Pembuktian Teorema Lima Lingkaran Rahma Siska Utari

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran Rahma Siska Utari

Pembuktian Teorema Lima LingkaranOleh Rahma Siska Utari

1. PENDAHULUAN1.1 Latar BelakangMatematika merupakan studi tentang struktur, ruang dan perubahan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu bagian matematika yang berkenaan dengan ukuran, bentuk dan posisi relative benda dengan beranekaragam ruang. Geometri adalah satu dari ilmu pengetahuan tertua. Sebuah tubuh pengetahuan praktis berkenaan dengan panjang, wilayah dan volume. Di bidang geometri dikenal sebuah kaidah yaitu Five Circles Theorem (Teorema Lima Lingkaran) yang dikemukakan oleh seorang matematikawan Prancis bernama Auguste Miquel dan dipublikasikan pada Journal de Mathematiques Pures et Appliquees (Liouville s Journal) Tome Troisieme pada tahun 1838.Pada Teorema Lima Lingkaran tersebut dinyatakan bahwa suatu lingkaran dapat dibentuk dari suatu segilima (pentagon) yang tidak beraturan. Tentu saja teorema ini sangat menarik, selain itu teorema lima lingkaran ini juga dapat memberikan suatu ilmu baru, khususnya bagi penulis untuk mengetahui bagaimana cara menggambar lingkaran dari sebuah segilima tidak beraturan.

1.2 Rumusan Masalah.Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah Bagaimana membuktikan Teorema Lima Lingkaran dengan menggunakan konsep bangun datar yaitu pentagon, pentagram, segiempat tali busur, lingkaran serta sifat sifat dan hubungan antar sudut dalam lingkaran ?

1.3 Tujuan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah Untuk mengetahui pembuktian Teorema Lima Lingkaran menggunakan konsep bangun datar yaitu pentagon, pentagram, segiempat tali busur dan lingkaran serta sifat sifat dan hubungan antar sudut dalam lingkaran.

1.4 ManfaatAdapun manfaat yang penulis harapkan dari makalah ini : Teman teman mahasiswa, untuk menambah wawasan dan materi baru tentang teorema lima lingkaran. Siswa, sebagai materi pengayaan untuk sekolah menengah agar dapat memperluas pengetahuan siswa mengenai bangun datar serta dapat melatih siswa berpikir kreatif.

2. MATERI PENUNJANG2.1 Definisi Pentagon

BDalamgeometri,pentagonatausegi limaadalahsemua segi banyak yang bersisi lima.

CA

ED

Gambar 1. Pentagon2.2 Definisi PentagramPentagram terkadang dikenal sebagai pentalpha atau pentangle atau segilima bintang adalah bentuk dari sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang digambar dari perpanjangan lima garis lurus masing masing sisi pentagon.

2.3 Lingkarani. Definisi LingkaranLingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.ii. Keterangan gambar :O = Pusat LingkaranOA = OB = OC = Jari jari LingkaranBC = Diameter LingkaranAC = Tali BusurOD = ApotemaDaerah ACE = temberengDaerah AOB = Juring Bagian-bagian Lingkaran

E

Gambar 2. Bagian bagian Lingkaran

iii. Lingkaran Luar Segitiga

C Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

QR

POOBA

Gambar 3. Lingkaran Luar Segitiga Gambar di atas menunjukkan lingkaran luar ABC dengan pusat O. OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.2.4 Segiempat i. Definisi SegiempatSegiempat adalah bangun datar yang dibentuk dengan menghubungkan empat buah titik yang tidak segaris. Ada enam macam bangun datar segi empat, yaitu persegi panjang, belah ketupat, persegi, layang-layang, jajargenjang, trapesium.ii. Segiempat Siklis

BCADSegi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat yang terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran sedemikian hingga jumlah dua buah sudut yang berhadapan pada segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o, maka segiempat tersebut adalah segi empat tali busur.< CDE = < ABC< CDE + < ADC = 180o< ADC + .B\\ ...>.Suatu himpunana titik S = {A1, A2, ...,An } adalah concyclic jika titik - titik tersebut terletak pada keliling lingkaran.

C\\ ...>.

Gambar 5. Titik - Titik ConcyclicO ...>.D\\ ...>.

Pada gambar di atas, titik A,B, C, D concyclic, karena titik titik tersebut terletak pada keliling lingkaran yang berpusat di O.Sebuah poligon (segi banyak) yang memiliki lingkaran-luar disebut poligon siklik (kadang-kadang poligon concyclic). Untuk poligon siklik dengan jumlah sisi ganjil, semua sudut sama jika dan hanya jika poligon tidak beraturan. Sebuah poligon siklik dengan jumlah sisi n memiliki sudut sama jika dan hanya jika sisi alternatif sama (yaitu, sisi 1, 3, 5, ... adalah sama, dan sisi 2, 4, 6, ... adalah sama).2.6 Suduti. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Dari gambar diatas, diperoleh: QOR merupakan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur QR. QTR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur

QPR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur

QSR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke

Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama.ii.Sudut PelengkapSudut pelengkap adalah pasangan sudut yang jika dijumlahkan hasilnya 180o. Jadi pasangan dari sudut xo adalah sudut (180 - x)o.

3. MATERI POKOKIsi dari makalah ini untuk membuktikan Teorema Lima Lingkaran. Adapun bunyi dari Teorema Lima Lingkaran adalahTeorema Lima Lingkaran : Diberikan segilima ABCDE sebarang yang perpanjangan sisi sisinya berpotongan di titik F, G, H, I dan J, membentuk pentagram. Dapat dibentuk lingkaran dari segitiga AFB, BGC, PJK, DIE, dan EJA. Sehingga ada lima titik baru K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua lingkaran.Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M, N dan P concyclic.Bukti :

Gambar 6. Teorema Lima Lingkaran

Langkah Langkah Pembuktian :NoGambarPenjelasan

1.Pentagon

Diberikan pentagon ABCDE

2.Perpanjangan sisi sisi pentagon akan berpotongan di titik F, G, H, I dan J membentuk pentagram.

3.Akan terbentuk circumcircle atau lingkaran luar dari sisi sisi pentagon.

4.Terdapat titik baru K, L, M, N, P yang merupakan perpotongan dua circumcircles.Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M, N dan P concyclic.

5.Akan dibuktikan = 1 = 2 = 3 DEIM adalah segiempat tali busur. Berdasarkan sifat sudut segiempat tali busur bahwa sudut yang berhadapan berjumlah 180o. MIE = MIE + EDM = 180oEDM = 180o - MIEEDM = 180o ... (1) Perhatikan MNE = MIEKarena MNE menghadap busur yang sama denganMIE yaitu busur EM, berdasarkan sifat sudut keliling bahwa sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama, maka MNE = MIESehingga 1= ...(2) Perhatikan MDH dan EDM merupakan sudut berpelurus.MDH = 2 Dengan mensubstitusi Persamaan 1, didapat MDH + EDM = 180oMDH = 180o - EDM2 = 180o (180o )2 = ... (3) Karena MCH menghadap busur yang sama denganMDH yaitu busur MH.Maka MCH = MDHMCH= 32 = 3 ... (4)

Berdasarkan persamaan 2, 3 dan 4 maka terbukti = 1 = 2 = 3

6.Perhatikan MCF dan MCH adalah sudut berpelurusMCF + MCH = 180oMCF + 3 = 180o karena = 3MCF = 180o - Sehingga FCMI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik F, C, M, I concyclic.

7.Akan dibuktikan = 1 = 2 ABKF adalah segiempat tali busur. Berdasarkan sifat sudut segiempat tali busur bahwa sudut yang berhadapan berjumlah 180o. diberikan AFK = AFK + KBA= 180oKBA = 180o - AFKKBA = 180o ... (1) KBA dan GBK merupakan sudut berpelurus.GBK = 1GBK + KBA= 180oGBK = 180o - KBA1 = 180o (180o ) 1 = ... (2) Karena GBK menghadap busur yang sama denganKCG yaitu busur KGMaka GBK = KCGKCG = 11 = 2 ... (3)Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka terbukti = 1 = 2 .

8.Perhatikan GCK dan IHK adalah sudut berpelurusGCK + IHK = 180oGCK+ 1 = 180o karena = 1MCF = 180o - Sehingga FKCI adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik F, K, C, I concyclic.

9.Akan dibuktikan bahwa = 4FKMI adalah segiempat tali busur, karena segi empat FKMI yang terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran. Berdasarkan sifat sudut segiempat tali busur bahwa sudut yang berhadapan berjumlah 180o. FIM = FIM + MKF = 180oMKF = 180o - FIMMKF = 180o ... (1) MKF dan 4 merupakan sudut berpelurus.MKF + 4= 180o180o = 180o - 4 = 4

10.

Akan dibuktikan = 1 = 2 AENP adalah segiempat tali busur. Berdasarkan sifat sudut segiempat tali busur bahwa sudut yang berhadapan berjumlah 180o. diberikan ENP = ENP + PAE = 180oPAE = 180o - ENPPAE = 180o ... (1) PAE dan FAP merupakan sudut berpelurus.FAP = 1PAE + FAP = 180oFAP = 180o - PAE1 = 180o (180o ) 1 = ... (2) Karena FAP menghadap busur yang sama denganFKP = 2Maka FAP = FKPFAP = 11 = 2 ... (3)

Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka terbukti = 1 = 2 .

11.Perhatikan PKM dan 4+ 2 adalah sudut berpelurusPKM = 180o (4+ 2) dan 1+ Berdasarkan langkah (8) dan (9)didapat bahwa = 4 dan = 2Sehingga KMNP adalah segiempat siklis atau segiempat tali busur, dengan kata lain titik K, M, N, P concyclic.

12.Titik K, M, N, P concyclic. Maka titik L yang terletak pada lingkaran yang sama juga concyclic.Dengan demikian titik K, L, M, N concyclic dan teorema lima lingkaran terbukti.

4. PENUTUPDari pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat dibuktikan dengan penggunaan konsep pentagon, pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat sudut pada lingkaran, aturan sudut dalam trigonometri, serta titik titik concyclic. Sehingga terbukti bahwa titik titik K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua lingkar adalah concyclic. Selain itu dapat juga disimpulkan bahwa dari suatu segilima sebarang dapat dibentuk suatu lingkaran.DAFTAR PUSTAKAAisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira.Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses tanggal 8 Maret 2012.Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses tanggal 8 Maret 2012.http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal 8 Maret 2012.Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret 2012.Crayonpedia.http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret 2012.Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29 Maret 2012.Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle_theorem#Theorem. Diakses tanggal 28 April 2012.Wikipedia.http://mathworld.wolfram.com/Concyclic.html. Diakses tanggal 28 April 2012.Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle. Diakses tanggal 28 April 2012.Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic_points. Diakses tanggal 28 April 2012.Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral. Diakses tanggal 28 April 2012, 14 : 53 WIB.

1