Penerapan Integral Dalam Bidang IlmuKeteknikan

Penerapan Integral Dalam Bidang IlmuKeteknikanIntegral merupakan salah satu bab bahasan di dalam ilmu Matematika. Pengertian integral sendiri merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah Terdapat dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Perbedaan antara keduanya ialah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah sedangkan Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Pada umumnya ilmu integral ini dapat bermanfaat dalam berbagai bidang ilmu, seperti bidang ekonomi, teknologi, fisika dan matematika.Ada beberapa kegunaan integral dalam berbagai bidang ilmu: 1. Ekonomi Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya), mencari fungsi biaya total, mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal, fungsi kapital dari fungsi investasi.

2.Teknologi Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu, Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu, Memecahkan persoalan yang berkaitan dengan volume, panjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha.3. Fisika analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

4.Matematika (Teknik) menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur. Di dalam bidang matematika teknik integral dapat berguna untuk mencari volume benda putar suatu benda.Contoh kasus: Pada suatu hari, Supri sedang memanen blueberry kemudian dia megambil sebuah tong blueberry. Supri kemudian penasaran untuk menghitung volume tong tersebut agar ia bisa memperkirakan kira-kira berapa tong blueberry yang akan dia bawa. Kemudian ia teringat akan akan pelajaran kalkulus yang ia dapatkan pada saat kuliah . Supri kemudian mengukur tong tersebut. Data yang didapat supri dari mengukur tong tersebut ialah jari-jari atas dan bawah tong adalah 30 cm dan jari-jari tengah 40 cm, serta tinggi tong adalah 1 m. Setelah itu, kemudian Supri menghitung volume tong tersebut.

Jawaban :Hal pertama yang dilakukan Supri ialah meletakkan tong pada sisinya. Hal ini berguna untuk membuat suatu perhitungan aljabar. Pada perhitungan ini Supri menggunakan dasar rumus Integral Tentu untuk mencari volume tong blueberry tersebut. Rumus Integral tentu adalah :kemudian Supri menemukan persamaan parabola dengan titik di (0,40) dan melalui (50,30).Dan menggunakan rumus:(x h) 2 = 4 a (y k), Sekarang (h, k) adalah (0, 40) sehingga akan didapatkan :(x h) 2 = 4 a (y k)(x 0) 2 = 4 a (y 40)2x = 4 a (y 40) dan parabola melewati (50, 30), sehingga(50) 2 = 4 a (30 40)2500 = 4 a (-10) dan 4 a = -250Jadi persamaan sisi barel2x = -250 (y 40) yaitu, y = 2x / 250 + 40

kemudian mencari volume tong yang dihasilkan ketika kita memutar parabola antara x = -50 dan x = 50 sekitar sumbu x-.

Maka di dapat perhitungan Integral sebagai berikut :

Jadi , didapat volume tong blueberry yang didapatkan Supri dengan menggunakan perhitungan integral yaitu 425,2 L.

Manfaat Turunan Pada Kehidupan Sehari-hariKegunaan Turunan dan Turunan Parsial Pada Kegiatan Sehari Hari Banyak sekali pemanfaatan turunan parsial dalam kehidupan sehari hari, seperti mencari Percepatan, laju perubahan nilai fungsi, dan lain-lain. Contohnya saja seperti penelitian yang di lakukan oleh manusia. Penelitiannya biasanya berkaitan dengan kimia,fisika,dan lain lain. Dalam penelitian fisika, seperti bandul menggunakan turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.

Dalam perekonomian, juga menggunakan fungsi turunan.contohnya saja apabila ingin menghitung nilai minimum dan nilai maksimum dalam sebuah keuangan. Contoh Misalkan biaya total A = x(2x + - 40) , maka A sebagai fungsi x ditentukan oleh A(x) = x(2x + - 40) A(x) = 2x^2 40x + 1.000 Turunan pertama dan kedua A(x) terhadap x adalah A(x) = 4x -40 dan A(x) = 4 Syarat perlu ekstrim diperoleh dari A(x) = 0 4x 40 = 0 x = 10 Berdasarkan uji turunan kedua, karena A(x) = 4 > 0 maka A(x) mencapai nilai minimum dan nilai minimum itu adalah A(10) = 2(10)^2 40(10) + 1.000 = 800. Jadi, biaya total yang minimum adalah 800.

1. Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.Contoh: Bentuk eksplisit:Bentuk Implisit:z = 2x + yxy + xz yz = 0z = ln |x^2 - 2y^4|xy - e^x siny = 0z = 1 2 1^(1/2)/(2sinx-siny)^(1/2)arc tan y/x - 2z = 0Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

2. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubahx dan y berubah bersama-sama sekaligus.Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.Definisi Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan , didefinisikan oleh

dan

Asalkan limitnya ada.

LimitSejarahKalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, , , ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu

DefinisiUntuk kali ini limit mendeteksi Fungsi, fungsi sendiri terbagi menjadi dua yaitu, kontinyu dan diskontinyu. Kontinyu adalah pada setiap interval x ataupun t selalu mempunyai nilai. Kontinyu dapat diartikan juga antara limit kiri dan limit kanan harus sama.Dalam kehidupan sehari-hari fungsi kontinyu juga ada penerapannya, misal mengukur tinggi badan diumpamakan umur adalah x, dan tinggi badan adalah y. Sehingga berapapun umur seseorang maka dia akan memiliki tinggi badan walau bayi baru lahir .kontinyu diterapkan dalam rumus gaya F = m . A dan rumus pegas F = k . X .

1. Limit sebuah fungsiKita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

Contoh pada saat x mendekati 2. Dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

Semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu . Dalam kasus dimana , f disebut kontinyu pada x = c.Namun, ada kasus tidak selalu berlaku.

f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)0.41210.40120.40010.4 0.39980.39880.3882

Sebagai contohpada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya samadengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:

Jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari adalah 2.2. Limit sebuah fungsi pada titik tak terhinggaKonsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).Sebagai contoh :

Semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2 ,

f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)1.951.991.999undef 2.0012.0102.10

f(100) f(1000) f(10000) 1.98021.99801.9998

3. Limit BarisanPerhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.Secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil L sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai:

yang artinya untuk setiap bilangan riil > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, |xnL| < . Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xnL| adalah jarak antara x dan L. Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, bila tidak, disebut divergen. Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x+1/n).

Fungsi KuadratBentuk Umum dari fungsi kuadrat adalahf(x) = ax2 + bx + catau y = ax2 + bx + cSelain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuka.Bentuk PemetaanF : R > Rx > ax2 + bx + c, a, b, c R ,a 0b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y =ax2 + bx + c; a, b, c real a 0

Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk tahu bagaimana bentuk grafik dari suatu fungsi kuadrat harus memperhatikan beberapa sifat penting dari fungsi kuadrat di bawah ini.1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0)Jika dari persamaan y = ax2 + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c).2. Hubungan dengan sumbu x (y=0)Dari bentukax2 + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadratax2 + bx + c = 0, dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D = b2-4ac.

3. Harga Ekstrem dan Titik Puncakrumus menentukan harga ekstrem(xp,yp) = (-b/2a, D/4a)untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a 0 dan dinamakan titik minimum jika a < 0.4. Sumbu SimetriSumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.Persamaan untuk sumbu simetris adalah x = -b/2a

Contoh soalContoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah f (x) = -ax2-bx+c

NB1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah sumbu x)dalam hal D < 0 dan a > 0 makaf(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu positif (melayang di atas sumbu x)dalam hal D < 0 dan a < 0 makaf(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)

Fungsi LinearFungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsiyang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebutdengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:f : x mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + cm adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta.Grafik Fungsi LinearLangkah-langkah melukis grafik fungsi liniera Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar)Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atasJika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawahJika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

Contoh1. Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

2. Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas

.Hubungan dua buah garisDua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1

1. Garis BerimpitDua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garis akan berimpit dengan garis , jika

2. Garis SejajarDua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan sejajar dengan garis , jika

3. Garis BerpotonganDua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan berpotongan dengan garis , jika

4. Garis Tegak lurusDua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis akan tegak lurus dengan garis , jika atau