documentpd

18
Outline Persamaan Diferensial I Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D. Universitas Jember Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember PS Pend. Matematika Dafik Persamaan Diferensial I

Upload: made-dwijendra

Post on 24-Nov-2014

89 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: DocumentPD

Outline

Persamaan Diferensial I

Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D.

Universitas Jember

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Jember

PS Pend. Matematika

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 2: DocumentPD

Outline

Outline

1 PDB Linier Order SatuPDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

2 APLIKASI PDB ORDER SATU

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 3: DocumentPD

Outline

Outline

1 PDB Linier Order SatuPDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

2 APLIKASI PDB ORDER SATU

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 4: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Outline

1 PDB Linier Order SatuPDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

2 APLIKASI PDB ORDER SATU

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 5: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Bentuk Umum

Persamaan Umum

dydx

= f (x , y)

dy = f (x , y)dx

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0

Jumlah Diferensial

dF (x , y) =∂F (x , y)

∂xdx +

∂F (x , y)

∂ydy

M(x , y) =∂F (x , y)

∂x; N(x , y) =

∂F (x , y)

∂y

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 6: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Bentuk Umum

Persamaan Umum

dydx

= f (x , y)

dy = f (x , y)dx

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0

Jumlah Diferensial

dF (x , y) =∂F (x , y)

∂xdx +

∂F (x , y)

∂ydy

M(x , y) =∂F (x , y)

∂x; N(x , y) =

∂F (x , y)

∂y

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 7: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

PDB Eksak

Sifat

Suatu PDB disebut PDB Eksak bila memenuhi sifat berikut:

∂M(x , y)

∂y=

∂N(x , y)

∂x

Contoh Soal

Apakah PDB berikut Eksak:

(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 8: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

PDB Eksak

Sifat

Suatu PDB disebut PDB Eksak bila memenuhi sifat berikut:

∂M(x , y)

∂y=

∂N(x , y)

∂x

Contoh Soal

Apakah PDB berikut Eksak:

(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 9: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Pembahasan

Jawab

(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0∂M(x , y)

∂y= 4x

∂N(x , y)

∂x= 4x

Sehingga PDB ini adalah Eksak. Kerjakan tutorial 2, nomor 1.

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 10: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Eksak

Solusi Umum

(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0 (1)

dF (x , y) =∂F (x , y)

∂xdx +

∂F (x , y)

∂ydy (2)

∂F (x , y)

∂x= (3x2 + 4xy) (3)

∂F (x , y) = (3x2 + 4xy)∂x (4)∂F (x , y)

∂y= (2x2 + 2y) (5)

∂F (x , y) = (2x2 + 2y)∂y (6)

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 11: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Eksak

Integralkan (6) thd x kemudian turunkan thd y

F (x , y) =

∫M(x , y)∂x + φ(y) =

∫(3x2 + 4xy)∂x + φ(y) (7)

∂F (x , y)

∂y= 2x2 +

dφ(y)

dy(8)

Kombinasikan (7) dan (10)

(2x2 + 2y) = 2x2 +dφ(y)

dy(9)

dφ(y)

dy= 2y (10)

Zdφ(y) =

Z2ydy −→ φ(y) = y2 + c0 (11)

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 12: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Eksak

Integralkan (6) thd x kemudian turunkan thd y

F (x , y) =

∫M(x , y)∂x + φ(y) =

∫(3x2 + 4xy)∂x + φ(y) (7)

∂F (x , y)

∂y= 2x2 +

dφ(y)

dy(8)

Kombinasikan (7) dan (10)

(2x2 + 2y) = 2x2 +dφ(y)

dy(9)

dφ(y)

dy= 2y (10)

Zdφ(y) =

Z2ydy −→ φ(y) = y2 + c0 (11)

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 13: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Eksak

Substitusikan (13) ke (9)

F (x , y) =

∫M(x , y)∂x + φ(y) =

∫(3x2 + 4xy)∂x + φ(y) (12)

F (x , y) =

∫(3x2 + 4xy)∂x + y2 + c0 (13)

F (x , y) = x3 + 2x2y + y2 + c0 (14)

Sehingga solusi umumnya dapat ditulis sbb:x3 + 2x2y + y2 = c.

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 14: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Outline

1 PDB Linier Order SatuPDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

2 APLIKASI PDB ORDER SATU

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 15: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Linier Order Satu Nonhomogen

Bentuk Umum

dydx

+ P(x)y = Q(x) (15)

dydx

+ P(x)y = Q(x)yn (16)

Simplikasi

(P(x)y −Q(x))dx + dy = 0 (17)

M(x , y) = P(x)y −Q(x) dan N(x , y) = 1 (18)

Ikuti langkah-langkah dalam handout.

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 16: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

PDB Linier Order Satu HomogenPDB Linier Order Satu Nonhomogen

Solusi PDB Linier Order Satu Nonhomogen

Bentuk Umum

dydx

+ P(x)y = Q(x) (15)

dydx

+ P(x)y = Q(x)yn (16)

Simplikasi

(P(x)y −Q(x))dx + dy = 0 (17)

M(x , y) = P(x)y −Q(x) dan N(x , y) = 1 (18)

Ikuti langkah-langkah dalam handout.

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 17: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

Mekanik

Kecepatan

v =dxdt

(m/dt) ; a =dvdt

(m/dt2) (19)

H. Newton

mg = W

ma = F

mdvdt

= F

mdvdx

dxdt

= F ; mvdvdx

= F

Dafik Persamaan Diferensial I

Page 18: DocumentPD

PDB Linier Order SatuAPLIKASI PDB ORDER SATU

Mekanik

Kecepatan

v =dxdt

(m/dt) ; a =dvdt

(m/dt2) (19)

H. Newton

mg = W

ma = F

mdvdt

= F

mdvdx

dxdt

= F ; mvdvdx

= F

Dafik Persamaan Diferensial I