Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MODUL 1Himpunan

Nur Azmi Karim, SE, M.Si

01FEB

Penulisan Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan objek yangberbeda, yang mungkin merupakan suatukelompok bilangan- bilangan berbeda, orang,makanan, atau sesuatu lainnya.Ada dua cara penulisan suatu himpunan : denganmenyebutkan satu persatu dan dengan gambaran.Jika kita memisalkan S mewakili himpunan daritiga bilangan 2,3, dan 4 maka kita dapatmenuliskan dengan menyebutkan satu persatudari himpunan setiap elemen,

S = ｛2,3,4｝

Tetapi bila kita misalkan I merupakan himpunanuntuk seluruh bilangan bulat positif, menyebut satupersatu akan sulit, dan kita boleh menjelaskan elemen-elemen secara sederhana dan menulis,

I = ｛x | x bilangan bulat positif｝yang sering dibaca sebagai berikut :” I adalah himpunanseluruh bilangan- bilangan x sedemikian rupa sehinggax merupakan bilangan bulat positif.” Tanda kurungdigunakan untuk menutup himpunan kedua kasustersebut.

Suatu himpunan dengan elemen- elemen bilanganhingga yang ditunjukkan oleh himpunan S di atasdisebut himpunan hingga (finite set). Di lain pihakhimpunan I masing- masing dengan elemen- elemenbilangan tak hingga, merupakan contoh himpunan takhingga (infinite set).

Anggota dalam suatu himpunan dinyatakandalam simbol (berasal dari huruf Yunaniepsilon untuk “elemen”), dibaca sebagai “suatuelemen dari”, bisa dituliskan :

2 S 3 S 8 I 9 I Tetapi, 8 S dibaca 8 bukan elemen darihimpunan S. Jika gunakan simbol R untukmenunjukkan himpunan dari seluruh bilangannyata, maka pernyataan x adalah suatu bilangannyata dapat disederhanakan menjadi :x R

∈

∈ ∈ ∈ ∈∈

∈

Bila dua himpunan dibandingkan satu dengan yang lainnya, beberapajenis hubungan yang mungkin dapat diselidiki. Bila dua himpunan S1dan S2 berisi elemen- elemen yang sama :

S1 = ｛2,7,a,f｝ dan S2 = ｛2,a,7,f｝Maka S1 dan S2 dikatakan sama meskipun orde yang terlihat padaelemen- elemen himpunan tidak penting.Himpunan jenis lain adalah bahwa satu himpunan mungkin merupakanhimpunan bagian dari himpunan lainnya. Kalau kita mempunyai duahimpunan,

S = ｛1,3,5,7,9｝ dan T = ｛3,7｝Maka T adalah himpunan bagian dari S karena setiap elemen T adalahjuga elemen S. Pernyataan yang lebih pasti mengenai hal ini adalah: Tadalah himpunan bagian S jika dan hanya jika x T memenuhi x S.Dengan menggunakan simbol himpunan (berada dalam) dan

(termasuk), kita bisa menulis :T S atau S T

Hubungan di antara Himpunan- himpunan

∈ ∈⊂

⊃⊃⊂

Pada ekstrem lainnya himpunan bagian S yangterkecil adalah suatu himpunan yang tidak berisielemen sama sekali. Himpunan seperti itudisebut sebagai himpunan nol atau himpunankosong dengan simbol ϕ atau ｛ ｝. Jikahimpunan nol bukan merupakan himpunanbagian S (ϕ S ), maka ϕ harus berisi palingsedikit satu elemen x sehingga x S. Tetapikarena definisi himpunan nol tidak mempunyaielemen apapun kita tidak dapat mengatakan ϕ S;karena itu, himpunan nol adalah adalahhimpunan bagian S.

⊄

⊄

Hubungan tipe ketiga adalah dua himpunan yangseluruh elemennya berbeda sama sekali. Dalamkasus ini, kedua himpunan tersebut dikatakanmenjadi terputus (disjoint). Sebagai contoh,himpunan seluruh bilangan bulat positif danhimpunan seluruh bilangan bulat negatif adalahhimpunan yang terputus. Hubungan tipe keempatterjadi bila dua himpunan mempunyai beberapaelemen yang sama tetapi beberapa elemendiantaranya “aneh” satu sama lainnya. Dalamperistiwa itu kedua himpunan tidak samamaupun terputus (disjoint), tetapi juga bukanbagian himpunan satu dengan lainnya.

Operasi HimpunanHimpunan dapat juga dilakukan operasimatematis, ada tiga prinsip operasi yangakan dibahas yaitu gabungan (union), irisan(interseption),dan komplemen himpunan.Untuk mendapatkan gabungan dari duahimpunan A dan B perlu dibentukhimpunan baru yang berisi elemen- elemenyang dimiliki olah A maupun B, atau berisielemen A dan B. Himpunan gabunganmenggunakan simbol A B (baca Agabungan B)

Contoh 1

Jika A = ｛3,5,7｝dan B = ｛2,3,4,8｝,maka

A ᵕ B = ｛2,3,4,5,7,8｝Contoh ini menunjukkan suatu kasus

dimana himpunan A dan B tidak sama dantidak disjoint dan A bukan himpunanbagian dari B serta sebaliknya.

Contoh 2

Gabungan dari himpunan seluruh bilangan bulatdan himpunan seluruh bilangan pecahan adalahhimpunan seluruh bilangan rasional. Demikianpula, gabungan bilangan rasional dan himpunanbilangan irasional menghasilkan himpunanseluruh bilangan nyata.

Irisan himpunan A dan B adalah suatuhimpunan baru yang berisi elemen- elemen milikA dan B. Himpunan irisan diberi simbol A ᴖ B(baca A irisan B).

Contoh 3

Dari himpunan A dan B pada contoh 1, dapatditulis

A ᴖ B = ｛3｝Contoh 4

Bila A = ｛-3, 6,10｝ dan B ｛9,2,7,4｝,maka Aᴖ B = ϕ. Himpunan A danhimpunan B adalah disjoint sehinggairisannya adalah himpunan kosong tidakada elemen milik bersama A dan B

Hal yang dapat lebih dimengerti denganmembandingkan definisi irisan dangabungan, sebagai berikut :

Irisan : A B = ｛x | x A dan x B｝

Gabungan: A B = ｛x | x A dan x B｝

Sebelum menjelaskan himpunankomplement, akan dijelaskan terlebihdahulu konsep himpunan universal.

Bila bilangan yang digunakan adalah himpunandari tujuh bilangan positif yang pertama, kitadapat menunjuk himpunan itu sebagai himpunanuniversal U. Jadi dengan himpunan tertetu,katakanlah A = ｛3,6,7｝, kita dapatmendefinisikan himpunan A yang lain( bacakomplement A) sebagai himpunan yang berisiseluruh bilangan dalam himpunan universal Uyang tidak ada dalam himpunan A, yaitu :Ā = ｛x | x U dan x A｝= ｛1,2,4,5｝

Contoh 5Bila U = ｛5,6,7,8,9｝ dan A = ｛5,6｝,maka Ā = ｛7,8,9｝Contoh 6Apa komplement dari U ? Karena setiap objek(bilangan) yang sedang dipertimbangkantermasuk dalam himpunan universal,komplemen U harus kosong. Jadi Ũ = ϕ

Ketiga jenis operasi dapat disajikandalam bentuk tiga diagram yang dikenalsebagai diagram Venn

A

Ā

Dalil- dalil Operasi HimpunanDari gambar di atas dapat dilihat dapat dilihatdaerah yang berwarna gelap (diarsir) padadiagram (a) tidak hanya menunjukkan A U Btetapi juga B U A. Hal yang sama berlaku untukdiagram (b), dimana daerah yang berwarna gelaptidak hanya menunjukkan A B tetapi juga B A.Jika dirumuskan, hasilnya merupakan hukumkomutatif dari gabungan dan irisan :

A U B = B U A A B = B AHubungan ini sama dengan dalil aljabar

a + b = b + a dan a x b = b x a.

Untuk memperoleh gabungan dari tiga himpunanA, B, dan C, kita terlebih dahulu mencarigabungan dari dua himpunan manapun,kemudian hasil gabungan digabungkan denganhimpunan yang ketiga, cara yang sama dapatditerapkan untuk operasi irisan. Hasil darioperasi semacam ini digambarkan sebagaiberikut :A ᵕ B ᵕ C A ᴖ B ᴖ C

Hukum Asosiatif dari gabungan dan irisan :Aᵕ(BᴖC) = (AᵕB)ᵕC

Aᴖ(BᴖC) = (AᴖB)ᴖCMenyerupai hukum aljabar

a + (b+c) = (a+b)+c dan a x (bxc) = (axb)xc

Contoh 7Buktikan hukum distributif jika diketahuiA = ｛4,5｝, B = ｛3,6,7｝, dan C = ｛2,3｝Untuk membuktikan bagian pertama hukum ini, kitatunjukkan pernyataan sebelah kiri dan sebelah kanan secaraterpisah:

Kiri : Aᵕ(BᴖC) = ｛4,5｝ᵕ｛3｝= ｛3,4,5｝Kanan : (AᵕB)ᴖ(AᵕC) = ｛3,4,5,6,7｝ᴖ｛2,3,4,5｝=｛3,4,5｝

Karena kedua sisi memberikan hasil yang sama, makahukum tersebut terbukti. Cara yang sama digunakan utnukbagian kedua hukum distributif, di mana kita peroleh :

Kiri : Aᴖ(BᵕC) = ｛4,5｝ᴖ｛2,3,6,7｝= ϕKanan : (AᴖB)ᵕ (AᴖC) = ϕᵕϕ = ϕ

Contoh 8

Diketahui himpunan universalU=u|u = bilangan bulat positif dan u ≤ 15｝,dan A ｛y|y = 3x; x = bilangan bulat positifdan x ≤ 5｝.

Manakah yang menjadi elemen darihimpunan A1.....

Kaidah- Kaidah dalam matematika dalam pengoperasianHimpunanKaidah Idempotena. A U A = Ab. A ∩ A = AKaidah Asosiatifa. ( A U B )C U = A U ( B U C )b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )Kaidah Komutatifa. A U B = B U Ab. A ∩ B = B ∩ A

Kaidah Distributifa. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )Kaidah Identitasa. A U Ø = Ab. A ∩ Ø = Øc. A U U = Ud. A ∩ U = AKaidah Kelengkapana. A U Ā = Ub. A ∩ Ā= Øc. ( Ā ) = Ad. U ≡ Ø Ø ≡ UKaidah De Morgana. (A U B)= Ā.∩ Bb. (A ∩ B) = Ā U B

Skema BilanganHimpunan Bilangan AsliHimpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yanganggota- anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = { 1,2,3,4,5,6,… }Himpunan Bilangan PrimaHimpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli uang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiridan satu, kecuali angka 1

P = { 2,3,5,7,11,13, … }Himpunan Bilangan CacahAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanyamerupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = { 0,1,2,3,4,5,6,…}

Himpunan Bilangan BulatAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanyaseluruh bilangan bulat baik yang negatif, nol, maupun yangpositif

B = {…,-3, -2, -1, 0,1,2,3,…}Himpunan Bilangan RasionalAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanyamerupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/qdimana p,q Є bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagaisuatu decimal berulang

Contoh : 0,-2,2/7,5,2/11, dan lain- lainHimpunan Bilangan IrasionalAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya tidakdapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakansebagai suatu decimal berulang.

Contoh : log 2, e, √7

Himpunan Bilangan RillAdalah himpunan yang anggota- anggotanya merupakangabungan dari himpunan bilangan rasional danirasional.

Contoh : log 10; 5/8;-3; 0,3Himpunan bilangan imajinerAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanyamerupakan I (satuan imajiner) dimana i merupakanlambing bilangan baru yang bersifat i2 = -1,

Contoh : i,4i,5iHimpunan Bilangan KompleksAdalah himpunan bilangan yang anggota- anggotanya(a+bi) dimana a,b Є R, i2 = -1, dengan a bagian rill danb bagian imajiner.

Contoh : 2-3i, 8+2

Contoh Soal dan Pemecahannya :

1. Gambarkanlah sebuah diagram venn untukmenunjukkan himpunan universal U dan himpunanbagian- bagian A serta B jika :U = {1,2,3,4,5,6,7,8}A = {2,3,5,7}B = {1,3,4,7,8},Selesaikan :a. A – B c. A ∩ B e. A ∩ Bb. B – A d. A U B f. B ∩ Ā

2. Berdasarkan hukum- hukum matematikadalam pengoperasian himpunan sebagaimantercantum pada daftar di muka,sederhanakanlah pernyataan- pernyataanhimpunan berikut :a. B U (B U A)b. A U (Ā ∩ B)

Terima Kasih

Nur Azmi Karim, SE,M.Si