penerapan grafik pengendali dan studi simulasi berdasarkan

i

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI

BERDASARKAN

ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

Oleh,

SELFIE PATTIHAHUAN

NIM : 662008012

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi : Matematika, Fakultas : Sains dan Matematika

guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Salatiga

2012

ii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR

Yang bertanda tangan dibawah ini,

Nama : Selfie Pattihahuan

NIM : 662008012

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, :

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI DAN STUDI SIMULASI GRAFIK

PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS KERNEL

BIVARIAT

Yang dibimbing oleh:

1. Dr. Adi Setiawan, M. Sc

2. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si

Adalah benar-benar hasil karya saya.

Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau gagasan

orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk rangkaian kalimat atau

gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya sendiri tanpa memberikan

pengakuan kepada penulis atau sumber aslinya.

Salatiga, Agustus 2012

Yang memberikan pernyataan

Selfie Pattihahuan

iii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai civitas akademika Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW), saya yang bertandatangan

di bawah ini :

Nama : Selfie Pattihahuan

NIM : 662008012

Program Studi : Matematika

Fakultas : Sains dan Matematika

Jenis Karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak bebas

royalti non-eksklusif (non-exclusive royalty free right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:


BERDASARKAN


Beserta perangkat yang ada (jika perlu).

Dengan hak bebas royalti non-ekslusif ini, UKSW berhak menyimpan,

mengalihmedia/mengalihformatkan, mengolah dalam bentuk pangkalan data, merawat, dan

mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis atau

pencipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Salatiga

Pada tanggal : Agustus 2012

Yang menyatakan,

Selfie Pattihahuan

Mengetahui,

Pembimbing Utama, Pembimbing Pendamping,

Dr. Adi Setiawan, M.Sc. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si.

iv


BERDASARKAN


Oleh:

SELFIE PATTIHAHUAN

NIM:662008012

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi

sebagian dari Prasyarat untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains (Matematika)

Disetujui oleh,

Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping

Dr. Adi Setiawan, M. Sc. Leopoldus Ricky Sasongko,S.Si.

Diketahui oleh,

Kaprogdi

Dr. Adi Setiawan, M.Sc.

Disahkan oleh,

Dekan

Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc.

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

AGUSTUS 2012

5

MOTTO

“Tetapi carilah dahulu kerajaan Allh dan kebenarannya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.”

(Matius 6: 33)

“ Serahkanlah hidupmu kepada Tuhan dan percayalah

kepada-Nya, dan Ia akan bertindak”

(Mazmur 37 : 5)

“ Perjalanan beribu-ribu mil, dimulai dengan satu langkah kecil”

(Lao-tzu-filuf Cina)

PERSEMBAHAN

Dengan rasa hormat dan cinta, karya ini

Kupersembahkan untuk:

Alm. Papa tercinta, Mama dan kedua kakakku.

6

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena atas segala berkat dan penyertaan-Nya yang

telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai persyaratan

menyelesaikan Studi Stara 1 atau S1 pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana.

Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama yang telah dipublikasikan. Makalah yang

pertama beerjudul “PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI

DENSITAS KERNEL BIVARIAT” telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional Pendidikan

Matematika XX dengan tema “Membangun Dunia Pembelajaran Matematika yang Menyenangkan,

Kreatif, dan Inovatif” yang diadakan oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

(HIMATIKA) FMIPA UNY pada tanggal 24 Maret 2012. Namun, makalah yang pertama dirasa

kurang bagi penulis dikarenakan belum adanya penjelasan tentang menghitung KDE untuk dua titik

dan untuk data yang lebih banyak. Oleh karena itu, penulis menyusun lagi makalah yang kedua

dengan judul “STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI

FUNGGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT”. Akhirnya judul makalah diatas juga dipublikasikan

dalam Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA dengan tema ”Pemantapan

Profesionalisme Peneliti, Pendidik & Praktisi MIPA untuk Membangun Insan yang Kompetitif dan

Berkarakter Ilmiah” yang diselenggarakan oleh FMIPA UNY pada tanggal 2 Juni 2012.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat terselesaikan dengan baik tanpa adanya

bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih

atas segala doa, nasihat, bimbingan dan dorongan baik materi maupun spiritual kepada :

1. Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Matematika.

2. Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku Ketua Program Studi Matematika dan selaku

pembimbing I yang dengan sabar membimbing, mengarahkan dan memberikan motivasi

kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini sehingga laporan skripsi ini dapat

diselesaikan dengan baik.

3. Leopoldus Ricky Sasongko, S.Si selaku pembimbing II yang juga membimbing,

memberikan saran, dan mengarahkan penulis sehingga laporan skripsi ini dapat

diselesaikan dengan baik.

4. Dosen pengajar, Dr. Bambang Susanto, Dra. Lilik Linawati, M.Kom, Tundjung

Mahatma, S.Pd, M.Kom, Didit Budi Nugroho, M.Si, yang telah memberikan ilmu

pengetahuan kepada penulis selama studi di FSM UKSW.

5. Seluruh staf TU FSM, Pak Edy, Mbak Eny, Mas Budi, dan Mas Basuki yang telah

banyak memberikan bantuan kepada penulis.

7

6. Alm. Papa, Mama tercinta yang telah memberikan kasih sayang yang tulus, nasihat,

pengorbanan, doa dan dorongan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan

skripsi ini dengan baik.

7. K’uce dan K’boby yang telah mendoakan dan memberi motivasi kepada penulis.

8. Terima kasih kepada Usi Mar2 dan Usi Yeyen atas persahabatannya selama ini baik

dalam suka maupun duka selama mengikuti kuliah bersama. Love u all.

9. Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2008, terima kasih atas bantuan dan

kebersamaannya selama ini.

10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang juga mendukung

penulis selama penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat banyak

kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan segala saran

dan nasihat dari pembaca. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak.

Salatiga, Agustus 2012

8

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................................................................................ i

LEMBAR PENGESAHAN .................................................................................................. ii

LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN ............................................................................. iii

LEMBAR PERNYATAAN BEBAS ROYALTY DAN PUBLIKASI ................................ iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ........................................................................................ v

KATA PENGANTAR .......................................................................................................... vi

DAFTAR ISI ......................................................................................................................... vii

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................... viii

PENDAHULUAN ............................................................................................................... ix

MAKALAH I

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI

FUNGSI DENSITAS KERNEL BIVARIAT

MAKALAH II

STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN


KESIMPULAN ................................................................................................................... x

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................... xi

9

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN 1 : Data kandungan Sabun Sirih

Periode September 2010-Desember 2010 ........................................... 28

LAMPIRAN 2 : Program R untuk Grafik Pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat.. ..................................... 30

LAMPIRAN 3 : Program Matlab untuk Grafik pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Bivariat 2 titk .......................................................... 34

LAMPIRAN 4 : Program R untuk Grafik pengendali berdasarkan

Estimasi Densitas Kernel untuk data bivariat

dengan sampel size n=100, n=500, n=1000, dan n=5000, p=0.5 ......... 35

10

PENDAHULUAN

Di era globalisasi yang semakin kompetitif ini, para pelaku bisnis tentu menginginkan agar

produknya diterima oleh konsumen dan mampu bersaing di pasaran. Salah satu faktor yang

mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih suatu produk adalah kualitas produk tersebut. .

Konsumen akan merasa puas apabila kualitas produk yang mereka pilih sesuai dengan harapan

mereka. Tingkat kepuasan konsumen dapat tercermin pada keputusan untuk membeli produk dan

melakukan pembelian ulang terhadap produk tersebut. Oleh sebab itu, masalah kualitas menjadi hal

yang penting dan perlu mendapat perhatian perusahaan. Mengingat pentingnya peranan kualitas

produk dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu

proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas.

Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik

pengendalian proses statistic adalah grafik pengendali ( control chart). Pembuatan grafik pengendali

pada umumnya selalu didasarkan pada asumsi bahwa suatu proses produksi berdistribusi normal.

Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal.

Oleh karena itu, perlu dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik

karena metode non-parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007). Metode

statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan. Salah satu dugaan

menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas kernel (kernel density

estimation). Dalam skripsi Taungke (2011) dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi

densitas kernel, selanjutnya dalam skripsi ini dikembangkan grafik pengendali berdasarkan estimasi

fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Skripsi ini terdiri dari dua makalah yaitu (Pattihahuan et al.,

2012a) dan (Pattihahuan et al., 2012b).

Dalam makalah (Pattihahuan et al., 2012a) yang pertama digunakan data karakteristik pH

dan berat jenis Sabun Sirih. Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan

estimasi densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level

(nilai estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada

data dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya

berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel

yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh atau titik

sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control).

Makalah yang kedua (Pattihahuan et al., 2012b) membahas tentang studi simulasi grafik

pengendali berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat. Data yang digunakan adalah dua

titik sampel bivariat dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan dari kombinasi dua distribusi

normal bivariat dengan ukuran sampel (sample size) tertentu. Berdasarkan data tersebut dapat

ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation) selanjutnya digunakan untuk

membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of control. Dari studi simulasi

11

diperoleh hasil proporsi titik sampel out of control cenderung mendekati nilai batas kesalahan (level of

significance) 0027,0 .

12

TAMBAHAN PEMBAHASAN

Dalam makalah (Pattihahuan et al., 2012a) digunakan data karakteristik pH dan berat jenis

Sabun Sirih. Analisis yang dilakukan yaitu membangun grafik pengendali berdasarkan estimasi

densitas kernel bivariat. Pada data bivariat dapat dicari batas spesifikasi yaitu pada level (nilai

estimasi densitas kernel) berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data

dengan menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Selanjutnya

berdasarkan data bivariat kemudian dibangun grafik pengndali untuk mengetahui titik-titik sampel

yang berada di luar batas pengendali (out of control). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh batas

spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi densitas kernel) 59.8985 dengan tingkat signifikansi (level

of significance) α=0.0027. Dimana, jika level titik sampel lebih kecil dari level batas spesifikasi

kernel maka titik sampel tersebut dinyatakan out of control. Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi

satu titik sampel yang berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-126 yang berada

pada koordinat (3.86, 0.9867) dengan level 59.8982, karena level titik sampel ke-126 lebih kecil dari level

kernel maka titik sampel ke-126 dinyatakan out of control.

Makalah yang kedua (Pattihahuan et al., 2012b) membahas tentang studi simulasi grafik

pengendali berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel bivariat. Data yang digunakan adalah dua

titik sampel bivariat yang dipilih secara sembarang yaitu 2,11 x , 4,32 x dengan

menggunakan matriks bandwidth identitas

1 0

0 1H dan data simulasi bivariat yang dibangkitkan

dari kombinasi dua distribusi normal bivariat dengan ukuran ampel ( sample size) tertentu.

Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernelnya (kernel density estimation)

selanjutnya digunakan untuk membuat grafik pengendali dalam menentukan titik sampel yang out of

control. Dalam makalah ini menekankan pada proporsi titik sampel out of control cenderung

mendekati nilai batas kesalahan (level of significance) 0027,0 . Berdasarkan hasil penelitian

diperoleh level (nilai estimasi densitas kernel) adalah 0.0017 dengan tingkat signifikansi α=0.0027.

Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur

yaitu titik sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi

densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783)

dengan level adalah 0.0017.

Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda

ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak

berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500 dan

n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai

0027,0 . Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of control) memberikan arti

bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan kesalahan dalam proses produksi.

14

PENERAPAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN ESTIMASI FUNGSI DENSITAS

KERNEL BIVARIAT

Selfie Pattihahuan, Adi Setiawan, Leopoldus Ricky Sasongko

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711, email: [email protected]

Abstrak Pengendalian kualitas memiliki peranan penting dalam meningkatkan penjualan produk.

Salah satu metode statistik yang digunakan dalam mengendalikan produk adalah

penggunaan grafik pengendali. Kualitas suatu produk biasanya ditentukan oleh lebih dari

satu karakteristik. Jika dipunyai dua karakteristik (bivariat) maka dapat dibuat grafik

pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Dimana dari data

bivariat dapat dicari nilai estimasi densitas kernel bivariat (kernel density estimation)

berdasarkan pemilihan nilai bandwidth optimal yang bergantung pada data dengan

menggunakan metode MISE (Mean Integrated Square Error) terkecil. Penelitian ini akan

menggunakan data bivariat karakteristik pH dan berat jenis Sabun Sirih dari perusahaan

“B” selama bulan September sampai dengan Desember 2010. Pada grafik pengendali

berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat diperoleh batas spesifikasi yaitu pada level

(nilai estimasi densitas kernel) 59.8985 dengan tingkat signifikansi (level of

significance) α=0.0027. Berdasarkan batas tersebut, terdeteksi satu titik sampel yang

berada di luar kendali (out of control) yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada

koordinat (3.86, 0.9867) dengan level 59.8982.

Kata kunci : estimasi densitas kernel (kernel density estimation), grafik

pengendali.

1. Pendahuluan

Perkembangan industri di tanah air, menyebabkan terjadinya persaingan yang cukup ketat

antar perusahaan dalam menarik perhatian konsumen untuk menggunakan produk yang dihasilkan

oleh perusahaan tersebut. Salah satu faktor yang mempengaruhi keputusan konsumen dalam memilih

suatu produk adalah kualitas produk tersebut. Mengingat pentingnya peranan kualitas produk dalam

setiap perusahaan maka pengendalian kualitas produk sangat dibutuhkan dalam suatu proses produksi

untuk menjaga kestabilan kualitas.

Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut

mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan

mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang

sebenarnya dan yang standar (Montgomery, 1990).

Dalam pengendalian kualitas sering digunakan pengendalian proses statistik. Salah satu teknik

pengendalian proses statistik adalah grafik pengendali (control chart). Pembuatan grafik pengendali

pada umumnya selalu didasarkan pada asumsi bahwa suatu proses produksi berdistribusi normal.

Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas proses produksi tidak selalu berdistribusi normal.

Oleh karena itu, perlu dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan metode non-parametrik

karena metode non-parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007).

15

Metode statistika non-parametrik dapat digunakan untuk pengujian hipotesis atau dugaan.

Salah satu dugaan menggunakan metode statistika non-parametrik adalah estimasi fungsi densitas

kernel (kernel density estimation) yang akan diterapkan pada kandungan Sabun Sirih “A” pada

perusahaan “B”. Data dalam penelitian ini terdiri dari dua jenis variabel yaitu kadar pH dan berat jenis

Sabun Sirih, selanjutnya akan dicari estimasi fungsi densitas kernel dari kedua variabel tersebut

kemudian dibuat dalam suatu grafik pengendali.

Dalam makalah ini akan dibahas tentang bagaimana menerapkan grafik pengendali non-

parametrik berdasarkan pendekatan fungsi densitas kernel untuk data bivariat. Tujuan dari penelitian

ini adalah menerapkan grafik pengendali non-parametrik berdasarkan pendekatan kernel untuk data

bivariat dan mengidentifikasi titik sampel yang berada di luar grafik pengendali.

2. Dasar Teori

2.1 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas

yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan

dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990).

Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan

menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat.

Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur,

sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua

atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.

Dalam pembuatan grafik pengendali bivariat dapat menggunakan metode Hotteling T2 yaitu

grafik pengendali bivariat berbentuk elips, untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada Darmawan

(2010).

2.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat

Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana

estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang probabilitas sebaran data. Dalam statistik,

estimasi fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi

kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (WEB 1). Misalkan suatu sampel bivariat

nXXX ,...,, 21 yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi

densitas kernelnya adalah

n

i

iH XxKnHxf1

1;ˆ (1)

dengan X1, X2, . . . ,Xn adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth, Txxx 21 , dan

Tiii XXX 21, untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini xHKHxK H

2121 dan

16

2

212

12

2

1

hh

hhH adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite posititive) artinya

semua eigen valuenya positif dengan 1

2

1 var iXh , 2

2

2 var iXh dan 2112 ,cov ii XXh .

Dalam hal ini

xxxK T

2

1exp2

1 adalah kernel normal standard bivariat.

Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih nilai

H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat

dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada

Chacon (2009) dan Tarn Duong (2003).

3. Metode Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder pada proses produksi Sabun

Sirih pada bulan September 2010 sampai dengan Desember 2010 sebanyak 200 titik sampel. Adapun

karakteristik kualitas produk Sabun Sirih “A” yang digunakan dalam penelitian ini antara lain kadar

pH dengan batas spesifikasi perusahaan adalah 3.5 – 3.9 dan berat jenis dengan batas spesifikasi

perusahaan adalah 0.9834 – 1.0227.

Langkah langkah dalam analisis data dijabarkan sebagai berikut :

Mencari nilai H bandwidth optimal dari data karakteristik produk sabun sirih “A” dengan

menggunakan packages ks pada software R-2.12.2.

Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data karakteristik produk sabun sirih “A”

berdasarkan nilai H bandwidth optimal.

Membuat grafik pengendali untuk data bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel.

Menentukan banyaknya titik sampel yang berada di luar kendali (out of contol).

4. Analisis dan Pembahasan

4.1 Grafik Pengendali Bivariat Berdasarkan Spesifikasi Perusahaan

Perusahaan telah menetapkan standar spesifikasi atau batasan nilai untuk masing-masing

karakteristik kualitas produk. Produk dianggap ”cacat” jika tidak memenuhi batas spesifikasi yang

telah ditentukan oleh perusahaan. Batas spesifikasi yang telah ditentukan oleh perusahaan untuk

kadar pH Sabun Sirih adalah 3.5 – 3.9 sedangkan untuk berat jenis Sabun Sirih adalah 0.9834 –

1.0227. Dari data diperoleh semua titik sampel berada dalam batas spesifikasi yang telah ditentukan

oleh perusahaan. Data produksi Sabun Sirih dengan menggunakan batas spesifikasi perusahaan

ditunjukan pada Gambar 1.

17

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

1.03

pH

Bera

t Jen

is

Gambar 1. Grafik pengendali bivariat produk Sabun Sirih dengan batas spesifikasi

perusahaan

4.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Untuk Data Sabun Sirih

Untuk menentukan nilai estimasi fungsi densitas kernel bivariat yang optimal maka kita

perlu menentukan terlebih dahulu nilai H optimal untuk matriks bandwidth yang positif definit pada

data Sabun Sirih dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE). Dengan

bantuan packages ks pada software R-2.12.2 diperoleh matriks bandwidth optimal pada data Sabun

Sirih yaitu

.

dengan eigen value 7

2

4

1 104710.2,101429.7 sehingga bandwidth H positif definit.

Informasi lebih lanjut tentang penentuan H bandwidth dapat dilihat pada WEB 2. Selanjutnya,

dihitung nilai estimasi densitas kernelnya dengan menggunakan persamaan (1). Nilai estimasi fungsi

densitas kernel dapat ditunjukan pada Gambar 2 dan 3.

H

7-6-

-6-4

10 2.5299 10 2.0501-

10 2.0501- 10 7.1429

18

Ph

Berat Jenis

Density function

Gambar 2. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL

25 bandwidth optimal

Gambar 2 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari

sudut rotasi horizontal (AZ) 125 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat.

Gambar 3. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL

25 bandwidth optimal

19

Gambar 3 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari

sudut rotasi horisontal (azimuth) 250 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat.

Dari data Sabun Sirih di atas dapat dibuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas

kernel untuk data bivariat yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gambar 4 memperlihatkan perbandingan

antara grafik pengendali berdasarkan batas spesifikasi perusahaan dan batas spesifikasi yang diperoleh

berdasarkan estimasi densitas kernel.

Pada Gambar 4 kontur merah menunjukan batas spesifikasi yaitu pada level (nilai estimasi

densitas kernel) 59.8985 dengan tingkat signifikansi α=0.0027 sehingga setiap titik sampel yang

berada di dalam kontur merah dianggap terkendali. Sebagai contoh, akan dihitung level untuk titik

sampel ke-1.

Data karakteristik produk untuk titik sampel ke-1 dinyatakan dalam 1.0009 3.87x . Dengan

menggunakan persamaan di bawah ini, dihitung nilai

n

i

XxHXx iT

i

eHn

Hxf1

2

1 1

2

11;

325.367

105299.2100105..2

100501.2101429.72

1

200

1;

0009.1105299.2100501.2

100501.2101429.787.3

2

1200

1

76

641

1

76

64

i

Ti XX

i

eHxf

diperoleh level pada titk sampel ke-1 adalah 367.325, sehingga dapat disimpulkan bahwa titk sampel

ke-1 masih berada dalam kontur karena levelnya lebih besar dari batas level 59.8985 . Gambar 4

menunjukan dari data Sabun Sirih terdapat satu titik sampel yang out of control atau berada di luar

batas spesifikasi yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada koordinat (3.86, 0.9867) dengan level

59.8982 karena level dari titik sampel ke-126 lebih kecil dari batas level 59.8985 . Hal itu berarti

dapat dihitung level untuk setiap titik sampel sehingga dapat diidentifikasi titik sampel yang berada di

dalam kontur dan yang di luar kontur.

20

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

1.03

pH

Berat

Jenis

Gambar 4. Grafik pengendali bivariat Sabun Sirih berdasarkan batas perusahaan dan estimasi

densitas kernel

5. Kesimpulan

Melalui pembahasan di atas dapat disimpulakan bahwa dari data bivariat dapat dibuat grafik

pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Selanjutnya berdasarkan estimasi

fungsi densitas kernel dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of

control.

6. Daftar Pustaka

Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection

with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012.

www.mvstat.net/tduong/research/.../chacon-duong-2010-test.pdf

Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling

T2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen

Satya Wacana.

Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah

Mada University Press.

Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target

Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012.

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf

http://www.mvstat.net/tduong/research/.../chacon-duong-2010-test.pdf


21

Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density

Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012.

http://www.mvstat.net/tduong/research/

[WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation

[WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_kernel_density_estimation




22

2.1 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas

yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan

dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990).

Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan

menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat.

Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur,

sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua

atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.

2.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat

Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana

estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi

fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan

probabilitas dari suatu variabel acak (WEB1). Misalkan suatu sampel bivariat nXXX ,...,, 21 yang

diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah

n

i

iH XxKnHxf1

1;ˆ

dengan X1, X2, . . . ,Xn adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth , Txxx 21 , dan

Tiii XXX 21, untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini xHKHxK H

2121 dan

2

212

12

2

1

hh

hhH adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit (definite positive) dengan

1

2

1 var iXh , 2

2

2 var iXh dan 2112 ,cov ii XXh . Dalam hal ini

xxxK T

2

1exp2

1 adalah kernel normal standard bivariat.

Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih

nilai H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat

dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error (MISE) yang dijelaskan pada

Tarn Duong dan Martin L. Hazelton (2003).

1. Metode Penelitian

Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut:

23

Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel

Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus

,

20

81,

25

4NpNp

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

15.0

5.01. Jika digunakan ukuran sampel

(sample size) n=500 dengan p=0.5. Mencari nilai H bandwidth optimal dari data simulasi dengan

menggunakan packages ks pada software R-2.15.2. Menghitung estimasi fungsi densitas kernel

dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data

simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel

yang out of control.

Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5.

Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.

2. Analisis dan Pembahasan

4.1 Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik

Jika dipunyai dua titik sembarang 2,11 x dan 4,32 x dan dengan menggunakan

matriks bandwidth identitas

1 0

0 1H maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan

grafik 3 dimensi pada Gambar 1 dan 2. Gambar 1 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari

sudut rotasi horizontal (AZ) 20 derajat dan sudut elevasi vertikal (EL) 25 derajat, sedangkan Gambar

2 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal (AZ) 60 derajat dan sudut

elevasi vertikal (EL) 125 derajat.

Gambar 1. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 20 EL 25

24

Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 125

Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang

ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat

berdasarkan estimasi densitas kernel.

Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik

4.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi

Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari

distribusi normal

,

20

81,

25

4NpNp

dengan bobot 0<p<1 dan matrik kovarians

15.0

5.01. Pemilihan rata-rata distribusi bivariat

normal yaitu (4,25)T

dan (8,20)T

dan matriks kovariansi ∑ hanya untuk memberikan gambaran

simulasi. Jika digunakan ukuran sampel (sample size) n=500 dengan p=0.5 dan dengan bantuan

packages ks pada software R-2.15.2 diperoleh matriks bandwidth optimal adalah

3214.00124.0

0124.02452.0H

25

dengan eigen value 2433.0,3233.0 21 .

Selanjutnya, berdasarkan data hasil simulasi tersebut dapat ditentukan estimasi densitas kernel dengan

menggunakan persamaan (1). Nilai estimasi fungsi densitas kernel untuk data simulasi yang

dibangkitkan dapat ditunjukan pada Gambar 4. Terlihat kurang lebih separuh titik membentuk bukit

pertama sedangkan separuh titik yang lain membentuk bukit kedua. Hal ini sesuai dengan yang

diharapkan karena menggunakan bobot p=0.5.

Gambar 4. Grafik estimasi densitas kernel bivariat untuk data simulasi

Dengan p=0.5 untuk n= 500

Berdasarkan estimasi densitas kernel bivariat pada Gambar 4, dapat dibuat grafik pengendali

yang ditunjukkan pada Gambar 5. Kontur merah menunjukan batas spesifikasi dengan tingkat

signifikansi α=0.0027 yang bersesuaian dengan level (nilai estimasi densitas kernel) adalah 0.0017.

Dengan menggunakan batas spesifikasi tersebut diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontur

yaitu titik sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi

densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671, 26.3783)

dengan level adalah 0.0017.

Gambar 5. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel

26

untuk data simulasi dengan p=0.5 untuk n= 500

Untuk perbandingan lebih jelas dari studi simulasi dengan sampel yang berbeda- beda

ditunjukkan dalam Tabel 1. Grafik pengendali bivariat yang dibuat berdasarkan data acak

berdistribusi normal dengan banyaknya sampel yang berbeda-beda yaitu n=500, n=1000, n=1500

dan n=2000 diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung mendekati nilai

0027,0 . Untuk grafik pengendali bivariat dengan banyak sampel (sample size) n=1000 dan

n=1500 ditunjukkan pada Lampiran 1. Titik sampel yang berada di luar batas pengendali (out of

control) memberikan arti bahwa terjadi suatu kesalahan (cacat) yang mungkin diakibatkan

kesalahan dalam proses produksi. Hasil yang analog bisa diperoleh untuk penganbilan bobot p

yang lain sebagai contoh p=0.1, p=0.8.

Tabel 1. Tabel hasil simulasi untuk berbagai macam n

n Level

Banyaknya

titik sampel

yang out of

control

Proporsi out of control

500 0.0017 2 004.0

500

2

1000 0.0010 3 003.0

1000

3

1500 0.0007 5 0033.0

1500

5

4. Kesimpulan

Dalam makalah ini dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan

estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel dan untuk banyaknya sampel dengan n yang berbeda-

beda sehingga dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik-titik sampel yang out of control.

5. Daftar Pustaka











27

0 2 4 6 8 10 12

1520

2530

hasil[,1]

hasil

[,2]

Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012. Penerapan Grafik

Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional

Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012.








Lampiran 1 : Grafik Pengendali Bivariat Untuk n=1000, n=1500 dengan p=0.5

Gambar 6. Grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data

simulasi dengan p=0.5 untuk n= 1000




28

KESIMPULAN

Berdasarkan kedua makalah (Pattihahuan et al., 2012a) dan (Pattihahuan et al., 2012b) dapat

disimpulkan :

1. Dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali bivariat dengan menggunakan estimasi

fungsi densitas kernel bivariat. Selanjutnya berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel

bivariat dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control.

2. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh 2 titik sampel yang berada di luar kontrol yaitu titik

sampel ke-159 yang berada pada koordinat (12.2509, 23.6602) dengan level (nilai estimasi

densita kernel) adalah 0.0014 dan titik sampel ke-224 yang berada pada koordinat (7.0671,

26.3783) dengan level adalah 0.0017.

3. Telah dijelaskan proses pembentukan grafik pengendali bivariat berdasarkan estimasi densitas

kernel bivariat untuk dua titik sampel dan untuk sampel berukuran n dengan n=500,n=1000,

n=1500 sehingga diperoleh proporsi banyaknya titik sampel out of control cenderung

mendekati nilai 0027,0 .

29

DAFTAR PUSTAKA




Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling

T2 Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen

Satya Wacana.






Pattihahuan, Selfie., Setiawan, A., & Sasongko, L, Ricky. Sasongko. 2012a. Penerapan Grafik

Pengendali Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional

Pendidikan Matematika (LSM) XX UNY tanggal 24 Maret 2012.

Pattihahuan, Selfie. Setiawan, A. & Sasongko, L Ricky.. 2012b. Studi Simulai Grafik Pengendali

Berdasarkan Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat. Seminar Nasional Pendidikan

Matematika (LSM) XXI UNY tanggal 2 Juni 2012.













30

Lampiran 1: Data Sabun Sirih Periode September 2010-Desember 2010

Sampel ke

pH Berat Jenis

Sampel ke

pH Berat Jenis

Sampel ke

pH Berat Jenis

1 3.87 1.0009

39 3.71 1.0049

77 3.83 1.0025

2 3.81 1.0029

40 3.73 1.0025

78 3.82 1.0027

3 3.77 1.0024

41 3.7 1.0035

79 3.81 1.003

4 3.79 1.0021

42 3.72 1.0037

80 3.65 1.0039

5 3.78 1.0024

43 3.82 1.0019

81 3.8 1.0033

6 3.73 1.0029

44 3.84 1.001

82 3.81 1.0025

7 3.77 1.0025

45 3.85 0.9985

83 3.75 1.0042

8 3.81 1.0027

46 3.86 1.0005

84 3.84 1.0037

9 3.9 1.0027

47 3.88 1.0067

85 3.71 1.0018

10 3.85 1.001

48 3.84 1.0038

86 3.69 1.0039

11 3.85 1.0011

49 3.9 1.0016

87 3.68 1.0033

12 3.67 1.002

50 3.85 1.0027

88 3.71 0.9985

13 3.82 1.0029

51 3.8 1.0029

89 3.79 1.0016

14 3.73 1.0016

52 3.81 1.0032

90 3.81 1.0024

15 3.69 1.0021

53 3.79 1.0032

91 3.74 1.0025

16 3.77 1.0017

54 3.8 1.0031

92 3.75 1.0025

17 3.84 1.0005

55 3.81 1.0031

93 3.7 1.003

18 3.82 1.0005

56 3.85 1.003

94 3.72 1.0028

19 3.81 1.0023

57 3.8 1.0035

95 3.78 1.0035

20 3.84 0.9993

58 3.79 1.0037

96 3.77 1.0026

21 3.86 1.0017

59 3.73 1.0013

97 3.69 1.0014

22 3.8 1.0034

60 3.8 1.0027

98 3.67 1.0027

23 3.85 1.0016

61 3.82 1.0021

99 3.73 1.0021

24 3.82 1.0024

62 3.83 1.0032

100 3.81 1.0027

25 3.78 1.0022

63 3.84 1.003

101 3.66 1.0076

26 3.87 1.0036

64 3.83 1.0024

102 3.65 1.008

27 3.85 1.0038

65 3.83 1.0028

103 3.7 1.0036

28 3.89 1.0021

66 3.84 1.0026

104 3.76 1.0042

29 3.87 1.0017

67 3.82 1.0034

105 3.67 1.0029

30 3.76 1.0036

68 3.83 1.0025

106 3.67 1.0029

31 3.7 1.0041

69 3.84 1.0022

107 3.67 1.004

32 3.7 1.0038

70 3.89 1.0023

108 3.69 1.0031

33 3.68 1.0032

71 3.9 1.0095

109 3.62 1.0028

34 3.7 1.0028

72 3.83 1.0013

110 3.68 1.0025

35 3.76 1.0024

73 3.9 1.0026

111 3.67 1.003

36 3.75 1.0031

74 3.76 1.0021

112 3.81 1.0026

37 3.66 1.0042

75 3.74 1.0032

113 3.72 1.0024

38 3.64 1.0037

76 3.87 1.003

114 3.71 1.0032

31

Lampiran 1 (Lanjutan)

Sampel ke

pH Berat Jenis

Sampel ke

pH Berat Jenis

Sampel ke

pH Berat Jenis

115 3.74 1.0031

153 3.87 1.0028

191 3.81 1.0034

116 3.79 1.0031

154 3.81 1.0007

192 3.8 1.0036

117 3.79 1.0035

155 3.83 1.0024

193 3.87 1.0029

118 3.78 1.0024

156 3.9 1.0016

194 3.8 1.0028

119 3.86 1.0031

157 3.71 1.002

195 3.82 1.005

120 3.8 1.0025

158 3.66 1.0032

196 3.63 1.0018

121 3.9 1.0051

159 3.79 1.0037

197 3.78 1.002

122 3.73 1.0029

160 3.73 1.0051

198 3.75 1.0025

123 3.77 1.0027

161 3.9 1.0032

199 3.64 1.0125

124 3.78 1.0029

162 3.65 1.0028

200 3.81 1.0024

125 3.78 1.002

163 3.77 1.0038 126 3.86 0.9867

164 3.78 1.0026

127 3.79 1.0031

165 3.63 1.0025 128 3.72 1.0026

166 3.86 1.0023

129 3.67 0.9976

167 3.69 1.0026 130 3.77 1.004

168 3.63 1.0032

131 3.74 1.0045

169 3.7 1.0026 132 3.76 1.003

170 3.73 1.0006

133 3.9 1.0047

171 3.7 1.0002 134 3.66 1.0033

172 3.67 1.0035

135 3.79 1.003

173 3.73 1.0028 136 3.82 1.0028

174 3.63 1.0021

137 3.72 1.0032

175 3.69 1.0025 138 3.75 1.0024

176 3.61 1.0023

139 3.77 1.0121

177 3.78 1.0032 140 3.85 1.0002

178 3.8 1.0018

141 3.62 1.0031

179 3.8 1.0012 142 3.77 1.0038

180 3.83 1.0029

143 3.76 1.0036

181 3.78 1.0021 144 3.79 1.0032

182 3.65 1.0013

145 3.81 1.0035

183 3.74 1.0024 146 3.84 1.0082

184 3.6 1.0021

147 3.84 1.0026

185 3.8 1.0022 148 3.77 1.0032

186 3.78 1.0032

149 3.86 1.0022

187 3.75 1.0036 150 3.82 1.0034

188 3.85 1.0029

151 3.87 1.0037

189 3.77 1.0027 152 3.84 1.0032

190 3.79 1.0028

32

Lampiran 2 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk

data bivariat

#Packages ks (dapat diunduh di cran.r.project.org) yang diinstal terlebih dahulu di R.2.15.0

#Input data Data berat jenis (Xt) dan pH(Yt)

>Xt<-c(

3.8700,3.8100,3.7700,3.7900,3.7800,3.7300,3.7700,3.8100,3.9000,3.8500,3.8500,3.6700,3.8200,3.73

00,3.6900,

3.7700,3.8400,3.8200,3.8100,3.8400,

3.8600,3.8000,3.8500,3.8200,3.7800,3.8700,3.8500,3.8900,3.8700,

3.7600,3.7000,3.7000,3.6800,3.7000,3.7600,3.7500,3.6600,3.6400,3.7100,3.7300,3.7000,3.7200,3.82

00,3.8400,

3.8500,3.8600,3.8800,3.8400,3.9000,

3.8500,3.8000,3.8100,3.7900,3.8000,3.8100,3.8500,3.8000,3.7900,3.7300,3.8000,

3.8200,3.8300,3.8400,3.8300,3.8300,3.8400,3.8200,3.8300,3.8400,3.8900,3.9000,3.8300,3.9000,3.76

00,3.7400,

3.8700,3.8300,3.8200,3.8100,

3.6500,3.8000,3.8100,3.7500,3.8400,3.7100,3.6900,3.6800,3.7100,3.7900,3.8100,3.7400,3.7500,3.70

00,3.7200,

3.7800,3.7700,3.6900,3.6700,3.7300,3.8100,

3.6600,3.6500,3.7000,3.7600,3.6700,3.6700,3.6700,3.6900,3.6200,3.6800,3.6700,3.8100,3.7200,3.71

00,3.7400,

3.7900,3.7900,3.7800,3.8600,3.8000,

3.9000,3.7300,3.7700,3.7800,3.7800,3.8600,3.7900,3.7200,3.6700,3.7700,3.7400,3.7600,3.9000,3.66

00,3.7900,

3.8200,3.7200,3.7500,3.7700,3.8500,

3.6200,3.7700,3.7600,3.7900,3.8100,3.8400,3.8400,3.7700,3.8600,3.8200,3.8700,3.8400,3.8700,3.81

00,3.8300,

3.9000,3.7100,

3.6600,3.7900,3.7300,3.9000,3.6500,3.7700,3.7800,3.6300,3.8600,3.6900,3.6300,3.7000,3.7300,3.70

00,3.6700,

3.7300,3.6300,3.6900,3.6100,

3.7800,3.8000,3.8000,3.8300,

3.7800,3.6500,3.7400,3.600,3.8000,3.7800,3.7500,3.8500,3.7700,3.7900,3.8100,3.8000,3.8700,3.800

0,3.8200,

3.6300,3.7800,3.7500,3.6400,3.8100)

>Yt<-c(

33

1.0009,1.0029,1.0024,1.0021,1.0024,1.0029,1.0025,1.0027,1.0027,1.0010,1.0011,1.0020,1.0029,1.00

16,1.0021,

1.0017,1.0005,1.0005,1.0023,0.9993,

1.0017,1.0034,1.0016,1.0024,1.0022,1.0036,1.0038,1.0021,1.0017,

1.0036,1.0041,1.0038,1.0032,1.0028,1.0024,1.0031,1.0042,1.0037,1.0049,1.0025,1.0035,1.0037,1.00

19,1.0010,

0.9985,1.0005,1.0067,1.0038,1.0016,

1.0027,1.0029,1.0032,1.0032,1.0031,1.0031,1.0030,1.0035,1.0037,1.0013,1.0027,

1.0021,1.0032,1.0030,1.0024,1.0028,1.0026,1.0034,1.0025,1.0022,1.0023,1.0095,1.0013,1.0026,1.00

21,1.0032,

1.0030,1.0025,1.0027,1.0030,

1.0039,1.0033,1.0025,1.0042,1.0037,1.0018,1.0039,1.0033,0.9985,1.0016,1.0024,1.0025,1.0025,1.00

30,1.0028,

1.0035,1.0026,1.0014,1.0027,1.0021,1.0027,

1.0076,1.0080,1.0036,1.0042,1.0029,1.0029,1.0040,1.0031,1.0028,1.0025,1.0030,1.0026,1.0024,1.00

32,1.0031,

1.0031,1.0035,1.0024,1.0031,1.0025,

1.0051,1.0029,1.0027,1.0029,1.0020,0.9867,1.0031,1.0026,0.9976,1.0040,1.0045,1.0030,1.0047,1.00

33,1.0030,

1.0028,1.0032,1.0024,1.0121,1.0002,

1.0031,1.0038,1.0036,1.0032,1.0035,1.0082,1.0026,1.0032,1.0022,1.0034,1.0037,1.0032,1.0028,1.00

07,1.0024,

1.0016,1.0020,

1.0032,1.0037,1.0051,1.0032,1.0028,1.0038,1.0026,1.0025,1.0023,1.0026,1.0032,1.0026,1.0006,1.00

02,1.0035,

1.0028,1.0021,1.0025,1.0023,

1.0032,1.0018,1.0012,1.0029,

1.0021,1.0013,1.0024,1.0021,1.0022,1.0032,1.0036,1.0029,1.0027,1.0028,1.0034,1.0036,1.0029,1.00

28,1.0050,

1.0018,1.0020,1.0025,1.0125,1.0024)

#Buat data bivariat seli=[Xt Yt]

> seli <- cbind(Xt,Yt)

#Gambar dari data asli bivariat seli

> plot(seli,xlab="pH",ylab="Berat Jenis")

34

#Grafik pengendali berdaarkan spesifikasi Perusahaan dan spesifikasi kernel

#Panggil (load) packages ks

>library(ks)

>H<-Hpi(seli) #matriks H bandwidth optimal dari data bivariat

>H

>eigen(H) # nilai eigen dari data bivariat

>fhat <- kde(seli, H=H)

>lev <- contourLevels(fhat,prob=c(1-0.9973)) #level (nilai etimasi densitas kernel)

>lev

>plot(fhat,display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="pH",ylab="BeratJenis",ylim=c(0.98,1.03),xli

m=c(3.4,4))

>points(seli,cex=0.5,pch=16)

>lines(u,rep(0.9834,length(u)),lty=2)

>lines(u,rep(1.0227,length(u)),lty=2)

>lines(rep(3.5,length(v)),v,lty=2)

>lines(rep(3.9,length(v)),v,lty=2)

>win.graph()

# Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL 25 bandwidth

optimal

>plot(fhat,display="persp",border=NA,shade=0.3,main="",theta=125,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat

Jenis")

>win.graph()

# Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25 bandwidth

optimal

>plot(fhat,display="persp",border=NA,shade=0.3,main="",theta=250,phi = 25,xlab="Ph",ylab="Berat

Jenis")

> fhat.hitung <- function(x,H,data)

{

bantu <- 0

n <- dim(data)[1]

for (i in 1:n)

{

bantu <- bantu + (1/n)*dmvnorm(x,mean=data[i,],sigma=H)

}

return(bantu)

}

35

hasil <- numeric(200)

>for (i in 1:200) hasil[i] <- fhat.hitung(seli[i,],H,seli)

>sum(hasil<lev) #berapa banyak data diluar contol

>which(hasil<lev) #data mana yang berada diluar control

>lev # level (nilai estimasi densitas kernel)

>seli[126,] #koordinat data yang di luar control

>hasil[126] #level data yang di luar control

>min(hasil) #data diluar control = data yang memiliki level paling minimum

36

Lampiran 3: Program Matlab untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas

bivariat 2 Titik

function KDE = KDE12(X,H,p,q)

[x,y] = meshgrid(min(X(1,:))-8:.05:max(X(1,:))+8, min(X(2,:))-8:.05:max(X(2,:))+8);

n=length(X(:,1));

a=H(1,1);

b=H(2,1);

c=H(2,2);

rho=b/(sqrt(c)*sqrt(a)); %korelasi

help = zeros(1);

for i = 1:n

Q1=(1/(1-rho^2))*((x-X(i,1)).^2/a);

Q2=(1/(1-rho^2))*((y-X(i,2)).^2/c);

Q3=(2*rho)*(1/(1-rho^2))*((x-X(i,1)).*(y-X(i,2))/sqrt(a*c));

Q=Q1-Q3+Q2;

help = help + ((det (H))^-0.5)*(1/2/pi)*exp(-Q/2);

end

Kernel=help/n;

mesh(x,y,Kernel)

%view(q, p)

%figure(2)

%hold on

contour(x,y,Kernel,[0.02928474 0.02928474],'-.')

xlabel('hasil 1')

ylabel('hasil 2')

hold on

plot(X(:,1),X(:,2),'b*')

hold off

% q sudut rotasi horisontal, p sudut elevasi vertikal)

% MESH(X,Y,Z,C) gambar parametrik berwarna mesh didefinisikan oleh 4 Matiks.

% Sudut pandang secara spesifik dapat dilihat dengan view(az,el)

% [X,Y] = MESHGRID(x,y) merubah bentuk bidang dari x dan y ke dalam

% X dan Y yang dapat digunakan untuk evaluasi fungsi dari 2 variabel

% dan gambar permukaan 3 dimensi

37

Lampiran 4 : Program R untuk grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk

data bivariat dengan sampel size n=500, n=1000, dan n=1500, p=0.5

#Panggil (load) package mvtnorm

1. Untuk data n = 500

sim <- function(n,p)

{

hasil <- matrix(0,n,2)

x <- rmvnorm(n,c(4,25), sigma=matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2))

y <- rmvnorm(n,c(8,20), sigma=2*matrix(c(1,0.5,0.5,1),2,2))

for (i in 1:n)

{

r <- runif(1)

if (r < p)

hasil[i,] <- x[i,]

else

hasil[i,] <- y[i,]

}

return(hasil)

}

hasil <- sim(500,0.5)

>win.graph()

>plot(hasil)

#Panggil (load) package ks

>library(ks)

>H<-Hpi(hasil)

>H

>eigen(H)

>fhat <- kde(hasil, H=H)

>lev <- contourLevels(fhat,prob=c(1-0.9973))

>win.graph()

>plot(fhat, display="filled.contour2",abs.cont=lev,xlab="Data 1",ylab="Data 2")

>points(hasil,cex=0.5,pch=16)

>win.graph()

>plot(fhat, display="persp", border=NA, shade=0.3,xlab="Data 1",ylab="Data 2")

fhat.hitung <- function(x,H,data)

{

bantu <- 0

n <- dim(data)[1]

for (i in 1:n)

{


}

return(bantu)

}

>has<- numeric(500)

>for (i in 1:500) has[i] <- fhat.hitung(hasil[i,],H,hasil)

# Mengetahui data di luar control

>sum(has<lev)

>which(has<lev)

>lev

38

2. Untuk n =1 000


{




for (i in 1:n)

{

r <- runif(1)

if (r < p)

hasil[i,] <- x[i,]

else

hasil[i,] <- y[i,]

}

return(hasil)

}

hasil <- sim(1000,0.5)

win.graph()

plot(hasil)


>library(ks)

>H<-Hpi(hasil)

>H

>eigen(H)



>win.graph()



>win.graph()



{

bantu <- 0

n <- dim(data)[1]

for (i in 1:n)

{


}

return(bantu)

}

>has<- numeric(1000)



>sum(has<lev)

>which(has<lev)

>lev

39

3. Untuk n = 1500


{




for (i in 1:n)

{

r <- runif(1)

if (r < p)

hasil[i,] <- x[i,]

else

hasil[i,] <- y[i,]

}

return(hasil)

}

>hasil <- sim(1500,0.5)

>win.graph()

>plot(hasil)


>library(ks)

>H<-Hpi(hasil)

>H

>eigen(H)



>win.graph()



>win.graph()



{

bantu <- 0

n <- dim(data)[1]

for (i in 1:n)

{


}

return(bantu)

}

>has<- numeric(1500)



>sum(has<lev)

>which(has<lev)

>lev

penerapan grafik pengendali dan studi simulasi berdasarkan

Documents