PEMODELAN MATEMATIKA PERKEMBANGAN JUMLAH

KENDARAAN BERMOTOR PROVINSI LAMPUNG

(Skripsi)

Oleh

RIO RINALDO BAJA PRATAMA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

ABSTRAK

PEMODELAN MATEMATIKA PERKEMBANGAN JUMLAH KENDARAAN

BERMOTOR PROVINSI LAMPUNG

Oleh

RIO RINALDO BAJA PRATAMA

Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan 3 metode yaitu regresi linier

sederhana, model eksponensial, dan model logistik dengan data riil jumlah kendaraan

di Provinsi Lampung. Model matematika yang digunakan yaitu model regresi linear

sederhana, model eksponensial, dan model logistik. Aproksimasi terbaik dipilih

berdasarkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) terendah dari ketiga

model dibandingkan dengan data sebenarnya. Dengan menggunakan data jumlah

kendaraan dari tahun 1997 – 2007, hasil penelitian menunjukkan bahwa model yang

memiliki MAPE terkecil adalah model eksponensial. Sedangkan MAPE yang terbesar

adalah model logistik. Proses validasi dilakukan menggunakan data jumlah kendaraan

dari tahun 2008 – 2014. Hasil validasi menunjukkan bahwa model yang terbaik yaitu

model eksponensial. Tetapi setelah membandingkan ketiga model yang digunakan

dengan data riil (sebenarnya) masih cukup jauh, sehingga model yang digunakan

belum baik untuk memproyeksi jumlah kendaraan di Provinsi Lampung.

Kata Kunci: Pertumbuhan Jumlah Kendaraan, Model Regresi Linear Sederhana,

Model Eksponensial, Model Logistik, MAPE.

ABSTRACT

MATHEMATICAL MODELLING OF VEHICLE GROWTH IN LAMPUNG

PROVINCE

By

RIO RINALDO BAJA PRATAMA

This study was aimed to compare 3 methods which are simple linier regression

model, exponential model, and logistic model with real data of vechiles in Lampung

Province. Mathematical modelling which used in this research are simple linier

regression model, exponential model, and logistic model. The best aproximation

choose based on the lowest value of MAPE from the three models that compared with

the real data. By using the amount vechiles data from 1997 to 2007, the result showed

that the model had the lowest value was exponential model. While the biggest value

of MAPE was Logistic model. Validation process was done using data of amount

vechiles from 2008 to 2014. The validation result showed that the best model was

exponential model but after comparing the three model that used with real data still

far, so the model was not good enough to projecting the amount of vechiles in

Lampung Province.

Keywords: Vehicle Growth, Simple Linear Regression Model, Exponential Model,

Logistic Model, MAPE.

PEMODELAN MATEMATIKA PERKEMBANGAN JUMLAH

KENDARAAN BERMOTOR PROVINSI LAMPUNG

Oleh

RIO RINALDO BAJA PRATAMA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

Judul Skripsi : PEMODELAN MATEMATIKA PERKEMBANGAN

JUMLAH KENDARAAN BERMOTOR PROVINSI

LAMPUNG

Nama Mahasiswa : Rio Rinaldo Baja Pratama

Nomor Pokok

Mahasiswa : 1317031072

Program Studi : Matematika

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing,

Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. Dra. Dorrah Aziz, M.Si.

NIP. 19700831 199903 1 002 NIP. 19610128 198811 2 001

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika,

Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D.

NIP. 19631108 198902 2 001

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Agus Sutrisno, S.Si., M.Si.

Sekretaris : Dra. Dorrah Aziz, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing : Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D.

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.

NIP 19710212 199512 1 001

Tanggal Lulus Ujian Skripsi: 10 Oktober 2018

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini, menyatakan bahwa skripsi saya yang

berjudul “Pemodelan Matematika Perkembangan Jumlah Kendaraan

Bermotor Provinsi Lampung” merupakan hasil karya sendiri dan bukan

merupakan karya orang lain. Semua hasil tulisan yang tertuang dalam skripsi ini

mengikuti kaidah penulisan karya ilmiah Universitas Lampung. Apabila

dikemudian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan atau dibuat

oleh orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan ketentuan

akademik yang berlaku.

Bandar Lampung, 10 Oktober 2018

Penulis

Rio Rinaldo Baja Pratama

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 26 Maret 1995, anak

Pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Bambang Purnomo dan Ibu

Jamilah.

Penulis mengawali pendidikan formal pada tahun 1999 di TK Taruna Jaya . Pada

tahun 2001 penulis melanjutkan pendidikannya di SD Negeri 1 Pringsewu,

diselesaikan tahun 2007. Selanjutnya penulis melanjutkan pendidikan di SMP

Negeri 19 Bandar Lampung hingga tahun 2010, kemudian penulis melanjutkan

pendidikannya di SMA Al-Azhar 3 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun

2013. Pada tahun yang sama, penulis diterima dan terdaftar sebagai mahasiswa

reguler Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Lampung.

Pada tahun 2017, penulis melakukan Praktik Kerja Lapangan (PKL) di CV Zona

Multimedia dan pada tahun 2018 Kuliah Kerja Nyata di desa Kutawarigin Kec.

Adiluwih Kab. Pringsewu.

MOTTO

“Jika orang lain bisa, saya juga harus bisa”

(Rio Rinaldo Baja Pratam)

“Apa yang kita tanam, itu yang kita petik”

(Anonim)

“Menikmati setiap proses jalan kehidupan”

(Anonim)

PERSEMBAHAN

Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam hidupku dan

dengan segala kerendahan hati, kupesembahkan karya kecilku untuk orang - orang yang telah

memberi makna dalam hidupku.

Teruntuk Bapak dan Mama tercinta. Hanya rasa kasih sayang, tetes keringatmu, serta doa-

doamu selalu menyertai setiap langkahku.

Adik - adikku Refita Baja Dwinsa dan Roby Baja Triansa seerta seluruh keluarga besar yang

selalu menjadi penyemangat.

Keluarga besar jurusan matematika, teman-teman kontrakan yang telah memberikan

dukungan dan doa untukku.

Seluruh Dosen yang tanpa pamrih memberikan ilmu pengetahuan kepadaku.

Almamater tercinta. Universitas Lampung.

SANWACANA

Bismillahirrohmanirrohim...

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang selalu melimpahkan

rahmat dan kasih sayang-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi yang berjudul “Pemodelan Matematika Perkembangan Jumlah

Kendaraan Bermotor Provinsi Lampung”. Penulis menyadari bahwa dengan

bantuan berbagai pihak, skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis

mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Akademik

4. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memotivasi dan

membimbing penulis selama penulisan skripsi.

5. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Pembimbing II, atas kesabarannya dalam

memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis.

6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Pembahas yang banyak

memberikan masukan dan kritik yang bersifat positif dan membangun.

7. Bapak dan Ibu Dosen serta Staf Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

8. Teman spesial ku Vresti Rahma Dewi yang selalu memotivasi agar cepat

mengerjakan skripsi.

9. Teman-teman ku 34 (Artha, Onal, Karina, Tiwi, Mek, Suri) terima kasih atas

segala motivasi yang kalian berikan.

10. Teman - teman Kontrakan (Afredi, Musa, Novian, Julian, Artha, Nando,

Ayub, Zulfi, Younge, Wahid, Naufal, Hadi, Pandu, Ajiz, Atuy) dan yang lain.

11. Teman-temanku Jurusan Matematika angkatan 2013 dan 2014 yang banyak

memberikan semangat dan motivasi.

12. Abror dan Adik - adik Jurusan Matematika yang banyak memberikan motivasi

dan bantuan dalam Perkuliahan.

13. Kepada semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini.

Penulis berdoa, semoga semua amal dan bantuan, mendapat pahala serta balasan

dari Allah SWT dan semoga skripsi ini bermanfaat bagi dunia pendidikan Amin.

Bandar Lampung,10 Oktober 2018

Rio Rinaldo Baja Pratama

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ......................................................................................... ii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... iii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................... 2

1.3 Batasan Masalah .............................................................................. 3

1.4 Tujuan Penelitian ............................................................................ 3

1 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Matematika .......................................................................... 4

2.2 Persamaan Diferensial ..................................................................... 5

2.3 Model Regresi Linier Sederhana .................................................... 5

2.4 Model Eksponensial ....................................................................... 9

2.5 Model Logistik ............................................................................... 11

2.6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz ....................................................... 12

2.7 Koefisien Korelasi .......................................................................... 13

2.8 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) .................................... 14

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 15

3.2 Data Penelitian .................................................................................. 15

3.3 Metode Penelitian ............................................................................. 16

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Regresi Linier Sederhana ...................................................... 17

4.2 Model Eksponensial ......................................................................... 20

4.3 Model Logistik ................................................................................. 24

4.4 Perbandingan Model-Model Pertumbuhan Kendaraan ................... 27

4.5 Validasi Model ................................................................................. 28

4.6 Proyeksi Jumlah Kendaraaan Provinsi Lampung ............................ 30

V KESIMPULAN

5.1 Simpulan ........................................................................................... 31

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

3.1 Data Jumlah Kendaraan Provinsi Lampung Tahun 1997 – 2014 ...................... 15

4.1 Data Laju Pertumbuhan Kendaraan dan Perbandingan MAPE pada Model

Eksponensial ...................................................................................................... 21

4.2 Data Daya Tampung (Carrying Capacity) , Laju Pertumbuhan Kendaraan

dan Perbandingan MAPE ................................................................................... 25

4.3 Data Perbandingan Model Pertumbuhan Kendaraan di Provinsi Lampung Tahun

1997 – 2007 ........................................................................................................ 27

4.4 Data Perbandingan MAPE Model Regresi Linear Sederhana, Model

Eksponensial, dan Model Logistik ..................................................................... 28

4.5 Data Perbandingan Model Pertumbuhan Kendaraan di Provinsi Lampung Tahun

2008 – 2014 ........................................................................................................ 29

4.6 Data Validasi Perbandingan MAPE Model Regresi Linear Sederhana, Model

Eksponensial, dan Model Logistik ..................................................................... 29

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

4.1 Grafik Model Regresi Linear Sederhana pada Perkembangan Jumlah

Kendaraan di Provinsi Lampung Tahun 1997 – 2007 ................................. 20

4.2 Grafik Model Eksponensial pada Pertumbuhan Kendaraan di Provinsi

Lampung Tahun 1997 – 2007 ...................................................................... 23

4.3 Grafik Model Logistik pada Pertumbuhan Kendaraan Provinsi Lampung

Tahun 1997 – 2007 ...................................................................................... 26

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Permasalahan kemacetan merupakan masalah yang cukup serius yang harus

dihadapi secara serius di beberapa negara berkembang. Indonesia merupakan

sebuah negara yang termasuk dalam kategori negara berkembang dan memiliki

jumlah penduduk yang cukup besar. Hal ini akan berbanding lurus dengan

kebutuhan transportasi di negara ini. Provinsi Lampung adalah sebuah provinsi di

Indonesia yang sekarang ini mulai menghadapi masalah kemacetan yang cukup

serius. Hal ini dikarenakan banyaknya pengguna kendaraan pribadi yang belum

sadar akan menggunakan kendaraan umum. Dari permasalahan kemacetan ini

akan mengakibatkan timbulya permasalahan lain diantaranya polusi yang

meningkat, keperluan bahan bakar minyak yang meningkat, dan permasalahan

lainnya.

Dari masalah - masalah yang diungkapkan di atas, maka pemerintah khususnya

pemerintah Provinsi Lampung perlu bersiap siaga mengatasi permasalahan ini.

Tentu saja besarnya usaha yang dilakukan pemerintah berdasarkan data dan

informasi, salah satunya yaitu mengenai tingkat perkembangan jumlah kendaraan

beberapa tahun terakhir.

2

Dengan mengetahui tingkat perkembangan jumlah kendaraan di Provinsi

Lampung pada tahun-tahun belakang ini, pemerintah provinsi dapat melakukan

antisipasi. Akan tetapi antisipasi tersebut hanya berlaku untuk beberapa tahun ke

depan atau dalam jangka pendek. Akan lebih baik lagi apabila usaha maupun

antisipasi dilakukan dalam jangka panjang dengan melakukan proyeksi jumlah

kendaraan hingga beberapa tahun ke depan.

Proyeksi jumlah kendaraan Provinsi Lampung dapat dilakukan melalui

pendekatan pemodelan matematika. Model matematika yang terbentuk digunakan

untuk memperkirakan jumlah kendaraan pada tahun yang akan datang

berdasarkan data-data waktu sebelumnya. Diawali dengan membuat pemodelan

matematika pada perkembangan jumlah kendaraan Provinsi Lampung dengan

mengasumsikan laju pertumbuhan kendaraan baru di Provinsi Lampung.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan di atas, permasalahan yang akan

dibahas dalam penelitian ini adalah:

Berapa perkiraan perkembangan jumlah kendaraan di provinsi Lampung beberapa

tahun yang akan datang dengan menggunakan beberapa model pertumbuhan

kendaraan yaitu model regresi linear sederhana, eksponensial, dan logistik

berdasarkan data jumlah kendaraan tahun 1997 – 2014?

3

1.3 Batasan Masalah

Model perkembangan jumlah kendaraan yang dibahas adalah model regresi linear

sederhana, eksponensial dan Logistik.

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Melakukan pemodelan perkembangan jumlah kendaraan di Provinsi Lampung

dengan 3 tipe model yaitu regresi linier sederhana, model eksponensial, dan

model logistik.

2. Menentukan keakuratan dari masing-masing model dengan perhitungan Mean

Absolute Percentage Error (MAPE).

3. Melakukan validasi terhadap model - model tersebut pada tahun 2008 – 2014.

4. Membandingkan 3 metode yaitu regresi linier sederhana, model eksponensial,

dan model logistik dengan data riil (sesungguhnya) .

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui proses terbentuknya pemodelan matematika pada perkembangan

jumlah kendaraan.

2. Dapat memperkirakan jumlah kendaraan pada tahun mendatang.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Matematika

Model matematika suatu fenomena adalah suatu ekspresi matematika yang

diturunkan dari fenomena tersebut. Ekspresi dapat berupa persamaan, sistem

persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika yang lain seperti fungsi maupun

relasi. Model matematika digunakan untuk menjelaskan karakteristik fenomena

yang dimodelkannya, dapat secara kualitatif atau kuantitatif. Dalam memperoleh,

membuat, mengembangkan atau menurunkan model matematika kita melibatkan

asumsi-asumsi, pendekatan-pendekatan maupun pembatasan-pembatasan yang

didasarkan atas eksperimen maupun observasi terhadap fenomena sebenarnya.

Asumsi, pendekatan maupun pembatasan ini digunakan untuk mempelajari

fenomena tersebut secara sederhana (penyederhanaan fenomena sesungguhnya),

dan juga seringkali digunakan untuk mempelajari kontribusi faktor-faktor tertentu

dengan tiadanya faktor yang lain pada fenomena yang dipelajari. Keberadaan

kontribusi faktor tertentu dalam model matematika seringkali dalam bentuk

variabel, parameter maupun koefisien (Cahyono, 2013).

5

2.2 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang meliputi satu atau lebih turunan-

turunan. Persamaan - persamaan diferensial diklasifikasikan menurut macam, orde

dan derajat. Orde dari sebuah persamaan diferensial adalah orde dari turunan orde

tertinggi yang terdapat dalam persamaan. Sedangkan derajat dari persamaan

diferensial dirasionalkan untuk menghilangkan pangkat pecahan dari turunan-

turunan (Weber, 1999).

Menurut peubah bebas, persamaan differensial dapat dibedakan menjadi dua

macam yaitu persamaan differensial biasa dan parsial sedangkan persamaan

differensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi

dua yaitu persamaan differensial linear dan persamaan differensial non linear.

(Marwan dan Said, 2009).

2.3 Model Regresi Linear Sederhana

Tidak mungkin untuk memperkirakan hubungan antara dua variabel tanpa

membuat asumsi terlebih dahulu mengenai bentuk hubungan yang dinyatakan

dalam fungsi tertentu. Dalam beberapa hal, bisa mengecek asumsi tersebut setelah

hubungan diperkirakan. Fungsi linear, selain mudah interpretasinya, juga dapat

digunakan sebagai pendekatan (approximation) atas hubungan yang bukan linear

(Supranto, 2001).

6

Fungsi linear, mempunyai bentuk persamaan sebagai berikut:

Dimana dan adalah konstanta atau parameter, yang nilainya harus diestimasi.

0

jarak titik asal dengan perpotongan antara sumbu tegak dan garis fungsi

linear atau besarnya nilai kalau . Sering disebut “intercept

coefficien.”.

koefisien arah koefisien regresi besarnya pengaruh terhadap ,

apabila naik 1 unit. Sering disebut “slope coefficient.”

Hubungan di atas merupakan hubungan matematis. Tetapi dalam prakteknya tidak

demikian, sebab yang mempengaruhi bukan hanya saja melainkan masih ada

faktor lain yang tidak dimasukkan dalam persamaan. Faktor-faktor tersebut secara

keseluruhan disebut kesalahan pengganggu atau “disturbance’s error.”

Kesalahan pengganggu tersebutlah yang menyebabkan suatu ramalan sering tidak

tepat (Supranto, 2001).

Kesalahan ramalan menyebabkan perencanaan menjadi tidak akurat, sehingga

kesalahan tersebut mengakibatkan risiko, dan karenanya harus diusahakan sekecil

mungkin. Dalam membuat keputusan, selalu ada risiko yang disebabkan oleh

adanya kesalahan (error). Karena kesalahan itu tak dapat dihilangkan sama sekali,

7

maka risiko itu berapa pun kecilnya selalu ada. Risiko hanya bisa diperkecil

dengan memperkecil kesalahan. Dengan memperhitungkan kesalahan

pengganggu, , maka bentuk persamaan fungsi linear di atas menjadi sebagai

berikut:

Dimana:

dan adalah konstanta yang harus di estimasi.

adalah kesalahan pengganggu (disturbance’s error).

(Supranto, 2001).

Berdasarkan persamaan tersebut, maka nilai bisa lebih besar atau lebih kecil

dari pada tergantung apakah positif atau negatif. Diharapkan agar nilai

kecil dan tidak berkorelasi dengan , sehingga dengan demikian dapat

mengubah nilai tanpa mengubah nilai , kemudian dapat memperhitungkan

pengaruh terhadap , secara rata-rata. Dalam praktek, untuk melihat hubungan

antara dan , dikumpulkan pasangan data sebagai suatu observasi,

misalnya sebagai berikut:

8

0

observasi variabel dan . Kesalahan pengganggu , yang bersosiasi

dengan pasangan apabila digambarkan pada sumbu dan akan

kelihatan sebagai suatu diagram pancar (scatter diagram), yaitu kumpulan titik-

titik koordinat (Supranto, 2001).

Apabila parameter dan diketahui, diperoleh gambaran suatu garis regresi

. Kesalahan pengganggu akan sama dengan jarak vertikal antara nilai

observasi dengan titik pada garis regresi . Garis regresi

dimaksudkan sebagai pendekatan (approximation) terhadap bentuk diagram

pancar (Supranto, 2001).

Jika nilai dari parameter dan diketahui, dapat menggunakan persamaan untuk

memperkirakan nilai untuk suatu nilai tertentu. Akan tetapi dalam prakteknya

nilai dan tidak pernah diketahui dan harus diperkirakan dengan data sampel.

Nilai perkiraan untuk dan masing-masing adalah dan . Dengan persamaan

regresi perkiraan adalah :

9

Dimana dan adalah nilai perkiraan untuk dan (Supranto, 2001).

Metode kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung dan sebagai

perkiraan dan , sedemikian rupa sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki

nilai terkecil. Dengan bahasa matematik, dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jadi, metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung dan

sedemikian rupa sehingga

. Caranya ialah dengan

membuat turunan parsial (partial differential) dari

mula-mula terhadap

kemudian terhadap dan menyamakannya dengan nol.

(Supranto, 2001).

2.4 Model Eksponensial

Pada tahun 1798, seorang professor, politikus dan ekonom bernama Thomas R.

Malthus mempublikasikan pamflet anonim yang berjudul “An Essay on the

Principle of Populations as It Affects the Future Improvement of Society, with

Remarks on the Speculation of Mr. Godwin, M. Condorect and other Writers”.

10

Pamflet ini memberikan sejumlah opini dan gagasan mengenai hubungan sosial

antar manusia. Disamping itu juga terdapat beberapa pendapat Malthus mengenai

pertumbuhan populasi yang umumnya akan menghasilkan keburukan atau

peningkatan dalam jumlah kemiskinan (Iswanto, 2012).

“Harus diakui atau tidak dalam sejarah umat manusia, bahwa dalam setiap masa

dan setiap keadaan dimana manusia berada, atau bahkan kemudian menjadi

tidak ada, bahwa peningkatan populasi akan terbatas pada ketersediaan sarana

dan prasarana, bahwa penurunan populasi tidak selalu diiringi oleh peningkatan

sarana, dan bahwa kekuatan besar populasi yang tampak umumnya akan

menjaga keseimbangannya dengan ketersediaan sarana, baik dengan kelahiran

maupun kematian”.

Pembentukan model merujuk pada ide yang telah dikemukakan oleh Malthus.

Diberikan notasi waktu independen populasi sebagai . Dengan menggunakan

asumsi model yaitu konstanta laju kelahiran per kapita , dan konstanta laju

kematian per kapita dengan . Sedangkan dalam hal ini pengaruh perpindahan

penduduk baik imigrasi maupun emigrasi diabaikan. Maka model persamaan

diferensial yang dapat dibentuk oleh populasi adalah

yang jika diintegralkan akan mendapatkan hasil penyelesaian

11

Atau

Dimisalkan , sehingga

Jika diberikan syarat maka , sehingga dari persamaan

diperoleh :

Dengan mengasumsikan pada persamaan , maka diperoleh

model pertumbuhan populasi yaitu

Dimana adalah populasi awal pada waktu awal (Iswanto, 2012).

2.5 Model Logistik

Pertumbuhan secara eksponensial sangat membutuhkan nilai , tetapi pada

beberapa prinsip populasi biologi yang lain memberikan beberapa persyaratan

lain. Pierre Francois Verhulst pada 1838 merupakan orang pertama yang

12

mengemukakan mengenai beberapa Batasan dalam model pertumbuhan

sebelumnya, dari pada harus mengabaikannya.

Persamaan yang diusulkan oleh Verhulst, dinamakan persamaan logistik, yang

sampai dengan saat ini persamaan tersebut masih dianggap lebih mendekati realita

lapangan. Persamaan ini berdasarkan bahwa kehadiran spesies pada lingkungan

akan memiliki populasi maksimum. Hal ini senada yang dikemukakan oleh

Malthus, tetapi Verhulst menghubungkan konsep ini pada persamaan populasi.

Jika pertumbuhan maksimum populasi , maka Verhulst berpendapat bahwa laju

pertumbuhan bersih per kapita (laju kelahiran dikurangi laju kematian) harus

menurun sepanjang mendekati . Fungsi yang paling mudah untuk

menggambarkan persamaan tersebut adalah

, dimana merupakan

konstanta positif. Dengan menggunakan asumsi ini maka untuk laju pertumbuhan

bersih per kapita, kita akan mendapatkan persamaan logistik sebagai berikut :

Persamaan ini dapat diverifikasi dari penyelesaian yang mudah diperoleh dari

pemisahan variabel. (Iswanto, 2012).

2.6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Misalkan vektor dan di , maka:

13

Operator ‘ ’ mempresentasikan dot product pada ruang vektor. Sedangkan notasi

dan secara berurutan menyatakan nilai mutlak dan panjang atau norm dari

vector.

Jika

dan

, maka bentuk diatas dapat ditulis ulang sebagai

Dengan mengkuadratkan kedua ruas, lalu ditulis dalam notasi sigma, maka

ketaksamaan tersebut dapat ditulis sebagai

(Bachman dkk, 2000).

2.7 Koefisien Korelasi

Ahli ekonomi atau ahli-ahli bidang lainnya sering menggunakan analisis korelasi

untuk mengetahui erat-tidaknya hubungan antarvariabel. Apabila ternyata hasil

analisis menunjukkan hubungan yang cukup erat, maka analisis dilanjutkan ke

analisis regresi sebagai alat meramalkan (forecasting) yang sangat berguna untuk

perencanaan.

Analisis korelasi yang mencakup dua variabel dan disebut analisis korelasi

linear sederhana (simple linear correlation), sedangkan yang mencakup lebih dari

dua variabel disebut analisis korelasi linear berganda (multiple linear correlation)

(Supranto, 2001).

14

Jika , berarti bahwa hubungan antara dan adalah sempurna dan positif.

Jika , hubungan dan adalah sempurna dan negatif. Jika ,

hubungan dan lemah sekali (dianggap tidak ada hubungan) (Supranto, 2001).

disebut koefisien determinasi (coefficient of determination), yaitu nilai untuk

mengukur besarnya kontribusi terhadap variasi (naik turunnya) . Variasi

lainnya (sisanya) disebabkan oleh faktor lain yang juga mempengaruhi dan

sudah termasuk dalam kesalahan pengganggu (disturbance error). Apabila

dinyatakan dalam persentase, maka seluruh variasi, sebanyak ,

disebabkan oleh regresi terhadap , sedangkan sisanya

,

disebabkan oleh faktor lain (kesalahan penggangu) (Supranto, 2001).

2.8 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dihitung dengan menggunakan

kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata

untuk periode itu. Kemudian, merata-rata kesalahan persentase penyimpangan

antara data aktual dengan data peramalan. Nilai MAPE dapat dihitung dengan

persamaan berikut (Makridakis dkk, 1983).

15

Dimana :

Data aktual pada periode

Nilai Peramalan pada periode

Jumlah data

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2018/ 2019 di

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah kendaraan Provinsi

Lampung tahun 1997 – 2014 yang diperoleh dari BPS (Badan Pusat Statistik).

Tabel 3.1 Data Jumlah Kendaraan Provinsi Lampung Tahun 1997 – 2014.

No Tahun Jumlah Kendaraan

1 1997 237529

2 1998 252196

3 1999 273033

4 2000 291059

5 2001 313772

6 2002 281636

7 2003 341471

8 2004 548678

9 2005 722278

10 2006 881825

11 2007 1068223

12 2008 1310204

17

No Tahun Jumlah Kendaraan

13 2009 1683085

14 2010 1779290

15 2011 2078922

16 2012 2326337

17 2013 2537071

18 2014 2755953

3.3 Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah kajian pustaka seperti buku-

buku penunjang matematika, internet dan jurnal - jurnal matematika yang

berhubungan dengan model pertumbuhan jumlah kendaraan. Adapun langkah-

langkah penelitian yang dilakukan yaitu:

1. Mempelajari definisi dan teorema yang menjadi landasan pada penelitian ini.

2. Melakukan pemodelan perkembangan jumlah kendaraan di Provinsi Lampung

dengan 3 tipe model yaitu regresi linier sederhana, model eksponensial, dan

model logistik.

3. Membandingkan galat dari tiap-tiap model dengan perhitungan Mean Absolute

Percentage Error (MAPE).

4. Melakukan validasi terhadap tiap-tiap model.

5. Membandingkan model – model yang digunakan dengan data riil(sebenarnya).

.

24

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari model – model yang digunakan untuk memproyeksi pertumbuhan jumlah

kendaraan diperoleh MAPE terkecil yaitu model eksponensial yaitu sebesar

14,46539 %. Namun model eksponensial ini belum dapat digunakan untuk

memproyeksikan pertumbuhan jumlah kendaraan di Provinsi Lampung,

dikarenakan setelah membandingkan ketiga model yang digunakan dengan data

riil (sebenarnya) masih cukup jauh sehingga model yang digunakan belum baik

untuk memproyeksi jumlah kendaraan di Provinsi Lampung.

5.2 Saran

Pemodelan matematika pertumbuhan jumlah kendaraan di Provinsi Lampung

yang sudah di bahas, belum diperoleh model yang tepat untuk memproyeksi

jumlah kendaraan di tahun mendatang. Penelitian ini dapat dilanjutkan oleh

pembaca untuk mencari model yag lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Bachman, G., Narici, L. dan Beckenstein, E. 2000. Fourier and Wavelet Analysis.

Springer Sciencen and Business Media, New York.

Cahyono, E. 2013. Pemodelan Matematika Edisi Pertama. Graha Ilmu,

Yogyakarta.

Iswanto, R. J., 2012. Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya. Graha

Ilmu, Yogyakarta.

Makridakis, S., Wheelwright, S. C. dan McGee, V. E. 1983. Forecasting: Methods

and Applications Second Edition. John Wiley dan Sons, New York.

Marwan dan Munzir, Said. 2009. Persamaan diferensial. Edisi Ke-1. Graha Ilmu,

Yogyakarta.

Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi Edisi Keenam Jilid 2. Erlangga,

Jakarta.

Weber, J.E. 1999. Analisis Matematika Penerapan Bisnis dan Ekonomi. Edisi

ke-4 Jilid 2. Diterjemahkan oleh Drs. Stephen Kakicina, MBA. Erlangga,

Jakarta.