modul praktikum simulasi

Modul Praktikum Simulasi Fisika, Supardi, M.Si

PRAKTIKUM 1

SIMULASI GERAK JATUH BEBAS

TUJUAN PRAKTIKUM

1. Menyelesaikan simulasi gerak jatuh bebas denngan algoritma Euler dan Runge-

Kutta.

2. Membandingkan hasil dari pendekatan numerik dengan hasil analitis.

3. Mengintepretasikan grafik hasil.

DASAR TEORI

Misalkan sebuah partikel, misalnya sebuah bola di dekat permukaan bumi dikenai

sebuah gaya tunggal, yaitu gaya grafitasi. Kita mengasumsikan ahwa gesekan dengan

udara diabaikan, dan gaya grafitasi diberikan oleh

(1-1)

dimana m adalah massa bola dan g = 9.8 N/kg adalah medan grafitasi (gaya persatuan

massa) di dekat permukaan bumi. Untuk menyederhanakan permasalaha, pertama kita

mengasumsikan bahwa hanya ada satu arah gerak partikel yaitu gerak vertikal. Kita

menggunakan hukum Newton kedua untuk memperoleh gerakan bola

(1-2)

dimana y adalah koordinat arah vertikal dan berharga positip, t adalah waktu, F adalah

total gaya pada bola dan m adalah mass diam (yang samadengan massa grafitasi seperti

pada (1-1)). Jjika kita set F=F g , (1-1) dan (1-2) menjadi

Jurdik Fisika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010 1


(1-3)

Persamaan (1-3) merupakan pernyataan dari sebuah model gerakan bola. Dalam kasus ini

model gerakan berupa persamaan diferensial orde dua. Solusi analitik dari persamaan (1-

3) adalah

(1-4)

akan tetapi, yang akan kita lakukan adalah menentukan gerak jatuh bebas bola

secara numerik dengan tujuan untuk mengenalkan tool yang diperlukan dalam

menyelesaikan permasalahan yang sudah familiar bagi kita.

Kita mulai dengan menjadikan pernyataan (1-3) menjadi dua persamaan

diferensial berorde satu, yaitu

(1-5)

dimana v merupakan kecepatan bola pada arah vertikal. Selanjutnya, kita dapat

mendekati ungkapan derivatif pada (1-5) dalam ungkapan beda hingga menjadi

(1-6)

Dari (1-6), dengan menyususun kembali ungkapan ini maka akan diperoleh

(1-7)

Dari ungkapan (1-7), kita dapat memperoleh posisi dan kecepatan bola pada setiap saat.



TUGAS

1. Selesaikan simulasi gerak partikel ini dengan algoritma Euler (lihat ungkapan (1-

7)). Set syarat awal y t=0=3.0 dan v t=0=0 dan ukuran langkah h=0.1 .

2. Buat grafik fungsi y dan v sebagai fungsi waktu. Cocokkan dengan hasil analitik

(lihat ungkapan (1-4).

3. Kerjakan sekalai lagi, tetapi sekarang Anda menggunakan metode Runge Kutta

orde 2. Bagaimana jika Anda bandingkan hasilnya dengan ketika Anda

menggunakan metode Euler untuk ukuran langkah yang sama.



PRAKTIKUM 2

GAYA BERGANTUNG POSISI

Penyelesaian analitik dari gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi seperti pada

ungkapan (1-4) sudah sangat akrab dan penyelesaian numerik untuk masalah ini hanya

untuk pengenalan metode numerik saja. Adalah tidak terlalu sulit untuk memikirkan

model realistik untuk gerak jatuh bebas di dekat permukaan bumi yang mana persamaan

geraknya tidak terlalu mudah untuk diselesaikan secara analitik. Sebagai contoh, jika kita

mengingat kembali variasi medan grafitasi terhadap jarak dari pusat bumi, maka gaya

pada partikel adalah tidak konstan. Menurut hukum Newton tentang grafitasi, bahwa

gaya yang diakibatkan oleh bumi pada sebuah partikel bermassa m diberikan oleh

(2-1)

dimana y diukur dari permukaan bumi, R adalah jejari bumi, M adalah massa bumi, G

adalah konstanta grafitasi dan g=GM/R.


Illustration 1: (a) sistem koordinat dengan y posisitp ke arah vertikal ke atas, (b) diagram gaya untuk benda jatuh, (c ) diagram gaya untuk

benda bergerak ke atas.


Untuk patikel di dekat permukaan bumi, modifikasi yang mungkin penting adalah

dengan memasukkan gaya gesek kadena resistensi udara. Arah dari gaya gesek F d v

berlawanan dengan arah kecepatan partikel (Lihat ilustrasi 1). Untuk benda yang jatuh

F d v berarah ke atas. Oleh sebab itu, gaya total F pada benda jatuh dapat dinytakan

dengan

(2-2)

Selanjutnya, kita perlu menentukan bentuk F d v secara empirik. Salah satu cara

yang dapat digunakan untuk menentukan F d v ini adalah dengan mengukur y

sebagai fungsi t, kemudian menentukan v t dengan menghitung derivatif numerik

dari y. Demikian pula, kita dapat menentukan secara numerik dari percepatan a t

dengan menggunakan v t .Dengan demikian kita dapat menentukan percepatan

sebagai fungsi v kemudian menentukan F d v dari (2-2). Akan tetapi, cara ini akan

menimbulkan kesalahan karena akurasi dari derivatif akan lebih rendah dari posisi yang

terukur. Cara alternatif yang dapat dipilih adalah dengan cara sebaliknya, yaitu kita

berasumsi bahwa F d secara ekspilisit bergantung pada v. kemudian menggunakannya

untuk menentukan y t . Apabila perhitungan terhadap y(t) sesuai dengan hasil

eksperimen y(t) , maka asumsi bahwa F d bergantung kepada v adalah benar.

Dua asumsi yang umum digunakan untuk menggambarkan ketergantungan F d

terhadap v adalah

F 1,d=C1 v (2-3a)

dan

F 2,d=C 2 v2 (2-3b)

dimana parameter C1 dan C2 bergantung kepada sifat mediaum dan bentuk dari



benda.

Oleh karena F d semakin besar ketika v bertambah, maka terdapat sebuah

kecepatan terminal (terminal velocity) atau kecepatan batas (limiting velocity) yang mana pada

saat itu jumlah gaya yang bekerja pada benda jatuh sama dengan nol. Kecepatan terminal

ini dapat diperoleh dari ungkapan (2-2) dan (2-3) dengan mensetting F d=mg , sehingga

diperoleh

(2-4)

Selanjutnya, jika ungkapan pada (2-3) menggunakan ungkapan kecepatan terminal

(2-4) maka diperoleh

(2-5)

Dengan demikian, gaya total yang bekerja pada benda jatuh seperti pada

ungkapan (2-2) dapat dinyatakan dalam dua bentuk,

F 1v=mg1 vv1, t (2-6a)F 2v =mg 1 v2v 2, t2 (2-6b)

Gaya total per satuan massa dapat dinyatakan dari (2-6) yaitu



F 1v /m=g1 vv1, t (2-7a)F 2v /m=g1 v2v2,t2 (2-7b)

Untuk menentukan bahwa pengaruh gesekan dengan udara selama benda jatuh,

maka pandanglah sebuah kerikil dengan massa m = 10-2 kg. Pendekatan yang cocok untuk

masalah ini adalah bahwa drag force sebanding dengan v2 . Untuk kerikil dengan

radius 0.01 m, secara empirik C2 bernilai sekitar 10-4 kg/m. Dari (2-4), maka kita dapat

peroleh bahwa kecepatan terminalnya sekitar 30 m/s. Dari hasil running program,

kecepatan terminal dapat diperoleh ketika benda jatuh sejauh 50 m pada sekitar 3 detik.

#include

#include

main(){

float v,vo,temp,g,h,v2,t,y,yo;

double i,N;

printf("Masukkan ketinggian awal yo :");scanf("%f",&yo);

printf("Masukkan kecepatan awal vo :");scanf("%f",&vo);

h=0.01; //step size

g=9.8; //percepatan grafitasi

N=1000;

y=yo;

v=vo; //inisialsisasi untuk v

v2=30.0;

for (i=1;i


v=v-g*h*(1.0-v*v/(v2*v2));;

if (y


v t y t y t t t , maka kita dapat menyatakan percepatan

sebagai

(2-8)

Selanjutnya, gunakan (2-8) ini untuk mencari perceptannya.

3. Tentukan kecepatan terminal dari data pada Tabel 1. Penentuan ini sulit, karena

kecepatan terminal tidak tercapai selama waktu jatuhnya penyering kopi. Gunakan

hasil perkiraan Saudara untuk v t dan a t untuk mengeplot a sebagai fungsi

v.



PRAKTIKUM 3

LINTASAN GERAK BENDA 2 DIMENSI

Mungkin kita sudah familiar dengan masalah lintasan gerak dalam 2 dimensi

tanpa kehadiran gesekan udara. Sebagai contoh, sebuah bola dilempar ke udara dengan

kecepatan awal v0 dengan sudut lempar 0 (besar sudut terhadap tanah). Seberapa

jauh bola akan meninggalkan pelempar pada arah horisontal dan berapa tinggi

maksimum yang dicapai oleh bola serta berapa lama bola akan terbang di angkasa?

Misalnya bola dilepas pada ketinggian tertentu, berapa sudut lemparan untuk jangkauan

maksimum? Apakah jawaban Anda masih berlaku apabila gerakan sudah dipengaruhi

oleh gesekan udara.

Pandanglah sebuah benda dengan massa m dengan kecepatan awal v0 diarahkan

dengan sudut 0 di atas horosontal. Partikel dipengaruhi oleh gaya graffitasi dan gaya

gesek udara yaitu mg dan Fd , arah dari gaya selalu berlawanan arah dengan arah

kecepatan benda


Illustration 2: (a) Bola dilempar dari ketinggian h dengan sudut lemparan 0 dihitung dari horisontal dan kecepatan awal v0 (b) gaya grafitasi

dan gaya gesek pada benda yang bergerak.


Menurut hukum gerak Newton, komponen x dan y gerakan ini dapat dituliskan

sebagai

(3-1)

Misalnya, kita pandang sebuah bola baja dengan radius 4 cm. Asumsi yang cocok

untuk bola baja dengan ukuran ini adalah bergerak gaya gesekan sebesar F d=C2 v2 .

Oleh karena v x=v cos dan v y=v sin . Selanjutnya kita dapat menuliskan ungkapan

(3-1) menjadi

mdv xdt

=C2 v v x

mdv ydt

=mgC2 v v y(3-2)

Ingat, bahwa C 2 vv x dan C 2 vv y merupakan komponen x dan y dari gaya

gesek F d=C2 v2 . Oleh karena (3-9) pada perubahan v x dan v y melibatkan kuadrat

dari komponen kecepatan ini, yaitu v2=v x2v y

2 , maka kita tidak dapat menghitung

gerak vertikal tanpa memperhitungkan komponen horizontal, artinya bahwa gerak pada

arah x dan y adalah terkopel.

Tugas

1. Buatlah program komputer untuk menghitung trayektori dua dimensi dari bola

yang bergerak di udara tanpa pengaruh gaya gesek dengan udara kemudian

buatlah plot y sebagai fungsi x. Bandingkan hasil perhitungan Anda dengan hasil

eksak. Sebagai contoh, misalnya bola tersebut dilempar dari permukaan tanah

dengan sudut 0 dengan kecepatan awal v0=15m /s . Variasikan sudut 0



dan perlihatkan bahwa tinggi maksimum terjadi pada range 0=max=45o .

Dapatkan tinggi maksimum Rmax . Bandingkan hasil numerik dengan hasil

analitik yaitu Rmax=v02/ g .

2. Misalnya bola dilempar dari ketinggian tertentu, misalnya h, dengan sudut 0

diatas horisontal dengan kecepatan awal sama dengan (1). Jika Anda mengabaikan

gesekan dengan udara, apakan Anda berharap bahwa max menjadi lebih besar

atau lebih kecil dari 45o ? Hitunglah max untuk h=2m . Berapa persen

perubahan R jika divariasikan 2% dari max .

3. Sekarang perhitungkan efek gesekan dengan udara. Untuk bola dengan massa 7

kg dan tampang lintang 0.01 m2, parameter C20.1 . Apakah satuan untun C2

. Hitunglah sudut optimum untuk h=2m , v0=30m / s , C2/m=0.1 , bandingkan

hasil Saudara dengan poin (2). Apakah R lebih atau kurang sensitif terhadap

perubahan 0 dari max dibandingkan dengan (2). Tentukan sudut optimum

lemparan untuk parameter C2=0.1.

Sebagai ilustrasi, tulislah program dan tampilkan hasilnya dalam bentuk grafik.

#include

#include

#define pi 3.14

main()

{

float temp_y,ymax,phi,C2,v,v0,vx,vx0,vy,vy0,x1,y1,y,y0,x,x0,h,theta0,t,m=5.0,g=9.8;

double i,N;

printf("Masukkan kecepatan awal :");scanf("%f",&v0);

printf("Masukkan sudut lemparan :");scanf("%f",&theta0);

printf("Masukkan y0 :");scanf("%f",&y0);



printf("Masukkan x0 :");scanf("%f",&x0);

phi=pi/180.0*theta0;

vx0=v0*cos(phi);

vy0=v0*sin(phi);

vx=vx0;

vy=vy0;

y=y0;

x=x0;

C2=0.10;

N=10000;

h=0.01;

FILE*pf;

pf=fopen("peluru2d.txt","w+");

for (i=1;i


ymax=y;

else

ymax=ymax;

if (y1

modul praktikum simulasi

Documents