MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4

PADA PERSAMAAN PENDULUM

JUNI DWI PURWANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2019

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER

INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Modifikasi

Metode Runge-Kutta Orde 4 pada Persamaan Pendulum adalah benar karya

saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam

bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang

berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan

dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar

Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada

Institut Pertanian Bogor.

Bogor, April 2019

Juni Dwi Purwanti

NIM G54140032

ABSTRAK

JUNI DWI PURWANTI. Modifikasi Metode Runge-Kutta Orde 4 pada

Persamaan Pendulum. Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan ALI

KUSNANTO.

Sistem persamaan diferensial pada pendulum sederhana merupakan

sistem persamaan diferensial tak linear. Dalam tulisan ini, penulis

menggunakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Metode numerik yang digunakan adalah metode Runge-Kutta orde 4 (RK4)

serta modifikasinya dengan memanfaatkan fungsi energi pada persamaan

pendulum sederhana. Selanjutnya, hasil perhitungan numerik tersebut

dibandingkan dengan hasil pendekatan analitik (dengan linearisasi) dan

hasil yang diperoleh menggunakan Mathematica 11. Hasil penelitian

menunjukkan bahwa, galat relatif antara pendekatan analitik dan pendekatan

numerik modifikasi metode Runge-Kutta orde 4 (RK4 modif) lebih baik

dibandingkan dengan pendekatan numerik metode RK4 klasik untuk

simpangan yang kecil. Selanjutnya, ketika hasil pendekatan numerik dari

RK4 modif dan RK4 klasik dibandingkan dengan hasil numerik dari

Mathematica 11, dapat dilihat bahwa galat relatif dari metode RK4 modif

lebih baik daripada galat relatif metode RK4 klasik.

Kata kunci: pendulum sederhana, persamaan diferensial, metode Runge-

Kutta

ABSTRACT

JUNI DWI PURWANTI. The Modified order 4’s Runge-Kutta Method in

the Pendulum Equations. Supervised by ELIS KHATIZAH and ALI

KUSNANTO.

The system of differential equations in a simple pendulum is a

system of nonlinear differential equations. In this paper, the author uses

numerical methods to solve these equations. The numerical method is the

4th order Runge-Kutta method (RK4) and its modification by utilizing the

energy function in a simple pendulum equation. Furthermore, the result of

numerical calculations is compared to the result of the analytic approach

(with linearization) using Mathematica 11. The result shows that, the

relative error between the analytical approach and the numerical approach of

the modified 4th order Runge-Kutta method (RK4 modif) is better than the

numerical approach of the classic RK4 method for small deviations.

Furthermore, when the result of numerical approach of the classic RK4 and

RK4 modif is compared to the numerical result from Mathematica 11, it can

be seen the relative error of the RK4 modif method is better than the relative

error of the classic RK4 method.

Keywords: simple pendulum, differential equation, Runge-Kutta method

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4

PADA PERSAMAAN PENDULUM

JUNI DWI PURWANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2019

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala

atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.

Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret

2018 ini ialah Runge-Kutta orde 4, dengan judul Modifikasi Metode Runge-

Kutta Orde 4 pada Persamaan Pendulum. Terimakasih penulis ucapkan

kepada:

1. Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi dan bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku

pembimbing, yang telah memberikan ilmu, arahan, motivasi dan

meluangkan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan

karya ilmiah ini,

2. Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku penguji yang telah banyak

memberi saran dalam penulisan karya ilmiah ini,

3. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika IPB yang telah

membagikan ilmu serta pengalamannya serta membantu penulis selama

menempuh pendidikan di IPB,

4. Almarhum bapak Pujiyono yang selalu bekerja keras tanpa kenal lelah

untuk kedua anaknya, serta Ibu Parsih dan kakak Pujihartono tercinta

yang selalu mendukung secara moral ataupun material selama penulisan

skripsi dan proses pendidikan sarjana sains. Terima kasih atas cinta,

kasih sayang dan kesabaran dalam menghadapi penulis selama ini.

Penyusunan skripsi ini menjadi salah satu langkah penulis dalam

mengabdikan diri untuk senantiasa membahagiakan kalian. Mudah-

mudahan dengan selesainya skripsi yang menjadi syarat kelulusan di

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian

Bogor menjadi salah satu kado terbaik atas perjuangan kalian selama ini

membesarkan penulis hingga menjadi seperti saat sekarang ini. Dan

khusus untuk almarhum Bapak, semoga ini menjadi salah satu amal

jariyah terbaik yang selalu mengalir untuk beliau agar diberikan tempat

terbaik di sisi Allah SWT,

5.. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi selaku penyandang dana yang

telah memberikan beasiswa Bidikmisi kepada penulis pada tahun ajaran

2014 sampai 2018,

6. Teman-teman seperjuangan, Siti Lestari, Retno Puspitasari, Hanifah

Lestari Nurfitri, Dwi Ayu Ambarwati, dan Mutia Diska serta Prastika

Yossyanti Nur’Arisa, Mutiara Desrita, Iman Asmoro Kusumo Aji, Eka

Rulintang, yang selalu saling memotivasi dan memberikan dukungan

serta doanya,

7. Teman-teman Matematika 51 yang selalu berjuang bersama dan saling

mendoakan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, April 2019

Juni Dwi Purwanti

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

Persamaan Diferensial Biasa 2

Persamaan Pendulum Sederhana 4

Metode Runge-Kutta orde 4 dan Modifikasinya 6

HASIL DAN PEMBAHASAN 8

Pendekatan Analitik 8

Pendekatan Numerik 11

Perbandingan antara pendekatan Analitik dan Numerik 14

SIMPULAN DAN SARAN 16

Simpulan 16

Saran 16

DAFTAR PUSTAKA 17

LAMPIRAN 18

DAFTAR TABEL

1 Hasil perhitungan dengan pendekatan analitik untuk persamaan

pendulum sederhana ........................................................................... 10 2 Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode RK4 serta

metode RK4 modif ............................................................................. 12 3 Hasil perhitungan dengan pendekatan numerik untuk persamaan

pendulum sederhana menggunakan Mathematica 11 ......................... 13 4 Galat antara penyelesaian persamaan pendulum dengan

pendekatan numerik dan pendekatan analitik ..................................... 15

DAFTAR GAMBAR

1 Sistem pendulum sederhana 4

2 Grafik penyelesaian persamaan pendulum sederhana dengan

pendekatan analitik 10 3 Grafik penyelesaian pendekatan numerik persamaan pendulum

sederhana menggunakan metode RK4 dan modifikasinya 12 4 Grafik perbesaran penyelesaian pendekatan numerik persamaan

pendulum sederhana menggunakan metode RK4 dan

modifikasinya 13 5 Grafik penyelesaian pendekatan numerik dengan bantuan

program Mathematica 11 14 6 Galat tiga dimensi antara penyelesaian dengan pendekatan

numerik dan penyelesaian berupa pendekatan analitik 15

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penurunan persamaan diferensial orde 2 menjadi sistem

persamaan diferensial orde 1 18 2 Penurunan persamaan persamaan pendulum sederhana 18 3 Pendekatan berdasarkan simpangan sudut yang kecil 19

4 Program penyelesaian persamaan pendulum sederhana

menggunakan Mathematica 11 20 5 Program penyelesaian persamaan pendulum sederhana

menggunakan SCILAB 6.0.1 20

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Salah satu gelombang yang biasa terjadi dalam kehidupan sehari-hari

adalah gelombang pada pendulum. Kata pendulum berasal dari bahasa Latin

pendulus yang berarti menggantung. Pendulum dibagi menjadi 2 jenis yaitu

pendulum biasa (direct pendulum) dan pendulum terbalik (inverted

pendulum) (Bakhtiar 2010). Prinsip pendulum pertama kali ditemukan pada

tahun 1602 oleh Galileo Galilei. Saat menjadi mahasiswa, Galileo meneliti

sebuah lampu gantung yang bergoyang dan memerhatikan bahwa waktu

yang diperlukan lampu itu untuk menyelesaikan ayunannya adalah tetap

sama, bahkan bila kecepatan ayunan lampu itu bertambah dengan cepat.

Galileo kemudian melakukan percobaan terhadap benda-benda tertentu dan

mendapati bahwa benda-benda tersebut juga mengalami hal yang sama, hal

ini mengingatkannya pada prinsip pendulum. Dengan penemuan ini, Galileo

dapat menemukan suatu alat untuk mengukur waktu, yang menurut para

dokter dapat digunakan untuk mengukur denyut nadi pasiennya. Christian

Huygens kemudian terinspirasi oleh prinsip pendulum yang ditemukan oleh

Galileo Galilei. Huygens mengambil prinsip ayunan pendulum untuk

membuat jam pendulum. Sejak ditemukan pada tahun 1656 sampai tahun

1930-an, jam pendulum merupakan pencatat waktu paling tepat di dunia.

Keuntungan jam pendulum sebagai penentu waktu adalah ayunan bolak-

balik dalam waktu yang tepat atau dengan kata lain dapat disebut dengan

perangkat resonan.

Persamaan pendulum sederhana merupakan persamaan diferensial

yang bersifat tak linear dan tak stabil, sehingga tidak dapat diselesaikan

secara analitik. Sistem pendulum tersebut bersifat tak linear karena

merupakan persamaan diferensial dengan turunan berpangkat 2 serta

mengandung fungsi sinus. Sistem pendulum dapat dilinearkan di sekitar titik

kesetimbangan, kemudian ditingkatkan kompleksitasnya melalui

penambahan pendulum atau modifikasi lainnya agar dapat diterapkan dalam

sistem aktual. Karakteristik itulah yang menyebabkan berbagai teori

pengendalian (control theory) banyak dievaluasi dan dibandingkan melalui

pengujian sistem pendulum (Edisusanto, B 2008). Di zaman modern ini,

pendulum biasa maupun terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam

pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control

engineering). Di bidang teknik, pendulum biasa dan terbalik dipakai untuk

memantau pergerakan pondasi bendungan, jembatan, dermaga, dan struktur

bangunan lainnya. Salah satunya yaitu alat pengangkat besi (cranes) bekerja

atas dasar pendulum biasa, sedangkan salah satu penerapan pendulum

terbalik digunakan untuk mendeteksi usikan gelombang seismik dalam

tanah yang desebabkan oleh aktifitas seismik-makro, oseanik, dan

atmosferik. (Bakhtiar 2010)

Persamaan pendulum memiliki integral pertama 𝐸(𝑥(𝑡)) yang

merupakan suatu konstanta. Integral pertama yang diketahui pada

persamaan pendulum merupakan energi yang tersimpan dalam persamaan

2

tersebut. Pada penelitian karya ilmiah kali ini, penulis menggunakan

pendekatan numerik berupa, metode Runge-Kutta orde 4 (RK4) serta

modifikasinya (RK4 modif) untuk menyelesaikan persamaan pendulum

sederhana. Selanjutnya, hasil perhitungan numerik tersebut dibandingkan

dengan hasil pendekatan analitik dan hasil yang diperoleh dengan bantuan

software Mathematica 11. Modifikasi ini dilakukan untuk membandingkan

apakah penambahan fungsi energi mempengaruhi keakuratan hasil

penyelesaian persamaan pendulum.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:

1. Menyelesaikan persamaan pendulum sederhana dengan pendekatan

analitik dan numerik,

2. Membandingkan hasil perhitungan numerik dengan hasil pendekatan

analitik dan hasil yang diperoleh dengan bantuan software

Mathematica 11.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini akan dibahas mengenai model dan metode yang

digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Model yang akan dibahas pada

karya ilmiah ini meliputi persamaan pendulum sederhana dan metode yang

digunakan pada karya ilmiah ini adalah metode RK4 beserta modifikasinya.

Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dan hanya

melibatkan satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa.

Persamaan diferensial biasa dapat dituliskan dalam dua bentuk, yaitu bentuk

implisit dan eksplisit berikut

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 dan 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦). (Boyce dan DiPrima 2012)

Persamaan diferensial yang disertai dengan nilai awal disebut sebagai

masalah nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut sebagai

masalah nilai batas. Nilai awal sebuah persamaan diferensial adalah nilai

fungsi atau nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi awal,

sedangkan nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada

kondisi tertentu disebut sebagai nilai batas. Orde dari persamaan diferensial

merupakan derajat atau pangkat tertinggi dari turunan fungsi yang tak

diketahui atau dengan kata lain peubah tak bebas yang muncul dalam

persamaan diferensial. (Boyce dan DiPrima 2012).

Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk 𝑦 =𝑓(𝑥) atau berbentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶, dengan 𝐶 konstanta. Penyelesaian

diferensial terdiri dari dua macam, yaitu

3

1. penyelesaian umum, yaitu penyelesaian yang masih mengandung

konstanta. Penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal

ataupun nilai batas,

2. penyelesaian khusus, yaitu penyelesaian yang tidak mengandung

konstanta karena telah disubstitusi oleh nilai awal atau nilai batas yang

diberikan

Persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua, yaitu persamaan

diferensial biasa linear dan tak linear. Perbedaan yang mendasar antara

persamaan diferensial linear dan tak linear yaitu, pada persamaan diferensial

linear terdapat penyelesaian umum yang memuat sebuah konstanta sebarang

yang memuat semua solusi, dan kemungkinan titik-titik diskontinu dari

penyelesaian nya dapat dilokalisasi titik-titik diskontinu dari koefisien-

koefisien. Akan tetapi dalam kasus tak linear tidak terdapat formula yang

bersesuaian sehingga lebih sulit untuk menyatakan sifat-sifat umum dari

penyelesaian nya.

Persamaan diferensial biasa linear memiliki bentuk umum sebagai

berikut.

𝑎0(𝑡)𝑑𝑛𝑥

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1(𝑡)

𝑑𝑛−1𝑥

𝑑𝑡𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑡)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑎𝑛(𝑡)𝑥 = 𝑓(𝑡)

dengan, 𝑎0 ≠ 0, 𝑎0,𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 disebut sebagai koefisien persamaan diferensial.

Fungsi 𝑓(𝑡) disebut input atau unsur nonhomogen. Jika 𝑓(𝑡) disebut

input, maka penyelesaian dari persamaan diferensial biasanya disebut output.

Jika ruas sebelah kanan 𝑓(𝑡) bernilai nol untuk semua nilai 𝑡 dalam interval

yang ditinjau, maka persamaan ini dikatakan homogen, sedangkan

persamaan diferensial dikatakan tak homogen jika 𝑓(𝑡) ≠ 0. Jika koefisien

persamaan diferensial merupakan suatu fungsi konstan, maka persamaan

diferensial dapat dikatakan memiliki koefisien konstan kecuali jika keadaan

sebaliknya. Oleh karena itu, harus selalu diasumsikan bahwa koefisien

adalah fungsi kontinu dan 𝑎0(𝑡) ≠ 0 disetiap interval pada persamaan

diferensial adalah terdefinisi. Jika suatu persamaan diferensial biasa orde ke-

𝑛 tidak dapat ditulis pada bentuk umum di atas maka persamaan diferensial

tersebut disebut persamaan diferensial biasa tak linear ke-𝑛. (Farlow 2007)

Pada karya ilmiah ini digunakan penyelesaian numerik dari sistem

persamaan diferensial tak linear sebagai berikut.

�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)) , (1)

dengan, 𝑓: 𝑅𝑑 → 𝑅𝑑 terturunkan secara kontinu, 𝑥(𝑡) ∈ 𝑅𝑑 vektor variabel

status, dan nilai awal 𝑥(0) = 𝑥0 diketahui. Diasumsikan bahwa sistem (1)

memiliki solusi unik. Selanjutnya diasumsikan bahwa fungsi energi sistem

(1), 𝐸(𝑥(𝑡)) merupakan konstanta yang diketahui.

4

𝐸(𝑥(𝑡)) = 𝐸(𝑥(0)) . (2)

(Guang-Da Hu 2014)

Salah satu persamaan diferensial biasa tak linear yang digunakan

dalam kehidupan sehari-hari adalah persamaan pendulum sederhana.

Persamaan Pendulum Sederhana

Gerak harmonik adalah gerak sebuah partikel sebagai fungsi waktu

berupa sinusoidal yang dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus

dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Gerak

periodik merupakan gerak berulang atau berosilasi melalui titik setimbang

dalam interval waktu tetap. Ada beberapa macam gerak harmonik, salah

satunya adalah gerak harmonik sederhana (GHS). Gerak harmonik

sederhana adalah gerak harmonik yang dipengaruhi oleh gaya yang arahnya

selalu menuju titik seimbang dan besarnya sebanding dengan simpangannya.

Salah satu contoh Gerak Harmonik Sederhana Angular adalah gerak bandul

atau pendulum. (Tipler 1991)

Pendulum sederhana terdiri atas titik massa 𝑚 yang digantung

menggunakan seutas tali tak bermassa dengan ujung atasnya diikatkan pada

dinding diam seperti yang terlihat pada Gambar 1 dengan gaya gesek udara

diabaikan. Gerak benda terjadi pada bidang vertikal dan dikendalikan oleh

gaya gravitasi. Asal sudut simpangan 𝜃 kecil maka gerak benda adalah

getaran selaras sederhana.

Gambar 1 Sistem pendulum sederhana

Gambar 1 memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali

dengan panjang 𝐿 dan bola pendulum bermassa 𝑚. Gaya-gaya yang bekerja

pada pendulum adalah gaya tegang tali 𝑇 dan gaya berat (𝑤 = 𝑚 𝑔) .

Komponen radial (𝑇 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃) tidak mengakibatkan percepatan pada

titik massa karena searah dengan tali. Sedangkan komponen tangensial gaya

5

gravitasi (𝑚 𝑔 sin 𝜃) selalu bekerja dengan arah menuju 𝜃 = 0 yang tegak

lurus dengan tali, sehingga berlawanan arah dengan simpangannya.

Gaya pemulih yang menyebabkan benda bermassa 𝑚 melakukan

gerak harmonik sederhana merupakan komponen 𝑤 yang tegak lurus pada

tali, yaitu 𝑚 g sin 𝜃 . Dengan demikian gaya pemulih yang bekerja pada

bola pendulum sederhana dinyatakan oleh

𝐹 = −𝑤 sin 𝜃 atau

𝐹 = −𝑚 𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 (3)

Dalam hal ini, kecepatan beban sepanjang lintasan yang berupa busur

lingkaran adalah 𝑠 = 𝐿𝜃, maka 𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 = 𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 sehingga Persamaan (3) dapat

dituliskan sebagai berikut

𝐹 = −𝑚 𝑔 sin 𝜃 = −𝑚 𝑔 sin 𝑠

𝐿 ,

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −

𝑔

𝐿sin 𝜃 . (4)

Ruas kanan persamaan (4) berbanding lurus dengan sin 𝜃, bukan 𝜃.

Persamaan ini bukan persamaan diferensial linear sehingga, persamaan

simpangan pendulum matematis ini tidak mengikuti getaran selaras

sederhana. Namun, jika diambil nilai 𝜃 yang kecil maka dapat dilakukan

pendekatan sin 𝜃 ≈ 𝜃, dengan 𝜃 diukur dalam radian. Dengan pendekatan

ini, persamaan gerak pendulum matematis menjadi

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+

𝑔

𝐿𝜃 = 0 (5)

Periode getaran 𝑇 adalah waktu yang diperlukan benda untuk

menjalani gerakan satu putaran (cycle). Ini berarti nilai 𝜃 pada saat 𝑡 sama

dengan nilai 𝜃 pada saat 𝑡 + 𝑇. Dapat dituliskan sebagai

𝑇 =2𝜋

𝜔 (6)

Kebalikan dari periode dinamakan 𝑓. Frekuensi menyatakan jumlah

getaran per satuan waktu. Satuannya adalah hertz (Hz).

𝑓 =1

𝑇=

𝜔

2𝜋 (7)

Dari Persamaan (6) dan persamaan (7) dapat disusun bentuk frekuensi

sudut 𝜔 yaitu

6

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋

𝑇

Dengan demikian, penyelesaian persamaan getaran pendulum

sederhana dengan simpangan kecil dapat dibentuk menjadi

𝜃 = 𝜃0 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) (8)

Berdasarkan persamaan (8), dengan 𝜔2 =𝑔

𝐿 maka periode getaran

pendulum dapat ditentukan dari frekuensi sudut yaitu

𝑇 =2𝜋

𝜔= 2𝜋√

𝐿

𝑔 ,

dengan,

𝑚 = massa beban yang menggantung (𝐾𝑔)

𝑇 = gaya tegang tali (N)

𝑔 = gaya gravitasi (= 9,8𝑚

𝑠2)

𝐿 = panjang tali (𝑚)

𝜃 = simpangan (𝑟𝑎𝑑)

𝑤 = gaya berat (N)

𝐹 = gaya pemulih (N)

𝑠 = kecepatan beban sepanjang lintasan (𝑚

𝑠)

𝑇 = periode

𝜔 = kecepatan sudut (𝑟𝑎𝑑

𝑠)

𝑡 = waktu (𝑠) .

(Tipler 1991)

Persamaan pendulum sederhana merupakan persamaan diferensial tak

linear yang sulit diselesaikan dengan penyelesaian analitik sehingga

dibutuhkan metode lain dalam penyelesaiannya, yaitu dengan metode

numerik. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial antara lain metode RK4.

Metode Runge-Kutta orde 4 dan Modifikasinya

Metode Runge-Kutta merupakan metode yang relatif mudah

digunakan dan lebih akurat untuk menyelesaikan banyak masalah secara

efisien. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∅(𝑡𝑖, 𝑥𝑖 , ℎ)ℎ

dengan ∅(𝑡𝑖, 𝑥𝑖, ℎ) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan

rerata pada interval dan digunakan untuk mengekstrapolasi dari nilai 𝑥𝑖 ke

nilai baru 𝑥𝑖+1 sepanjang interval ℎ. (Boyce dan DiPrima 2012)

7

Metode Runge-Kutta yang paling sering digunakan untuk

menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah metode RK4. Metode

RK4 merupakan metode yang paling teliti dibandingkan dengan metode

Runge-Kutta yang berorde dibawahnya

Metode RK4 memiliki bentuk umum sebagai berikut:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 +1

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)ℎ

dengan,

𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑖, 𝑥𝑖),

𝑘2 = 𝑓 (𝑡𝑖 +1

2ℎ, 𝑥𝑖 +

1

2ℎ𝑘1),

𝑘3 = 𝑓 (𝑡𝑖 +1

2ℎ, 𝑥𝑖 +

1

2ℎ𝑘2),

𝑘4 = 𝑓 (𝑡𝑖 +1

2ℎ, 𝑥𝑖 +

1

2ℎ𝑘3).

(Mathews 1999)

Metode RK4 banyak digunakan para peneliti untuk dimodifikasi lebih

lanjut karena ketelitiannya dibandingkan dengan Metode Runge-Kutta orde

yang lainnya. Pada karya ilmiah ini, metode Runge-Kutta dibahas untuk

penyelesaian numerik pada sistem konservatif. Sistem konservatif muncul

dalam banyak masalah pada bidang sains dan teknik, misalnya, getaran

mekanis, mekanika selestial, dan sistem Hamiltonian. Banyak metode

numerik yang telah dikembangkan untuk menghemat energi sistem

konservatif.

Untuk menjadikan energi sistem konservatif sedekat mungkin dengan

energi awal, maka modifikasi metode Runge-Kutta disajikan. Orde metode

Runge–Kutta yang dimodifikasi sama dengan metode Runge–Kutta klasik.

Sistem (1) memiliki integral pertama 𝐸(𝑥(𝑡)), dan metode numerik yang

menyelesaikan metode ini biasanya disebut metode pelestarian energi.

Metode pelestarian energi adalah salah satu metode integrasi numerik

geometrik. Dalam karya ilmiah ini, dipelajari metode numerik yang

memberikan pendekatan solusi (1) dengan (2) melestarikan energi dalam

arti bahwa 𝐸(𝑥𝑛) mendekati 𝐸(𝑥(0)).

Prinsip dasar dari metode proyeksi Runge-Kutta untuk melestarikan

energi adalah sebagai berikut. Metode Runge-Kutta sembarang diterapkan

ke sistem (1) untuk mendapatkan penyelesaian numerik, kemudian

memproyeksikan penyelesaian numerik ke jenis yang ditentukan oleh fungsi

energi. Metode ini perlu menyelesaikan sistem persamaan tak linear pada

setiap langkah.

Tujuan dari perhitungan numerik adalah untuk mencari penyelesaian

numerik yang mendekati solusi yang tepat dengan sedekat mungkin

sehingga dalam menyelesaikan fungsi energi, penulis menggunakan

pendekatan dengan menggunakan penyelesaian numerik. Oleh karena itu

masuk akal bahwa fungsi energi dari penyelesaian numerik sedekat

mungkin dengan energi yang tepat.

Modifikasi yang dilakukan dalam karya ilmiah ini adalah dengan

mempertimbangkan sistem (1) dengan (2), menyajikan versi modifikasi

8

dari metode Runge-Kutta dengan gradien fungsi energi sehingga energi dari

penyelesaian numerik sedekat mungkin dengan energi awal. Tujuan

memodifikasi metode RK4 ini adalah untuk membandingkan keakuratan

hasil penyelesaian pendekatan analitik dengan hasil penyelesaian

pendekatan numerik pada persamaan pendulum sederhana.

Gradien dari 𝐸(𝑥) dapat didefinisikan sebagai berikut

∇𝐸(𝑥) = [𝜕𝐸(𝑥)

𝜕𝑥1,𝜕𝐸(𝑥)

𝜕𝑥2, … ,

𝜕𝐸(𝑥)

𝜕𝑥𝑑]

𝑇

dengan 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑑]𝑇

Formula modifikasi Runge-Kutta yang telah ditambahkan dengan

energi dapat dituliskan sebagai berikut

�̅�𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 + 𝜆ℎ𝑝+1∇𝐸(𝑥𝑛+1)

dengan,

�̅�𝑛+1 = modifikasi Metode Runge Kutta.

𝑥𝑛+1 = Runge Kutta orde 4.

ℎ = interval

𝑝 = orde dari Runge-Kutta yang digunakan.

∇𝐸(𝑥𝑛+1) = gradien dari 𝐸(𝑥).

Dalam karya ilmiah ini, 𝜆 yang digunakan bernilai 1.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan diuraikan penyelesaian persamaan pendulum

sederhana menggunakan pendekatan analitik dan numerik. Persamaan

pendulum sederhana yang diselesaikan melalui pendekatan analitik,

menggunakan konsep penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Sedangkan penyelesaian persamaan pendulum sederhana menggunakan

pendekatan numerik diselesaikan dengan metode RK4 beserta

modifikasinya dengan bantuan program SCILAB 6.0.1.

Pendekatan Analitik

Berdasarkan persamaan (5), persamaan diferensial tak linear untuk

pendulum sederhana tanpa pergeseran dapat dituliskan sebagai berikut

�̈� + 𝑎 sin 𝜃 = 0 (9)

dengan 𝑎 > 0 merupakan konstanta, serta 𝜃(𝑡) mengukur sudut yang

dibentuk oleh gaya tegang tali dan arah vertikal ke bawah.

9

Persamaan diferensial orde 2 tak linear tersebut didapatkan dari

penurunan persamaan pendulum sederhana. Penurunan lebih jelas dapat

dilihat pada Lampiran 1.

Selanjutnya akan dicari penyelesaian analitik dari persamaan (9)

menggunakan pendekatan pada penyelesaian persamaan diferensial.

Persamaan diferensial orde 2 tak liner dapat direduksi menjadi bentuk

persamaan diferensial orde 1 yang dapat diselesaikan secara analitik.

Perluasan deret untuk sin 𝜃 dapat dituliskan sebagai berikut:

sin 𝜃 = 𝜃 −𝜃3

3!+

𝜃5

5!−

𝜃7

7!+

𝜃9

9!− ⋯

Untuk simpangan sudut yang kecil, besarnya sin 𝜃 dapat di sama

dengankan 𝜃, atau dengan kata lain sin 𝜃 ≈ 𝜃. Oleh karena itu, persamaan

(9) dapat dituliskan sebagai berikut

�̈� = −𝑎𝜃 (10)

yang merupakan persamaan diferensial orde 2 linear, sehingga dapat

diselesaikan dengan pendekatan analitik. Pada karya ilmiah ini, konstanta 𝑎

yang digunakan bernilai 1 atau berdasarkan persamaan (5), perbandingan

antara gaya gravitasi dengan panjang tali bernilai 1.

Solusi umum persamaan (10) adalah

𝜃(𝑡) = {𝐴1 sin 𝑡 + 𝐴2 cos 𝑡 𝐴3 sin −𝑡 + 𝐴4 cos −𝑡

.

Dengan nilai awal yang digunakan [𝜃(0), 𝜃′(0)]𝑇 = [2𝜋

3, 0]

𝑇

, maka

didapatkan solusi khusus sebagai berikut

𝜃(𝑡) = {

2𝜋

3cos 𝑡

2𝜋

3cos(−𝑡)

. (11)

Nilai 𝜃 pada rentang 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.5 dengan ukuran langkah ℎ = 0.05

dituliskan dalam Tabel 1 sebagai berikut.

10

Tabel 1 Hasil perhitungan dengan pendekatan analitik untuk persamaan

pendulum sederhana

𝐭 𝜽(𝒕)𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒕𝒊𝒌

0 2.094

0.05 2.092

0.1 2.084

0.15 2.071

0.2 2.053

0.25 2.029

0.3 2.001

0.35 1.967

0.4 1.929

0.45 1.886

0.5 1.838

Grafik pendekatan analitik untuk persamaan pendulum dapat digambarkan

pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2 Grafik penyelesaian persamaan pendulum sederhana dengan

pendekatan analitik

Berdasarkan Gambar 2 terlihat bahwa pada saat 𝑡 = 0 , simpangan

yang dihasilkan oleh pendulum sebesar 2.094 dan seiring berjalannya waktu

simpangan yang dihasilkan akan semakin kecil mendekati titik

keseimbangan (𝜃 = 0). Nilai 𝜃 yang bernilai negatif menunjukkan posisi

tali pada pendulum berlawanan arah dari posisi 𝑡 = 0 . Besar simpangan

mula-mula turun sampai dengan nilai 𝑡 = 1.6 namun setelah melewati titik 𝑡

= 1.6 besar simpangan naik atau membesar sampai dengan 𝑡 = 3.2 dan

kembali turun mendekati titik kesetimbangan. Semakin bertambah nilai 𝑡

maka grafik akan terus berosilasi naik dan turun.

1 2 3 4 5t

2

1

1

2

11

Pendekatan Numerik

Sebelum digunakan dalam penyelesaian pendekatan numerik,

persamaan (9) yang berupa persamaan diferensial orde 2 tak linear tersebut

harus direduksi menjadi sistem persamaan diiferensial orde 1 terlebih

dahulu. Penurunan persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut.

�̈� + 𝑎 sin 𝜃 = 0 → �̈� = −𝑎 sin 𝜃

dengan, 𝜃1(0) =2𝜋

3, 𝜃2(0) = 0

andaikan,

𝜃1 = 𝜃

𝜃2 = 𝜃1̇

𝜃2̇ = 𝜃1̈

𝜃2̇ = −𝑎 sin 𝜃

jadi, sistem persamaan diferensial orde 1 yang terbentuk adalah sebagai

berikut.

{𝜃1̇ = 𝜃2

𝜃2̇ = −𝑎 sin 𝜃

dengan nilai awal, 𝜃1(0) =2𝜋

3, 𝜃2(0) = 0.

Fungsi energi yang terkait dengan persamaan pendulum tersebut adalah

sebagai berikut.

𝐸(𝜃1, 𝜃2) =1

2𝜃2

2 + 1 − cos 𝜃1 ,

dengan, ∇𝐸(𝜃) = [𝜕𝐸(𝜃)

𝜕𝜃1,

𝜕𝐸(𝜃)

𝜕𝜃2, … ,

𝜕𝐸(𝜃)

𝜕𝜃𝑑]

𝑇

dan 𝜃 = [𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑑]𝑇. Untuk

persamaan pendulum diperoleh ∇𝐸(𝜃) = [ sin 𝜃1 , 𝜃2]𝑇 dan 𝑥 = [𝜃1, 𝜃2]𝑇.

Setelah diturunkan menjadi sistem persamaan diferensial orde 1,

maka penyelesaian pendekatan numerik dapat dilakukan. Formulasi yang

harus diselesaikan pada penyelesaian numerik adalah sebagai berikut.

�̅�𝑛+1 = 𝜃𝑛+1 + ℎ𝑝+1∇𝐸(𝜃𝑛+1)

dengan, 𝑝 = 4 dan ℎ = 0,05.

Formulasi tersebut diterapkan menggunakan bantuan software

SCILAB 6.0.1. Metode yang digunakan adalah metode RK4 klasik serta

metode RK4 modif. Perbedaan kedua metode tersebut adalah pada metode

RK4 modif terdapat fungsi energi. Fungsi energi tersebut dibubuhkan agar

energi yang\ dibutuhkan mendekati energi awal.

12

Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode RK4 serta metode

RK4 modif dengan bantuan program SCILAB 6.0.1, dengan nilai 𝑡 yang

digunakan dari rentang 0 sampai dengan 0,5 dan ℎ = 0.05 dapat dituliskan

dalam Tabel 2 sebagai berikut.

Tabel 2 Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode RK4 serta

metode RK4 modif

𝐭 𝜽(𝒕)𝑹𝑲 𝟒 𝜽(𝒕)𝑴𝒐𝒅𝒊𝒇𝒊𝒌𝒂𝒔𝒊

0 2.0933125 2.0933127

0.05 2.0900632 2.0900634

0.1 2.0846432 2.0846435

0.15 2.0770459 2.0770462

0.2 2.0672619 2.0672622

0.25 2.0552796 2.0552799

0.3 2.0410848 2.0410851

0.35 2.0246612 2.0246615

0.4 2.0059906 2.0059909

0.45 1.9850529 1.9850532

0.5 1.9618266 1.9618268

Grafik penyelesaian numerik menggunakan metode RK4 serta metode RK4

modif dapat digambarkan pada Gambar 3 berikut.

Gambar 3 Grafik penyelesaian pendekatan numerik persamaan pendulum

sederhana menggunakan metode RK4 dan

modifikasinya

Berdasarkan Gambar 3 terlihat bahwa grafik hasil penyelesaian

menggunakan pendekatan numerik pada persamaan pendulum

menggunakan metode RK4 beserta modifikasinya, menyerupai hasil dari

pendekatan analitiknya pada Gambar 2. Mula-mula pada saat 𝑡 = 0,

simpangan yang dihasilkan oleh pendulum sebesar 2.093 dan seiring

13

berjalannya waktu, simpangan yang dihasilkan semakin kecil mendekati

titik kesetimbangan (𝜃 = 0) dengan waktu yang ditempuh untuk mencapai

titik 𝜃 = 0 adalah 𝑡 = 2.1. Setelah melewati 𝑡 = 2.1, simpangan kembali

naik sampai dengan pada saat 𝑡 = 4.7. Jika waktu 𝑡 terus diperbesar, maka

grafik yang dihasilkan menggambarkan proses osilasi secara terus menerus.

Secara lebih detail penyelesaian pendekatan numerik persamaan

pendulum sederhana menggunakan metode RK4 dengan modifikasinya

ditunjukkan pada Gambar 4 berikut, yang merupakan perbesaran dari

Gambar 3.

Gambar 4 Grafik perbesaran penyelesaian pendekatan numerik persamaan

pendulum sederhana menggunakan metode RK4 dan

modifikasinya

Persamaan pendulum sederhana dapat pula diselesaikan menggunakan

bantuan program Mathematica 11. Hasil penyelesaian numerik

menggunakan program Mathematica 11 disajikan dalam Tabel 3 berikut.

Tabel 3 Hasil perhitungan dengan pendekatan numerik untuk persamaan

pendulum sederhana menggunakan Mathematica 11

𝒕 𝜽(𝒕)𝑴𝒂𝒕𝒉𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂

0 2.094

0.05 2.093

0.1 2.090

0.15 2.085

0.2 2.077

0.25 2.067

0.3 2.055

0.35 2.041

0.4 2.025

0.45 2.006

0.5 1.985

14

Grafik penyelesaian pendekatan numerik dengan bantuan program

Mathematica 11 diberikan pada Gambar 5 berikut.

Gambar 5 Grafik penyelesaian pendekatan numerik dengan bantuan

program Mathematica 11

Berdasarkan Gambar 5, terlihat bahwa grafik yang dihasilkan pada

penyelesaian pendekatan numerik dengan program Mathematica 11 mirip

dengan penyelesaian dengan pendekatan analitik. Mula-mula pada saat 𝑡 =

0, simpangan yang dihasilkan oleh pendulum sebesar 2.094 dan seiring

berjalannya waktu, simpangan yang dihasilkan semakin kecil mendekati

titik kesetimbangan (𝜃 = 0) dengan waktu yang ditempuh untuk mencapai

titik 𝜃 = 0 adalah 𝑡 = 2.15. Setelah melewati 𝑡 = 2.15, simpangan kembali

naik sampai dengan pada saat 𝑡 = 3.1. Jika waktu 𝑡 terus diperbesar, maka

grafik yang dihasilkan menggambarkan proses osilasi secara terus menerus.

Secara umum, hasil penyelesaian pendekatan numerik menggunakan

program Mathematica 11 lebih mirip dengan hasil penyelesaian pendekatan

numerik menggunakan SCILAB 6.0.1.

Perbandingan antara pendekatan Analitik dan Numerik

Berdasarkan Tabel (1), (2), dan (3) dapat dihitung galat relatif yang

dihasilkan dari masing-masing pendekatan analitik dan numerik yang

disajikan pada Tabel 4.

1 2 3 4 5t

2

1

1

2

15

Tabel 4 Galat antara penyelesaian persamaan pendulum dengan

pendekatan numerik dan pendekatan analitik

𝒕 𝐆𝐚𝐥𝐚𝐭𝐑𝐊 𝟒∗) 𝐆𝐚𝐥𝐚𝐭 𝐑𝐊 𝟒 𝐌𝐨𝐝𝐢𝐟∗) 𝐆𝐚𝐥𝐚𝐭 𝐑𝐊 𝟒∗∗) 𝐆𝐚𝐥𝐚𝐭 𝐑𝐊 𝟒 𝐌𝐨𝐝𝐢𝐟∗∗)

0 0.0005169 0.0005168 0.0003283 0.0003282

0.05 0.0008196 0.0008196 0.0014032 0.0014031

0.1 0.0003413 0.0003415 0.0025631 0.0025629

0.15 0.0029787 0.0029789 0.0038149 0.0038148

0.2 0.0071202 0.0071203 0.0046885 0.0046884

0.25 0.0128095 0.0128097 0.0056702 0.0056701

0.3 0.0201078 0.0201080 0.0067714 0.0067712

0.35 0.0290958 0.0290960 0.0080053 0.0080051

0.4 0.0398768 0.0398770 0.0093874 0.0093872

0.45 0.0525803 0.0525805 0.0104422 0.0104421

0.5 0.0673676 0.0673677 0.0116743 0.0116742

∗) Dibandingkan dengan pendekatan penyelesaian analitik ∗∗) Dibandingkan dengan pendekatan Mathematica 11

Tabel 4 menunjukkan bahwa galat metode Runge-Kutta modifikasi

yang dibandingkan dengan pendekatan analitik bernilai lebih kecil pada dua

iterasi pertama jika dibandingkan dengan yang klasik. Hal tersebut karena

dalam menghitung pendekatan analitik, penyelesaiannya menggunakan

pendekatan sin 𝜃 ≈ 𝜃 yang mengharuskan nilai 𝜃 bernilai sangat kecil,

sehingga yang masuk dalam kriteria tersebut hanya dua iterasi pertama dan

selebihnya dianggap tidak memenuhi kriteria. Selanjutnya jika

dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari Mathematica 11, terlihat

bahwa galat modifikasi Runge-Kutta lebih kecil. Dengan demikian, secara

umum dapat disimpulkan bahwa hasil penyelesaian persamaan pendulum

menggunakan metode RK4 modif lebih akurat dibandingkan dengan metode

RK4 klasik.

Gambar 6 Galat tiga dimensi antara penyelesaian dengan pendekatan

numerik dan penyelesaian berupa pendekatan analitik

0.000000000

0.020000000

0.040000000

0.060000000

0.080000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ɛ

tError relatif RK 4 Error relatif RK Modif

Error relatif Mathematica vs RK 4 Error relatif Mathematica vs RK modif

16

Grafik pada Gambar 6 digunakan grafik 3D disebabkan karena

perbandingan antara grafik satu dengan yang lainnya sangat berdekatan

yang mengakibatkan tidak dapat dibandingkan perbedaannya. Dengan grafik

3D dapat dilihat selisih dari masing-masing grafik yang ada.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada penyelesaian persamaan

pendulum menggunakan pendekatan analitik dan pendekatan numerik.

Galat relatif antara pendekatan analitik dan pendekatan numerik RK4

modif lebih baik dibandingkan dengan pendekatan numerik metode RK4

klasik untuk simpangan yang kecil. Selanjutnya, jika hasil perhitungan

numerik dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari perhitungan

menggunakan Mathematica 11, dapat dilihat bahwa galat relatif metode

RK4 modif lebih baik dibandingkan galat relatif metode RK4.

Dapat disimpulkan, secara umum hasil penyelesaian persamaan

pendulum menggunakan metode RK4 modif lebih akurat dibandingkan

dengan metode RK4.

Saran

Penyelesaian persamaan pendulum sederhana dengan metode RK4

modif dapat dibahas lebih lanjut dengan menggunakan nilai 𝜆 ≠ 1.

17

DAFTAR PUSTAKA

Bakhtiar, T. 2010. Masalah Galat Penjejakan Minimum pada Sistem

Pendulum Terbalik. Jurnal Matematika dan Aplikasinya. 9(1):11-17.

Boyce W.E and DiPrima, R.C. 2012. Elementary Differential Equations,

10𝑡ℎ𝑒𝑑. New York : John Wiley & Sons.Inc.

Edisusanto, B. 2008. Pemodelan Sistem Pendulum Terbalik dengan

Lintasan Miring dan Karakterisitik Parameter pada Masalah Tracking

Error Optimal. Thesis. Sekolah Pascasarjana. Institut Pertanian Bogor:

Bogor.

Farlow SJ, Hall JE, McDill JM, et al. 2007. Differential Equations and

Linear Algebra, 2𝑛𝑑𝑒𝑑 . New York : McGraw-Hill, Inc.

Hu, Guang-Da. 2014. A Modified Version of Explicit Runge-Kutta Methods

for Energy-Preserving. Beijing. University of Science and

Technology Beijing.

Mathews, J.H and Kurtis, D.F. 1999. Numerical Methods Using MATLAB

3𝑟𝑑 𝑒𝑑. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

Tipler, P.A. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1.

Jakarta: Erlangga.

18

LAMPIRAN

Lampiran 1 Penurunan persamaan diferensial orde 2 menjadi sistem

persamaan diferensial orde 1

�̈� + 𝑎 sin 𝜃 = 0 → �̈� = −𝑎 sin 𝜃

dengan, 𝜃1(0) =2𝜋

3, 𝜃2(0) = 0

andaikan,

𝜃1 = 𝜃 𝜃2 = 𝜃1̇

𝜃2̇ = 𝜃1̈

𝜃2̇ = −𝑎 sin 𝜃

jadi, sistem persamaan diferensial orde 1 yang terbentuk adalah sebagai

berikut.

{𝜃1̇ = 𝜃2

𝜃2̇ = −𝑎 sin 𝜃

dengan nilai awal, 𝜃1(0) =2𝜋

3, 𝜃2(0) = 0

Lampiran 2 Penurunan persamaan persamaan pendulum sederhana

Persamaan gerak harmonik sederhana dari sebuah berdasarkan

Hukum II Newton dapat dituliskan sebagai berikut:

𝐹 = 𝑚𝑎

Percepatan karena gaya gravitasi akan menjadi fungsi 𝜃. Pada saat 𝜃 =𝜋

2→

|𝑎| = 𝑔 dan saat 𝜃 = 0 → 𝑎 = 0 , dengan mempertimbangkan hubungan

antara percepatan dan 𝜃, maka didapatkan persamaan sebagai berikut:

𝑎 = −𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃 (12)

Panjang busur (𝑎𝑟𝑐𝐿) pada dapat dianggap sebagai posisi dari sistem. Dapat

dituliskan sebagai berikut:

𝑎𝑟𝑐𝐿 = 𝐿 𝜃

Sehingga percepatan pada sistem dapat dituliskan sebagai:

𝑎 = 𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 (13)

19

Substitusikan persamaan (12) dan (13), maka didapatkan persamaan gerak

harmonik sederhana pada pendulum sebagai berikut:

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+

𝑔

𝐿sin 𝜃 = 0 (14)

dengan,

𝑚 = massa beban yang menggantung (𝐾𝑔)

𝑎 = percepatan(𝑚

𝑠2)

𝑔 = gaya gravitasi (= 9,8𝑚

𝑠2)

𝐿 = panjang tali (𝑚)

𝜃 = simpangan (𝑟𝑎𝑑)

𝑡 = waktu (𝑠)

Lampiran 3 Pendekatan berdasarkan simpangan sudut yang kecil

Suatu persamaan diferensial dapat direduksi menjadi bentuk yang

dapat diselesaikan secara analitik. Perluasan deret untuk sin 𝜃 dapat

dituliskan sebagai berikut:

sin 𝜃 = 𝜃 −𝜃3

3!+

𝜃5

5!−

𝜃7

7!+

𝜃9

9!− ⋯

Untuk simpangan sudut yang kecil, besarnya sin 𝜃 dapat di sama dengankan

𝜃. Untuk perpindahan yang kecil, persamaan (5) dapat dituliskan sebagai

berikut:

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+

𝑔

𝐿𝜃 = 0

Persamaan tersebut mendekati persamaan (14) dan lebih mudah untuk

diselesaikan.

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2≈ −

𝑔

𝐿𝜃

𝑚2 +𝑔

𝐿𝜃 = 0

𝑚 = ±√𝑔

𝐿𝑖

Dengan menggunakan kasus akar kompleks untuk penyelesaian

persamaan diferensial orde 2, didapatkan hasil sebagai berikut:

𝑦(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡[𝐴1 cos(𝑏𝑡) + 𝐴2 sin(𝑏𝑡)] (15)

20

Selesaikan konstanta 𝐴1 dan 𝐴2 dengan memasukkan nilai awal 𝜃(0) =2𝜋

3

dan 𝜃′(0) = 0 pada persamaan (15). Sehingga didapatkan solusi umum

sebagai berikut:

𝜃(𝑡) =2𝜋

3 cos √

𝑔

𝐿𝑡 (16)

Lampiran 4 Program penyelesaian persamaan pendulum sederhana

menggunakan Mathematica 11

1. program Mathematica 11 yang digunakan untuk membuat grafik pada

penyelesaian pendekatan analitik persamaan pendulum sederhana

adalah sebagai berikut:

Plot[(2 ∗ Pi) 3⁄ Cos[𝑥], {𝑥, 0,5}, PlotRange → All, AxesLabel → {𝑡, 𝜃}]

2. program penyelesaian pendekatan numerik persamaan pendulum

sederhana dengan program Mathematica 11

𝑠 = NDSolve[{𝑥''[𝑡] + Sin[𝑥[𝑡]] == 0, 𝑥[0] == (2 ∗ Pi) 3⁄ , 𝑥′[0] ==0}, 𝑥, {𝑡, 0,100}]

Plot[Evaluate[𝑥[𝑡]/. 𝑠], {𝑡, 0,5}, PlotRange → All, AxesLabel → {𝑡, 𝜃}]

Lampiran 5 Program penyelesaian persamaan pendulum sederhana

menggunakan SCILAB 6.0.1

Program yang digunakan untuk penyelesaian pendekatan numerik

persamaan pendulum sederhana dengan menggunakan program SCILAB

6.0.1 adalah sebagai berikut..

function f=F(n, t, x)

f(1)=x(2);

f(2)=-sin(x(1));

endfunction

Dan program persamaan diferensial pada karya ilmiah ini adalah sebagai

berikut:

function [y, z]=rk4_sistem1(nsteps)

x=[((2*%pi)/3),0];

n=length(x);

t=0;

h=0.05;

b=h^5;

y=zeros(1,n);

hasil=[];

m=[];

21

u=[];

p=0;

x2 = zeros(nsteps,2);

for j=1:nsteps

K(1:n,1)=F(n,t,x);

for i=1:n,

y(i)=x(i)+(h/2)*K(i,1);

end

K(1:n,2)=F(n,t+(h/2),y);

for i=1:n,

y(i)=x(i)+(h/2)*K(i,2);

end

K(1:n,3)=F(n,t+(h/2),y);

for i=1:n,

y(i)=x(i)+h*K(i,3);

end

K(1:n,4)=F(n,t+h,y);

for i=1:n,

x(i)=x(i)+(h/6)*(K(i,1)+2*K(i,2)+2*K(i,3)+K(i,4));

hasil=[hasil;j x(i)];

end

t=t+h;

end

for i = 1:nsteps

m=[m;i hasil(2*i-1,2) hasil(2*i,2)]

end

y=[m(:,2) m(:,3)]

for i =1:nsteps

z=[m(:,2) m(:,3)]+b*[sin(m(:,2)) m(:,3)];

end

disp("Solusi PDB RK4:")

for i=1:nsteps

u=[u;p]

p=p+h

end

plot(u,z(:,1),'r')

//plot(u,z(:,2),'g')

plot(u,y(:,1),'b')

//plot(u,y(:,2),'c')

xtitle( ' ', 't', 'θ' ) ;

hl=legend(['RK 4 modif';'RK 4 klasik']);

disp(u)

endfunction

22

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Juni 1996 dari pasangan

bapak Pujiyono dan ibu Parsih. Penulis merupakan anak kedua dari dua

bersaudara. Tahun 2014 penulis lulus dari SMA Negeri 74 Jakarta dan pada

tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB)

melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama menempuh studi S1 di IPB, penulis aktif berbagai kegiatan

non-akademik, diantaranya penulis pernah diamanahkan sebagai BPG

(Badan Pengawas Gumatika) Departemen PSDM (Pengembangan Sumber

Daya Mahasiswa) periode 2015-2016, Ketua Pemira (Pemilihan Raya)

Gumatika tahun 2016 dan Bendahara BPG periode 2016-2017. Selain itu,

penulis pernah menjadi Bendahara Divisi Konsumsi dalam acara

Matematika Ria 2016, Anggota Divisi Konsumsi dalam acara Matematika

Ria 2017, Bendahara Divisi Konsumsi dalam acara IPB Mathematics

Challenge (IMC) 2016 dan Ketua Divisi Konsumsi dalam acara IPB

Mathematics Challenge (IMC) 2017.