Petunjuk Alat Permainan 2008

Petunjuk Alat Permainan 2008

Gambar Alat (untuk 3 titik) :

Pengantar Permainan : PROBLEM STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

Petunjuk Alat Permainan 2008 – Math Playground PPPPTK Matematika

Gambar Alat (untuk 3 titik) :

Pengantar Permainan : PROBLEM STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

Math Playground PPPPTK Matematika

Gambar Alat (untuk 3 titik) :

Pengantar Permainan : PROBLEM STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

A

B

Math Playground PPPPTK Matematika

BUSA STEINER

Gambar Alat (untuk 3 titik) :

Pengantar Permainan : PROBLEM STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

Math Playground PPPPTK Matematika

BUSA STEINER

Pengantar Permainan : PROBLEM STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

BUSA STEINER

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

C

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

17

Misalkan terdapat tiga buah desa A, B dan C yang belum terhubung satu sama lain.

18

Petunjuk Alat Permainan 2008 – Math Playground PPPPTK Matematika

Warga ketiga desa tersebut sepakat untuk membangun jalan yang dapat

menghubungkan ketiga desa. Karena dana yang tersedia terbatas, mereka

menginginkan agar total panjang jalan dibuat seminimal mungkin. Dengan

menggunakan tiga titik untuk mewakili ketiga desa seperti pada gambar di atas, cobalah

untuk mendesain beberapa model lintasan yang mungkin . Ukurlah total panjang jalan

yang harus dibuat dan bandingkan dengan pekerjaan teman-temanmu.

Penyelesaian:

Dengan mengambil ketiga titik sebagai titik sudut sebuah segitiga ABC. Untuk segitiga

ABC yang semua sudutnya kurang dari 120°, jalur dengan total panjang terpendek

adalah AT + BT + CT dengan T suatu titik di dalam segitiga dan ∠ATB = ∠BTC = ∠ATC =

120°. Bagaimana pembuktiannya?

Misalkan K adalah sebuah lingkaran berpusat di C dengan jari-jari TC. Agar diperoleh

panjang minimum, T haruslah terletak sedemikian sehinga TA + TB minimum. Keadaan

ini akan terjadi ketika sudut antara garis singgung lingkaran di T dengan TA sama

dengan sudut antara garis singgung lingkaran di T dengan TB (lihat gambar). Dengan

demikian ∠BTQ = ∠ATP dan ∠BTC = ∠ATC.

C

T

A

B Q

P

19

Petunjuk Alat Permainan 2008 – Math Playground PPPPTK Matematika

Dengan cara yang sama, dengan mengambil lingkaran yang melalui T serta berpusat di

A, akan didapat ∠BTA = ∠ATC. Demikian pula dengan mengambil lingkaran melalui T

berpusat di B, akan diperoleh ∠BTA = ∠BTC. Akibatnya ∠ATB = ∠BTC = ∠ATC = 120°.