PEMBAHASAN

TRANSFORMASI KEBALIKAN

1.1` Definisi

Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi dengan

dinamakan

transformasi kebalikan .

Secara geometric, transformasi

akan memetakan titik-titik yang mendekati ke

titik-titik di daerah yang jauh dari peta titik-titik sebelumnya.

Dengan menuliskan dan dalam bentuk kutub, kita lihat bahwa jika maka

diperoleh

Bukti:

Jadi, di bawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus dan argument dipetakan

menjadi suatu titik dengan modulus

dan argument .

Transformasi tersebut dapat digambarkan secara geometri dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

Kasus I : berada di dalam lingkaran

1. Ambil suatu titik yang mempunyai modulus dan argument yang terletak di

dalam lingkaran satuan

2. Lukis garis melalui yang tegak lurus pada sinar dari O dan melalui .

3. Dari titik-titik perpotongan dengan lingkaran satuan, lukis garis singgung

yang berpotongan pada suatu titik pada .

4. Diperoleh

dan

.

5. Tentukan titik

dimana

dan .

6. Diperoleh

.

Kasus II : berada di garis pada lingkaran satuan

untuk setiap , maka

merupakan pencerminan titik terhadap

sumbu Real

1. Ambil sebarang titik

2. Cerminkan pada sumbu Real

Kasus III : berada di luar lingkaran

1. Ambil sebarang titik

2. Tarik garis R melalui dan

3. Bagi garis R menjadi dua bagian sama panjang, beri nama titik tengah dengan A

4. Lukis lingkarang dengan pusat A dan berjari-jari OA yang akan memotong

lingkaran satuan di dua titik. Beri nama B dan C

5. Tarik garis S yang melalui B dan C sehingga memotong garis R di titik

6. Diperoleh

dan

.

7. Tentukan titik

dimana

dan .

8. Diperoleh

2 2 2 2

1 x yi

z x y x y

1.2 Contoh Soal

1. Kita akan melihat bayangan kurva dibawah pemetaan 1

wz

, perhatikan garis tegak

1x . Dari penguraian

Kita mempunyai

2 2

xu

x y

dan

2 2

yv

x y

Kemudian karena setiap titik pada garis yang diberikan berbentuk 1z yi

Kita mendapatkan bahwa

2 21

xu

y

dan

2 21

yv

y

Dengan menguadratkan dan menjumlahkan dua persamaan terakhir itu, kita

memperoleh

2 2u v u

Sehingga, diperoleh sebuah lingkaran 1 1

2 2w

Setelah ditemukan gambar transformasi dari garis tersebut, kita akan menentukan daerah

dari

pada bidang

Misalkan daerah di dalam lingkaran,

21 1

2 2u v

jadi, daerah di dalam lingkaran tersebut adalah pemetaan dari daerah

Dengan cara yang hampir sama dapat ditunjukkan daerah di luar lingkaran adalah

pemetaan dari daerah dan garis pada lingkaran merupakan pemetaan dari garis

Seperti pada gambar di bawah ini:

Bidang transformasi

Bidang

Pernyataan:

Di bawah transformasi kebalikan garis-garis dan lingkaran-lingkaran dipetakan ke garis-

garis atau lingkaran-lingkaran.

Bukti berdasarkan

a)

b) Persamaan mewakili suatu lingkaran atau

suatu garis dan sebaliknya setiap garis atau lingkaran dapat diwakili oleh

seuatu persamaan yang berbentuk seperti di atas.

Misalkan diberikan suatu lingkaran atau suatu garis, misal . Kemudian untuk

konstanta dan . Maka:

Dari a) kita mempunyai

,

,

Kemudian dengan membagi persamaan dengan diperoleh

yang merupakan garis atau lingkaran pada bidang .

2. Perhatikan garis

1 : 2 0L x y

Dalam notasi persamaan 2 2: 0K a x y bx cy d , 0, 1, 1, 2a b c d . Jadi,

di bawah 1

wz

, 1L dipetakan menjadi garis atau lingkaran yang diberikan. Maka, 1L

dipetakan menjadikan lingkaran

2 2

1 : 2 0C u v u v

Begitu pula, kita mendapatkan bahwa garis

2 : 2 0L x y

Dipetakan menjadi lingkaran

2 2

2 : 2 0C u v u v

Perhatikan bahwa:

Dipetakan ke lingkaran

Dipetakan ke lingkaran

Karena untuk ,

dan untuk

maka kedua garis tersebut

berpotongan tegak lurus di .

Sedangkan untuk

dan untuk

, serta

Subtitusi sehingga diperoleh untuk

dan

maka kedua

lingkaran tersebut berpotongan pada dan

.

Transformasi

1.3 LATIHAN SOAL

13.3 Carilah bayangan masing-masing garis atau lingkaran berikut dibawah pemetaan

kebalikan

a) 1y

b) 1y x

c) 1x

d) 1x y

e) 22 1 4x y

f) 2 2

1 2 4x y

g) Sumbu nyata

h) Sumbu khayal

Jawab:

a) 1y

1 0y

0, 0, 1, 1a b c d

2 21( ) 0u v v

2 2 0u v v

b) 1y x

1 0y x

0, 1, 1, 1a b c d

2 2 0u v u v

2 2 0u v u v

c) 1x

1 0x

0, 1, 0, 1a b c d

2 2 0u v u

d) 1x y

1 0x y

0, 1, 1, 1a b c d

2 2 0u v u v

2 2 0u v u v

2 2 0u v u v

e) 22 1 1x y

2 2 2 1 1x y y

2 2 2 0x y y

1, 0, 2, 0a b c d

2 1 0v

1

2v

f) 2 2

1 2 4x y

2 22 1 4 4 4x x y y

2 2 2 4 1 0x y x y

1, 2, 4, 1a b c d

2 2 2 4 1 0u v u v

2 2 2 4 1 0u v u v

g) 0y

0, 0, 1, 0a b c d

0v

0v

h) 0x

0, 1, 0, 0a b c d

0u

13.6 Carilah bayangan lingkaran 1 1z dibawah 1

wz

Jawab:

1 1z

1 1x iy

2 21 1x y

2 22 1 1x x y

2 2 2 0x y x

1, 2, 0, 0a b c d

2 1 0u

Transformasi

13.8 Tunjukkan bahwa sembarang garis 0x c dipetakan menjadi

lingkaran 1 1

2 2w

c c dibawah transfomasi kebalikan

Jawab:

0x c

0, 1, 0,a b c d c

2 2 0c u v u

2 2 0u

u vc

2 2

2 2

1 1

4 4

uu v

c c c

2

2

2

1 1

2 4u v

c c

2

21 1

2 2u v

c c

1 1

2 2w

c c

13.9 Bahaslah bayangan garis mendatar di bawah pemetaan

kebalikan dan turunkan persamaan bayangan itu, sama seperti

terhadap soal 13.8

Jawab:

Dari pembahasan di atas diperoleh bahwa

sehingga