modul praktikum matematika ekonomi dan bisnis · pembaca yang berminat untuk mengembangkan diri,...

1

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2018

MODUL PRAKTIKUM

MATEMATIKA

EKONOMI DAN BISNIS

PRODI DIPLOMA III FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS

2

IDENTITAS PEMILIK MODUL

NAMA : .................................................................

NIM : .................................................................

PRODI : .................................................................

DOSEN : .................................................................

3

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan hidayahNya saya dapat

menyelesaikan Modul Matematika Ekonomi dan Bisnis. Adapun tujuan dari

pembuatan modul ini adalah sebagai bahan ajar dan referensi bagi para pembaca,

khususnya mahasiswa Keuangan. Mudah-mudahan buku ini dapat membantu para

pembaca yang berminat untuk mengembangkan diri, memperkaya wawasan dan

menambah khasanah ilmu pengetahuan.

Kami menyadari bahwa penyelesaian buku ini tidak terlepas dari bantuan

berbagi pihak,dan masih banyak terdapat kekurangan dalam penulisan buku ini.

Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari

pembaca.

Medan, Maret 2017

4

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................... i

DAFTAR ISI ............................................................................................. ii

PER 1. SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS . 4

A. Matematika Ekonomi dan Matematika Murni ..................... 4

B. Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi, Ekonometrika, dan

Statistika ............................................................................ 4

PER 2. MODEL EKONOMI .............................................................. 7

A. Variabel, Konstanta, Koefisien dan Parameter ..................... 7

B. Persamaan dan Pertidaksamaan ........................................... 7

C. Sistem Bilangan Nyata ........................................................ 8

D. Konsep dan Teori Himpunan ............................................... 8

E. Aturan Pemangkatan dan Pemfaktoran ................................ 8

F. Pecahan, Desimal, dan Persentase ....................................... 8

PER 3. FUNGSI................................................................................... 11

A. Fungsi dan Hubungan ......................................................... 11

B. Variabel Bebas dan Terikat ................................................. 11

C. Sistem Koordinat Cartesius ................................................. 12

D. Fungsi dengan Satu Variabel Bebas..................................... 12

E. Fungsi dengan Dua Atau Lebih Variabel ............................. 13

PER 4. FUNGSI LINIER .................................................................... 14

A. Kemiringan dan Titik Potong Sumbu ................................... 14

B. Bentuk Umum Fungsi Linier ................................................ 15

C. Menentukan Persamaan Garis .............................................. 16

D. Hubungan Dua Garis Lurus.................................................. 17

PER 5. SISTEM PERSAMAAN LINIER .......................................... 18

A. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier : Dua Persamaan

dengan Dua Variabel ........................................................... 18

B. Persamaan Ketergantungan Linier dan Ketidakkonsistenan .. 19

PER 6. PENERAPAN FUNGSI LINIER ........................................... 20

A. Fungsi Permintaan............................................................... 20

B. Fungsi Penawaran ............................................................... 21

C. Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk ........................... 22

D. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk ........................... 22

PER 7. FUNGSI NON LINIER .......................................................... 23

A. Fungsi Kuadrat .................................................................... 23

B. Fungsi Pangkat Tiga ........................................................... 23

5

C. Fungsi Rasional................................................................... 24

D. Lingkaran ............................................................................ 24

E. Elips.................................................................................... 24

PER 8. PENERAPAN FUNGSI NON LINIER .................................. 26

A. Fungsi Permintaan............................................................... 26

B. Fungsi Penawaran ............................................................... 26

C. Keseimbangan Pasar ........................................................... 27

D. Fungsi Penerimaan Total ..................................................... 27

E. Fungsi Produksi .................................................................. 27

F. Kurva Transformasi Produksi .............................................. 27

G. Kurva Indiferens ................................................................. 27

PER 9. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA .......................... 30

A. Fungsi Eksponen ................................................................. 31

B. Fungsi Logaritma ................................................................ 32

PER 10. PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN .................................... 33

A. Bunga Majemuk .................................................................. 35

B. Fungsi Pertumbuhan............................................................ 35

PER 11. BARISAN DAN DERET ......................................................... 37

A. Barisan dan Deret Aritmatika ............................................. 38

B. Barisan dan Deret Geometri ............................................... 38

PER 12. PENERAPAN BARISAN DAN DERET ................................ 39

A. Garis Waktu ....................................................................... 40

B. Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana ........................ 40

6

PERTEMUAN KE 1

1. Capaian Pembelajaran : Mahasiswa diharapkan mampu mendefenisikan

tentang Matematik Ekonomi dan Bisnis dan apa saja yang terkait didalamnya

2. Kemampuan Akhir yang diharapkan : Mahasiswa D III Keuangan diharapkan

mampu mendefenisikan tentang Matematika Ekonomi dan Bisnis

3. Pokok Bahasan : Sifat-Sifat Matematika Ekonomi dan Bisnis

4. Sub Pokok Bahasan :

A. Matematika Ekonomi Dan Matematik Murni

B. Teori Ekonomi, Matematika Ekonomi, Ekonometrika, Dan Statistika

Ekonomi

5. Materi :

A. MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Tujuan dari mempelajari Matematika Ekonomi dan Bisnis adalah untuk

memberikan suatu gambaran umum mengenai Sifat-Sifat dari Matematika

ekonomi dan Bisnis itu sendiri. Ada suatu hal yang istimewa dalam matematika

ekonomi dan bisnis terutama mengenai penggambaran sumbu harga (P) dalam

bidang Cartesius yang digambarkan pada suatu sumbu vertical. Jika kita

mengikuti aturan dari matematika murni, sebenarnya penggambaran sumbu P

harus pada sumbu horizontal karena variable P merupakan variable bebas.

Nilai-nilai variable dalam matematika ekonomi dan bisnis biasanya

diasumsikan harus bernilai non-negatif. Sedangkan nilai-nilai variable dalam

matematika murni dapat berupa negative atau positif. Dengan kata lain,

matematika ekonomi dan bisnis tidak mengenal variable yang negative. Jadi,

secara geometri nilai-nilai variable ekonomi dan bisnis hanya berlaku pada

kuadran pertama

B. TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, EKONOMETRIKA,

DAN STATISTIKA EKONOMI

Teori ekonomi biasanya dinyatakan dalam bentuk kualitatif yang dapat

disederhanakan menjadi bentuk matematis berupa fungsi Q = f(P) dan kemudian

diperjelas menjadi persamaan linier, yaitu Q = a – bP. Yang mana bentuk

kualitatif tadi telah berubah menjadi bentuk kuantitatif. Kemudian besaran nilai a

dan b dari parameter a dan b yang disebutkan di persamaan di atas dapat ditaksir

oleh ahli ekonometrika. Dengan demikian bila kita memahami ketiga bidang studi

ini kita akan dapat membuktikan secara empirirs teori ekonomi dan selanjutnya

dapat mengembangkan teori ekonomi tersebut.

7

LEMBAR KERJA PRAKTEK MAHASISWA

Nama : .................................................................... NILAI Nim : .................................................................... Tanggal : ....................................................................

I. TUJUAN

Mahasiswa diharapkan mampu mendefenisikan tentang Matematik Ekonomi dan Bisnis

dan apa saja yang terkait didalamnya

II. ALAT DAN BAHAN

1. Buku Teks Matematika Ekonomi dan Bisnis

2. Lembar Kerja Praktek Mahasiswa (LKPM)

3. Laptop

4. Internet

III. CARA KERJA

1. Bacalah definisi Matematika Ekonomi dan Bisnis.

2. Carilah di internet masing-masing definisi Matematika Ekonomi dan Bisnis

3. Buatlah ke dalam tabel yang tersedia.

IV. ISILAH TABEL DI BAWAH INI

1. Definisi Matematika Ekonomi dan Bisnis

NO ISTILAH

DEFINISI / FUNGSI

SKOR

1. Teori Ekonomi

2. Matematika

Ekonomi

3. Ekonometrika

2. Jelaskanlah:

a. Matematika Ekonomi dan Bisnis

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

8

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

..................................................................................

b. Matematika Murni

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

..................................................................................

9

PERTEMUAN KE 2



2. Kemampuan Akhir yang diharapkan : Mahasiswa diharapkan Memahami

tentang Konsep Dasar Matematika dan Ekonomi Bisnis

3. Pokok Bahsan : Model Ekonomi


A. Variabel, Konstanta, Koefisien dan Parameter

B. Persamaan dan Pertidaksamaan

C. Sistem Bilangan Nyata

D. Konsep dan Teori Himpunan

E. Aturan Pemangkatan dan Pemfaktoran

F. Pecahan, Desimal, dan Persentase

5. Materi :

A. VARIABEL, KONSTANTA, KOEFISIEN DAN PARAMETER

Suatu Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu

masalah tertentu. Konstanta merupakan suatu bilangan nyata tunggal yang

nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu. Koefisien adalah

angka pengali konstan terhadap caeriabelnya. Lalu, parameter dapat

didefinisikan sebagai suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan

mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lainnya

B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan adalah suatu pernyataan bahwa dua lambing adalah sama,

sedangkan pertidaksamaan adalah suatu pernyatan yang menyatakan bahwa dua

lambing adalah tidak sama

C. SISTEM BILANGAN NYATA

Himpunan Bilangan nyata meliputi dua jenis bilangan yaitu bilangan rasional

yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat.

Sedangakan, bialngan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan

sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat

D. ATURAN-ATURAN PANGKAT

Aturan 1

𝑋𝑚 . 𝑋𝑛 = 𝑋𝑚+𝑛

Aturan 2

𝑋𝑚

𝑋𝑛 = 𝑋𝑚−𝑛

10

Aturan 3

(𝑋𝑚)𝑛 = 𝑋𝑚.𝑛

Aturan 4

(𝑋. 𝑌)𝑛 = 𝑋𝑛 . 𝑌𝑛

Aturan 5

(𝑋

𝑌)

𝑛

=𝑋𝑛

𝑌𝑛 dimana (X≠0)

Aturan 6

𝑋1

𝑛⁄ = √𝑋𝑛

Aturan 7

𝑋𝑚

𝑛⁄ = √𝑋𝑚𝑛

Aturan 8

𝑋−𝑛 =1

𝑋𝑛 dimana (X≠0)

11



I. TUJUAN

Mahasiswa diharapkan Memahami tentang Konsep Dasar Matematika dan Ekonomi

Bisnis.

II. ALAT DAN BAHAN

1. Buku Teks Matematika dan Ekonomi Bisnis.


3. Laptop

4. Internet III. CARA KERJA

1. Bacalah Konsep Dasar Matematika dan Ekonomi Bisnis.

2. Carilah di internet masing-masing Konsep Dasar Matematika dan Ekonomi Bisnis.

3. Buatlah ke dalam tabel yang tersedia. IV. ISILAH TABEL DI BAWAH INI

1. Definisi Konsep dasar Matematika dan ekonomi

KONSEP

Definisi

CONTOH

SKOR

1. Variabel

2. Konstanta

3. Koefisien

12

4. Parameter

2. Selesaikanlah:

a. (27)-1/3

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

..............................................................................

b. (1/8)-2/3

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

.................................................................................................................. ..........

............................................................................................................................

.......................................................................................................................... ..

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

...........................................................................................................

c. (XYW)2(W2X3)1/2

............................................................................................................................

............................................................................................................................

13

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

...........................................................................................................

14

PERTEMUAN KE 3


tentang Macam-macam fungsi dalam ekonomi dan bisnis


mampu mendefenisikan Fungsi

3. Pokok Bahasan : Fungsi


A. Fungsi dan Hubungan

B. Variabel Bebas dan Terikat

C. Sistem Koordinat Cartesius

D. Fungsi dengan Satu Variabel Bebas

E. Fungsi dengan Dua Atau Lebih Variabel

5. Materi :

A. FUNGSI

Fungsi adalah suatu hubungan di mana setiap elemen dari wilayah (domain)

saling berhubungan dengan satu dan hanya satu elemen dari jangkauan (range)

B. KOORDINAT CARTESIUS

15

C. FUNGSI DENGAN VARIABEL BEBAS

Memiliki bentuk umum Y=f(x)

Aturan-aturan yang digunakan untuk menentukan tingkatan dari suatu fungsi

polynomial dengan dua atau lebh variable bebas adalah sebagai berikut :

1. Tingkat dari suatu suku adalah sama dengan jumlah dari pangkat atau

eksponen pada variable-variabel dala suku itu

2. Tingkat dari suatu polynomial adalah sama dengan tingkat suku itu dari

tingkat paling tinggi dalam polinomial

16



I. TUJUAN

Mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan pengertian Fungsi

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah materi Fungsi

2. Carilah di internet masing-masing materi Fungsi


1. Selesaikanlah, jika diketahui f(x) = X2-2x+3.

a. f(-2)

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

......................................................................................

b. f(-13)

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

......................................................................................

c. f(27)

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

17

..............................................................................................................................

......................................................................................

2. Definisikan Sistem Koordinat Kartesius

NO

KONSEP

DEFINISI

SKOR

1. Kuadran I

2. Kuadran II

3. Kuadran III

4. Kuadran IV

18

PERTEMUAN KE 4




mampu mendefenisikan tentang Fungsi Linier

3. Pokok Bahasan : Fungsi Linier


A. Kemiringan dan Titik Potong Sumbu

B. Bentuk Umum Fungsi Linier

C. Menentukan Persamaan Garis

D. Hubungan Dua Garis Lurus

5. Materi :

A. KEMIRINGAN

Kemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variable bebas X adalah

sama dengan perubahan dalam variable terikat dibagi dengan perubahan dalam

variable bebas. Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m.

Jadi,

𝐾𝑒𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 = 𝑚 = Δ𝑦

Δ𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑌2−𝑌1

𝑋2−𝑋1

B. BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Suatu fungsi linier yang mencakup satu variable bebas dan satu variable

terikat mempunyai bentuk umum,

𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋

Akan tetapi, fungsi linier dapat juga berbentuk implisit, yaitu kedua variable

X dan variable Y berada pada satu ruas (kiri) dan ruas kanan dijadikan nol. Bentuk

implisit ini adalah:

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0

Dimana nilai kemiringan adalah −𝐴

𝐵 dan titik potong dengan sumbu Y. hal ini dapat

dibuktikan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

1. 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0

2. 𝐵𝑌 = −𝐶 − 𝐴𝑋

3. 𝑌 = −𝐶

𝐵−

𝐴

𝐵𝑋

19

C. PERSAMAAN GARIS

Metode Dua Titik

𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan

𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1)

Contoh :

X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6

Penyelesaian :

𝑌−𝑌1

𝑋−𝑋1=

𝑌2−𝑌1

𝑋2−𝑋1

𝑌−2

𝑋−3=

6−2

4−3

𝑌 − 2 = (6−2

4−3) (𝑋 − 3)

𝑌 − 2 = 4𝑥 − 12 + 2

𝑌 = 4𝑋 − 10

D. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Apabila dua garis yag mempunyai keiringan yang berbeda-beda atau sama juga

bila digambarkan dalam bidang Cartesius XY akan terdapat empat kemungkinan,

Yaitu:

1. Dua garis lurus saling berpotongan

2. Dua garis lurus saling sejajar

3. Dua garis lurus saling berimpit

4. Dua garis lurus saling tegak lurus

20



I. TUJUAN

Mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan Fungsi Linier

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah Fungsi Linier

2. Carilah di internet Fungsi Linier


1. Jelaskan Hubungan dua garis lurus

NO HUBUNGAN

DEFINISI

SKOR

1. Berpotongan

2. Sejajar

3. Berimpit

4. Tegak Lurus

21

2. Carilah Kemiringan dan titik potong sumbu Y

a. 3X – 2Y + 12 = 0

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

............................................................................................

b. -3Y + 4Y = 8

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

............................................................................................

c. 6Y – 14Y = 21

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

............................................................................................

22

PERTEMUAN KE 5




mampu mendefenisikan tentang Sistem Persamaan Linier

3. Pokok Bahasan : Sistem Persamaan Linier


A. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier : Dua Persamaan dengan Dua

Variabel

B. Persamaan Ketergantungan Linier dan Ketidakkonsistenan

5. Materi :

A. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Terdapat tiga penyelesaian yang mungkin dalam system persamaan linier, yaitu :

1. Suatu system persamaan linier mempunyai suatu penyelesaian yang tunggal

adalah suatu system persamaan yang konsisten

2. Suatu Sistem persamaan linier tidak mempunyai suatu penyelesaian adalah

suatu system persamaan yang tidak konsisten

3. Suatu Sistem Persamaan Linier mempunyai sejumlah penyelesaian yang

tidak terbatas adalah suatu system persamaan yang saling ketergantungan di

antara satu dengan lainnya

Untuk memperoleh nilai-nilai dalam penyelesaian dari system persamaan linier,

dapat digunakan tiga metode, yaitu:

1. Metode Eliminasi

2. Metode Substitusi

3. Metode Matriks

B. PERSAMAAN KETERGANTUNGAN LINIER DAN

KETIDAKKONSISTENAN

Apabila kedua persamaan mempunyai kemiringan yang sama, maka

gambarnya akan terdapat dua keungkinan, Yaitu:

1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong sehingga tidak

ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut sebagai system persamaan

linier tidak konsisten

2. Kedua garis akan berimpit, sehingga penyelesaiannya dalam jumlah

yangtidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut sebagai system persamaan

linier yang tergantung secara linier

23



I. TUJUAN

Mahasiswa diharapkan dapat mendefinisikan Sistem Persamaan Linier

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah definisi Sistem Persamaan Linier.

2. Carilah di internet Sistem Persamaan Linier

3. Buatlah ke dalam tabel yang tersedia.

IV. ISILAH TABEL DI BAWAH INI

1. Jelaskan bagaimana cara penyelesaian siste persamaan linier

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

2. Jelaskan mengenai persamaan ketergantungan linier dan ketidakkonsistenan

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

...................................................................................................................... ..............................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

24

PERTEMUAN KE 6




mampu melakukan penerapan fungsi linier

3. Pokok Bahasan : Penerapan Fungsi Linier


A. Fungsi Permintaan

B. Fungsi Penawaran

C. Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk

D. Keseimbangan Pasar Dua Macam Produk

5. Materi :

Fungsi Linier adalah fungsi yang sangat sering digunakan oleh para ahli

ekonomi dan bisnis dalam menganalisis dan memecahkan masalah-masalah

ekonomi.

A. FUNGSI PERMINTAAN

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang

diminta oleh konsumen dengan variable-variabel lain yang memengaruinya pada

suatu periode tertentu

𝑄𝑥 = 𝑓(𝑃𝑋)

Apabila ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan linier maka bentuk umumnya

adalah:

𝑄𝑥 = 𝑎 − 𝑏𝑃𝑥

B. FUNGSI PENAWARAN

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jmlah produk yang

ditawarkan oleh produsen untuk dijual dengan variable-variabel lain yang

memengaruhinya pada suatu periode tertentu.

Lima variable yang memengaruhi jumlah yang ditawarkan oleh produsen:

1. Harga Produk

2. Tingkat teknologi yang tersedia

3. Harga dari factor-faktor produksi yang digunakan

4. Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi

5. Harapan para produsen tterhadap harga produk tersebut di masa depan

25

C. KESEIMBANGAN PASAR

Keseimbangan pasar secara aljabar dapat diperoleh dengan mengerjakan

system persamaan linier antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran secara

serentak. Sedangkan secara geometri ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva

permintaan dengan kurva penawaran

Keseimbangan pasar akan terjadi apabila jumlah yang diminta dari produk X

sama dengan jumlah yang ditawarkan dari produk X dan jumlah yang diminta dari

produk Y sama dengan jumlah yang diperoleh dari produk Y.

26



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa dapat mendefinisikan dengan pasti apa

yang dimaksud Fungsi Linier

II. ALAT DAN BAHAN

1. Buku Teks Matematika Ekonomi Dan Bisnis


3. Laptop


1. Bacalah definisi Fungsi Linier

2. Carilah di internet masing-masing definisi konsep berkelanjutan


1. Jelaskanlah

FUNGSI PENAWARAN

FUNGSI PERMINTAAN

KESEIMBANGAN PASAR

SKOR

2. Selesesaikanlah

Fungsi permintaan P = 4 – 2Q dan fungsi penawaran P = 2 + Q

a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar apabila pemerintah engenakan

pajak sebesar Rp 0,5 per unit barang?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

27

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

......................................................................................................................................

b. Berapa besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dan Produsen?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

......................................................................................................................................

3. Jelaskanlah factor yang memengaruhi permintaan

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

......................................................................................................................................

28

PERTEMUAN KE 7



2. Kemampuan Akhir yang diharapkan : mahasiswa diharapkan dapat

mendefinisikan fungsi nonlinier

3. Pokok Bahasan : Manajemen Aset Berkelanjutan


a. Fungsi Kuadrat

b. Fungsi Pangkat Tiga

c. Fungsi Rasional

d. Lingkaran

e. Elips

5. Materi :

A. FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat dengan satu variable bebas adalah fungsi polynomial tingkat dua,

di mana fungsi ini mempunyai bentuk:

𝑌 = 𝑓(𝑋) = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐

Bentuk umum ini bila digambarkan pada bidang koordinat akan mempunyai suatu

parabola vertical. Parabola vertical lengkung keatas dan disebut sebagai parabola

terbuka ke atas, sedangkan parabola vertical lengkung ke bawah dan disebut sebagai

parabola terbuka ke bawah.

Suatu parabola mempunyai satu titik puncak. Titik puncak adalah titik dasar dari

parabola bilamana parabola terbuka keatas atau titik paling atas dari parabola

milamana parabola terbuka ke bawah

B. FUNGSI PANGKAT TIGA

Polinomial tingkat 3 dengan satu variable bebas disebut sebagai fungsi kubik dan

mempunya bentuk umum:

𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2 + 𝑎3𝑋3

Dimana a3 tidak sama dengan 0

Fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat cartesius, kurvanya

mempunyai 2 lengkung yaitu :

1. Lengkung ke atas

2. Lengkung ke bawah

29

C. FUNGSI RASIONAL

Suatu fungsi rasional mempunyai bentuk umum,

𝑌 =𝑔(𝑋)

ℎ(𝑋)

Di mana:

g(X) = Fungsi polynomial tingkat ke-n

h(X) = Fungsi polynomial tingkat ke-m dan tidak sama dengan nol

Fungsi rasional ini bila digambarkan dalam bidang koordinat cartesius, kurvanya

akan berbentuk hiperbola dan mempunyai sepasang sumbu asimtot. Sumbu

asimtot adalah sumbu yang didekati kurva hiperbola tetapi tidak pernah

menyingung

Fungsi rasional yang istimewa dan sering diterapkan dalam ilmu ekonomi adalah

berbentuk :

𝑌 =𝑎

𝑋 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑋𝑌 = 𝑎

Di mana: a > 0

30



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan dapat mendefinisikan

Pengertian Fungsi Nonlinier

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah definisi Fungsi Nonlinier

2. Carilah di internet definisi Fungsi Nonlinier


1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan:

NO

Fungsi

DEFINISI

SKOR

1. Kuadrat

2. Kubik

3. Rasional

31

2. Carilah titik potong :

a. Y = 39 – 3X2 dan Y = (X – 2)

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.........................................................................

b. X = - 2Y2 - 8Y – 96 dan Y = 4X2 + 10Y

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.........................................................................

32

PERTEMUAN KE 8



2. Kemampuan Akhir yang diharapkan : Setelah mengikuti praktikum,

mahasiswa diharapkan mampu menerapkan fungsi nonlinier

3. Pokok Bahasan : Fungsi Nonlinier


A. Fungsi Permintaan

B. Fungsi Penawaran

C. Keseimbangan Pasar

D. Fungsi Penerimaan Total

E. Fungsi Produksi

F. Kurva Transformasi Produksi

G. Kurva Indiferens

5. Materi :

A. FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat dengan satu variable bebas adalah fungsi polynomial tingkat dua,

di mana fungsi ini mempunyai bentuk:

𝑌 = 𝑓(𝑋) = 𝑎𝑋2 + 𝑏𝑋 + 𝑐

B. FUNGSI PANGKAT TIGA

Polinomial tingkat 3 dengan satu variable bebas disebut sebagai fungsi kubik dan

mempunya bentuk umum:

𝑌 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2 + 𝑎3𝑋3

Dimana a3 tidak sama dengan 0

C. FUNGSI RASIONAL

Suatu fungsi rasional mempunyai bentuk umum,

𝑌 =𝑔(𝑋)

ℎ(𝑋)

Di mana:

g(X) = Fungsi polynomial tingkat ke-n

h(X) = Fungsi polynomial tingkat ke-m dan tidak sama dengan nol

33



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan memahami tentang Penerapan

Fungsi nonlinier

II. ALAT DAN BAHAN

1. Buku Teks Manajemen Ekonomi dan Bisnis


3. Laptop


1. Bacalah definisi Fungsi non linier

2. Carilah di internet masing-masing definisi Fungsi non linier


1. Jelaskan PERMINTAAN PENAWARAN KESEIMBANGAN PASAR

SKOR

34

2. Jelaskan Kurva Indiferens

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.........................................................................

35

PERTEMUAN KE 9




Mahasiswa D III Keuangan diharapkan mampu mendefenisikan Fungsi Eksponen

dan Logaritma

3. Pokok Bahasan : Fungsi Eksponen dan Logaritma


a. Fungsi Eksponen

b. Fungsi Logaritma

5. Materi :

A. FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat adalah suatu

fungsi di mana variable bebasnya dipangkatkan dengan suatu konstanta. Sedangkan

fungsi eksponen adalah suatu fungsi di mana konstantanya dipangkatkan dengan

variable bebasnya. Dengan kata lain, fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang

variable bebasnya merupakan pangkat. Jadi, fungsi yang variable bebasnya adalah

eksponen kita sebut sbagai fungsi eksponen.

B. FUNGSI LOGARITMA

Logaritma mempunyai aturan-aturan seperti halnya dengan aturan-aturan

eksponen. Berikut ini aturan-aturan dari logaritma dengan menganggap X dan Y

adalah bilangan positif dan b adalah basis (b>0 dan b≠1).

Secara umum logaritma dapat kita nyatakan sebagai,

Y = Logb X

Aturan-aturan logaritma :

1. Logaritma hasil kali

log𝑏 𝑋𝑌 = log𝑏 𝑋 + log𝑏 𝑌

2. Logaritma hasil bagi

log𝑏 = log𝑏 𝑋 − log𝑏 𝑌

3. Logaritma pangkat dari suatu variable

log𝑏 𝑋𝑛 = 𝑛 log 𝑋

4. Perubahan bilangan pokok logaritma

log𝑏 𝑋 = (log𝑏 𝐶)(log𝑐 𝑋)

36

5. Pembalikan bilangan pokok logaritma

log𝑏 𝑋 =1

log𝑥 𝑏

Atau

log𝑏 𝑒 =1

log𝑏 𝑏=

1

ln 𝑏

Jika suatu variable dinyatakan sebagai fungsi logaritma dari variable lain, maka

fungsi ini diebut sebagai fungsi logaritma

37


Nama : .................................................................... ...... NILAI Nim : .......................................................................... Tanggal : ..........................................................................

I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan dapat mendifinisikan Fungsi

Eksponen dan Logaritma

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah definisi Fungsi Eksponen dan Logaritma

2. Carilah di internet Eksponen dan Logaritma


1. Jelaskanlah NO Fungsi DEFINISI

1 Eksponen

2 Logaritma

SKOR

2. Selesaikanlah!

a. (3/4)X = 1024/243

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

38

b. Log32 2 = 1/5

................................................................................................................................ ....................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

c. Log3 X = 4

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

d. Logx 3 = 5

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

e. 10X = 0,00346

....................................................................................................................................................

................................................................................................................ ....................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................

39

PERTEMUAN KE 10




mampu mendefenisikan tentang Fungsi Eksponen

3. Pokok Bahasan : Fungsi Eksponen


a. Bunga Majemuk

b. Fungsi Pertumbuhan

5. Materi:

A. BUNGA MAJEMUK

Suatu modal awal tertentu P yang dibungamajemukkan secara tahunan pada suku

bunga I selama t tahun akan mempunyai nilai F pada akhir tahun adalah:

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛

Tetapi bila bunga dimajemukkan m kali dalam setahun, maka nilai F pada akhir

tahun menjadi,

𝐹 = 𝑃 (1 +𝑖

𝑚)

𝑛.𝑚

Contoh:

Seseorang menabung uang di bank sebanyak Rp1.000 dengan bunga 10% per tahun.

Berapa besar nilai uanganya setelah tiga tahun apabila:

a. Bunga dibayar tahunan

b. Bunga dibayar semesteran

c. Bunga dimajemukkan secara kontinu

Penyelesaian:

P = 1.000 ; i = 10% per tahun ; n = 3

Bunga dibayar tahunan,

F = 1000 (1 + 0,10)3 = 1331

Bunga dibayar per semester,

F = 1000 (1 + 0,10/3) (3)(2) = 1340,0956

Bunga dibayar kontinu,

F = 1000 (2,71828)0,10(3) = 1349,8585

40

B. FUNGSI PERTUMBUHAN

Sifat utama dari fungsi pertumbuhan ini adalah meningkat secara monoton.

Fungsi ini mempunyai berbagai bentuk denan atau tana asimtot yang merupakan

batas atas.

Terdapat dua jenis fngsi pertumbuhan yaitu fungsi pertumbuhan gompertz yang

menggambarkan pertumbuhan penduduk, dan fungsi pengajaran yang digunakan

oleh psikolog untuk menggambarkan pertumbuhan pendidkan manusia atau sering

disebut dengan kurva belajar.

Kurva Gompertz biasanya dinyatakan oleh persamaan,

𝑁 = 𝑐𝑎𝑟𝑡

Dimana :

N = Jumlah Penduduk pada tahun t

r = Tingkat pertumbuhan

a = Proporsi pertumbuhan awal

c = Tingkat pertumbuhan dewasa

t = Jumlah tahun

41



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan Fungsi

Eksponen

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah Fungsi Eksponen

2. Carilah di internet Fungsi Eksponen


1. Selesaikanlah

Seorag mahasiswa menabung di ban dengan jumlah Rp1.000.000 dengan tingkat

bunga pertahun 18% berapa jumlah uangnya setelah lima tahun, apabila

a. Bunga dibayar tahunan

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

b. Bunga dibayar per semester

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

c. Bunga dibayar secara kontinu

...................................................................................................................................

.................................................................................................................. .................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

42

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

2. Jelaskan Bunga Majemuk

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

43

PERTEMUAN KE 11




mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan Barisan dan Deret

3. Pokok Bahasan : Barisan dan Deret


a. Barisan dan Deret Aritmatika

b. Barisan dan Deret Geometri

5. Materi:

A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan

tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan du atara

suku-suku yang berurutan ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atu

suatu kelpatan bilangan tertentu

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Bias dilihat dari

perubahan di antara suku-suku yang berurutan, maka deret akan dibagi menjadi

aritmatika dan geometri

𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

Dimana: Sn = Suku ke-n

a = Suku Pertama

b = Beda yang sama

n = Banyaknya suku

Untuk memperoleh jumlah suku-suku ke-n atau Dn dari suatu barisan aritmatika

dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda yang sama maka rumusnya

adalah:

𝐷𝑛 =𝑛

2[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]

44

B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu,

di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang

tetap. Rasio yang tetap ini biasanya dilambangkan dengan huruf r.

𝑆𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Dimana:

Sn = Suku ke-n

a = Suku Pertama

r = rasio yang tetap

n = banyaknya suku

𝑆𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−2 + 𝑟𝑛−1

𝑆𝑛 =𝑎1(1−𝑟𝑛)

(1−𝑟) dimana r < 1

Atau

𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟𝑛 − 1)

(𝑟 − 1)

45



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan

Barisan dan Deret

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah definisi Barisan dan Deret

2. Carilah di internet Barisan dan Deret


1. Selesaikanlah

Carilah suku ke 72 pada setiap barisan aritmatika berikut

a. 1, 5, 9, . . . .

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

b. -19, -11, -3, 5, . . .

...................................................................................................................................

........................................................................................................................ ...........

...................................................................................................................................

.................................................................................................................. .................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

c. -31, -20, -9, 2, 13, . . .

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

46

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

2. Carilah jumlah dari

a. 35 bilangan bulat positif ganjil pertama

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

b. 50 bilangan bulat positif genap yang pertama

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

c. 23 bilangan bulat positif pertama

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

......................................................................................

3. Tentukanlah barisan geometri yang suku ke-3 nya adalah kuadrat dari suku

pertama dan suku ke-5 adalah 64

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................

47

PERTEMUAN KE 12




Mahasiswa D III Keuangan diharapkan mampu menerapkan barisan dan deret

3. Pokok Bahasan : Penerapan Barisan dan Deret


a. Garis Waktu

b. Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana

5. Materi :

A. GARIS WAKTU

Garis waktu adalah suatu grafik yang menunjukan arus kas masuk dan keluar,

apakah di permulaan, di pertengahan, atau di akhir tahun dari arus kas tersebut.

Waktu nol adalah waktu sekarang dan merupakan juga waktu permulaan atau awal

dari periode pertama; waktu 1 adalah akhir dari periode pertama dan merupaan awal

dari periode ke-2; adalah akhir dari period eke-2 tetapi merupakan awal dari periode

ke-4 dan seterusnya.

Garis waktu ini sangat berguna dan bias membantu memecahka persoalan-

persoalan pada nilai waktu dari uang, terutama bila terjadi arus kas (cash flow) dan

nilai tingkat bunga yang berbeda-beda pada setiap periode. Oleh karea itu, garis

waktu ini akan digunakan untuk setiap contoh-contoh soal pada bab ini.

B. BUNGA SEDERHANA DAN POTONGAN SEDERHANA

Bunga dalam teori bisnis merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilaman

kita menggunakan uang. Kita membayar bunga kepada pihak bank jika kita

meminjam uang dari bank tersebut. Sebaliknya, pihak bank membayar bunga kepada

ita bila kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank.

Selanjutnya, jumlah uang yag dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut

modal awal atau pinjaman pokok. Jadi, bunga dilihat dari satu pihak merupakan

pendapatan, tetapi di pihak lain merupakan biaya. Di pihak orang yang

meminjamkan uangnya mendapatkan pendapatkan bunga dan dipihak orang yang

menerima pinjaman akan membayar biaya bunga.

I = Pin

Di mana : I = Jumlah Pendapatan bunga

P = Pinjaman pokok atau jumlah yang diinvestasikan

i = tingkat bunga tahunan

n = jumlah tahunan

48

Kemudian, untuk memperoleh nilai dari modal awal (P) yang terakumulasi di masa

datang atau pada akhir tahun ke-n (Fn) dapat dihitung dengan cara, modal awal (P)

ditambah dengan pendapatan bunga selama periode waktu (n).

Fn = P + Pin atau Fn = P (1 + in)

Contoh:

Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa

datang dari jumlah uang sebesar Rp50.000.000 yang diinvestasikan di bank selama

empat tahun dengan bunga 12% per tahun

Penyelesaian :

P = Rp50.000.000 ; n = 4 ; i = 12% per tahun

I = Pin

I = 50.000.000 (4) (0.12)

= 24.000.000

Selanjutnya, nilai yang terakumlasi di masa datang pada tahun ke-4 (F4) adalah :

Fn = P + Pin

Fn = 50.000.000 + 24.000.000

= 74.000.000

49



I. TUJUAN

Setelah mengikuti praktikum, mahasiswa diharapkan mampu mendefinisikan teori

Penerapan barisan dan deret

II. ALAT DAN BAHAN



3. Laptop


1. Bacalah teori Penerapan barisan dan deret

2. Carilah di internet penerapan barisan dan deret


1. Jelaskanlah

NO

TEORI

DEFINISI

1.

Bunga Sederhana

2.

Potongan Sederhana

SKOR

2. Selesaikan

Jika uang Sebanyak Rp2.000.000 ditabung di bak selama lima tahun dengan

tingkat bunga 6% per tahun. Berapakah jumlah uang tersebut bila dibunga

majemukkan secara

a. Tahunan

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

50

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.........................................................................

b. Semesteran

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

................................................................................................................................ ...

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.......................................................................................................................... .........

...................................................................................................................................

.................................................................................................................... ...............

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.........................................................................

c. Kuartalan

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.........................................................................

d. Bulanan

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.........................................................................

51

3. Selesaikanlah

Berapa banyak jumlah yang harus didepositoka sekarang supaya mencapai Rp10

juta setelah 15 tahun dengan bunga 8% dimajemukkan secara semesteran ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

52

Daftar Pustaka:

Kalangi, Josep Bintang. 2013. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Edisi 3. Jakarta :

Salemba Empat

modul praktikum matematika ekonomi dan bisnis · pembaca yang berminat untuk mengembangkan diri,...

Documents