model matematika dan optimasi dalam investasi … · model matematika dan optimasi dalam investasi...

PRESENTASI TUGAS AKHIR – CI 1599

MODEL MATEMATIKA DAN OPTIMASI DALAM INVESTASIPRODUKSI

Penyusun Tugas Akhir :Andi Bagus Ruhendra

NRP. 5105 100 098

Dosen Pembimbing :Rully Soelaiman, S.Kom, M.Kom.

February 8, 2011Tugas Akhir - CI 1559

MODEL MATEMATIKA DAN OPTIMASI DALAM INVESTASIPRODUKSI

Penyusun Tugas Akhir :Andi Bagus Ruhendra

NRP. 5105 100 098

Dosen Pembimbing :Rully Soelaiman, S.Kom, M.Kom.

.:LATAR BELAKANG:. Penerapan model matematika untuk optimasi produksi. Penerapan model matematika dengan pendekatan linear

programming berbasis investasi produksi untuk memperolehtotal biaya investasi minimal.


.:TUJUAN:.Tujuan pembuatan Tugas Akhir ini adalah : Menganalisa model matematika yang tepat untuk

mengoptimasi biaya investasi pada kegiatan produksi. Mendeskripsikan model matematika untuk masalah optimasi

investasi. Melakukan pengujian aspek kebenaran terhadap algoritma

model matematika.


Tujuan pembuatan Tugas Akhir ini adalah : Menganalisa model matematika yang tepat untuk

mengoptimasi biaya investasi pada kegiatan produksi. Mendeskripsikan model matematika untuk masalah optimasi

investasi. Melakukan pengujian aspek kebenaran terhadap algoritma

model matematika.

.:PERMASALAHAN:.Permasalahan yang diangkat dalam Tugas Akhir ini adalah : Bagaimana bentuk model matematika untuk mengoptimasi

biaya investasi pada kegiatan produksi ? Bagaimana langkah – langkah yang dilakukan untuk

menetapkan jumlah produksi di setiap lokasi sehingga totalbiaya investasi adalah minimal ?

Bagaimana hasil pengujian aspek kebenaran terhadapalgoritma model matematika ?


Permasalahan yang diangkat dalam Tugas Akhir ini adalah : Bagaimana bentuk model matematika untuk mengoptimasi

biaya investasi pada kegiatan produksi ? Bagaimana langkah – langkah yang dilakukan untuk

menetapkan jumlah produksi di setiap lokasi sehingga totalbiaya investasi adalah minimal ?

Bagaimana hasil pengujian aspek kebenaran terhadapalgoritma model matematika ?

.:PERMASALAHAN MODEL MATEMATIKA:.Asumsi : Produk yang dihasilkan adalah sama pada tiap – tiap lokasi

produksi. Investasi tambahan diberikan untuk satu unit ekstra jika jumlah

produksi pada suatu proses operasi melebihi kapasitas prosesproduksi dan biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan)diberikan untuk setiap unit jika jumlah produksi tidak bisamemenuhi kapasitas proses produksi di setiap operasi .

Nilai biaya investasi pada operasi yang sama masing – masingadalah sama pada semua lokasi produksi, seperti dituliskan padapersamaan ini :

Batasan nilai biaya investasi adalah Batasan nilai produk total x adalah


Asumsi : Produk yang dihasilkan adalah sama pada tiap – tiap lokasi

produksi. Investasi tambahan diberikan untuk satu unit ekstra jika jumlah

produksi pada suatu proses operasi melebihi kapasitas prosesproduksi dan biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan)diberikan untuk setiap unit jika jumlah produksi tidak bisamemenuhi kapasitas proses produksi di setiap operasi .

Nilai biaya investasi pada operasi yang sama masing – masingadalah sama pada semua lokasi produksi, seperti dituliskan padapersamaan ini :

Batasan nilai biaya investasi adalah Batasan nilai produk total x adalah Mxm

0 ijij

),,...,,( 1111 mmjmmjjj

miti ,...,2,1

.:PERMASALAHAN MODEL MATEMATIKA:.Notasi : : jumlah produk total. : operasi produksi. : lokasi produksi. : kapasitas proses produksi dari pada . : biaya investasi tambahan pada operasi pada suatu lokasi . : biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan) pada operasi

pada suatu lokasi . : jumlah produk yang ditambahkan ke pada . : jumlah produk yang dikurangi dari pada . : jumlah produk yang ditetapkan untuk diproduksi di lokasi

produksi . : biaya dari , dinotasikan sebagai :

x

ijMij it jsij it

jsit

it js

February 8, 2011Tugas Akhir - CI 1559 February 8, 2011Tugas Akhir - CI 1559Page 6

Notasi : : jumlah produk total. : operasi produksi. : lokasi produksi. : kapasitas proses produksi dari pada . : biaya investasi tambahan pada operasi pada suatu lokasi . : biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan) pada operasi

pada suatu lokasi . : jumlah produk yang ditambahkan ke pada . : jumlah produk yang dikurangi dari pada . : jumlah produk yang ditetapkan untuk diproduksi di lokasi

produksi . : biaya dari , dinotasikan sebagai :

ij it

js0ij0ijjx

y

it jsit js

jsnjjx ,...,2,1}{ ),...,,( 21 nxxxy

.:FUNGSI OBJEKTIF:.

ij

m

i

n

jijy

1 1

)(minPers 1

Persamaan fungsi objektif secara umum :

Jika maka fungsi adalah , dan jika

maka fungsi adalah


)( ij 0ij 0ij

0

ij 0ij

jika

jika

jika0ij0

0ij )( ij ij 0ij

)( ij ij

Persamaan fungsi objektif secara umum :

Jika maka fungsi adalah , dan jika

maka fungsi adalah

.:BATASAN:. Batasan :

,...11 mjmjjj MM nj ,...,2,1

xMMn

jmjmj

n

jjj

1111 )(...)(

mjj xx ...1


.:DEFINISI MODEL MATEMATIKA:. Biaya investasi tambahan

Biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan)

Maka :

dan

,...111

21

1

m

ii

m

iin

m

ii

m

ii

....111

21

1

m

ii

m

iin

m

ii

m

ii


Biaya investasi tambahan

Biaya untuk menghilangkan sampah (kesia-siaan)

Maka :

dan

....111

21

1

m

ii

m

iin

m

ii

m

ii

m

ii

1

m

ii

1

.:DEFINISI MODEL MATEMATIKA:. Kapasitas proses produksi yang minimal pada masing – masing lokasi

produksi.

Kapasitas proses produksi yang maksimal pada masing – masing lokasiproduksi.

},,...,2,1:min{ miMm ijj

n

jjmm

1

Kapasitas proses produksi yang minimal pada masing – masing lokasiproduksi.

Kapasitas proses produksi yang maksimal pada masing – masing lokasiproduksi.


},,..,2,1:max{ miMM ijj

n

jjMM

1.

.:OPTIMASI INVESTASI PRODUKSI:. Lemma 1Jika maka adalah solusi optimal dari produk total jika danhanya jika :

dan

Lemma 2Jika maka adalah solusi optimal dari produk total jika danhanya jika :

dan

Lemma 3Jika dan adalah solusi optimal dari produk total

dibawa oleh semua j

mx njjx ,...,2,1}{ x

njmx jj ,...,2,1, .1

xxn

jj

,Mx njx j ,...,2,1,



dan


dan

Lemma 3Jika dan adalah solusi optimal dari produk total

dibawa oleh semua j

,Mx njx j ,...,2,1, x

njMx jj ,...,2,1,

n

jj xx

1.

Mxm njjx ,...,2,1}{ x

jjj Mxm

.:OPTIMASI INVESTASI PRODUKSI(cont.):. Corollary 1

Jika ,maka persamaan

dan memiliki solusi optimal unik dari .

Corollary 2



m

jjmmx

1

njjx ,...,2,1}{

m

i

n

jijjijj MxMxy

1 1||)(min

n

jj xx

1

Corollary 1



Corollary 2




m

i

n

jijjijj MxMxy

1 1||)(min

n

jj xx

1

m

jjMMx

1

njMx jj ,...,2,1,

.:FLOWCHART:.

Start

Masukkan jumlahs(n) dan t(m)

Buat matriks

Ambil data

Hitung mBar

Apakahx<=mBar?

Hitung MBartidak

Apakahx>=MBar?

Cari xj berdasarkanLemma 2

ya Cari xj berdasarkanProses efisiensi

algoritmalemma 3

tidak


Menampilkanmatriks M & Alpha

Mengubah nilaiMatriks

Mulai proses

Mulai Tampilkanoutput xj dan total y end

Apakahx<=mBar?


ya


Cari xj berdasarkanProses efisiensi

algoritmalemma 3

Dapat xj

Hitung total y

.:UJICOBA DATA:.

Berdasarkan jurnal yang ditulis Chaochun Qu, Ping Wang, dan

Huakang Yang (2002), data yang diujicobakan adalah :

Permasalahan )( Mxm


Berdasarkan jurnal yang ditulis Chaochun Qu, Ping Wang, dan

Huakang Yang (2002), data yang diujicobakan adalah :

Permasalahan

.:KESIMPULAN:. Model matematika pada tugas akhir ini dapat menyelesaikan minimasi

biaya dari jumlah produk yang ditetapkan untuk diproduksi pada masing-masing lokasi, dimana produk yang diproduksi adalah sama pada masing –masing lokasi produksi.

Dalam penyelesaian permasalahan investasi ini, terdapat tiga kemungkinan,yakni : dan . .

1. Penggunaan lemma 1, jika produk total kurang (sama) dari totalpenambahan kapasitas produksi minimal pada masing-masing lokasiproduksi, maka jumlah produksi pada masing-masing lokasi adalah solusioptimal jika dan hanya jika jumlah produksi kurang (sama) dari kapasitasproduksi minimal pada masing-masing lokasi dan total penambahan darijumlah produksi di setiap lokasi adalah produk total.

2. Penggunaan lemma 2, jika produk total melebihi (sama) dari totalpenambahan kapasitas produksi maksimal pada masing-masing lokasiproduksi, maka jumlah produksi pada masing-masing lokasi adalah solusioptimal jika dan hanya jika jumlah produksi melebihi (sama) dari kapasitasproduksi maksimal pada masing-masing lokasi dan total penambahan darijumlah produksi di setiap lokasi adalah produk total.

Mxm ,Mx ,mx


Model matematika pada tugas akhir ini dapat menyelesaikan minimasibiaya dari jumlah produk yang ditetapkan untuk diproduksi pada masing-masing lokasi, dimana produk yang diproduksi adalah sama pada masing –masing lokasi produksi.

Dalam penyelesaian permasalahan investasi ini, terdapat tiga kemungkinan,yakni : dan . .

1. Penggunaan lemma 1, jika produk total kurang (sama) dari totalpenambahan kapasitas produksi minimal pada masing-masing lokasiproduksi, maka jumlah produksi pada masing-masing lokasi adalah solusioptimal jika dan hanya jika jumlah produksi kurang (sama) dari kapasitasproduksi minimal pada masing-masing lokasi dan total penambahan darijumlah produksi di setiap lokasi adalah produk total.

2. Penggunaan lemma 2, jika produk total melebihi (sama) dari totalpenambahan kapasitas produksi maksimal pada masing-masing lokasiproduksi, maka jumlah produksi pada masing-masing lokasi adalah solusioptimal jika dan hanya jika jumlah produksi melebihi (sama) dari kapasitasproduksi maksimal pada masing-masing lokasi dan total penambahan darijumlah produksi di setiap lokasi adalah produk total.

.:KESIMPULAN (cont.):.3. Penggunaan lemma 3, jika produk berada pada rentang total penjumlahan

kapasitas produksi minimal di setiap lokasi produksi dan total penambahankapasitas produksi maksimal di setiap lokasi produksi. Dan jumlah produksipada setiap lokasi adalah solusi optimal dari produk total.

Berdasarkan pengujian pada model matematika untuk investasi produksididapatkan nilai optimal dari setiap lemma.

Sesuai dengan batasan nilai produk total x, maka kapasitas proses produksidi tiap – tiap operasi pada masing – masing lokasi produksi harusmemenuhi ketentuan pada lemma 3, yakni : .

3. Penggunaan lemma 3, jika produk berada pada rentang total penjumlahankapasitas produksi minimal di setiap lokasi produksi dan total penambahankapasitas produksi maksimal di setiap lokasi produksi. Dan jumlah produksipada setiap lokasi adalah solusi optimal dari produk total.

Berdasarkan pengujian pada model matematika untuk investasi produksididapatkan nilai optimal dari setiap lemma.

Sesuai dengan batasan nilai produk total x, maka kapasitas proses produksidi tiap – tiap operasi pada masing – masing lokasi produksi harusmemenuhi ketentuan pada lemma 3, yakni : .


)( ijMMxm

.:DAFTAR PUSTAKA:. Chaochun Qu, Ping Wang, Huakang Yang. (2002). Mathematical Model

And Optimization In Production Investment. ScienceDirect, AppliedMathematics and Computation 130, 389 - 398.

Buffa, E. Dan Sarin, R. 1996. Manajemen Operasi dan ProduksiModern, Jilid 1 Edisi Kedelapan. Binarupa Aksara, Jakarta.

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. PemrogramanLinear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.

Rosihan A, “Linier Programming Metode Simplex”, 2009,http://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan (Diakses 01 Maret 2010).

Peni Sawitri, “Metode Simpleks”, 2005,http://peni.staff.gunadarma.ac.id (Diakses 01 Maret 2010).

Djoko Luknanto, “Optimasi Linear programming”, 2003,http://luk.staff.ugm.ac.id (Diakses 01 Maret 2010).

Amang, “Penyelesaian Persamaan Non Linier”, 2002,http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/ (Diakses 01 Maret 2010).

Hadi, Miftachul, Ika Nurlaila. (2009). Teori Chaos danFarmakodinamika. http://www.fisikanet.lipi.go.id/


Chaochun Qu, Ping Wang, Huakang Yang. (2002). Mathematical ModelAnd Optimization In Production Investment. ScienceDirect, AppliedMathematics and Computation 130, 389 - 398.

Buffa, E. Dan Sarin, R. 1996. Manajemen Operasi dan ProduksiModern, Jilid 1 Edisi Kedelapan. Binarupa Aksara, Jakarta.

Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. PemrogramanLinear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.

Rosihan A, “Linier Programming Metode Simplex”, 2009,http://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan (Diakses 01 Maret 2010).

Peni Sawitri, “Metode Simpleks”, 2005,http://peni.staff.gunadarma.ac.id (Diakses 01 Maret 2010).

Djoko Luknanto, “Optimasi Linear programming”, 2003,http://luk.staff.ugm.ac.id (Diakses 01 Maret 2010).

Amang, “Penyelesaian Persamaan Non Linier”, 2002,http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/ (Diakses 01 Maret 2010).

Hadi, Miftachul, Ika Nurlaila. (2009). Teori Chaos danFarmakodinamika. http://www.fisikanet.lipi.go.id/

.:DAFTAR PUSTAKA:. Nash, Stephen G., Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear

Programming. McGraw-Hill, USA. [10] Hamdy A. Taha, “Operations Research An Introduction”, 6th

ed.,Prentice Hall, United States of America, 1997.


TERIMA KASIH


TERIMA KASIH

model matematika dan optimasi dalam investasi … · model matematika dan optimasi dalam investasi...

Documents