1 | PD Bessel

Modul:

Mat. Rekayasa II

Oleh:

Aulia S. Aisjah

Seri:PD Bessel

2 | PD Bessel

PD Bessel Tipe pertama

Beberapa bentuk khusu PD telah Anda Pelajari di pokok bahasan

sebelumnya:

1. PD Legendre

2. PD yang diselesaikan dengan metode Frobenius

Pada pokok bahasan ini, terdapat bentuk khusus PD yang lain dan akan

kita temui pada mk: Getaran dan Vibrasi, Perpindahan panas dan massa,

dan mk lain.

Bentuk PD khusus ini dinamakan PD Bessel, berikut adalah

persamaannya,

Persamaan 1

Perhatikan persamaan 1 tersebut. Bentuk PD termasuk nonlinier, orde

dua, non homogeny. Terdapat parameter v yang dinamakan parameter

dari PD Bessel, dimana v > 0 dan bernilai real.

Bentuk lain dari persamaan 1, adalah berikut ini, dimana sering ditemui

pada dinamika getaran pada plat

Persamaan 2

Persamaan 2 di atas, merupakan transformasi / perubahan

variable x menjadi variable lain u = x.

Pers 1 atau Pers. 2, merupakan bentuk khusus dari PD yang

diusulkan oleh Frobenius,

Dengan dan

Dan diselesaikan dengan extended power series,

3 | PD Bessel

Bila PD Bessel

Diselesaikan dengan extended power series,

Maka akan diperoleh hubungan:

Persamaan 3

Jabarkan persamaan 3 di atas dalam bentuk deret, dan kemudian, lihat

pada koefisien xr,

Syarat dari Frobenius, bila a0 0, sehingga, yang menyebabkan = 0,

adalah:

r(r-1) + r v2 = 0 atau r2 v2 = 0 Persamaan 4

Pers. 4 dikatakan sebagai persamaan indicial.

Akar akar dari pers. 4, adalah

Dan akar akar r = v dan r = -v

4 | PD Bessel

Koefisien pada xr+1

Persamaan 5

Koefisien pada xr+2,

Persamaan 6

Saat r = v, dimasukkan ke pers. 5 diperoleh hubungan:

a1 = 0

dan Saat r = v, dimasukkan ke pers. 6 diperoleh hubungan:

Karena a1 = 0, akan menyebabkan a3, a5, a7 = 0, atau akan

menghasilkan nilai yang tidak 0, untuk i yang genap saja pada ai.

Pernyataan tersebut dapat digantikan dengan bentuk persamaan,

Persamaan 7

Atau

Persamaan 8

Pers. 8 dikatakan sebagai persamaan rekurensi / rekursi.

Untuk a2 dan a4,

5 | PD Bessel

Persamaan 9

Dan lihat bentuk persamaan 9 di atas, dapat ditulis untuk sembarang m,

koefisien a2m adalah:

Persamaan 10

Perhatikan penyebut pada pers. 10 di atas, apabila v merupakan

nilai integer / bilangan bulat dan digantikan dengan n v = n, maka

pers. 10 dapat dituliskan

dan

Sehingga penyelesaian PD Bessel berikut ini

Untuk v = n, adalah:

Persamaan 11

Pers. 11, dikatakan sebagai fungsi Bessel tipe pertama, orde n.

Apabila nilai v = 0, untuk PD Bessel

6 | PD Bessel

Atau dikatakan saat v = n = 0, maka penyelesaiannya adalah fungsi

Bessel orde 0:

Dan untuk v = n = 1, fungsi Bessel orde 1 adalah

Aplikasi metode penyelesaian PD dengan dengan pendekatan

fungsi Bessel, untuk PD berikut ini:

y y = 0 Persamaan 12

adalah

Berikut bentuk fungsi Bessel macam pertama, orde 0 dan orde 1

7 | PD Bessel

PD Bessel tipe 2

PD Bessel, dengan v > 0, maka penyelesaian nya adalah Fungsi

Bessel berikut ini

Persamaan 13