSc.

PENDAHULUAN

Latar Belakang

• Penyakit Tuberkulosis (TB) adalah penyakit menular

yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium

Tuberkulosis (Mtb).

• Dalam penanganan pasien penderita TB, perawatan

tidak lengkap dapat menyebabkan penyakit tersebut

kambuh, tetapi kambuh dapat juga terjadi pada

pasien yang mengambil pengobatan penuh dan

dinyatakan sembuh

• Dalam tugas akhir ini, dibahas tentang

analisis ketunggalan dan penyelesaian

kontrol optimal dari kemoprofilaksis,

kontrol penanganan penderita TB, dan

kontrol penanganan pada penderita TB

yang kambuh untuk mengurangi jumlah

individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.

– Rumusan Masalah

• Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini

dengan adalah:

• Bagaimana menentukan optimal kontrol dari

kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan

kontrol pada kambuhnya penyakit TB.

• Bagaimana hasil simulasi numeriknya dengan

menggunakan software MATLAB.

– Batasan Masalah

• Kontrol yang dapat diterima disimbolkan dengan u

dalam keadaan terbatas dan kontinu pada

• Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama

perawatan pada interval waktu tertentu.

• State dalam keadaan kontinu.

– Tujuan

• Tujuan yang dicapai dalam tugas akhir ini antara

lain:

• Mendapatkan kontrol optimal dari kemoprofilaksis,

kontrol penanganan TB, dan kontrol pada

kambuhnya penyakit TB sehingga dapat

mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB

laten dan aktif.

• Mengetahui hasil simulasi numerik dari model TB

yang diberikan dengan menggunakan software

MATLAB.

– Manfaat

• Manfaat dari penelitian ini adalah agar pihak/badan

kesehatan dapat mengetahui penanganan TB dan

kemoprofilaksis secara optimal.

TINJAUAN PUSTAKA

Model Optimal Kontrol kemoprofilaksis dan

Penanganan Tuberkulosis

Meminimalkan performance

index berikut:

Dengan:

individu yang rentan tertular TB

:infeksi laten

:gejala TB

:penyembuhan dari penyakit

:laju rekrutmen

:tingkat individu aktif yang tertular

:tingkat kematian alami

:probabilitas infeksi akan memasuki

tingkat laten

: : :::

f:

:modifikasi parameter

:tingkat kemajuan alami TB aktif

:penanganan untuk infeksi laten

:modifikasi parameter

:tingkat penyembuhan alami

:penanganan terhadap infeksi

:tingkat TB penyebab kematian

:laju penyakit yang kambuh

:kontrol kemoprofilaksis

:kontrol penanganan

:kontrol penyakit yang kambuh

:waktu akhir

:penyeimbang faktor biaya

k:

p:

d:

q:

:

Fungsi Lipschitz

Definisi 3.1 [2]

Misalkan dan jika terdapat

bilangan positif sedemikian hingga

(6)

untuk setiap , maka dikatakan

fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi

Lipschitz) pada .

A Af :

uxLufxf )()(

L

Aux , f

A

Masalah Optimal Kontrol

Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan

signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi

konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat

ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan

kreteria performance index.

Gambar 4.1 Skema Kontrol

• Pada gambar tersebut masalah kontrol optimal adalah

mendapatkan kontrol optimal ( ), tanda * menyatakan

kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur

plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan

beberapa konstrain pada kontrol dengan keadaan dan

waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan

performance index yang diberikan.

• Berarti secara umum, formulasi yang dapat

diberikan pada permasalahan optimal kontrol [5]:

– Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh

metode matematika dari proses terjadinya

pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel

keadaan).

– Spesifikasi dari performance index.

– Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada

keadaan (state) dan atau kontrol.

• Prinsip Maksimum Pontryagins dengan Kontrol

Terbatas

• Prinsip maximum merupakan suatu kondisi sehingga

dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang

sesuai dengan tujuan (memaksimalkan performance

index). Hal ini, telah dikembangkan pada tahun 1950

oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang

diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi [6].

• Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang

terbatas sebagai berikut [4]:

dengan kendala

Hamiltonian adalah

Supaya optimal jika memenuhi persamaan

jika

1

0

),,(max

t

t

dttuxf

),,( tuxgx 00 )( xtx bua

),,(),,( tuxgtuxfH

0

u

Hbua

dengan Persamaan keadaan (State dan Co-

State)

Metode beda hingga

Jika maka turunan pertama dari u

terhadap x didefinisikan

Hx

x

H

)(xuu

Kemudian diekspansikan menurut

deret Taylor

1.

Persamaan (9) disebut persamaan beda

hingga maju.

2.

Persamaan (11) disebut persamaan beda

hingga mundur.

)(xuu

...)(!2!1

)()(2

22

xudx

dhxu

dx

dhxuhxu

)()()()( hoxudx

dhxuhxu

dx

du

h

xuhxu

)()(

...)(!2!1

)()(2

22

xudx

dhxu

dx

dhxuhxu

)()()()( hoxudx

dhhxuxu

dx

du

h

hxuxu

)()(

3. Jika persamaan (8) dikurangi dengan

persamaan (10), maka

Persamaan (13) disebut persamaan beda

hingga tengah.

4. Jika persamaan (8) ditambahkan dengan

persamaan (10), maka

...2)()( dx

duhhxuhxu

)(2)()( 2hodx

duhhxuhxu

dx

du

h

hxuhxu

2

)()(

...)(2)()(2

22

dx

udhxuhxuhxu

)()()(2)( 2

2

22 ho

dx

udhhxuxuhxu

2

2

2

)()(2)(

dx

ud

h

hxuxuhxu

• Beda hingga memiliki tiga tipe syarat

batas:

– Syarat batas Dirihclet, adalah syarat batas

pada kondisi awal dan kondisi akhir.

• contoh : dan

– Syarat batas Neumann, adalah syarat batas

untuk kondisi akhir dari turunan pertamanya.

• contoh : dan

– Syarat batas Robbins, adalah syarat batas

untuk kondisi awal atau akhir dan pada turunan

pertamanya .

• contoh : atau

100)0( u 1001 u

0)0( dx

du0)1(

dx

du

3)0()0( dx

duu 3)1()1(

dx

duu

• Pembahasan dan Hasil

Penyelesaian Kontrol Optimal

• Untuk mendapatkan penyelesaian kontrol

optimal dari persamaan (1), (2), (3), dan

(4) digunakan Prinsip Maksimum

Pontryagin. Metode ini merupakan

pengembangan dari masalah kalkulus

variasi.

• Hamiltonian yang terbentuk adalah:

Persamaan co-state dapat diperoleh dari

Sehingga

Variabel co-state

Berdasarkan prinsip optimum didapatkan

dan

Sehingga diperoleh

Analisis ketunggalan solusi sistem

persamaan diferensial

• Andaikan dan

adalah dua solusi

yang berbeda dari sistem persamaan

diferensial.

• Dengan

dan

,,,

,

,

,

,

,,

,

,

Untuk m>0, berarti dapat diperoleh bentuk

kontrol optimal

dan

Dengan menggunakan teorema Lipschitz

sedemikian hingga dapat diperoleh:

dan

Untuk

Sehingga dapat diperoleh

• Dilakukan cara yang sama pada state dan

costate lainnya dan juga pada solusi yang

kedua.

• Kemudian dilakukan pengurangan pada

persamaan tersebut dan kemudian

diintegralkan menjadi

Mengingat lama perawatan dibatasi pada

selang waktu tertentu maka solusi yang

dihasilkan pada sistem Hamiltonian adalah

terbatas, berarti terdapat suatu konstanta

positif sehingga diperoleh

Demikian juga pada pengurangan yang

lain dilakukan hal yang sama.

Kemudian jumlahkan delapan

penyelesaian tersebut sehingga diperoleh

Maka

Berarti jika dipilih dan

Maka haruslah

sehingga menjadi

jadi penyelesaian dari sistem adalah tunggal.

• Simulasi Numerik

• Persamaan state diselesaikan dengan

menggunakan metode beda hingga maju

Persamaan co-state diselesaikan dengan

menggunakan metode beda hingga

mundur

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Waktu (tahun)

kontr

ol u1

Gambar 7.1 simulasi kontrol kemoprofilaksis (u1)

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Waktu (tahun)

kontr

ol u2

Gambar 7.2 simulasi kontrol penanganan TB (u2)

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Waktu (tahun)

kontr

ol u3

Gambar 7.3 simulasi kontrol penanganan TB yang kambuh (u3)

0 5 10 15 20 250

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Waktu (tahun)

jum

lah indiv

idu y

ang t

erinfe

ksi T

B late

n d

an a

ktif

dengan kontrol

tanpa kontrol

Gambar 7.4 perbandingan jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif antara

pemberian kontrol pada sistem dengan tanpa kontrol

Pada gambar 7.4 menunjukkan bahwa

sistem yang diberi kontrol u1, u2 , dan u3

memberikan perbedaan yang signifikan

pada waktu setelah 5 tahun dengan sistem

yang tanpa kontrol. Jumlah individu yang

terinfeksi laten dan aktif pada sistem tanpa

kontrol adalah 593 orang sedangkan pada

sistem dengan kontrol adalah 19 orang.

Hal ini berarti bahwa kontrol

kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan

penderita TB (u2), dan kontrol penanganan

pada penderita TB yang kambuh (u3)

dapat mengurangi jumlah individu yang

terinfeksi laten dan aktif.

• Kesimpulan dan Saran

Kesimpulan

• Dari analisis yang dilakukan pada

model tuberkulosis, maka dapat diperoleh

sebagai berikut :

• Pada analisis kontrol optimal dapat

diketahui bahwa bentuk kontrol optimal

yang diperoleh dari model tuberkulosis

adalah

dengan:

: kontrol kemoprofilaksis

: kontrol penanganan TB

: kontrol penanganan TB yang

kambuh

: penanganan untuk infeksi laten

: penanganan terhadap infeksi

: laju penyakit yang kambuh

q : individu yang terinfeksi TB laten

: individu yang terinfeksi TB aktif

: individu yang sembuh dari TB

: faktor penyeimbang biaya

• Hasil simulasi numerik menunjukkan

bahwa kontrol kemoprofilaksis (u1), kontrol

penanganan TB (u2), dan kontrol pada TB

yang kambuh (u3) dapat mengurangi

jumlah individu yang terinfeksi TB laten

dan aktif.

Saran

• Saran dari Tugas Akhir ini adalah dapat

dicari kontrol untuk penyakit yang lain,

sehingga dapat meminimalkan atau

mengurangi jumlah penderita penyakit

tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

[1]AgustoF.B.OptimalChemopropylaxis And Treatment

Control Strategies Of A Tuberkulosis Transmission

Model. World Journal Of Modelling And Simulation,

2009, 5(3): 163-173.

[2]Bartle, R.G., dan Sherbert, D.R., 1994. Introduction to

Real Analysis. Singapore: John Willy & Sons.

[3]Gerald, C.F.1994.Apllied Numerical

Analysis.Polytechnic State Univercity, California.

[4]Kamien, M. I dan Schwarz, N. L .1991. Dynamic

Optimization: the calculus of variations and

optimal control in economics and management.

North-Holland. Amsterdam.

[5]Naidu, D. S., 2002. Optimal Control Systems. USA:

CRC Presses LCC.

[6]Pontryagin, L.S , Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V ,

and Mishchenko, E.F. 1962. The Mathematical Theory

Of Optimal Processe. Wiley, New York.