Standar Kompetensi

MODUL : IA.Pengukuran Sudut dengan Satuan Derajat dan Radian1. Pengukuran sudut dalam satuan derajat

Definisi : 1 putaran penuh = 360 derajat, atau

1 derajat (1) = putaran penuh

1 derajat = 60 menit, ditulis 1 = 601

1 menit = 60 detik, ditulis 11 = 6011

2. Ukuran sudut dalam satuan radian (rad)

Ukuran sudut dalam radian adalah perbandingan antara panjang busur didepan sudut pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran.

Definisi:

Satu radian adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut

Karena panjang busur lingkaran (keliling lingkaran) = 2( r, maka ukuran sudut 1 putaran penuh = 2( rad.

3. Hubungan ukuran sudut dalam derajat dengan radian

a. ukuran sudut 1 putaran penuh dalam derajat adalah 360

b. Panjang busur 1 (satu) lingkaran penuh atau keliling lingkaran adalah 2(r, maka ukuran sudut 1 putaran penuh dalam radian adalah 2( rad.

Jadi : 360 = 2( rad, atau

2( rad = 360

( rad = 180 atau 180 = ( rad

c. Dari 180 = ( rad, didapat:1) 1 = rad

2) 1 rad = dengan ( = 3,14

1 rad =

( 57,3 atau

( 57 181

Soal untuk didiskusikan

1. Ubahlah kedalam satuan radian.a. 30 = b. 210 =

c. 240 =

2. Ubahlah kedalam satuan derajat.a. =

c. 1 =b. 2 rad =

d. 3,5 rad =3. Diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat P dan jari-jari r. Jika panjang busur AB adalah sepertiga keliling lingkaran berapa radian besar sudut APB?4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Jika sudut pusat POQ adalah 1 rad, berapa perbandingan antara busur PQ dengan keliling lingkaran?5. Sebuah roda sepeda berputar sebesar 2 radian. Bila jari-jari roda sama dengan 28 cm, berapa jarak tempuh roda?B. Perbandingan Trigonometri dari suatu Sudut Segitiga Siku-siku1.Sinus, cosinus dan tangen segitiga siku-siku

Pada segitiga ABC siku-siku di C didefinisikan:(1) sin A = =

(2) cos A = =

(3) tan A = =

Disamping itu ada relasi berkebalikan:(1) sec A = = (2) (2) cosec A = = (3) (3) cotan A = =

2. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut- sudut khususa. Untuk sudut 300 dan 600Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar di atas ( ABC adalah segitiga sama sisi, sehimgga (A = (B = (C = 60Misal : AB = AC = BC = 2 AD = garis bagi, garis berat, dan garis tinggi.

Sehingga : ( BAD = ( DAC = 30, BD = DC = 1, AD = , (ADB = 90

Perhatikan ( ABD yang siku-siku di D.

(1) sin 30 = ..

(4) sin 60 = ..(2) cos 30 = ..

(5) cos 60 = ..(3) tan 30 = ..

(6) tan 60 = ..b. Untuk sudut 450Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar diatas ( ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan AB = BC = 1. (A = (C = 45 (B = 90 dan AC =

(1) sin 45 = ..(2) cos 45 = ..(3) tan 45 = ..Dari 1 dan 2 di atas dapat dibuat tabel:asin acos atan a

300

450

600

Soal untuk didiskusikan1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika (A = 60 dan AB = 6 tentukan panjang sisi yang lain.2. Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut yang lain dan sudut lancip, jika diketahui :

a. sin

EMBED Equation.3 =

b. cos

EMBED Equation.3=

c. tan

EMBED Equation.3 =

3. Pada segitiga ABC diketahui A = 90, hitunglah unsur yang lain,jika :

a. B = 30 dan b = 10 cm.

b. C = 60 dan c = 20 cm

4. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan a = b. Tentukan unsur-unsur yang belum diketahui jika : a. c = 20 cm.b. a = 15 cmc. b= 25 cm

5. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas tentukan nilai p!

MODUL : II

C. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berrelasi

1. Perhatikan gambar berikut!

Definisi :

Jika diketahui P(x, y), jarak OP = r dan sudut yang dibentuk OP dengan sumbu X positif adalah ( maka :

(1) sin ( = (2) cos ( = (3) tan ( =

Soal untuk didiskusikan

Perbandingan trigonometri sudut-sudut kuadrantal1. Perhatikan gambar berikut!

Jika P pada sumbu X positif maka P (x, 0). Sehimgga < XOP = ( = 0. Jika OP = r, maka:

(1) sin ( = sin 0 = = .

(2) cos ( = cos 0 = .. = = .(3) tan ( = tan 0 = = = .

2. Perhatikan gambar berikut!

Jika P pada sumbu Y positif maka P(0, y). Sehingga < XOP = ( = 90. Jika OP = r, maka:

(1) sin ( = sin 90 = = ..(2) cos ( = cos .. = = = (3) tan ( = tan .. = .= .. = .3.Perhatikan gambar berikut!

Jika P pada sumbu X negatif maka P (-x, 0). Sehingga < XOP = ( =.Jika OP = r, maka :(1) sin ( = sin = = (2) cos ( = cos . = = . = (3) tan ( = tan .. = = . = 4.Perhatikan gambar berikut!

Jika P pada sumbu Y negatif maka P (0, -y). Sehingga (< XOP = ( = .. Jika OP = r, maka :(1) sin ( = sin.0 = = ..(2) cos ( = cos . =. = = . = (3) tan ( = tan = = = . = .

5. Lengkapilah tabel berikut :

sin

cos

tan

00

900

1800

2700

3600

6. Lengkapilah table berikut :P(x, y)

dikuadranBesar Sudut

Tanda AljabarYang bernilai positif

xyrsin

cos

tan

I0 < ( < 90+++

II

III

IV

2. Perbandingan trigonometri sudut-sudut berpenyikuPerhatikan gambar berikut!

Diketahui titik A(x, y). Segitiga OAB siku-siku di B. Jika XOA = ( dan OAB = (,

maka ( = (nyatakan dalam (). Jika OP = r, maka :.(1) sin ( =

(5) sin ( =

(2) cos ( =

(6) cos ( =

(3) tan ( =

(7) tan ( =

(4) cotan ( =

(8) cotan( =

Karena ( = .., maka terdapat hubungan-hubungan:

(1) sin ( = . ( sin () = (2) cos ( = .. ( cos () =

(3) tan ( = ... ( tan (...) = (4) cotan( = ( cotan(...) = 3. Perbandingan trigonometri sudut-sudut berrelasi(1) Perhatikan gambar di bawah ini!

Bayangan titik P(x, y) oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah (-x, y). Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO= (, lengkapilah titik-titik berikut!

O

(1) sin ( = ..

(4) sin ( = ...

(2) cos ( = .

(5) cos ( =

(3) tan ( = .

(6) tan ( = Karena ( = 180-.. maka terdapat hubungan hubungan

(1) sin ( = sin ( ( sin (180 - ) = ..

(2) cos ( = .. ( cos ( ..-.) = .

(3) tan ( = ( tan (.-.) = .

(2) Perhatikan gambar di bawah ini! Kemudian lengkapilah titik-titik berikut!

Bayangan titik P(x, y) oleh pencerminan terhadap titik O adalah (,..) Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO = ( maka :

(1) sin ( = ..

(4) sin ( = ...

(2) cos ( = .

(5) cos ( =

(3) tan ( = .

(6) tan ( =

Karena ( = 180 +.. maka terdapat hubungan-hubungan

(1) sin ( = .( sin (180 + ) =

(2) cos ( = .( cos (..+..) = .

(3) tan ( = ..( tan (.+) = .c. Perhatikan gambar di bawah ini, kemudian lengkapilah titik-titik berikut!

Bayangkan titik P (x, y) oleh pecerminan terhadap sumbu x adalah (, ) Jika OP = O= r, XOP = ( dan XO= ( maka :

(1) sin (=

(4) sin =..

(2) cos (=

(5) cos =..

(3) tan ( = ..

(6) tan =..

a. Karena maka terdapat hubungan-hubungan :

(1) sin =

sin(360o - ) = ..(2) cos = ...

cos( - ) = .

(3) tan =

tan( - ) = .b. Karena maka terdapat hubungan-hubungan :

(1) sin =

sin() = ..(2) cos = ...

cos( ..) = .

(3) tan =

tan() = .Soal untuk didiskusikan:

1. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut penyiku dari :

a. sin 40

c. . tan 20

b. cos 60

d. cos

2. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut pelurusnya dari :

a. sin 150

c. tan 105

b. cos 135

d. cos

3. Tentukan perbandingan trigonometri dengan sudut lancipnya dari :

a. sin 210

c. tan 225

b. cos 240

d. cos

4. Tentukan nilai dari :a. sin 330

e. sin (-60)0

b. cos 300

f. cos (-315)0

c. tan

g. tan(-225)0

d. cos

h. tan(- )

5. Buktikan bahwa : sin (90+ ) = cos

6. Sederhanakanlah !

+

MODUL : III

D. Rumus-rumus yang menghubungkan sin A, cos A dan tan A

Perhatikan gambar di atas!Diketahui A (x, y), OA = r , ( XOA =

(1) sin =

(2) cos =

Perhatikan gambar!

1. x2 + y2 = r 2 (r cos )2 + (r sin )2 = r 2 r 2 cos 2 + r 2 sin2 = r 2 cos2 + sin2= 1

atau cos2= 1- sin2

sin2 = 1 cos2

2. tan = =

3. cotan =

4. Dari bentuk :

cos2 + sin2= 1 ( Jika kedua ruas dibagi sin2 dan sin 0 )

(5. Dari bentuk :

cos2 + sin2= 1 (kedua ruas dibagi cos2)

(Soal untuk didiskusikan

1. Diketahui sin = dengan sudut di kuadran I, tentukan cos dan tan

2. Jika cos = - dengan sudut tumpul (sudut di kuadran II), tentukan sin dan tan

3. Diketahui cotan = dan sudut di kuadran III, tentukan cos dan sin

4.Jika tan = 2,4 dengan berada di kuadran III dan tan = 0,75 dengan sudut lancip. Tentukan :

a. sin.cos - cos .sin

b. cos . cos + sin. sin

5.Jika sin = dan cos = - ( sudut lancip dan sudut tumpul )

Hitunglah :

E.Identitas Trigonometri

Rumus-rumus :

Dapat dipakai untuk membuktikan identitas trigonometri

Soal untuk disdiskusikan

Buktikan Identitas Trigonometri berikut :

1. (cos A + sin A)2 2cos A sin A = 1

2.

3. (cos A + sin A)(cos A sin A) = 2cos2A - 1

4. cos4A sin4A = cos2A sin2A

5.

6.

7. tan A cotan A =

8. + = 2 sec

EMBED Equation.3

1 rad

r

O r

r

A

C

B

c

b

a

A

2

B

D

C

2

30

60

(3

1

1

A

B

C

45

1

1

(2

B

C

D

A

10cm

p

4 cm

30

cos2 A + sin2A =1

cos2 A = 1-sin2 A

sin2A = 1- cos2A

tan A = EMBED Equation.3

cotan A = EMBED Equation.3

1 + tan2 ( = sec2 (

1 + cotan2 ( = cosec2 (

a

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

(

(

-y

y

x

x

P

P

y

(

(

- x

P1

y

y

P

x

x

B(

r(

y(

x(

A(x, y)

Y

X

O

(

(

P (0,-y)

x

0

(

y

P (-x,0)

x

(

0

y

X

(

P (o,y)

Y

0

P (x,0)

X

Y

O

((

y

P(x,y)

r

x

Y

O

X

1Matematika Dasar II 13

_1319136293.unknown

_1376405677.unknown

_1376420265.unknown

_1376422821.unknown

_1487746335.unknown

_1487780838.unknown

_1487781674.unknown

_1487822592.unknown

_1487780839.unknown

_1487757404.unknown

_1487757413.unknown

_1487750658.unknown

_1376424549.unknown

_1376426867.unknown

_1376427113.unknown

_1376449103.unknown

_1376427134.unknown

_1376427090.unknown

_1376424587.unknown

_1376424656.unknown

_1376424558.unknown

_1376424450.unknown

_1376424539.unknown

_1376423462.unknown

_1376422281.unknown

_1376422641.unknown

_1376422678.unknown

_1376422364.unknown

_1376422157.unknown

_1376422169.unknown

_1376422146.unknown

_1376420144.unknown

_1376420203.unknown

_1376420257.unknown

_1376420161.unknown

_1376405895.unknown

_1376419953.unknown

_1376405824.unknown

_1319136317.unknown

_1319136321.unknown

_1319171918.unknown

_1319174621.unknown

_1319174697.unknown

_1319174756.unknown

_1319175486.unknown

_1319174655.unknown

_1319171941.unknown

_1319171733.unknown

_1319171897.unknown

_1319136322.unknown

_1319136319.unknown

_1319136320.unknown

_1319136318.unknown

_1319136313.unknown

_1319136315.unknown

_1319136316.unknown

_1319136314.unknown

_1319136295.unknown

_1319136312.unknown

_1319136294.unknown

_1319136054.unknown

_1319136070.unknown

_1319136078.unknown

_1319136086.unknown

_1319136099.unknown

_1319136289.unknown

_1319136292.unknown

_1319136102.unknown

_1319136288.unknown

_1319136101.unknown

_1319136088.unknown

_1319136098.unknown

_1319136087.unknown

_1319136082.unknown

_1319136084.unknown

_1319136085.unknown

_1319136083.unknown

_1319136080.unknown

_1319136081.unknown

_1319136079.unknown

_1319136074.unknown

_1319136076.unknown

_1319136077.unknown

_1319136075.unknown

_1319136072.unknown

_1319136073.unknown

_1319136071.unknown

_1319136062.unknown

_1319136066.unknown

_1319136068.unknown

_1319136069.unknown

_1319136067.unknown

_1319136064.unknown

_1319136065.unknown

_1319136063.unknown

_1319136058.unknown

_1319136060.unknown

_1319136061.unknown

_1319136059.unknown

_1319136056.unknown

_1319136057.unknown

_1319136055.unknown

_1319134981.unknown

_1319136040.unknown

_1319136048.unknown

_1319136050.unknown

_1319136051.unknown

_1319136049.unknown

_1319136046.unknown

_1319136047.unknown

_1319136042.unknown

_1319136043.unknown

_1319136045.unknown

_1319136041.unknown

_1319136036.unknown

_1319136038.unknown

_1319136039.unknown

_1319136037.unknown

_1319136034.unknown

_1319136035.unknown

_1319135087.unknown

_1165833130.unknown

_1165838105.unknown

_1197022240.unknown

_1319134927.unknown

_1197022885.unknown

_1197620728.unknown

_1197022286.unknown

_1165838886.unknown

_1165858858.unknown

_1165859357.unknown

_1165990119.unknown

_1197021680.unknown

_1165990078.unknown

_1165859311.unknown

_1165838949.unknown

_1165838264.unknown

_1165838819.unknown

_1165838131.unknown

_1165837966.unknown

_1165838053.unknown

_1165838083.unknown

_1165838031.unknown

_1165837695.unknown

_1165837738.unknown

_1165777393.unknown

_1165777542.unknown

_1165832358.unknown

_1165832759.unknown

_1165777495.unknown

_1165774857.unknown

_945649434.unknown