modul kebebasan linear jawaban103

7/28/2019 Modul Kebebasan Linear Jawaban103

1/12

ALJABAR LINEAR(KEBEBASAN LINEAR)

ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

2011


2/12

2

IDENTITAS MAHASISWA

NAMA :

NIM :

KELAS :

KELOMPOK :


3/12

3

PENDAHULUAN

Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi sub

ruang. Dengan modul ini diharapkan:

a. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian kombinasi linearb. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi kebebasan linearc. Mahasiswa dapat memberikan contoh himpunan yang bebas linear dan

himpunan yang tidak bebas linear

d. Mahasiswa dapat memahami dan membuktikan teorema kebebasan lineare. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan

teorema kebebasan linear

Modul ini terdiri dari peta konsep, materi prasyarat, dan dua kegiatan belajar.

Kegiatan belajar 1 memuat materi yang terkait dengan definisi dari sub ruang.

Kegiatan belajar 2 memuat materi tentang teorema sub ruang. Pada masing-

masing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan untuk melakukan diskusi

dengan kelompok Anda untuk menyelesaikan permasalahan yang sudah diberikan.

Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar jawaban yang sudah disediakan.

Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada

kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu.

Selamat Belajar !


4/12

4

PETA KONSEP

KEBEBASAN LINEAR

KEBEBASAN LINEAR

Jika { } adalah himpunan vector, maka persamaan vector

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear. Jika ada pemecahan

lain maka S dinamakan him unan tak bebas linear

KOMBINASI LINEAR

Sebuah vector dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

Dimana adalah skalar

MERENTANG

(Jika setiap vector

di V dapat

dinyatakan sebagai

kombinasi linear)

TEOREMA 1.2

Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah

a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tdk salah satu vector di S dpt dinyatakan kombinasilinear dari vector di S yang lain

b. Bebas linear jika dan hanya jika tdk ada vector S yang dpt dinyatakan sbg kombinasi linear darivector S lainn a


5/12

5

PRASYARAT

KOMBINASI LINEAR

Misalkan dan di . Tentukanlah mana yang merupakankombinasi linear yang dapat dibentuk dari kedua vector tersebut !

a. b. c. d.

Definisi:

Sebuah vector dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor jika vectortersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

Dimana

adalah skalar


6/12

6

Lembar Jawaban

dan di merupakan kombinasi linear dari dan karena ada sehingga

merupakan kombinasi linear dari dan Karena ada

dan

sehingga

bukan merupakan kombinasi linear dari dan karena tidak ada dan yangmemenuhi Alasan/Bukti :

, maka

dan

dan

Dari , kita peroleh Untuk , maka yaitu maka Begitu juga pada yaitu maka Diperoleh nilai yang berbeda (bertentangan).. Menunjukkan tidak ada yang memenuhi.Jadi, tidak ada yang memenuhi

merupakan kombinasi linear dari dan Karena ada dan sehingga


7/12

7

KEGIATAN BELAJAR 1

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan

berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah

disediakan! (waktu 15 menit)

1. Misalkan himpunan vektor-vektor { } . Pilihlah 3 buah vectoruntuk menjadi anggota dari himpunan tersebut, kemudian cek apakah

himpunan yang kalian buat tersebut merupakan himpunan bebas linear atau

himpunan tak bebas linear?

2. Dari hasil nomor 1, coba diskusikan apa hubungan antara kebebasan lineardengan pemecahan trivial?

Definisi Kebebasan Linear

Jika { } adalah himpunan vector, maka persamaan vector

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear.

Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear


8/12

8

( |)

Lembar Jawaban

{ }Pilih Cek

Dengan menggunakan OBE, diperoleh matriks segitiga

...

Solusinya nanti banyak (bukan hanya saja),jadi adalah himpunan yang tidak bebas linear

Nanti ada hubungannya dengan solusi tunggal, solusi tak hingga, tak punya solusi

2. pokoknya kalau nanti ketemu bentuk matriks terakhirnya

( |) , dengan

Maka, Himpunan tersebut bebas linear.. karena solusinya pasti

Kalau ketemu bentuk matriks

( |) , dengan

Ini yang tak bebas linear.


9/12

9

KEGIATAN BELAJAR 2

Istilah tak bebas linear menyarankan bahwa vektor-vektor tersebut saling

bergantung dengan cara tertentu. Teorema berikut menunjukkan bahwa kasus

tersebut merupakan satu kenyataan

Diskusikan dengan kelompok Anda permasalahan berikut!

1. Tunjukkan dan periksa bentuk tak bebas linear dari vector berikut !

(waktu 15 menit)

a. b.

c. 2. Buktikan teorema 1.2 bagian a tersebut ! (waktu 20 menit)

Catatan : Untuk bagian b, Anda selesaikan di rumah sebagai tugas Individu

TEOREMA 1.2

Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah

c. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tdk salah satu vector di S dptdinyatakan kombinasi linear dari vector di S yang lain

d. Bebas linear jika dan hanya jika tdk ada vector S yang dpt dinyatakan sbgkombinasi linear dari vector S lainnya


10/12

10

( | )

( | )

Lembar Jawaban

Cek :

dan dan

Lakukan OBE , saya dapat :

Tidak ada solusi. Karena baris kedua dan ketiga bertentangan

Jadi merupakan bebas linear [Karena tidak bisa dituliskan dalam kombinasi linear]

Bebas Linear [Karena tidak bisa dituliskan dalam kombinasi linear]

Misalkan saja akan kita tuliskan menjadi dan dan Tentu saka harus sama dengan (pada persamaan kedua) , maka untuk , yaitu maka untuk , yaitu Nilai

berbeda (bertentangan).. . Jadi, tidak bisa dituliskan dalam kombinasi linear


11/12

11

Cek :

Cari dan .. Gunakan bantuan matriks dan OBEKalau ketemu nilai dan , maka tak bebas linear

Buktikan!

Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tdk salah satu vector di S dpt dinyatakan kombinasi

linear dari vector di S yang lain

Perhatikan Definisi Kombinasi Linear :Sebuah vector dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor jika vector tersebutdapat diungkapkan dalam bentuk

Dimana adalah skalar

Perhatikan Definisi Kebebasan Linear

Jika { } adalah himpunan vector, maka persamaan vector Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan himpunan bebas linear.


12/12

12

Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear

modul kebebasan linear jawaban103

Documents