Pamacahan masalah fisika dengan kaidah matematika(kalkulus vector)

Apakah Fisika adalah matematik terapan? Ataukah matematik sebenarnya berasal dari

fisika?

Misalnya keteraturan alam mengenai percepatan. Penjabaran kata-katanya adalah :

Percepatan adalah perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu. Bagaimana

menjabarkan kalimat tersebut? bagaimana menerapkan konsep percepatan pada benda

yang bergerak? kita memanfaatkan persamaan matematis, maka semuanya terlihat

menjadi lebih mudah, percepatan dilambangkan dengan a, maka a = dv/dt. Menerapkan

konsep percepatan pada berbagai kasus menjadi mudah dengan adanya persamaan

tersebut.

Boleh dikatakan bahwa keteraturan alam yang diutarakan memakai matematika akan

menjadi lebih bermanfaat ketika akan memakai keteraturan alam itu pada berbagai

kasus/peristiwa. Jadi bisa juga dikatakan fisika adalah menjabarkan keteraturan alam

dalam persamaan-persamaan matematik sehingga kedua tujuan utama ilmu fisika

(menemukan keteraturan yang lainnya dan memanfaatkan keteraturan tersebut pada

kehidupan) dapat dicapai dengan lebih mudah.

Yang paling penting disini bukanlah persamaan matematiknya, tetapi pemahaman kita

akan konsep fisikanya, karena matematiknya adalah pengutaraan konsepnya. Seseorang

yang memahami matematika akan kesulitan dalam memahami fisika, tetapi orang yang

memahami fisika harus memahami matematika sehingga akan dapat menjabarkan

pemahamannya dalam bentuk matematis yang memudahkan.

Matematika memang bisa berjalan sendiri tanpa ilmu fisika, tetapi tanpa ilmu fisika,

matematik akan kehilangan tujuan selain dari kesenangan untuk mengolah logika dan

pikiran. Matematika akan menjadi bermakna ketika matematika dapat menjadi alat bantu

untuk mengutarakan konsep-konsep dan keteraturan alam ini.

Fisika tidak mungkin berjalan tanpa matematika, karena konsep tentang alam ini tidak

akan bisa diutarakan dan dimanfaatkan dengan baik tanpa matematika. Melihat hal ini

mungkin akan mengingatkan kita akan pameo yang beredar di kalangan siswa: Jago

matematik belum tentu jago fisika, tapi kalo jago fisika pasti jago juga matematiknya.

Vector

Vector dan scalar

Gaya termasuk vektor

DlNAMIKA adalah ilmu gerak yang membicarakan gaya-gaya yang berhubungan

dengan gerak-gerak yang diakibatkannya.

GAYA TERMASUK VEKTOR, DlNAMIKA adalah ilmu gerak yang membicarakan

gaya-gaya yang berhubungan dengan gerak-gerak yang diakibatkannya.

GAYA TERMASUK VEKTOR, penjumlahan gaya = penjumlahan vektor.

Penjumlahan dua buah vektor gaya F1 dan F2:

FR = Ö F12 + F22 + 2 F1F2 cos a

q = sudut terkecil antara F1 dan F2

Untuk menjumlahkan beberapa vektor gaya maka gaya-gaya tersebut harus diuraikan

pada sumbu koordinatnya (x,y), jadi:

FR = Ö FX2 + FY2

FX = jumlah komponen gaya pada sb-x

FY = jumlah komponen gaya pada sb-y

FR = resultan gaya penjumlahan gaya = penjumlahan vektor.

Penjumlahan dua buah vektor gaya F1 dan F2:

FR = Ö F12 + F22 + 2 F1F2 cos a

q = sudut terkecil antara F1 dan F2

Untuk menjumlahkan beberapa vektor gaya maka gaya-gaya tersebut harus diuraikan

pada sumbu koordinatnya (x,y), jadi:

FR = Ö FX2 + FY2

FX = jumlah komponen gaya pada sb-x

FY = jumlah komponen gaya pada sb-y

FR = resultan gaya

PENGUKURAN GAYA DAN PENJUMLAHAN VEKTOR GAYA

Analisis vektor

Besaran fisika yang mempunyai arah seperti misalnya kecepatan, gaya, medan listrik, dan

lain sebagainya, lazim dinyatakan dengan apa yang dinamakan vector, yang symbol

geometrisnya berwujud anak panah dan secara aljabar berupa jajar bilangan-bilangan

yang menyatakan komponen-komponennya. Secara umum, besaran fisika yang

mempunyai arah, dinyatakan sebagai vector yang berupa anak panah yang arahnya sejajar

dengan arah besaran fisika itu dan panjangnya sebanding serta menyatakan besarnya

besaranfisika tersebut.

Secara diam-diam, hokum ketiga telah digunakan dalam cara statik ini, karena kita

anggap bahwa gaya yang dilakukan oleh pegas pada benda sama besar, dengan gaya yang

dilakukan oleh benda pada pegas. Gaya yang disebut terakhir ini yang akan diukur.

Hukum pertama juga kita guanakan disimi, karena kita anggap bahwa F sama dengan nol.

Perlu diingat lagi disini bahwa jika percepatan tidak sama dengan nol, rentangan pegas

yang ditimbulkan oleh benda seberat W tidak akan sama dengan rentangan pada a=0.

Malah jika pegas dan benda W yang diikatkan itu jatuh bebas karena pengaruh gravitasi,

sehingga a=g, pegas sama sekali tidak akan bertambah panjang, dan tegangannya akan

sama dengan nol.

(Sutrisno, 1997:42)

Di dalam ilmu fisika, gaya adalah apapun yang dapat menyebabkan sebuah benda

bermassa mengalami percepatan. Gaya memiliki besar dan arah, sehingga merupakan

besaran vektor. Satuan SI yang digunakan untuk mengukur gaya adalah Newton

(dilambangkan dengan N). Berdasarkan Hukum kedua Newton, sebuah benda dengan

massa konstan akan dipercepat sebanding dengan gaya netto yang bekerja padanya dan

berbanding terbalik dengan massanya.

Gaya bukanlah sesuatu yang pokok dalam ilmu fisika, meskipun ada kecenderungan

untuk memperkenalkan ilmu fisika lewat konsep ini. Yang lebih pokok ialah momentum,

energi dan tekanan. Sebenarnya, tak seorang pun dapat mengukur gaya secara langsung.

Tetapi, kalau sesuatu mengatakan seseorang mengukur gaya, sedikit berpikir akan

membuat seseorang menyadari bahwa apa yang diukur sebenarnya adalah tekanan (atau

mungkin kemiringannya). “Gaya” yang Anda rasakan saat meraba kulit anda, misalnya,

sebenarnya adalah sel syaraf tekanan Anda yang mendapat perubahan tekanan. Ukuran

neraca pegas mengukur ketegangan pegas, yang sebenarnya adalah tekanannya, dll.

Dalam bahasa sehari-hari gaya dikaitkan dengan dorongan atau tarikan, mungkin

dikerahkan oleh otot-otot kita. Di fisika, kita memerlukan definisi yang lebih presisi. Kita

mendefinisikan gaya di sini dalam hubungannya dengan percepatan yang dialami benda

standar yang diberikan ketika ditempatkan di lingkungan sesuai. Di fisika, gaya adalah

aksi atau agen yang menyebabkan benda bermassa bergerak dipercepat. Hal ini mungkin

dialami sebagai angkatan, dorongan atau tarikan. Percepatan benda sebanding dengan

penjumlahan vektor seluruh gaya yang beraksi padanya (dikenal sebagai gaya netto atau

gaya resultan).

Dalam benda yang diperluas, gaya mungkin juga menyebabkan rotasi, deformasi atau

kenaikan tekanan terhadap benda. Efek rotasi ditentukan oleh torka, sementara deformasi

dan tekanan ditentukan oleh stres yang diciptakan oleh gaya. Menurut perkembangan

mekanika kuantum, sekarang dipahami bahwa partikel saling mempengaruhi satu sama

lain melalui interaksi fundamental, menjadikan gaya sebagai konsep yang berguna hanya

pada konsep makroskopik. Satuan SI yang digunakan untuk mengukur gaya adalah

newton (simbol N), yang mana adalah ekivalen dengan kg.m.s-2. Satuan CGS lebih awal

adalah dyne. Hubungan F = m.a dapat digunakan dengan yang mana pun.

(www.wikipedia-indonesia.com)

Gaya dapat diartikan juga sebagai interaksi antara sebuah benda dengan lingkungannya.

Sebagai contoh gaya gravitasi matahari, bulan dan bumi seperti pada gambar. Gaya

gravitasi adalah interaksi antara sebuah benda bermassa m dengan benda lain di

sekitarnya.Secara umum gaya dapat ditimbulkan oleh listrik, magnet, elektromagnet, otot,

gravitasi, gesekan, fluida, pegas, partikel inti atom, dan sebagainya. Sehingga kita

mengenal gaya listrik, gaya magnet, gaya elektromagnet, gaya otot, gaya tegangan tali,

gaya gesekan, gaya pegas, gaya apung/Archimedes, gaya inti, dan sebagainya.

Pada gaya pegas dapat membuat getaran beban yang dipasang di ujungnya apabila beban

tersebut di tarik atau diberi simpangan maksimum kemudian dilepas. Gerakan beban

yang demikian itu disebut gerak harmonik.Jadi dapat disimpulkan bahwa gaya adalah

suatu tarikan atau dorongan yang dapat menimbulkan perubahan gerak. Dengan demikian

jika benda ditarik/didorong dan sebagainya maka pada benda bekerja gaya dan keadaan

gerak benda dapat dirubah. Gaya adalah penyebab gerak. Gaya termasuk besaran vektor,

karena gaya ditentukan oleh besar dan arahnya.

Resultan dari Beberapa Gaya

Gaya, demikian pula percepatan adalah besaran vektor, sehingga jika beberapa buah gaya

bekerja pada sebuah benda, maka gaya total yang bekerja pada benda itu merupakan

jumlah vektor dari gaya-gaya tersebut yang biasa disebut dengan resultan gaya ( R atau

FR). Bila gaya- gaya bekerja pada benda mempunyai arah yang sama (berarti masing-

masing gaya saling membentuk sudut 0) maka resultan gaya dapat ditentukan dengan

menjumlahkan gaya-gaya tersebut secara aljabar. Persamaan resultan yang dimaksud

dapat dituliskan sebagai berikut.

R = F1 + F2

Bila gaya- gaya bekerja pada benda berlawanan arah ( berarti masing-masing gaya saling

membentuk sudut 180) maka resultan gaya dapat ditentukan dengan mengurangkan

gaya-gaya tersebut secara aljabar. Persamaan resultan yang dimaksud dapat dituliskan

sebagai berikut.

R = F1 – F2

Massa dan Berat

Massa (m) benda adalah jumlah partikel yang dikandung benda. Sedangkan berat suatu

benda (w) adalah besarnya gaya tarik bumi terhadap benda tersebut dan arahnya menuju

pusat bumi. ( vertikal ke bawah ).

Perbedaan massa dan berat :

o Massa (m) merupakan besaran skalar di mana besarnya di sembarang tempat untuk

suatu benda yang sama selalu tetap.

o Berat (w) merupakan besaran vektor di mana besarnya tergantung pada tempatnya

( percepatan gravitasi pada tempat benda berada ).

Massa (m) sebuah benda adalah karakteristik benda itu yang mengkaitkan percepatan

benda dengan gaya (atau resultan gaya) yang menyebabkan percepatan tersebut. Massa

adalah besaran skalar. Massa di mana-mana selalu bernilai tetap, kecuali benda tersebut

mengalami pengurangan materi,

Berat sebuah benda dalam bahasa Inggris weight (w) adalah sebuah gaya yang bekerja

pada benda tersebut dari benda-benda lain (atau benda-benda astronomi). Gaya berat

sebenarnya adalah gaya gravitasi pengaruh benda astronomi terdekat terhadap benda

tersebut. Benda astronomi yang paling dekat dengan kehidupan kita adalah bumi,

sehingga gaya berat sering dinyatakan secara matematis sebagai berikut :

w = m g

dimana m adalah massa benda, g menyatakan vektor percepatan gravitasi bumi yang

bernilai 9,8 m/s2 atau biasanya dibulatkan menjadi 10 m/s2, dan w adalah gaya berat

dalam satuan Newton (dalam SI) atau dyne (dalam CGS).

Gaya berat adalah besaran vektor, sehingga bila sebuah benda bermassa m diletakkan di

sekitar dua atau lebih benda astronomi, maka gaya berat benda tersebut merupakan

jumlah vektor dari setiap gaya berat yang ditimbulkan olah masing-masing benda

astronomi.

Operasi penjumlahan Vektor

AB

A + B = ?

Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan.

Jadi A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B.

BA

A+B

Dalam operasi penjumlahan berlaku :

a. Hukum komutatif

BA= A + B = B + A

AB

b. Hukum Asosiatif

B (A + B) + C = A + (B + C)

AC

Opersai pengurangan dapat dijabarkan dari opersai penjumlahan dengan menyatakan

negatif dari suatu vektor.

A –A

B

B – A = B + (-A)

B

B-A -A

Vektor secara analitis dapat dinyatakan dalam bentuk :

A = Ax i + Ay j + Az k dan

B = Bx i + By j + Bz k

maka opersasi penjumlahan/pengurangan dapat dilakukan dengan cara

menjumlah/mengurangi komponen-komponennya yang searah.

A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

A – B = (Ax – Bx) i + (Ay – By) j + (Az – Bz) k

(www.GuruMuda.com)

Pembahasaan

Perhitungan

a. Pengukuran Gaya

Posisi pegas/ berat

beban W (N)

b. Penjumlahan Vektor Gaya

W = m.g

Resultan gaya

a. a1 = a2 = 20o

F1 = F2= 0,27 N

W = 0,5 N

b. a1 = a2 = 25o

F1= F2= 0,28 N

c. a1 = a2 = 30o

F1= F2= 0,29 N

d. a1=a2 = 35o

F1= F2= 0,3 N

Pembahasan

a. Pengukuran Gaya

Metode pengukuran gaya ini didasarkan atas pengukuran perubahan bentuk atau ukuran

pegas yang dikenai gaya dalam keadaan tanpa percepatan.

Gagasan metode statik ini menggunakan kenyataan bahwa jika suatu benda yang dikenai

beberapa gaya, tidak mengalami percepatan, maka jumlah vektor semua gaya yang

bekerja padanya haruslah sama dengan nol. Ini tidak lain dari isi hukum gerak yang

pertama.

Alat yang digunakan untuk mengukur gaya dengan cara ini adalah neraca pegas. Neraca

ini terdiri dari sebuah pegas spiral dengan penunjuk skala pada salah satu ujungnya. Gaya

yang dikenakan pada neraca pegas akan mengubah panjang pegas. Saat beban dengan

berat 0,05 kg digantungkan pada pegas, maka panjang pegas berubah dan menunjukkan

angka 0,5 N. beban ditambah teru menerus dan dipeoleh nilai berat yang berbeda. Setelah

hasil pengamatan, diperoleh pula nilai gravitasi sebesar 10 m/s2. Nilai ini diperoleh

dengan menggunakan rumus:

W = m . g

dimana : W= Gaya berat benda (N)

m = massa benda (kg)

g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Sebuah gaya tunggal yang bekerja pada benda akan menimbulkan percepatan; percepatan

ini dapat dibuat sama dengan nol jika pada benda ditambahkan gaya lain yang sama besar

dan berlawanan arah. Pada kenyataannya benda diusahakan tetap dalam keadaan diam.

Saat beban digantungkan pada ujung pegas, pegas akan memanjang sampai tarikan pegas

pada benda sama besar tetapi berlawanan arah dengan beratnya. Gaya yang bekerja pada

pegas selalu sama jika penunjuk skala menunjuk tempat yang sama. Neraca yang telah

ditera ini sekarang dapat digunakan bukan hanya untuk mengukur tarikan bumi pada

suatu benda, tetapi juga untuk mengukur gaya lain yang tidak diketahui.

Sedangkan gaya yang dilakukan pegas pada benda memiliki arah yang berlawanan

dengan arah gaya berat benda karena keduanya merupakan pasangan aksi-reaksi.Hukum

pertama juga kita guanakan disini, karena kita anggap bahwa F sama dengan nol. Perlu

diingat lagi disini bahwa jika percepatan tidak sama dengan nol, rentangan pegas yang

ditimbulkan oleh benda seberat W tidak akan sama dengan rentangan pada a=0. Malah

jika pegas dan benda W yang diikatkan itu jatuh bebas karena pengaruh gravitasi,

sehingga a=g, pegas sama sekali tidak akan bertambah panjang, dan tegangannya akan

sama dengan nol.

b. Penjumlahan dua vektor gaya

Pada percobaan kedua, kita akan mempelajari cara menentukan jumlah dua vector gaya.

Dua dynamometer diatur sehingga membentuk sudut yang sama terhadap garis vertical.

Karena dalam posisi seimbang maka besar gaya pada neraca 1 sama besar dengan neraca

pegas 2. Dan memiliki panjang garis yang sama pula, karena panjang garis menunjukkan

besar vector.

Dengan melukis jajar genjang dengan memberi garis bantu, maka diperoleh gaya resultan

dari kedua vector gaya. Dengan arah gaya resultan kearah vertical ke atas, arah tersebut

berlawanan arah dengan arah gaya berat yang arahnya kepusat bumi bumi (arah vertical

negatif). Dalam percobaan ini karena menggunakan beban dengan berat 0,05 kg, maka

besar gaya berat adalah 0.5 N.

Besarnya gaya resultan dapat dicari secara analitis, yaitu dengan cara memproyeksikan

kedua gaya terhadap sumbu-x dan sumbu-y. dari hasil perhitungan maka diperoleh besar

resultan gaya adalah 0,5 N untuk sudut 200, 250 dan 300, sedangkan untuk sudut 350

diperoleh besar gaya resultan 0,49 N.

Ternyata keduanya memiliki besar yang sama tetapi arah keduanya berlawanan. Hal ini

menunjukkan bahwa keduanya memiliki hubungan aksi reaksi.

Gerak pada bidang datar

Pada gerak dapat juga di selesaikan dengan konsep matematika,yaitu dengan vector dan

limit.

Beberapa contoh gerak dalam 2 dimensi;

*Gerak merupakan perpaduan gerak lurus beratuiran(GLB) dengan gerak lurus

beraturan(GLB).

*gerak yang merupakan perpaduan (GLB) dan (GLBB) atau lebih di kenal sbg gerak

parabola.

*gerak yang merupakan perpaduan (GLBB) dengan (GLBB)

Sebelum membahas gerak 2 dimensi,kita mempelajari dulu vektor

perpindahan,kecepatan dan percepatan 2 dimensi.

Perpindahan,kecepatan dan percepatan dalam 2 dimensi

Rumus kecepatan rata-rata,kecepatan sesaat,percepatan rata-rata danpercepatan sesaat

dalam gerak 1 dimensi,yang di tuliskan sbb: