pengendalian kualitas dengan menggunakan diagram …

PENGENDALIAN KUALITAS DENGAN MENGGUNAKAN DIAGRAM KONTROL EWMA RESIDUAL


(STUDI KASUS: PT. PJB UNIT PEMBANGKITAN GRESIK)

FITROH AMALIA (1306100073)Dosen Pembimbing: Drs. Haryono, MSIE

Latar Belakang

Pengendalian Kualitas

Pengendalian Kualitas

Diagram Kontrol Shewhart

Asumsi independen

Pengamatan Berautokorelasi

EWMA Residual

Hasil yang tidak akuratHasil yang tidak akurat

Baik digunakan pada pengamatan yang

berautokorelasi

Baik digunakan pada pengamatan yang

berautokorelasi

Diagram Kontrol EWMA untuk Pengamatan yang Berautokorelasi 2

Model ARIMA

EWMA Residual

Metode GARCH

Residual dari model

Data


1. Bagaimana model GARCH untuk data daya listrik?

2. Bagaimana keadaan proses dengan menggunakan

diagram kontrol EWMA residual?


1. Mendapatkan model GARCH untuk data daya listrik

2. Mengetahui keadaan proses produksi daya listrik

dengan menggunakan diagram kontrol EWMA

residual


1. Dapat memberikan informasi kepada PT. PJB Unit

Pembangkitan Gresik mengenai diagram kontrol yang sesuai

digunakan pada data daya listrik dan mengetahui keadaan

proses produksi daya listrik yang kemudian dapat digunakan

dalam proses improvement.

Jika kinerja / efisiensi produksi listrik baik, maka akan

berimbas pula pada kepuasan masyarakat akan pemenuhan

kebutuhan listrik

2.Dari penelitian ini diharapkan akan memberi manfaat bagi

pembaca dalam rangka memperluas wawasan mengenai

pengendalian kualitas yang memperhatikan autokorelasi

proses


Deret Waktu (Time series) adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke-waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap (Wei, 1990).

0)(Var)(Var),(Cov

γγρ k

ktt

kttk xx

xx==

+

+(1)

Fungsi Autokorelasi (ACF)

k = 0, 1, 2,...n-1

))((),( xxxxExxCov kttkttk −−== ++γ (2)

2n

1t t

ktkn

1t t

0 )(

)()(ˆˆ∑

∑=

+−

=

−

−−==

xx

xxxxk

k γγρ ) (3)


PACF :

Autokorelasi Parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan

antara x t dan , , apabila pengaruh dari lag waktu 1, 2, 3,..., k-1

dianggap terpisah.

ktx −

Tinjauan Pustaka

(4)

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) adalah suatu fungsi yang

menunjukan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada

waktu ke-t (dinotasikan dengan xt) de-ngan pengamatan pada

waktu-waktu sebelumnya (dinotasikan dengan xt-1, x t-2,..., x t-k).

( )121 ,...,,, +−−−−= ktttkttkk xxxxxcorrφ

∑∑

=

= −++

++−

−= k

1j jkj

k

1j j1kkj1k1k1,k

ρ̂ˆ1

ρ̂ˆρ̂ˆφ

φφ

8Diagram Kontrol EWMA untuk Pengamatan yang Berautokorelasi

Persamaan untuk model MA pada orde (q) :

; Tinjauan Pustaka

Model ARIMA (p, d, q)

Persamaan untuk model AR pada orde (p) :

Model ARIMA (p, d, q) Orde AR

Orde MA

differencing

(5)

(6)

(7)

tptptti axxxx ++++= −−− 12211 ... φφφ

ptpttti aaaax −−− −−−−= 12211 ... θθθ


; Tinjauan Pustaka

Identifikasi Model ARIMA dan Penetapan Model Sementara

Identifikasi:Plot Time SeriesPlot ACF

Apakah Data

Stasioner?Mean differencingVarians transformasi

Penetapan Model Sementara:

Plot ACF orde MAPlot PACF orde AR

Tidak

Ya


Uji Signifikansi Model ARIMA0=θ0≠θ

)ˆ(SE

ˆ

θθ

=t

21, α−> dftt

pnndf −=

α

H0 : H1 : Statistik uji:

Tolak H0 jika atau jika p-value <

, np = banyaknya parameter

; Tinjauan Pustaka

(8)


0...: 21 ==== kρρρ0≠kρ

( ) 2

1

1 ˆ)(2 k

K

kknnnQ ρ∑

=

−−+=

kρ̂2

),( mKQ −> αχ %5=α

Pengujian dengan menggunakan uji L-jung Box dilakukan untuk

memenuhi asumsi residual independen, dengan hipotesis:H0

H1 : minimal ada satu nilai

, dimana k = 1, 2,..., K.

dimana n adalah banyak pengamatan

adalah sampel ACF residual pada lag ke-k.

atau p-value <

Pengambilan keputusan, jika H0 ditolak maka residual tidak memenuhi asumsi residual independen

; Tinjauan Pustaka

Diagnostic Checking

Statistik uji:

Daerah Kritis =

(9)


; Tinjauan Pustaka

Uji Kehomogenan Varians Residual

0...: 21 ==== kρρρ0≠kρ

Hipotesis:H0


( ) )(ˆ)(2 22

1

1tk

K

kknnnQ ερ∑

=

−−+= , dimana k = 1, 2,..., K.

Statistik uji:

(10)

kρ̂2

),( mKQ −> αχ %5=α



atau p-value < Daerah Kritis =

12

)()(: 0 tt aFaF =

Uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut (Daniel, 1989):

(residual berdistribusi normal)

; Tinjauan Pustaka

Uji Residual Berdistribusi Normal

H0

.

)()(: 0 tt aFaF ≠ (residual tidak berdistribusi normal)

statistik Uji:)()( 0 tt

aaFaSSupD

t

−=

H1

( )nDD ,1 α−≥ α αTolak H0 jika atau p-value < , dengan = 5%.

(11)

Dimana :

= fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel.

F0( (x) = fungsi peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan.

F( (x) = fungsi distribusi yang belum diketahui

Sup = nilai supremum semua x dari

)( taSta

ta

ta )()( 0 tt aFaS −


Mn a 2ˆln 2 += σ

nMn a lnˆln 2 +σ

AIC(Akaike’s Information Criterion)

SBC (Schwart’z Bayesian Criterion) =

Pemilihan Model Terbaik

; Tinjauan Pustaka

KriteriaPemilihan Model

(12)

(13)


Statistik EWMA untuk residual ke-t ( ) adalah sebagai berikut (Koehler, Marks dan Connels, 2001):

Batas kontrol dari diagram kontrol EWMA adalah:

( )tLBKA 2)1(1)2(

0 λλ

λσ −−−

+=

; Tinjauan Pustaka

(14)1)1( −−+= ttt zz λλε

tε

(15)

( )tLBKB 2)1(1)2(

0 λλ

λσ −−−

−= (16)


Model GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Pada tahun 1986, Bollerslev mengembangkan model yang dikenalkan Engle dengan teknik varians bersyarat yang menganggap nilai ramalan residual mengikuti proses ARMA (p, q). Model ini kemudian disebut General Autoregressive Conditional Heterokedasticity (GARCH(p, q)). Model GARCH(p, q) ini dinyatakan dalam persamaan (Wei, 2006) :

;

211

20

2 ...... ptqtptpt −−− +++++= σβσβεαασ

AR

(17)

MA

ARCH

Data

Studi Literatur

Pengumpulan Data

Mulai

Memeriksa Autokorelasi Data

A

; Metodologi Penelitian

Sumber Data:Data sekunder daya listrik yang diproduksi PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik selama bulan Maret 2010

Variabel Penelitian :Daya listrik yang diproduksi PT. PJB Unit Pembangkitan Gresik

Diagram Alur Analisis


Menentukan model ARIMA dari data observasi

Residual sudah white

noise?

Pemodelan dengan GARCH

Ya

Tidak

Mendapatkan residual dari model

Membuat diagram kontrol residual

Selesai

A

Nilai Autokorelasi Data

80706050403020101

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Autocorrelation Function for daya(with 5% significance limits for the autocorrelations)

•Pola ACF tidak acak data daya listrik berautokorelasi

•Nilai-nilai autokorelasi daya listrik menunjukkan bahwa terdapat autokorelasi yang cukup besar antara daya listrik pada setengah jam ke-t dan daya listrik pada setengah jam ke t-1. Nilai ACF pada lag pertama sebesar 0,952153 dan pada lag kedua sebesar 0,868897

; Analisa dan Pembahasan

Identifikasi Model ARIMA

1341119210438947455964472981491

90

80

70

60

50

Index

daya

Time Series Plot of daya

1341119210438947455964472981491

30

20

10

0

-10

-20

-30

Index

C8

Time Series Plot of C8

differencing

;

Setelah didifferencingPACFACF

1501401301201101009080706050403020101

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Autocorrelation Function for C8(with 5% significance limits for the autocorrelations)

1009080706050403020101

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Partial Autocorrelation Function for C8(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Estimasi Parameter

)ˆ(SE

ˆ

θθ

=tStatistik uji:

0=θ0≠θ

H0 :

H1 :

21, α−> dftt αTolak H0 jika atau jika p-value <

;

Model Parameter Koefisien P_value KeteranganAR2 -0.10208 0,00MA1 -0.23037 0,00ARIMA

(2,1,1)(2,1,0)48 signifikanSAR2 -0.37624 0,00AR2 -0.11182 0,00ARIMA

(2,1,0)(2,1,0)48 SAR2 -0.36488 0,00 signifikan AR1 0.17499 0,00ARIMA

(2,1,1)(1,1,0)48 SAR2 -0.3708 0,00 signifikan AR1 0.17614 0,00ARIMA

(1,1,1)(1,1,0)48 AR1 -0.26778 0,00 signifikanAR1 0.19387 0,00MA2 0.19082 0,00ARIMA

(1,1,2)(2,1,0)48 signifikanSAR2 -0.36762 0,00

Pemeriksaan Asumsi Residual

Uji Independensi Residual

0...: 21 ==== kρρρ0≠kρ

( ) 2

1

1 ˆ)(2 k

K

kknnnQ ρ∑

=

−−+=

kρ̂2

),( mKQ −> αχ %5=α


, dimana k = 1, 2,..., K.



atau p-value <

Statistik uji:

Daerah Kritis =

H0

;

;

Model Ljung - Box KeteranganLag 12 24 48 96

ARIMA (2,1,1)(2,1,0)48 P_Value 0,00 0,00 0,00 0,00

Residual tidak

independenLag 12 24 48 96

ARIMA (2,1,0)(2,1,0)48 P_Value 0,00 0,00 0,00 0,00

Residual tidak

independenlag 12 24 48 96

ARIMA (2,1,1)(1,1,0)48 P_Value 0,00 0,00 0,00 0,00

Residual tidak


ARIMA (1,1,1)(1,1,0)48 P_Value 0,00 0,00 0,00 0,00

Residual tidak


ARIMA (1,1,2)(2,1,0)48 P_Value 0,00 0,00 0,00 0,00

Residual tidak

independen

Uji Kenormalan Residual

)()(: 0 tt aFaF =

)()(: 0 tt aFaF ≠

Uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut (Daniel, 1989):

(residual berdistribusi normal)

(residual tidak berdistribusi normal)

Statistik Uji:)()( 0 tt

aaFaSSupD

t

−=

H0

H1

(11)

Model P-value KeteranganARIMA

(2,1,1)(2,1,0)48 < 0,001Residual tidak

berdistribusi normalARIMA

(2,1,0)(2,1,0)48 < 0,001Residual tidak


(2,1,1)(1,1,0)48 < 0,001Residual tidak


(1,1,1)(1,1,0)48 < 0,001Residual tidak


(1,1,2)(2,1,0)48 < 0,001Residual tidak

berdistribusi normal

;

Uji Kehomogenan Varians Residual

0...: 21 ==== kρρρ0≠kρ

( ) )(ˆ)(2 22

1

1tk

K

k

knnnQ ερ∑=

−−+=


, dimana k = 1, 2,..., K.

Statistik uji:

H0

Karena nilai 2),( mKQ −> αχ maka H0 ditolak yang berarti varians residual tidak homogen

;

Model Q

ARIMA(2,1,1)(2,1,0)48 335.4516 29.7875

ARIMA(2,1,0)(2,1,0)48 331.3475 30.6123

ARIMA 2,1,1)(1,1,0)48 329.1343 31.439

ARIMA(1,1,1)(1,1,0)48 345.0098 32.2676

ARIMA(1,1,2)(2,1,0)48 335.4516 29.7875

2),( mK−αχ

Pemilihan Model Terbaik;

Model AIC SBCARIMA(2,1,1)(2,1,0)48 8.611,615 8.632,702ARIMA (2,1,0)(2,1,0)48 8.632,702 8.664,212ARIMA (1,1,0)(2,1,0)48 8.611,615 8.632,702ARIMA(1,1,0)(1,1,0)48 8.727,214 8.748,301ARIMA(1,1,2)(2,1,0)48 8.568,373 8.594,731

Model GARCH

80706050403020101

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Aut

ocor

rela

tion

Autocorrelation Function for e^2(with 5% significance limits for the autocorrelations)

80706050403020101

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

utoc

orre

lati

on

Partial Autocorrelation Function for e^2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

m=[1,19,47,48,49] s=[1,19,47,48,49,65].

GARCH ([1,19,47,48,49],[1,19,47,48,49,65]) parameter tidak signifikan

m= [1,48] parameter signifikanDiperoleh model ARCH ([1,48])

;

2t

2t-

2t eεε +++ − 481 ˆ2430,0ˆ1001,0542,21=2

tσ̂

Diagram Kontrol EWMA Residual;

1342119310448957465974482991501

6000

4000

2000

0

-2000

-4000

Sample

EWM

A

__X=0

UCL=989

LCL=-989

EWMA Chart of ee

Kesimpulan

1. Pemodelan daya listrik dengan menggunakan metode ARIMA tidak

memenuhi asumsi residual white-noise. Kemudian diakukan pemodelan

varians residual dengan model GARCH. Model GACH yang diperoleh

merupakan mode ARCH([1,48]) sebagai berikut:

2t

2t-

2t eεε +++ − 481 ˆ2430,0ˆ1001,0542,21=2

tσ̂

2. Diagram kontrol EWMA residual yang diperoleh menunjukkan bahwa proses

belum stabil. Dalam diagram tersebut terlihat masih banyak titik yang berada

di luar batas kontrol. Pada titik-titik yg keluar tersebut perlu ditelusuri

penyebab out of control dan selanjutnya dilakukan improvement.

Saran

Dalam penelitian ini dilakukan pemodelan dengan menggunakan metode

ARIMA tidak menghasilkan residual yang memenuhi asumsi white-noise.

Untuk penelitian selanjutnya pada data daya listrik disarankan untuk

menggunakan metode time series yang lain sehingga diperoleh residual

yang memenuhi asumsi white-noise seperti metode Analisis Fourier atau

Mixture Autoregressive.

Diagram Alur Analisis Model ARIMA

data

Identifikasi:Plot Time SeriesPlot ACF

Apakah Data

Stasioner?

Mean differencingVarians transformasi

mulai

Penetapan Model Sementara:

Plot ACFPlot PACF

A B

Tidak

Ya


Apakah Model Sudah

Memadai?

A B

Pemilihan Model Terbaik

Model Terbaik

Selesai

Ya

Tidak


Peka terhadap data dengan pergeseran

yang kecil dan berkaitan dengan

waktu

Peka terhadap data dengan pergeseran

yang kecil dan berkaitan dengan

waktu

Diagram Kontrol EWMA

Diagram Kontrol EWMA

Pengamatan Berautokorelasi

Pengamatan dimodelkan dengan ARIMA

EWMA Residual

EWMA Residual

Mendapatkan Residual dari model ARIMA

EWMA Residual


pengendalian kualitas dengan menggunakan diagram …

Documents