penentuan nilai total ketidakteraturan titik …

PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF GRID

Sitti Ardianty Badawi1*), Nurdin2), Jusmawati3)

Departemen MAtematika Fakultas Matematika danIlmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

Jln.Perintis Kemerdekaan,, Makassar, Indonesia,Kode Pos 90245

ABSTRAK

Penentuan nilai ketidakteraturan dan nilai total ketidakteraturan titik dari semua graf belum

dapat dilakukan secara lengkap. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai total

ketidakteraturan titik graf grid 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 ≥ 2.

Penentuan nilai total ketidakteraturan titik graf grid 𝐺𝑛2 dilakukan dengan menentukan

batas bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf

dan teorema pendukung lainnya, sedangkan batas atas dianalisis dengan pemberian label pada titik

dan sisi pada graf grid.

Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh nilai total ketidakteraturan titik graf grid adalah

𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = ⌈𝑛2+2

5⌉.

Kata Kunci : Graf Grid, Nilai Ketidakteraturan, Nilai Total Ketidakteraturan Titik.

1. PENDAHULUAN

Matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu lain,

dimana matematika selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang semakin kompleks. Hal

ini disebabkan karena kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. Teori graf merupakan salah satu

cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat diterapkan

untuk memecahkan masalah. Hartsfield dan Ringel (2003) mendefinisikan suatu graf 𝐺 sebagai

suatu pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 tidak kosong dan 𝐸 bisa kosong. Himpunan 𝐸

merupakan himpunan pasangan tak terurut dari elemen 𝑉. Elemen 𝑉 disebut titik dari 𝐺 dan

elemen 𝐸 disebut sisi dari 𝐺. Biasanya titik digambarkan dengan titik-titik pada bidang dan

sisi digambarkan dengan garis yang menghubungkan dua titik pada bidang. Dengan demikian,

suatu graf dapat didefinisikan sebagai suatu pasangan terurut antara himpunan titik 𝑉 dan

himpunan sisi 𝐸 yang dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang semakin berkembang, baik

secara teoritis maupun dalam aplikasi. Pelabelan graf didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang

memetakan himpunan bagian dari unsur-unsur dari graf ke suatu himpunan bilangan (umumnya

himpunan bilangan bulat positif atau non-negatif), yang diperkenalkan oleh Sedláček (1963).

Pelabelan dengan domain titik disebut pelabelan titik, pelabelan dengan domain sisi disebut

pelabelan sisi, serta pelabelan dengan domain gabungan titik dan sisi disebut pelabelan total

(Wallis,2007).

Salah satu jenis pelabelan pada graf adalah pelabelan tidak teratur. Pelabelan tidak teratur

(irregular labeling) pada graf G didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan sisi dari

G kehimpunan bilangan bulat positif, sedemikian sehingga semua titiknya mempunyai bobot

yang berbeda (Chartrand dkk, 1988)

Graf yang akan diberi label dalam skripsi ini disebut graf grid sebanyak n titik yang diberi

simbol 𝐺𝑛2 di mana 𝑛 ≥ 2. Definisi formal graf grid akan diberikan kemudian pada Bab II

Tinjauan Pustaka.

2. Tinjauan Pustaka

2.1 Jenis-Jenis Graf

Definisi 2.4.1 Graf lintasan dengan n titik dan n-1 sisi, dimana n ≥ 2, dinotasikan dengan

𝑃𝑛 adalah graf dengan barisan titik 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 dan 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 ∈ 𝐸(𝑃𝑛), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 −

1 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗.

𝑃2 𝑃3 𝑃4

Gambar 2.4. Graf Lintasan

Definisi 2.4.2 Graf lingkaran dengan n titik dan n sisi dimana 𝑛 ≥ 3 merupakan graf

terhubung yang dibentuk dari lintasan tertutup yaitu lintasan yang berawal dan berakhir

pada titik yang sama, dimana setiap titiknya berderajad 2 dan masing-masing titiknya

dilalui tepat satu kali. Graf lingkaran dinotasikan dengan 𝐶𝑛.

𝐶3 𝐶4 𝐶5

Gambar 2.6. Graf Siklus

Definisi 2.4.3 Graf grid adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf

lintasan 𝑃𝑛 × 𝑃𝑛 . Graf grid dengan 𝑛 × 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝐺𝑛2 (Weisstein dan

Eric W).

Misalkan diberikan graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃3. Graf grid 𝐺32 diperoleh dari hasil kali cartesius

dari graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃3.

𝑢3 𝑣3 (𝑢3, 𝑣1) (𝑢3, 𝑣2) (𝑢3, 𝑣3)

𝑢2 𝑣2 (𝑢2, 𝑣1) (𝑢2, 𝑣2) (𝑢2, 𝑣3)

𝑢1 𝑣1 (𝑢1, 𝑣1) (𝑢1, 𝑣2) (𝑢1, 𝑣3)

𝑃3 𝑃3

Gambar 2.7. Graf 𝑃3 dan 𝑃3 Gambar 2.8. Graf 𝐺32

2.2 Pelabelan Total Tidak Teratur Titik

Definisi 2.6.1. Misalkan G(V,E) adalah grad sederhana. Suatu pelabelan 𝑓:𝑉 ∪ 𝐸 →

{1,2,3, … , 𝑘} disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (total vertex irregularity k-

labeling) pada graf G jika setiap dua titik x dan y yang berbeda pada V, berlaku 𝑤𝑡(𝑥) ≠

𝑤𝑡(𝑦) dimana 𝑤𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∑ 𝑓(𝑥𝑢)𝑢∈𝑉(𝐺) .

Definisi 2.6.2 Nilai total ketidakteraturan titik dari G adalah bilangan bulat positif

terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total ketidakteraturan

titik, yang dinotasikan dengan tvs(G).

3. Hasil dan Pembahasan

Pada bagian ini akan diuraikan nilai total ketidakteraturan titik graf grid

Teorema 3.2.1 Untuk sebuah graf grid (𝐺𝑛2) dimana 𝑛2 adalah banyaknya titik dengan

derajad minimum 2 dan derajad maksimum 4, maka berlaku

𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = [𝑛2+2

5].

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) ≤ [𝑛2+2

5]. Untuk tujuan tersebut, akan dikonstruksi

suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2 sebagai berikut.

Kasus I. Untuk 𝑛 genap

Berdasarkan Teorema 2.6.1, untuk 𝑛 = 2,4,6,… batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf

grid dapat dilihat pada Tabel 3.1berikut.

Perhatikan bahwa 𝑡 = ⌈(𝑛2+2)

5⌉.

Tabel 3.1 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺𝑛2)

𝑛 𝛿(𝐺) ∆(𝐺) ⌈(𝑛2 + 𝛿(𝐺))

(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺)

2 2 2 2

4 2 4 4

6 2 4 8

8 2 4 14

10 2 4 21

12 2 4 30

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑛 2 4 ⌈(𝑛2 + 2)

5⌉

Selanjutnya untuk menentukan batas atasnya, maka titik dan sisi 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 = 2,4,6, … diberi

label sebagai berikut.

2

2

2

3

4 4

2

2

1

1

1

1

4

3

2

2

4

1

2

4

4

4

4

4

4

4

1

1

2

4

4

4

2

2

1

11 13 4

1

11 1 1 1 13 2 3 6 1

1

1

1

1

2 2

6

3

4

5

1

2

6

22

3

4

2

6

2

8 82 25 2 3 8

2 4 4 2

6

6

6

6

6

6

6

64 8 8 4

3 4

3 4

4

7

5

4

5

6

6 7

66 766

66

7

67

67

67 7

66

76

75 6

7 88

888

Gambar 3.4 (a) Pelabelan-4 total tidak teratur titik 𝐺42 dan (b) Pelabelan-8 total

tidak teratur titik 𝐺62

(a) (b)

1 1

2 2

3 8 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1 2

1

2

3

4

5

6

8

2

8

2

8

2

9 2 3 4 5 14 1 2 10 2 10 2 10 2

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

2 4 4 4 4 2

4 12 12 12 12 4

8 8

8 8 8 8 8

8

8

8

8 8 8 8 8 8

8

8

8

8 9

9 9 9 9

9

9

9

9 9 9 9 9

9

9

9

14 14 14

14 14

14 14

14 14

14 14

14 14 14 14

14 14

14

14 14

14 14

14 14

5

5

7 8

9 10

6

7 8

6

7 8

6 7 8 9

10 6

7

8

9

11

12

13

10 11 12 13

4 5

6

7

8

9

10 11

Gambar 3.5 Pelabelan-14 total tidak teratur titik 𝐺82

2

1

1 1

2

2 2

1

1

1

Gambar 3.3 Pelabelan-2 total tidak teratur titik graf 𝐺22.

Berdasarkan pelabelan seperti pada Gambar 3.1 sampai dengan Gambar 3.5 diperoleh suatu

pelabelan titik dan sisi untuk 𝑛 = 2,4,6, … sebagai berikut.


5⌉.

Label titik pada lapisan 1

𝑓(𝑥1,1) = 𝑓(𝑥1,𝑛) = 1 𝑛 = 2,4, …

𝑓(𝑥𝑛,1) = 𝑓(𝑥𝑛,𝑛) = 2 𝑛 = 2,4, …

𝑓(𝑥1,𝑗) = {𝑗 + 1 𝑗 − 1

2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4,𝑗=2,𝑛−1 ;𝑛=6,8,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…

𝑓(𝑥𝑖,1) = 𝑖 + 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛) = 𝑖 − 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,…

𝑓(𝑥𝑛,𝑗) = {

𝑗 + 1

2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1)𝑗 − 1

2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4 𝑗=2,𝑛−1;𝑛=6,8,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…


𝑓(𝑥2,2) = 𝑓(𝑥𝑛−1,2) = 𝑛 − 3 𝑛 = 4,6, …

𝑓(𝑥2,𝑛−1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑛−1) = 𝑛 − 2 𝑛 = 4,6,…

𝑓(𝑥2,𝑗) = {(𝑛 − 5) + 𝑗𝑗 + 5

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑗=3,𝑛−2;𝑛=10,12,… 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥𝑖,2) = { (𝑛 − 5) + 𝑖

𝑖 + 5

3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑖=3,𝑛−2;𝑛=10,12,… 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1) = {2(𝑛 − 4) + (𝑖 − 1)

𝑛 + (𝑖 + 1)

𝑖=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗) = {2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1)

𝑛 + (𝑗 + 1) 𝑗=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=12,14,…


𝑓(𝑥3,3) = 5 𝑛 = 6,8

𝑓(𝑥3,𝑛−2) = 6 𝑛 = 6,8

𝑓(𝑥𝑛−2,3) = 7 𝑛 = 6,8

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = 8 𝑛 = 6,8

𝑓(𝑥3,𝑗) = 𝑗 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 8

𝑓(𝑥𝑖,3) = 𝑖 + 2 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = 𝑖 + 4 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = 𝑗 + 6 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 8

𝑓(𝑥3,3) = 2(𝑛 − 5) + 1 𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥3,𝑛−2) = 2(𝑛 − 5) + 2 𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥𝑛−2,3) = 2(𝑛 − 5) + 3 𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = 2(𝑛 − 5) + 4 𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥3,𝑗) = 𝑗 + 1 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥𝑖,3) = (𝑛 − 5) + 𝑖 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12, …

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = 2(𝑛 − 6) + (𝑖 + 1) 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12, …

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = 3(𝑛 − 5) + (𝑗 − 2) 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 10,12,…

Label titik dari lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛

2) − 1

𝑓(𝑥4,4) = 3 𝑛 = 10

𝑓(𝑥4,7) = 4 𝑛 = 10

𝑓(𝑥7,4) = 5 𝑛 = 10

𝑓(𝑥7,7) = 6 𝑛 = 10

𝑓(𝑥4,𝑗) = 𝑗 + 2 𝑗 = 5,6; 𝑛 = 10

𝑓(𝑥𝑖,4) = 𝑖 + 4 𝑖 = 5,6; 𝑛 = 10

𝑓(𝑥𝑖,7) = 𝑖 + 6 𝑖 = 5,6; 𝑛 = 10

𝑓(𝑥7,𝑗) = 𝑗 + 8 𝑗 = 5,6; 𝑛 = 10

𝑓(𝑥𝑖,𝑗=𝑖) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑖−1)) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) + 1 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑖) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) + 2 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑛−(𝑖−1)) = 3(𝑛 − 10) + 6(𝑖 − 3) 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {2(𝑛 − 12) + 8(𝑖 − 3) + (𝑗 − 𝑖)

3(𝑛 − 10) + 6(𝑗 − 3) + (𝑖 − 𝑗) 4≤𝑖≤(

𝑛

2)−1;(𝑖+1)≤𝑗≤(𝑛−𝑖);𝑛=12,14,…

4≤𝑗≤(𝑛

2)−1;(𝑗+1)≤𝑖≤(𝑛−𝑗);𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)) = 4(𝑛 − 10) + 4(𝑗 − 2) + (𝑖 − 𝑗) 4 ≤ 𝑗 ≤ (𝑛

2) − 1; (𝑗 + 1) ≤ 𝑖 ≤ (𝑛 −

𝑗); 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗) = 5(𝑛 − 10) + 2(𝑖 + 1) + (𝑗 − 𝑖) 4 ≤ 𝑖 ≤ (𝑛

2) − 1; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ (𝑛 −

𝑖); 𝑛 = 12,14,…

Label titik pada lapisan (𝑛

2)

𝑓 (𝑥𝑛2⁄ ,𝑛 2⁄

) = 𝑛2 − 4𝑡 − 1 𝑛 = 8,10,12, …

𝑓 (𝑥𝑛2⁄ ,(𝑛 2⁄ )+1) = 𝑛

2 − 4𝑡 𝑛 = 8,10,12, …

𝑓 (𝑥(𝑛 2⁄ )+1,𝑛 2⁄) = 𝑛2 − 4𝑡 + 1 𝑛 = 8,10,12, …

𝑓 (𝑥(𝑛 2⁄ )+1,(𝑛 2⁄ )+1) = 𝑛2 − 4𝑡 + 2 𝑛 = 8,10,12, …

Label sisi pada lapisan 1

𝑓(𝑥1,1𝑥1,2) = 𝑓(𝑥1,1𝑥2,1) = 1 𝑛 = 2

𝑓(𝑥2,1𝑥2,2) = 𝑓(𝑥1,2𝑥2,2) = 2 𝑛 = 2

𝑓(𝑥4,2𝑥4,3) = 4 𝑛 = 4

𝑓(𝑥1,𝑗𝑥1,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,1) = 1 1≤𝑗≤𝑛−1;1≤𝑖≤𝑛−1;𝑛=4,6,8,…

𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 2 𝑗=1,3,5,…,𝑛−1;𝑖=1,3,5,…,𝑛−1;𝑛=4,6,8,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 𝑛 𝑖=2,4,6,…,𝑛−2𝑛=4,6,8,…

𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = 𝑛 + 2 𝑗=2,4,6,…,𝑛−2𝑛=6,8,…

𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = 2 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…

𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖,2) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖,𝑛) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 4 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…

𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = 4 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 6,8,…

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 2(𝑛 − 2) 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 6,8,…


𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑛 𝑖=2,𝑛−1;2≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=4,6,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑛 𝑗=2,𝑛−1;2≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=4,6,…

𝑓(𝑥2,𝑗𝑥3,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗)

= {𝑛 + 1

2(𝑛 − 5) + 1

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,10,𝑗=3,𝑛−2;𝑛=12,14,… 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,2𝑥𝑖,3) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2𝑥𝑖,𝑛−1)

= {𝑛 + 1

2(𝑛 − 5) + 1

3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=6,8,10,𝑖=3,𝑛−2;𝑛=12,14,… 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=12,14,…


𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑓(𝑥4,3𝑥4,4) = 𝑓(𝑥3,3𝑥4,3) = 𝑓(𝑥3,4𝑥4,4) = 𝑡 𝑛 = 6

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 8

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 2(𝑛 − 2) + 1 𝑖 = 3, 𝑛 − 2; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗)= 2(𝑛 − 2) + 1 𝑗=3,𝑛−2;3≤𝑖≤𝑛−3𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥3,𝑗𝑥4,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−3,𝑗𝑥𝑛−2,𝑗) = 2𝑛 + 1 4≤𝑗≤𝑛−3 𝑛=10,12,…

𝑓(𝑥𝑖,3𝑥𝑖,4) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−3𝑥𝑖,𝑛−2) = 2𝑛 + 1 4≤𝑖≤𝑛−3 𝑛=10,12,…


𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 4; 𝑛 = 10

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 4; 𝑛 = 10

Label sisi pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛

2− 2)

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗+1)

= 𝑡 − [(𝑛

2− 𝑖) (𝑛 −

𝑛

2− 𝑖)]

4≤𝑖≤(𝑛−4

2);𝑖≤𝑗≤𝑛−𝑖;

𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑗−1))

= 𝑡 − [(𝑛

2− 𝑗) (𝑛 −

𝑛

2− 𝑗)]

4≤𝑗≤(𝑛−4

2);𝑗≤𝑖≤𝑛−𝑗;

𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−𝑖,𝑗𝑥(𝑛−𝑖)+1,𝑗)

= 𝑡 − [(𝑛

2− (𝑖 + 1)) (𝑛 −

𝑛

2− (𝑖 + 1)) + (

𝑛

2− (𝑖 + 2))]

4≤𝑖≤(𝑛−4

2);(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;

𝑛=12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−𝑗𝑥𝑖,(𝑛−𝑗)+1)

= 𝑡 − [(𝑛

2− (𝑗 + 1)) (𝑛 −

𝑛

2− (𝑗 + 1)) + (

𝑛

2− (𝑗 + 2))]

4≤𝑗≤(𝑛−4

2);(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;

𝑛=12,14,…

Label sisi pada lapisan (𝑛

2− 1)

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 − 1 𝑖 =𝑛−2

2,𝑛+4

2 ; 𝑗 =

𝑛−2

2,𝑛+2

2 ; 𝑛 = 12,14,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 − 1 𝑗 =𝑛−2

2,𝑛+4

2 ; 𝑖 =

𝑛−2

2,𝑛+2

2 ; 𝑛 = 12,14,…

𝑓 (𝑥𝑖,𝑛2𝑥𝑖,𝑛+2

2

) = 𝑓 (𝑥𝑛2,𝑗𝑥𝑛+2

2,𝑗) = 𝑡

𝑛−2

2≤ 𝑖 ≤

𝑛+4

2 ;𝑛−2

2≤ 𝑗 ≤

𝑛+4

2 ; 𝑛 = 12,14,…

𝑓 (𝑥𝑛−22,𝑗𝑥𝑛2,𝑗) = 𝑓 (𝑥𝑛+2

2,𝑗𝑥𝑛+4

2,𝑗) = 𝑡 𝑗 =

𝑛

2,𝑛+2

2 ; 𝑛 = 12,14,…

𝑓 (𝑥𝑖,𝑛−2

2

𝑥𝑖,𝑛2) = 𝑓 (𝑥

𝑖,𝑛+2

2

𝑥𝑖,𝑛+4

2

) = 𝑡 𝑖 =𝑛

2,𝑛+2

2 ; 𝑛 = 12,14,…

Berdasarkan definisi bobot titik tersebut, diperoleh

𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+2) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+2) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛−𝑖) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+2) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑖+1)) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑖+1) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛−𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑛−𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−𝑖) <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+2) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛−(𝑖+1)) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−(𝑖+2)) < ⋯ < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛2,𝑛2) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛

2,𝑛+22) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+2

2,𝑛2) <

𝑤𝑡 (𝑥𝑛+22,𝑛+2

2

).

Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik pada 𝐺𝑛2 berbeda. Maka 𝑓 yang

dikonstruksi tersebut merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2 , dimana 𝑛 =

2,4,6,… .

Kasus II. Untuk 𝑛 ganjil

Berdasarkan Teorema 2.6.1, untuk 𝑛 = 3,5,7,… batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf

grid dapat dilihat pada Tabel 3.2 berikut.

Tabel 3.2 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺𝑛2)

𝑛 𝛿(𝐺) ∆(𝐺) ⌈(𝑛2 + 𝛿(𝐺))

(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺)

3 2 4 2

5 2 4 4

7 2 4 8

9 2 4 14

11 2 4 21

13 2 4 30

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑛 2 4 ⌈(𝑛2 + 2)

5⌉

Selanjutnya untuk menentukan batas atasnya, maka titik dan sisi 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 = 3,5,7, … , diberi

label sebagai berikut.

1

2 2

1

1

1 1

1

1

3

3

2

2

2

2

2

2

3

3

3 3

Gambar 3. 8 Pelabelan-3 total tidak teratur titik graf 𝐺32.



2 2

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

3 2 5

3

4

5

2

4

2

2

5

6

2

2 4 6 6 6 1

2

2 2 4

5

5

5 5

5

5

4 4 4

5 5

6 5

5

5

5

5 5 6

6 6

2 3

2 3

3

3

3 4

6

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

2 2

3 2 3 4 7

2

2

2

2

2

2

2

6

7

8

9

10

6 1 10 3 10 2 10 2 2 10

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

2 4 4 4 2

4 4 10 10 10

7 7 7 7

7 7

10 10 10

7 10

7 10

7 7

10

7 7 7 7

7

7

10 10 10 10

10

10 11

11 11 11

11

11 11

11 11

11

11 11

4 5

4 5

1 2

3 4

7

3 4 5

3

4

5

6

7

8

6 7 8

4

5 6

7

3

4

5

6

7

Berdasarkan pelabelan pada Gambar 3.8 sampai dengan Gambar 3.10 diperoleh suatu pola pada

pelabelan titik untuk 𝑛 = 3,5,7, … , sebagai berikut


5⌉.


𝑓(𝑥1,1) = 𝑓(𝑥1,𝑛) = 1 𝑛 = 3,5,7, …

𝑓(𝑥𝑛,1) = 𝑓(𝑥𝑛,𝑛) = 2 𝑛 = 3,5,7, …

𝑓(𝑥1,2) = 𝑓(𝑥2,1) = 𝑓(𝑥2,𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛,2) = 3 𝑛 = 3

𝑓(𝑥1,𝑗) = {𝑗 + 1𝑗 − 1

𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5,7,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7,…

𝑓(𝑥𝑖,1) = 𝑖 + 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛) = (𝑛 − 3) + 𝑖 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…

𝑓(𝑥𝑛,𝑗) = {

𝑗 + 2

2(𝑛 − 5) + 𝑗𝑗 − 2

(𝑛 − 1) + 𝑗

𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5 𝑗=2,𝑛−1;𝑛=7,9,… 𝑗=3,𝑛−2;𝑛=5,7,….4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=7,9,…


𝑓(𝑥2,2) = 𝑓(𝑥𝑛−1,2) = 𝑛 − 3 𝑛 = 5,7, …

𝑓(𝑥2,2) = 1 𝑛 = 3

𝑓(𝑥2,𝑛−1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑛−1) = 𝑛 − 2 𝑛 = 5,7, …

𝑓(𝑥2,𝑗) = {𝑗

(𝑛 − 7) + 𝑗

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=9,11,…

𝑓(𝑥𝑖,2) = {𝑖

(𝑛 − 7) + 𝑖

3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=9,11,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1) = {(𝑛 − 4) + 𝑖

2(𝑛 − 6) + (𝑖 + 1)

3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=9,11,…

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗) = {𝑗 + 3

2(𝑛 − 6) + (𝑗 + 1)

3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=9,11,…

Llabel titik pada lapisan 3

𝑓(𝑥3,3) = 3 𝑛 = 5

𝑓(𝑥3,3) = {2(𝑛 − 6) − 1𝑛 − 6

𝑛=7,9 𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥3,𝑛−2) = {2(𝑛 − 6)

𝑛 − 5

𝑛=7,9 𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑛−2,3) = {2(𝑛 − 6) + 1(𝑛 − 5) + 1

𝑛=7,9 𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = {2(𝑛 − 5)𝑛 − 3

𝑛=7,9 𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥3,𝑗) = {

𝑗 + 1𝑗 − 1

(𝑛 − 12) + (𝑗 − 4)

4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,3) = {𝑖 + 4

(𝑛 − 7) + 𝑖

2(𝑛 − 11) + 𝑖

4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = {

𝑖 + 72(𝑛 − 7) + (𝑖 + 1)

3(𝑛 − 9) + (𝑖 − 1)

4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = {

𝑗 + 10

3(𝑛 − 6) + (𝑗 − 1)

4(𝑛 − 9) + (𝑗 + 2)

4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

Label titik pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛−1

2)

𝑓(𝑥4,𝑗) = 𝑗 + 9 5 ≤ 𝑗 ≤ 11; 𝑛 = 15

𝑓(𝑥𝑖,4) = 𝑖 + 16 5 ≤ 𝑖 ≤ 11; 𝑛 = 15

𝑓(𝑥𝑖,12) = 𝑖 + 23 5 ≤ 𝑖 ≤ 11; 𝑛 = 15

𝑓(𝑥12,𝑗) = 30 + 𝑗 5 ≤ 𝑗 ≤ 11; 𝑛 = 15

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

8(𝑖 − 4) + (𝑗 − 𝑖) + 14(𝑗 + 6)

4(𝑛 − 15) + 7(𝑖 − 3) + (𝑗 − 1)

𝑖 = 5,6; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛− 𝑖;𝑛 = 15

4 ≤ 𝑖 ≤𝑛 − 32

; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖; 𝑛 = 11,13

4 ≤ 𝑖 ≤𝑛 − 32

; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖;

𝑛 = 17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗)

= {

6(𝑗 − 4) + (𝑖 − 𝑗) + 21(𝑛 − 2) + 𝑖

5(𝑛 − 14) + 5(𝑗 − 2) + (𝑖 − 2)

𝑗=5,6;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=15

4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=11,13

4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;

𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1))

=

{

4(𝑗 − 4) + (𝑖 − 𝑗) + 282(𝑛 − 5) + 𝑖

6(𝑛 − 13)+ 3𝑗 + (𝑖 − 4)

𝑗=5,6;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=15

4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=11,13

4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;

𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗)

= {

2(𝑖 − 4) + (𝑗 − 𝑖) + 353(𝑛 − 6) + 𝑗

7(𝑛 − 12) + 𝑖 + (𝑗 + 2)

𝑖=5,6;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;𝑛=15

4≤𝑖≤𝑛−32;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;𝑛=11,13

4≤𝑖≤𝑛−32;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;

𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗=𝑖) = ((𝑛2 + 2) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1

2)))

4≤𝑖≤𝑛−1

2;

𝑛=9,11,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑖−1)) = ((𝑛2 + 3) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1

2)))

4≤𝑖≤𝑛−1

2;

𝑛=9,11,… 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑖) =

((𝑛2 + 4) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1

2)))

4≤𝑖≤𝑛−1

2;

𝑛=9,11,…

𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑛−(𝑖−1)) = ((𝑛2 + 5) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −

𝑛+1

2)))

4≤𝑖≤𝑛−1

2;

𝑛=9,11,…

Label titik pada lapisan (𝑛−1

2)

𝑓 (𝑥𝑛−12,𝑛+1

2

) = ((𝑛2 + 2) − 4) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …

𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛−1

2

) = ((𝑛2 + 2) − 3) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …

𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛+3

2

) = ((𝑛2 + 2) − 2) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …

𝑓 (𝑥𝑛+32,𝑛+1

2

) = ((𝑛2 + 2) − 1) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …

𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛+1

2

) = (𝑛2 + 2) − 4𝑡 𝑛 = 7,9, …


𝑓(𝑥1,𝑗𝑥1,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,1) = 1 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1;𝑛 = 3,5,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 2 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 3,5,…

𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = {

2

6

𝑛 + 3

2

𝑗=1,𝑛−1;𝑛=3,5,… 𝑗=2,𝑛−2;𝑛=5 𝑗=2,𝑛−2;𝑛=7,9,… 3≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=7,9,…

𝑓(𝑥1,2𝑥2,2) = 𝑓(𝑥2,3𝑥2,2) = 2 𝑛 = 3

𝑓(𝑥2,1𝑥2,2) = 𝑓(𝑥2,2𝑥3,2) = 3 𝑛 = 3

𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = {24

𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5,7,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7,…

𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖,2) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖,𝑛) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1𝑛 = 5,7, …

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 4 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…

𝑓(𝑥4,3𝑥5,3) = 4 𝑛 = 5

𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 2(𝑛 − 2) 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9, …


𝑓(𝑥2,𝑗𝑥2,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗+1) = 𝑛 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 5,7, …

𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖+1,𝑛−1) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 5,7,…

𝑓(𝑥2,3𝑥3,3) = 𝑓(𝑥3,2𝑥3,3) = 𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑡 𝑛 = 5

𝑓(𝑥2,𝑗𝑥3,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗) = 𝑛 + 3 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9, …

𝑓(𝑥𝑖,2𝑥𝑖,3) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2𝑥𝑖,𝑛−1) = 𝑛 + 3 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9,…


𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) =

{

1516

5(𝑛−1

2− 1) + 1

2(𝑛 − 1)𝑛 + 13

𝑖=3,7;3≤𝑗≤6;𝑛=9 𝑗=3,6;4≤𝑖≤6;𝑛=9 𝑖=3,𝑛−2;3≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,… 𝑗=3,𝑛−3;4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 𝑗=3,𝑛−3;4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) =

{

1516

5(𝑛−1

2− 1) + 1

2(𝑛 − 1)𝑛 + 13

𝑗=3,7;3≤𝑖≤6;𝑛=9 𝑖=3,6;4≤𝑗≤6;𝑛=9 𝑗=3,𝑛−2;3≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,… 𝑖=3,𝑛−3;4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 𝑖=3,𝑛−3;4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…

Label sisi pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛−1

2)

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗+1)

= 𝑡 − ((𝑛−1

2− 𝑖) (𝑛 −

𝑛+1

2− 𝑖))

4≤𝑖≤𝑛−3

2;𝑖≤𝑗≤𝑛−𝑖

𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑗−1))

= 𝑡 − ((𝑛−1

2− 𝑗) (𝑛 −

𝑛+1

2− 𝑗))

4≤𝑗≤𝑛−3

2;𝑗≤𝑖≤𝑛−𝑗

𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−𝑗𝑥𝑖,(𝑛−𝑗)+1)

= 𝑡 − (((𝑛−12− 𝑗) (𝑛− 𝑛+1

2− 𝑗)) + (𝑛−1

2− (𝑗 + 1)))

4≤𝑗≤𝑛−3

2;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗

𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−𝑖,𝑗𝑥(𝑛−𝑖)+1,𝑗)

= 𝑡 − ((𝑛−12− 𝑖) (𝑛− 𝑛+1

2− 𝑖) + (𝑛−1

2− (𝑖 + 1)))

4≤𝑖≤𝑛−3

2;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖

𝑛=11,13,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 𝑛−1

2≤ 𝑖 ≤

𝑛+3

2;𝑛−1

2≤ 𝑗 ≤

𝑛+1

2; 𝑛 = 7,9,…

𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 𝑛−1

2≤ 𝑗 ≤

𝑛+3

2;𝑛−1

2≤ 𝑖 ≤

𝑛+1

2; 𝑛 = 7,9,…

Berdasarkan definisi bobot titik tersebut, diperoleh

𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+2) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+2) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛−𝑖) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+2) <

𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑖+1)) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑖+1) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛−𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑛−𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−𝑖) <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+2) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛−(𝑖+1)) < ⋯ <

𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−(𝑖+2)) < ⋯ < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛−12,𝑛+12) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+1

2,𝑛−12) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+1

2,𝑛+32) <

𝑤𝑡 (𝑥𝑛+32,𝑛+1

2

) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+12,𝑛+1

2

).

Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik pada 𝐺𝑛2 berbeda. Maka 𝑓 yang dikonstruksi tersebut

merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2, dimana 𝑛 = 3,5,7,… .

4. Penutup

4.1 Kesimpulan

Dengan menggunakan pelabelan total tidak teratur titik pada graf 𝐺𝑛2 maka diperoleh nilai

total ketidakteraturan titik pada graf 𝐺𝑛2 adalah 𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = [𝑛2+2

5].

4.2 Pembahasan mengenai pelabelan total tidak teratur titik masih terbuka bagi peneliti lain

untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga melakukan penelitian sejenis namun dengan

jenis-jenis graf yang berbeda ataupun sebaliknya, melakukan penelitian dengan graf yang

sejenis namun dengan jenis pelabelan yang berbeda.

DAFTAR PUSTAKA

Bᾰca M, Jendrol S, Miller M, Ryan J, On Irregular Total Tabllings, Discrete Mathematics, 307:

1378 – 1388, 2007.

Chartrand G, Jacobson M, Lehel J, Oellermann O, Ruiz S & Saba F, Irregular Network,

Congressus Numerantium, 64:187-192, 1988.

Hartsfield N, Ringel G, Pearls in Graph Theory, Dover, New York, 2003.

Rajasingh I, Rajan B, Arockiamary T.S, Irregular Total Labeling of Grid Network, Jurnal of

Computer and Mathematical Science, 2 : 780-898, 2011.

Saputra A. F, Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian

Kartesius Dua Graf, Jurnal Cauchy, 2 : 2086-0382, 2012.

Ummah W, Pelabelan Graf, Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya, 2013.

Wallis W.D, A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2nd edition, Berlin: Birkhäuser Boston, 2007.

Weisstein, Eric W, Grid Graph, MathWorld-A Wolfram Web Resource,

(http://mathworld.wolfram.com/GridGraph.html) diakses tanggal 27 Agustus 2017).

penentuan nilai total ketidakteraturan titik …

Documents