modul 2 teknik pantai

Bahan Kuliah Teknik Pantai Alwafi Pujiraharjo - 2009

2. Teori Gelombang II - 1

BAB II TEORI GELOMBANG

Bentuk gelombang di laut adalah sangat kompleks dan sulit digambarkan

secara matematis. Hal ini disebabkan karena gelombang di laut bersifat acak,

tidak linier, dan tiga-dimensi. Beberapa teori mencoba mendekati fenomena

gelombang dengan beberapa penyederhanaan. Sehingga teori-teori gelombang

yang dikemukakan mempunyai batasan-batasan keberlakuannya.

Bab ini mencoba menguraikan beberapa teori gelombang yang sering

dipelajari dan digunakan untuk berbagai keperluan praktis.

2.1. Teori Gelombang Linier

Teori gelombang yang paling sederhana, adalah teori gelombang linier

atau teori gelombang amplitudo kecil yang pertama kali dikemukakan oleh Airy

tahun 1845. Teori gelombang linier mengasumsikan gelombang mempunyai

bentuk sinusoidal.

Anggapan/asumsi yang digunakan dalam teori gelombang linier antara lain:

1. Air adalah homogen dan tak mampu mampat (incompressible) sehingga

= konstan dan persamaan kontinuitas menjadi : 0=

+

z

w

x

u

2. Tegangan permukaan dan gaya coriolis diabaikan.

3. Tekanan permukaan adalah seragam dan konstan.

4. Air adalah fluida ideal (inviscid) sehingga berlaku aliran irrotasional,

maka bisa dimisalkan potensial kecepatan () dimana

xu

= dan z

w

= 022

2

2

=

+

zx

(persamaan Laplace)

5. Dasar perairan adalah horisontal, diam, dan impermeable sehingga

kecepatan vertikal di dasar adalah nol.

6. Amplitudo gelombang adalah kecil dibandingkan dengan panjang

gelombang dan kedalamannya.



7. Gerakan gelombang berbentuk silinder yang tegak lurus arah

perambatannya sehingga dianggap gelombang adalah dua-dimensi.

2.1.1. Definisi Gelombang

Sketsa terminologi gelombang dalam sistem koordinat x - z disajikan

pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2. 1. Sketsa gelombang

Notasi-notasi penting yang digunakan adalah:

d = kedalaman air rerata

a = amplitudo gelombang

H = tinggi gelombang = 2a

(x,t) = elevasi muka air diukur dari SWL (Still Water Level /muka air diam)

L = panjang gelombang, yaitu jarak antara dua puncak gelombang

yang berurutan

T = periode gelombang, yaitu interval waktu yang diperlukan partikel

untuk kembali ke kedudukan semula

C = Cepat rambat gelombang (= L/T)

= frekuensi gelombang (= 2pi/T)

k = angka gelombang (= 2pi/L)

u

w

d + z

H

C

L

d

z

x

0

SWL



u = kecepatan partikel arah horisontal

w = kecepatan partikel arah vertikal

2.1.2. Persamaan Pengatur

Persamaan pengatur teori gelombang linier adalah persamaan Laplace

untuk aliran irrotasional:

022

2

2=

+

zx

(2.1)

adalah potensial kecepatan dimana :

x

u

= dan z

w

= (2.2)

Agar penyelesaian persamaan tersebut bersifat khusus, digunakan kondisi-

kondisi batas antara lain:

a. Kondisi Batas Dinamik di Permukaan (z = ) (Dynamic Free Surface Boundary Condition (DFSBC)

Kondisi batas untuk permukaan air memenuhi persamaan Bernoulli untuk

irrotational flow:

02221

=

++++

pgzwut

)( (2.3)

Persamaan (2.3) dilinierkan dan tekanan permukaan diambil = 0, sehingga

diperoleh:

0

1

=

=z

tg (2.4)

b. Kondisi Batas Kinematik di Permukaan (z = ) (Kinematic Free Surface boundary Condition (KFSBC)

Syarat batas kinematik di permukaan adalah sebagai berikut:

xxtz

=

(2.5)



c. Kondisi Batas di Dasar Laut (z = -d) Bottom Boundary Condition (BBC)

Kecepatan partikel dan ukuran orbit makin ke dalam makin berkurang dan

pada dasar laut kecepatan arah sumbu-z adalah nol (w = 0).

0=

=

zw (2.6)

Untuk ketiga syarat batas di atas :

w = kecepatan arah vertikal

= elevasi muka air dihitung dari SWL. g = percepatan gravitasi (= 9,81 m/detik2)

d. Kondisi Batas Lateral Periodic Lateral Boundary Condition (PLBC)

Untuk gelombang yang periodeik terhadap waktu dan ruang, syarat

batasnya diekspresikan dalam bentuk periodisitas sebagai berikut:

(x,t) = (x + L, t) dan (x,t) = (x, t + T) (2.7)

Gambar 2.2 mengilustrasikan masalah nilai batas untuk gelombang

periodik dua dimensi yang telah diuraikan di atas.

Gambar 2.2. Ilustrasi masalah nilai batas untuk gelombang periodik.

2 = 0 d

x

z

(x,t) H

L

BBC

DFSBC KFSBC

PLBC PLBC



2.1.3. Penyelesaian Persamaan Pengatur

Persamaan (2.1) berikut syarat-syarat batasnya diselesaikan dengan cara

pemisahan variabel. Asumsi yang digunakan adalah bahwa potensial kecepatan

merupakan hasil perkalian antara fungsi-fungsi yang masing-masing hanya

bergantung pada satu variabel. Di sini kita ambil sebagai berikut:

(x,z,t) = X(x) . Z(z) . (t) (2.7)

dimana X(x) adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak arah x, Z(z)

adalah fungsi yang hanya bergantung pada z, dan (t) adalah fungsi yang hanya

bergantung pada waktu. Fungsi harus periodik terhadap waktu pada batas lateral, kita bisa menentukan bahwa (t) = sin t. Untuk memperoleh nilai

yaitu frekuensi sudut gelombang, kita dapat menggunakan syarat batas

periodik persamaan (2.7), sehingga:

sin t = sin (t + T) atau sin t = sin t.cos t + cos t.sin t

yang akan bernilai benar untuk T = 2pi atau = 2pi/T.

Sehingga potensial kecepatan sekarang dapat dituliskan

(x,z,t) = X(x) . Z(z) sin t (2.8)

Persamaan (2.8) dimasukkan kedalam persamaan Laplace akan diperoleh:

022

2

2

=+ tdz

zZdxXtzZ

dxxXd

sin)()(sin)()( (2.9)

Apabila persamaan (2.9) dibagi dengan (x,z,t) = X(x) . Z(z) sin t akan diperoleh:

011 22

2

2

=+dz

zZdzZdx

xXdxX

)()(

)()( (2.10)

Dapat dilihat bahwa suku pertama persamaan (2.10) hanya merupakan fungsi x

saja dan suku kedua hanya merupakan fungsi z saja.



Supaya bisa diselesaikan, persamaan (2.10) harus merupakan

penjumlahan dari dua konsatanta non-zero yang sama sehingga ditentukan:

22

21 kdx

xXdxX

=

)()( (2.11a)

22

21 kdz

zZdzZ

+=)(

)( (2.11b)

Sekarang persamaan (2.11) adalah merupakan persamaan diferensial

biasa dan dapat diselesaikan secara terpisah. Ada tiga kasus yang mungkin

dapat dicoba untuk menyelesaiakan persamaan di atas yang tergantung dari

nilai , yaitu untuk k = bilangan real, k = 0, dan k = bilangan imajiner.

Kemungkinan penyelesaian tersebut disajikan pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Kemungkinan Penyelesaian Persamaan Laplace Berdasarkan Pemisahan Variabel.

Nilai k Persamaan Diferensial Biasa Penyelesaian

Real

k2 > 0

0222

=+ )()( xXkdx

xXd

0222

= )()( zZkdz

zZd

X(x) = A cos kx + B sin kx Z(z) = C ekz + D e-kz

k = 0 022

=

dxxXd )(

022

=

dzzZd )(

X(x) = Ax + B Z(z) = Cz + D

Imajiner

k2 < 0, k = i|k| |k| = arah dari k

0222

= )()( xXkdx

xXd

0222

=+ )()( zZkdz

zZd

X(x) = A e|k|x + B ei|k|x Z(z) = C cos |k|z + D sin|k|z



Penerapan Kondisi Batas

a. Kondisi Batas Periodik Lateral (PLBC)

Semua penyelesaian dalam Tabel 2.1 memenuhi persamaan Laplace namun

tidak semua periodik dalam arah x. Pada kenyataannya hanya jika k = bilangan

real dan tidak nol yang memenuhi kondisi batas periodik. Sehingga

penyelesaian persamaan Laplace adalah:

( )( ) teDeCkxBkxAtzx kzkz ++= sinsincos),,( (2.12) Untuk memenuhi kondisi batas periodik secara eksplisit, maka :

)sincoscos(sin)sinsincos(cos

)(sin)(cossincos

kLkxkLkxBkLkxkLkxA

LxkBLxkAkxBkxA

++

=

+++=+

(2.13)

yang dipenuhi untuk cos kL = 1 dan sin kL = 0, yang berarti bahwa kL = 2pi

atau k = 2pi/L (yang sering disebut dengan angka gelombang / wave number).

Dengan prinsip superposisi, dapat dibagi menjadi beberapa bagian. Sementara ini hanya digunakan ( ) teDeCkxAtzx kzkz += sincos),,( , dengan prinsip superposisi suku ( ) teDeCkxB kzkz + sinsin akan ditambahkan kemudian.

b. Kondisi Batas di Dasar (BBC), di z = -d

Substitusi persamaan (2.12) ke kondisi batas di dasar yaitu persamaan (2.6)

akan diperoleh:

0==

= teDkeCkkxA

zw kzkz sin)(cos

atau

0= teDeCkxkA kdkd sin)(cos (2.14)

Supaya persamaan (2.14) bernilai benar untuk semua nilai x dan t maka

suku-suku di dalam tanda kurung harus sama dengan nol, sehingga diperoleh

kheDC 2= dan potensial kecepatan sekarang menjadi:



tDeeeDkxAtzx kzkzkd += sin)(cos),,( 2

teekxeDAtzx zdkzdkkd += ++ sin)(cos),,( )()(

tzdkkxGtzx += sin)(coshcos),,( (2.15)

dimana G = 2 A D ekd adalah konstanta baru.

c. Kondisi Batas Dinamik di Permukaan (DFSBC), di z =

Persamaan (2.15) dimasukkan ke dalam kondisi batas dinamik di permukaan

persamaan (2.4), akan diperoleh:

tkxg

kdG

tzdkkxg

Gtg

zz

=

+

=

===

coscoscosh

cos)(coshcos00

1

(2.16)

Suku-suku di alam tanda kurung adalah konstan sehingga adalah konstanta dikalikan fungsi periodik terhadap jarak dan waktu.

Representasi fisik dari berdasarkan Gambar 2.1 adalah:

tkxH = coscos2

(2.17)

Berdasarkan perbandingan representasi analitik dan fisik dari persamaan (2.16) dan (2.17) diperoleh:

kd

gHGcosh

=

2 (2.18)

Persamaan (2.18) dimasukkan ke persamaan (2.15) sehingga akan diperoleh

potensial kecepatan sebagai berikut:

tkxkd

zdkgH

+= sincos

cosh)(cosh

2 (2.19)

atau

)sin(cosh

)(coshtkx

kdzdkgH

+=

2 (2.20)



dimana : k = 2pi/L = angka gelombang

= 2pi/T = frekuensi angular gelombang

d. Kondisi Batas Kinematik di Permukaan (KFSBC), di z =

Kondisi batas kinematik di permukaan, elevasi muka air dihitung dari SWL

dinyatakan oleh persamaan (2.5). Kecepatan vertikal di permukaan air adalah

w = /t, sehingga:

2

211tgtgtt

w

=

=

=

(2.21)

Karena w = -/z, maka persamaan (2.21) dapat ditulis:

2

21tgz

=

(2.22)

Apabila nilai dari persamaan (2.20) disubstitusikan ke persamaan (2.22) maka akan diperoleh:

+

=

+

)sin(

cosh)(cosh)sin(

cosh)(cosh

tkxkd

zdkgHtg

tkxkd

zdkgHy 2

12 2

2

)sin(cosh

)(cosh)sin(cosh

)(sinhtkx

kdzdkH

tkxkd

zdkkgH

+=

+

22

Nilai z untuk gelombang amplitudo kecil adalah sama dengan muka air diam

(z = 0), sehingga persamaan di atas menjadi :

2 = g k tanh kd (2.23)

Persamaan (2.23) adalah persamaan dispersi untuk gelombang linier.

Karena = k C, maka persamaan (2.23) dapat ditulis menjadi:

kdLgkdkgC tanhtanh

pi==

22 (2.24)



Sehingga akan diperoleh persamaan untuk kecepatan rambat dan panjang

gelombang berikut:

kdgTL tanhpi

=

2

2 (2.25)

kdgTC tanhpi

=

2 (2.26)

2.1.4. Klasifikasi Gelombang Berdasarkan Kedalaman Relatif (d/L)

Gelombang dapat diklasifikasikan berdasarkan kedalaman relatif yaitu

perbandingan antara kedalaman air dan panjang gelombang (d/L) menjadi tiga

macam seperti disajikan pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2 Klasifikasi Gelombang

Klasifikasi d/L kd tanh kd

Gelombang di laut dalam 0,5 pi kd < 1

Gelombang di laut transisi 0,05 < d/L < 0,5 pi/10 < kd < pi tanh kd

Gelombang di laut dangkal 0,05 0 < kd pi kd

Klasifikasi tersebut didasarkan pada nilai-nilai d/L, kd, dan fungsi-fungsi

hiperbolik kedalaman relatif jika fungsi hiperbolik dan asimptot-asimtotnya

diplot bersama-sama seperti yang disajikan pada Gambar 2.2.



Gambar 2.2. Hubungan kedalaman relatif dan asimptot-asimptotnya terhadap

fungsi-fungsi hiperbolik.

Untuk kedalaman air yang besar (laut dalam), nilai (tanh kd) mendekati 1,

sehingga persamaan (2.25) dan (2.26) di laut dalam menjadi:

pi

=

2

2

0gTL 1,56 T2 (2.27)

pi

=

20gTC (2.28)

Untuk kedalaman air yang kecil (laut dangkal), nilai (tanh kd) mendekati

kd sehingga persamaan (2.25) dan (2.26) di laut dangkal menjadi:

TdgL = (2.29)

dgC = (2.30)



Untuk kondisi gelombang di laut transisi, panjang gelombang dan cepat

rambat gelombang dihitung dengan menggunakan persamaan (2.25) dan (2.26).

Apabila persamaan (2.25) dibagi dengan persamaan (2.27) atau persamaan

(2.26) dibagi dengan persamaan (2.28) maka akan diperoleh :

pi==

Ld

CC

LL 2

00tanh (2.31)

Apabila diperhatikan dari Gambar 2.2 akan terlihat terjadi penurunan

kurva (tanh kd) yang berarti terjadi penurunan cepat rambat dan panjang

gelombang selama perambatan dari laut dalam menuju pantai.

Apabila kedua ruas persamaan (2.31) dikalikan dengan d/L maka akan

didapatkan :

pi=

Ld

Ld

Ld 20

tanh (2.32)

Persamaan (2.32) dapat digunakan untuk mencari panjang gelombang

pada setiap kedalaman apabila panjang gelombang di laut dalam diketahui.

Persamaan (2.32) adalah persamaan non-linier sehingga diperlukan iterasi

untuk menyelesaikannya. Untuk memudahkan hitungan dengan persamaan

(2.32) telah dibuat tabel, yaitu Tabel C-1 dan C-2 pada SPM (Shore Protection

Manual) 1984.

2.1.5. Fluktuasi Muka Air

Persamaan fluktuasi muka air diperoleh dari kondisi batas di permukaan

air menggunakan persamaan (2.4) , tg

= 1

Jika nilai dari persamaan (2.20) dimasukkan ke persamaan (2.4) dan y = 0, maka akan diperoleh persamaan elevasi muka air:

+

= )sin(cosh

)(coshtkx

kdzdkgH

tg 21

)cos( tkxH =2

(2.33)



dengan : L

k pi= 2 = angka gelombang

Tpi

=2

= frekuensi angular gelombang.

2.1.6. Kecepatan dan Percepatan Partikel Air

Kecepatan partikel air untuk berbagai kedalaman dan waktu (z dan t)

dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.2) dengan memasukkan nilai dari persamaan (2.20) :

Kecepatan arah horisontal :

+

= )sin(cosh

)(coshtkx

kdzdkgH

xu

2

)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdkkgH

u

+=

2 (2.34)

Jika k = 2pi/L dan = 2pi/T kita substitusikan ke persamaan di atas maka akan

diperoleh :

)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdk

CgH

u +

=

2 (2.35)

Karena kdkdTgkdTgC

coshsinhtanh

pi=

pi=

22, maka jika dimasukkan ke persamaan

(2.35)

akan diperoleh:

)cos(sinh

)(coshtkx

kdzdk

TH

u +pi

= (2.36)

Dengan cara yang sama, akan diperoleh kecepatan partikel arah vertikal :

)sin(cosh

)(sinhtkx

kdzdk

CgH

w +

=

2

)sin(sinh

)(sinhtkx

kdzdk

TH

w +pi

= (2.37)



Percepatan partikel air diperoleh dengan mendeferensialkan persamaan (2.36)

dan (2.37) terhadap waktu (t) :

+pi

=

= )cos(sinh

)(coshtkx

kdzdk

TH

tt

uax

)sin(sinh

)(coshtkx

kdzdk

TH

ax +pi

= 2

22 (2.38)

+pi

=

= )sin(sinh

)(sinhtkx

kdzdk

TH

tt

waz

)cos(sinh

)(sinhtkx

kdzdk

TH

az +pi

= 2

22 (2.39)

2.1.7. Orbit Partikel Air

Perpindahan partikel air dapat diperoleh dengan hubungan berikut:

t

u

= dan t

w

=

Persamaan di atas disusun ulang kemudian diintegralkan sehingga diperoleh :

= dtu dan = dtw

Jika persamaan (2.36) dimasukkan ke persamaan di atas akan diperoleh :

)sin(sinh

)(coshtkx

kdzdkH

+

=2

(2.40)

Dengan cara yang sama akan diperoleh perpindahan arah vertikal:

)cos(sinh

)(sinhtkx

kdzdkH

+

=2

(2.41)



Persamaan (2.26) dan 2.27) disusun ulang dalam bentuk :

)(coshsinh)sin(

zdkkd

Htkx

+

=

2 dan )(sinh

sinh)cos(zdk

kdH

tkx+

=

2

Kemudian kedua persamaan dikuadratkan menjadi :

22 2

+

= )(cosh

sinh)(sinzdk

kdH

tkx (2.42)

22 2

+

= )(sinh

sinh)(coszdk

kdH

tkx (2.43)

Apabila persamaan (2.42) dan (2.43) dijumlahkan akan diperoleh:

122

2

2=

+

BA

(2.44)

dimana : kd

zdkHAsinh

)(cosh +=

2

kd

zdkHBsinh

)(sinh +=

2

Persamaan (2.44) adalah persamaan orbital partikel air di laut transisi yaitu

berupa ellips dengan jari-jari terpanjang A dan jari-jari terpendek B.

Untuk laut dalam (d/L > ), panjang A = B sehingga orbit partikel berupa

lingkaran.

kzeHBA2

== (2.45)

Sedangkan untuk laut dangkal (d/L < 1/20), persamaan menjadi :

kzHA

2= dan

+=

dzHB 1

2 (2.46)

Untuk memperjelas orbital partikel tersebut disajikan Gambar 2.3.



Gambar 2.3. Orbit partikel air di laut transisi dan laut dalam.

2.1.8. Tekanan Gelombang

Tekanan yang disebabkan oleh gelombang adalah gabungan dari tekanan

hidrostatis dan tekanan dinamis. Besarnya tekanan dapat diturunkan dari

persamaan Bernoulli untuk unsteady flow yang dilinierkan berikut :

0=

++

pgzt

(2.47)

Jika persamaan (2.47) disusun ulang dan persamaan potensial kecepatan

disubstitusikan, maka akan diperoleh :

+

+= )sin(

cosh)(cosh

tkxkd

zdkgHt

gzp2

)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdkgHgzp ++=

2 (2.48)



Suku pertama ruas kanan persamaan (2.48) adalah tekanan hidrostatis,

sedangkan suku kedua adalah tekanan dinamis yang disebabkan oleh

percepatan partikel air.

Karena )cos( tkxH =2

, maka persamaan (2.48) dapat ditulis:

gzkz

zdkgp +=cosh

)(cosh (2.49)

Jika didefinisikan :

kz

zdkK zcosh

)(cosh += yaitu faktor respon tekanan, maka persamaan (2.49)

dapat ditulis:

)( zKgp z = (2.50)

Faktor respon tekanan (Kz) di dasar perairan (z = -d) :

kd

KK zcosh

1== (2.51)

Distribusi vertikal tekanan gelombang laut dalam disajikan pada Gambar (2.4).

Gambar 2.4. Distribusi vertikal tekanan gelombang di laut dalam.

-gz

)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdkgH

+

2

SWL



2.1.9. Kecepatan Group / Kelompok Gelombang

Kecepatan gelombang yang datang bersamaan biasanya tidak akan sama

dengan gelombang tunggal yang menyusun kelompok gelombang tersebut.

Untuk gelombang yang merambat di laut dalam atau transisi dengan gaya

gravitasi maka kecepatan group akan lebih kecil dibandingkan dengan phase

kecepatannya.

Konsep kecepatan kelompok ini dapat dijelaskan dengan memandang 2 buah

gelombang sinusiodal yang berinteraksi dan bergerak dengan arah yang sama

namun dengan panjang gelombang dan periode berbeda. Persamaaan elevasi

muka airnya sebagai berikut :

( ) ( )txkHtxkH 221121 22 +=+= coscos (2.52)

Bila : k1 - k2 = k ; 1 - 2 =

(k1 + k2)/2 = k ; (1 + 2)/2 =

Maka jika disubstitusikan ke persamaan (2.52) dan disusun ulang akan

diperoleh:

( ) ( )txkktxkkH )()(cos)()(cos 212121212121 ++=

= txktkxH

22cos)cos( (2.53)

Persamaan (2.53) adalah gelombang yang merambat dengan kecepatan C = /k

yang dimodulasi oleh envelope yang bergerak dengan kecepatan Cg = /k

dimana dan k sangat kecil.

Kecepatan group tersebut diuraikan dengan memasukkan persamaan dispersi

sehingga diperoleh :

CnLd

LdTLCg =

pi

pi+= )/sinh(

/4

4121

, (2.54)

dimana

pi

pi+= )/sinh(

/Ld

Ldn

441

21



Di laut dalam nilai (4pipipipid/L)/sinh (4pipipipid/L) mendekati nol sehingga n = , jadi

persamaan menjadi :

o

o

g CTLC

21

21

== (2.55)

Di laut dangkal nilai (4pipipipid/L)/sinh (4pipipipid/L) mendekati 1 sehingga n = 1, jadi

persamaan menjadi :

dgCTLCg === (2.56)

Gambar 2.5. Karakteristik kelompok gelombang disajikan dalam bentuk penjumlahan gelombang sinusoidal yang berbeda periodenya.



2.1.10. Energi dan Daya Gelombang

Total energi dari sistem gelombang adalah jumlah dari energi kinetik

dan energi potensialnya. Energi kinetik adalah energi yang dihasilkan

gelombang akibat kecepatan partikel partikel air. Energi kinetik per satuan

panjang puncak gelombang adalah :

dxdzwuELx

x dk

+

+=2

22

(2.57)

Setelah diintegralkan maka diperoleh:

LHgEk2

161 = (2.58)

Energi potensial adalah energi yang dihasilkan oleh massa fluida untuk

berada di puncak gelombang. Energi potensial per satuan panjang puncak

gelombang dihitung dengan :

dxddgELx

x

P

+= +

22

22)( (2.59)

Setelah diintegralkan diperoleh :

LHgEP2

161 = (2.60)

Sehingga energi total gelombang per satuan luas permukaan dan disebut energi

spesifik atau kerapatan energi (specific energy or energy density) adalah :

LHg

LEEE pk

2=

+= (2.61)

Daya gelombang adalah energi gelombang setiap satuan waktu yang

merambat dalam arah perambatan gelombang dan dapat dituliskan sebagai

hasil kali gaya yang bekerja pada bidang vertikal tegak lurus arah perambatan

gelombang dengan kecapatan partikel air yang melewati bidang tersebut.

Untuk satu satuan lebar, daya gelombang rerata adalah :



+=T

d

dtdzuzgpT

P0

01 )( (2.62)

Apabila besarnya tekanan dinamis persamaan (2.49) dan kecepatan partikel

arah horisontal persamaan (2.36) disubstitusikan ke persamaan (2.62) maka

akan diperoleh:

+pi

+=

T

d

dtdztkxkd

zdkTH

tkxkd

zdkgHT

P0

0

21 )cos(

sinh)(cosh)cos(

cosh)(cosh

+

=

kdkd

TLgHP

221

16

2

sinh

+=

kdkd

TEP

221

21

sinh

T

LnET

nEP == (2.63)

dimana

+=

kdkd

n2

2121

sinh

Selama perambatan gelombang menuju pantai, daya gelombang adalah

konstan sehingga daya gelombang per satuan luas yang melewati satu titik akan

sama dengan titik berikutnya. Pernyataan ini dapat dituliskan sebagai :

21

=

=

TLEn

TLEn

P = konstan

atau

222111 LEnLEn = (2.64)

Apabila perambatan gelombang dari laut menuju laut dangkal, persamaan

(2.64) menjadi :

LEnLE =00 (2.65)

RINGKASAN RUMUS-RUMUS TEORI GELOMBANG LINIER



2.2. Teori Gelombang Orde Tinggi



Teori gelombang linier berlaku untuk gelombang dimana perbandingan

tinggi dan panjang gelombang adalah kecil (kd



Sedangkan fluktuasi muka air diberikan oleh persamaan :

( ) )(cos)cosh(sinhcosh)cos( tkxkd

kdkd

LH

tkxH +pi+= 22282

2

(2.68)

Untuk laut dalam (d/L > )

pi

pipi+

pi

pi=

Tt

Lx

LH

Tt

LxH

oo

o

o

o 444

222

2coscos (2.69)

Kecepatan Partikel

)cos(sinh

)(cosh)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdkC

LH

tkxkd

zdkL

gTHu

+

pi+

+= 4

2 243

2

(2.70)

)cos(sinh

)(sinh)sin(sinh

)(sinhtkx

kdzdkC

LH

tkxkd

zdkL

gTHv

+

pi+

+= 4

2 243

2

(2.71)

Perpindahan partikel

)sin(cosh

)(coshtkx

kdzdk

LHgT

+

pi=

4

2

)(sinsinh

)(coshsinh

tkxkd

zdkkdL

H

+

pi+ 22

2311

8 222

kdzdkCt

LH

2

2 22 sinh

)(cosh +

pi+ (2.72)

)(cossinh

)(sinh)cos(cosh

)(sinhtkx

kdzdk

LH

tkxkd

zdkL

HgT

+pi+

+

pi= 22

163

4 422

(2.73)



Kecepatan transport massa

Pada teori gelombang Stokes, orbit partikel tidak tertutup seperti pada

teori gelombang linier, sehingga menyebabkan terjadinya transport massa

dalam arah perambatan gelombang. Persamaan (2.72) suku terakhir adalah

tidak periodik dan merupakan perkalian antara waktu dengan suatu konsatanta

yang merupakan fungsi kedalaman dan periode.

Kecepatan gerak partikel rata-rata (Mean drift velocity) adalah jarak

tempuh partikel searah propagasi gelombang untuk satu periode dibagi dengan

periode gelombang.

kdzdkC

LH

zU 22 2

2 sinh)(cosh)( +

pi= (2.74)

Persamaan diatas menyatakan bahwa transport fluida netto oleh

gelombang dalam arah propagasi-nya. Jika sejumlah massa terangkut maka

akan terkumpul pada suatu tempat, maka permukaan bebas akan naik,

sehingga akan terjadi gradien tekanan. Arus yang terjadi akibat proses ini akan

membawa dan mendistribusikan massa. Transport massa ke arah vertikal

adalah nol.

Tekanan di bawah permukaan

Tekanan di sembarang titik di bawah permukaan diberikan oleh persamaan :

gztkxkd

zdkHgp += )cos(cosh

)(cosh2

)(cossinh

)(coshsinhtanh

tkxkd

zdkkdkd

LHg

+pi+ 2 312

83

22

2

{ } 1281

2

2

+pi )(cosh

sinhtanh

zdkkdkd

LHg (2.75)



B. 2. Teori Gelombang Cnoidal

Teori gelombang amplitudo hingga dari Stokes hanya berlaku pada

interval d/L > 1/8 atau kd > 0,78 atau Ur < 79. Dimana UR adalah parameter

Ursell yang didefinisikan sebagai :

3

2

dHLU R = (2.76)

Bentuk permanen gelombang panjang, finite amplitude yang merambat di

perairan dangkal secara akurat dapat dijelaskan dengan teori gelombang

Cnoidal. Batasan berlakunya teori gelombang Cnoidal ini adalah untuk d/L <

1/8 atau UR > 26.

Penjelasan mengenai kecepatan, percepatan , energi, daya gelombang

Cnoidal adalah rumit. Karakteristik gelombang ini dinyatakan sebuah

parameter yang disebut modulus integral elliptic (k), dimana k sendiri tidak

mempunyai arti yang signifikan, tetapi hanya menyatakan hubungan beberapa

parameter yang ada. Ordinat permukaan air (ys) diukur dari dasar adalah:

+= k

Tt

LxkKcnHyy ts ,)(2 2 (2.77)

dengan :

yt = jarak dari dasar

cn = fungsi kosinus elliptik

K(k) = keseluruhan integral elliptik

k = modulus integral elliptik (0 1)

Nilai k berkisar antara 0 sampai 1. Apabila nilai k = 0 maka profil muka air

adalah sinusoidal seperti pada teori gelombang linier. Sedangkan apabila nilai

k = 1 maka profil gelombang akan menjadi gelombang tunggal (solitary wave).



Argumen cn2 biasanya dinyatakan dengan ( ) sehingga persamaan tersebut

dapat ditulis dalam bentuk :

) ( 2cnHyy ts += (2.78)

Jarak dari dasar ke lembah gelombang (yt) di rumuskan :

[ ]dHkEkKkK

Ld

dH

dy

dy ct

+== 1)()()(3

162

2 (2.79)

yc adalah jarak dari dasar ke puncak gelombang. E(k) adalah keseluruhan

integral ellips.

Panjang gelombang yang diberikan adalah :

)(3

16 3 kKkHdL = (2.80)

Sedangkan periode gelombangnya :

+

=

)()(

)(

kKkE

HyH

kkKyd

Hy

dgT

t

t

t

211

316

2

(2.81)

Gelombang Cnoidal adalah periodik dan mempunyai bentuk yang permanen,

sehingga L = CT.

Tekanan di bawah gelombang Cnoidal pada ketinggian y dari dasar

tergantung pada kecepatan lokal, sehingga sangat komplek. Namun dapat

didekati dengan persamaan hidrostatis :

)( yygp s = (2.82)

Dimana distribusinya dianggap bervariasi linier dari gys dari dasar ke permukaan.

Untuk menghitung beberapa parameter gelombang Cnoidal digunakan

beberapa grafik. Grafik-grafik tersebut disajikan dalam Gambar 2.6 sampai

Gambar 2.11.



Gambar 2.6 dan Gambar 2.7 menyajikan profil gelombang Cnoidal sebagai

fungsi k2. Gambar 2.18 sampai Gambar 2.11 menyatakan hubungan parameter-

parameter gelombang Cnoidal.

Gambar 2.6. Profil gelombang Cnoidal untuk berbagai nilai k2. (After Wiegel, 1960)

Gambar 2.7. Profil gelombang Cnoidal untuk berbagai nilai k2. (After Wiegel, 1960)



Gambar 2.8. Hubungan antara k2 dengan L2H/d3 dan k2 dengan dgT / (After Wiegel, 1960)



Gambar 2.9. Hubungan antara L2H/d3 dengan k2, yc/H, yt/d, dan K(k). (After Wiegel, 1960)

Gambar 2.10. Hubungan antara dgT / , L2H/d3 , dan H/d. (After Wiegel, 1960)



Gambar 2.11. Hubungan antara tgyC / , H/yt, dan L2H/d3.

(After Wiegel, 1960)

B. 3. Teori gelombang Solitary

Gelombang solitary adalah gelombang berjalan yang mempunyai satu

puncak gelombang. Bila merambat menuju laut dangkal, puncak gelombang

menjadi semakin tinggi dan semakin tajam dan lembanhnya menjadi semakin

datar. Gelombang solitary mengalami translasi relatif pada massa air dan hanya

bergerak dalam arah perambatan gelombang. Di alam sangat sulit untuk

menentukan apakah gelombang tersebut solitary, karena tepi gelombangnya

biasanya mengalami dispersi.

Gelombang solitary adalah bentuk khusus dari gelombang Cnoidal, yaitu

untuk k2 = 1 dan bentuk cosinus elipstic direduksi menjadi fungsi hyperbolic

secant.

+= )(sech Ctx

dH

Hdys 32

43

atau

= )(sech Ctx

dHH 3

243

(2.83)



Sedangkan volume air gelombang di atas stillingwater level adalah:

213

316 /

= HdV (2.84)

Kecepatan rambat gelombang solitary )( dHgC +=

Kecepatan partikel :

[ ]21

)/cosh()/cos()/cosh()/cos(

dMxdMydMxdMyCNu

+

+= (2.85a)

[ ]2)/cosh()/cos()/sinh()/sin(

dMxdMydMxdMyCNw

+= (2.85b)

M, N adalah fungsi H/d seperti yang disajikan pada Gambar 2.12, y diukur dari

dasar perairan.

Kecepatan maksimum akan terjadi bila x dan t = 0. Kecepatan ini sering

digunakan untuk memprediksi gaya gelombang pada bangunan pantai di laut

dangkal. Kecepatan maksimum dirumuskan sebagai :

)/cos(max dMyCN

u+

=

1 (2.86)

Total energi persatuan lebar puncak gelombang :

2323

338 // dgHE = (2.87)

Tekanan tergantung pada kecepatan lokal fluida dan diberikan oleh persamaan:

)( yygp s = (2.88)

Gelombang akan pecah bila

80780 ,,max

=

dH

atau 32 387011225750 mmmdH

b

b ++= , (2.89)

dengan kemiringan dasar (m) = 0,01 0,02 (SPM 1984 Volume I).



Batas Keberlakuan Teori Gelombang

Pengetahuan tentang batasan keberlakuan teori gelombang yang telah

diuraikan sebelumnya akan dapat digunakan untuk menentukan teori mana

yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan yang kita hadapi. Penerapan

teori gelombang tersebut didasarkan pada nilai perbandingan H/d dan d/L.

Atau dapat juga didasarkan pada nilai perbandingan H/(gT2) dan d/(gT2).

Gambar 2.12 menyajikan batasan keberlakuan teori gelombang berdasarkan

perbandingan nilai H/d dan d/L. Sedangkan Gambar 2.13 menyajikan batasan

keberlakuan teori gelombang berdasarkan nilai perbandingan H/(gT2) dan

d/(gT2).

Gambar 2.12. Nilai M dan N sebagai fungsi H/d pada teori Gelombang Solitary. (After Munk, 1949)



Gambar 2.13. Batasan keberlakuan teori-teori gelombang. (After Le Mehaute, 1969)

d/L = 0,04 d/(gT2) = 0,00155

d/L = 0,5 d/(gT2) = 0,0792



SOAL-SOAL LATIHAN

Contoh Soal 1

Diketahui gelombang dengan periode T = 10 detik merambat ke arah pantai

dengan kemiringan seragam dari kedalaman d = 200 m menuju kedalaman d =

10 m. Hitung panjang gelombang (L) dan kecepatan rambat (Celerity)

gelombang pada kedalaman tersebut.

Penyelesaian

Panjang gelombang di laut dalam : 22

5612

TgTLo ,=pi

= m = 1,56(10)2 = 156 m

Pada kedalaman h = 200 m

28211156200

,==

oLd

maka tergolong laut dalam

Jadi Ld

Ld

o

= sehingga L = Lo =156 m

Kecepatan rambat gelombang :

61510

156,===

TLC m/dt

Pada kedalaman h = 3 m

Dihitung 01920156

3,==

oLd

, maka tergolong laut transisi.

Panjang gelombang dapat dicari dengan menggunakan dua cara yaitu:

Dengan menyelesaikan persamaan dispersi (Persamaan 2.23) :

2 = gk tanh kd dimana : = 2pi/T dan k = 2pi/L

Persamaan di atas adalah persamaan non-linier dan diselesaikan dengan

cara sebagai berikut:

Ruas kanan dan kiri persamaan di atas dikalikan dengan d/g sehingga

persamaan menjadi:

kdkdg

d tanh=2



Dimisalkan kd = x maka persamaan menjadi :

xx tanh,

*)/(=

pi

8193102 2

0,12073 = x tanh x

Persamaan disusun ulang menjadi :

x tanh x - 0,12073 = 0

Persamaan diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dengan

persamaan iterasi sebagai berikut:

)(')(

n

n

nnxfxf

xx =+1 = xxx

xxxn 2

120730sechtanh

,tanh+

Diambil nilai awal x = 0,5, hasil iterasi disajikan pada tabel berikut:

Diperoleh x = kd = 0,3545105

k = 0,3546105/3 = 0,1182075

Panjang gelombang:

k = 2pi/L L = 2pi/k = 53,15 m

Cepat rambat gelombang C = L/T = 53,15/10 = 5,315 m/detik

Dengan menggunakan Tabel C-1 SPM 1984.

Berdasarkan nilai oL

d = 0,0192 maka dari Tabel C-1 diperoleh :

Ld= 0,05641 sehingga

0564103

,=L = 53,2 m

Kecepatan rambat gelombang :

10253,

==

TLC = 5,32 m/dt

Iterasi

ke-n Xn f(xn) f'(xn) Error (%)

1 0.5000000 0.1103286 0.8553410 - 2 0.3710122 0.0109336 0.6791646 34.7664670 3 0.3549136 0.0001983 0.6544361 4.5359169 4 0.3546106 7.133E-08 0.6539652 0.0854343 5 0.3546105 9.243E-15 0.6539651 0.0000308



Contoh Soal 2

Gelombang dengan periode T = 8 detik pada kedalaman d = 15 m mempunyai

tinggi H = 5,5 m. Hitunglah kecepatan dan percepatan lokal partikel air dalam

arah vertikal dan horisontal pada elevasi z = -5 m pada saat

322 pi

=

pi

pi=

Tt

Lx

.

Penyelesaian


5612

TgTLo ,=pi

= m = 1,56(8)2 = 99,8 m

Pada kedalaman d = 15 m

Berdasarkan nilai 15030899

15,

,==

oLd

, maka dari Tabel C-1 diperoleh nilai :

Ld

0,1835 ; Ldpi2

sinh = 1,424 ; L

d2picosh = 1,742

Panjang gelombang :

1835015L

,= = 81,7 m

Kecepatan Lokal Partikel Air pada z = - 5 m

Horisontal

)cos(cosh

)(coshtkx

kdzdk

LTgH

u +

=

2

( )

pi+pi=

374217811552

781889

255

cos,

],/cosh[,

)(,,u

= 1,515 (1,3106 )(0,5) = 0,99 m/dt

Vertikal

)sin(cosh

)(sinhtkx

kdzdk

LTgH

w +

=

2

( )

pi+pi=

374217811552

781889

255

sin,

],/sinh[,

)(,,w

= 1,515 (0,8472)(0,8667) = 1,11 m/dt

Percepatan Partikel Air pada z = - 5 m



Horisontal

)sin(cosh

)(coshtkx

kdzdk

LHg

ax +pi

=

( )

pi+pipi=

374217811552

7815589

sin,

],/cosh[,

),)((,xa

= 1,190(1,3106)(0,8667) = 1,35 m/dt2

Vertikal

)cos(cosh

)(sinhtkx

kdzdk

LHg

ax +pi

=

( )

pi+pipi=

374217811552

7815589

cos,

],/sinh[,

),)((,za

= -1,190 (0,8472)(0,5) = - 0,50 m/dt2

Contoh Soal 3

Diketahui gelombang dengan periode T = 10 detik merambat pada perairan

dengan kontur kedalaman lurus dan paralel. Jika tinggi gelombang di laut

dalam dan pada kedalaman d = 12 m masing-masing adalah H0 = 3,13 m dan H =

3 m.

a. Perpindahan partikel air maksimum dalam arah horisontal dan vertikal

pada kedalaman 12 m dengan z = -5 m.

b. Perpindahan partikel air maksimum pada kedalaman tak hingga dengan

elevasi z = -7,0 m.

Penyelesaian


5612

TgTLo ,=pi

= m = 1.56(10)2 = 156

sehingga 0769015612

,==

oLd

Dengan nilai 07690,=oL

d, maka dari Tabel C-1 diperoleh :



sinh L

d2pi= 0,8306 dan 120

Ld

,= sehingga L = 100 m (perairan transisi )

a. Perpindahan partikel maksimum arah vertikal dan horisontal pada

kedalaman 12 m dan z = -5 m:

( )83120

512100

1432

23

2 ,

,.cosh

sinh)(cosh

=

+=

kdzdkHA = 1,9818 m

( )83120

512100

1432

23

2 ,

,.sinh

sinh)(sinh

=

+=

kdzdkHB = 0,8191 m

b. Perpindahan partikel maksimum di laut dalam dan z = - 7 m:

))(/,.(, 710014322133

2

=== eeHBA kz = 1,0081 m

Contoh Soal 4.

Dari pengukuran tekanan di bawah permukaan gelombang dan pada elevasi

0,6m dari dasar diperoleh tekanan maksimum (p) = 124 kN/m2. Kedalaman

perairan pada lokasi d = 12 m. Rata-rata frekuensinya (f0 = 0,1 cycles /dt

(herzt)). Hitung tinggi gelombang (H) dengan menggunakan teori gelombang

linier.

Penyelesaian

Periode gelombang, 1010

11===

,fT detik ,


5612

TgTLo ,=pi

= m = 1,56(10)2 = 156 m

Kedalaman perairan d = 12 m sehingga 0769015612

,==

oLd



Dengan 07690,=oL

d, dari Tabel C-1 diperoleh

Ld= 0,12 dan

Ldpi2

cosh = 1,3.

Sehingga panjang gelombang 120

12L,

= = 100 m.

)/cosh()/)(cosh(

LdLzdK z

pi

+pi=

22

31

100411122,

)/),(cosh( pi= = 0,771

)( zKgp z = , tekanan maksimum terjadi bila 2H

= , sehingga :

124000= 1000*9,81

+ 4117710

2,,*

H H = 3,217 m

Contoh Soal 5

Diketahui gelombang dengan periode T = 15 detik dan tinggi H = 1,0 m

merambat pada perairan dengan kedalaman d = 3 m.

a. Hitung panjang gelombang dengan menggunakan teori gelombang Cnoidal

kemudian hasilnya dibandingkan dengan panjang gelombang berdasarkan

teori gelombang linier (teori gelombang Airy).

b. Hitung kecepatan rambat gelombang dengan teori gelombang Cnoidal dan

bandingkan dengan teori gelombang Airy.

c. Hitung jarak puncak gelombang (yc) dan jarak lembah gelombang (yt)

terhadap dasar air.

Penyelesaian

a. Hitung H/d = 1/3 = 0,33 dan 381915 /,/ =dgT = 27,11

Dari grafik Gambar 2.8 dengan nilai H/d = 0,33 dan dgT / = 27,11

diperoleh nilai k2 = 1 10-5.

Dengan grafik Gambar 2.9 untuk k2 = 1 10-5 diperoleh :

3

2

dHL

= 290 sehingga L = H

d 3290 =

013290 3

,

.

= 88,5 m



Dengan menggunakan teori gelombang Airy, panjang gelombang dihitung

sebagai berikut:

Panjang gelombang di laut dalam L0 = 1,56 T2 = 1,56 . 152 = 351 m

d/L0 = 3/351 = 0,00855

Dengan d/L0 = 0,00855 dari Tabel C-1 diperoleh d/L = 0,0372

sehingga panjang gelombang L = 3,0/0,0372 = 80,64 m

Untuk mengecek apakah teori gelombang Cnoidal dapat diterapkan pada

kondisi ini maka dihitung d/L dan parameter Ursell UR = 3

2

dHL

sebagai

berikut:

d/L = 3,0 / (88,5) = 0,0339 < 1/8 O.K.

UR = 3

2

dHL

= 3

2

0301588

),(),(),( = 290 > 26 O.K.

Sehingga teori gelombang Cnoidal dapat diterapkan.

b. Kecepatan rambat gelombang dihitung dengan :

C = L/T = 88,5 / 15 = 5,90 m/detik

Sementara dengan teori gelombang linier :

C = L/T = 80,6 / 15 = 5,37 m/detik.

Prosentase tinggi gelombang di atas SWL dapat dicari dengan menggunakan

grafik Gambar 2.6 dan Gambar 2.7. Dengan nilai 3

2

dHL

= 290 maka nilai

(yc d) = 0,865 atau 86,5 %, sehingga :

yc = 0,865 H + d = 0,865 (1,0 ) + 3,0 = 3,865 m

Juga dari grafik diperoleh 1+H

dyt = 0,865 sehingga

yt = 2,865 m

modul 2 teknik pantai

Documents