metode pembuktian matematika

Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 2013

1 SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.

Metode Pembuktian dalam Matematika Oleh: Didik Sadianto, S.Pd.

Soal-soal dalam OSN dan IMO sebagian besar adalah membuktikan suatu pernyataan. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal OSN/IMO maka Siswa dituntut untuk mampu mengaplikasikan semua metode-metode pembuktian yang sesuai. Pada umumnya metode pembuktian menggunakan konsep logika matematika. Adapun metode pembuktian matematika yang dibahas dalam buku ini adalah: Pembuktian langsung, Pembuktian tidak langsung, Bukti dengan Kontradiksi, Bukti dengan Contoh Penyangkal, dan Bukti dengan Induksi Matematika. A. Pembuktian Langsung

Metode ini didasarkan pada proposisi bahwa: Jika kita misalkan (asumsikan) P bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari p; kita harus membuktikan bahwa q benar. Contoh 1: Buktikan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan genap merupakan bilangan genap juga. Pembahasan: Di sini kita punya bentuk proporsi:

adalah bilangan genap dan adalah bilangan genap. Berikut ini cara pembuktian langsung:

Misalkan , dimana

Akan ditunjukkan bahwa dimana Perhatikan bahwa: , dimana

Jadi, n2 adalah bilangan genap (Terbukti) Contoh 2: Buktikan bahwa jika n bilangan ganjil, maka n2 merupakan bilangan ganjil. Pembahasan:

Misalkan bahwa , untuk suatu . Perhatikan bahwa:

, dimana Jadi, n2 merupakan bilangan ganjil. (Terbukti) Contoh 3:

Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa Pembahasan: Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC. Maka kita peroleh:

B. Pembuktian Tidak Langsung Metode pembuktian tidak langsung dikenal juga metode kontrapositif.

Perhatikan bahwa pernyataan ini . Oleh karena itu, kita akan

memahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkan

bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari , kita harus

membuktikan bahwa benar.



Contoh 1: Buktikan bahwa jika habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.

Pembahasan: Kita akan membuktikan pernyataan ini dengan metode tidak langsung. Yakni kita harus membuktikan pernyataan jika n tidak habis dibagi 3 maka n2 tidak habis dibagi 3. Perhatikan bahwa: Karena n tidak habis dibagi 3, maka n = 3k + 1 atau n = 3k + 2 untuk suatu k bilangan bulat. Untuk n = 3k +1,

dimana

Jadi, n2 tidak habis dibagi 3 (*) Untuk n = 3k +2,

dimana

Jadi, n2 tidak habis dibagi 3 (*)

Dari (*) dan (**) maka n2 tidak habis dibagi 3. Dengan kata lain terbukti bahwa jika

habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3. Contoh 2: Buktikan bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.

Pembahasan: Kita akan membuktikan soal ini dengan metode pembuktikan tidak langsung. Hal ini berarti kita harus mengubah bentuk soal dalam kontraposisinya, yakni: Jika n bilangan genap maka n2 merupakan bilangan genap. Berdasarkan solusi (A.1), maka kontraposisi tersebut suatu pernyataan yang benar.

Jadi, terbukti bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.

C. Pembuktian dengan Kontradiksi Metode ini hampir sama dengan metode pembuktian tidak langsung, akan tetapi

terdapat perbedaan yang cukup mendasar. Untuk membuktikan bahwa benar dengan metode kontradiksi maka:

Kita andaikan bahwa ingkaran dari adalah benar. Dengan kata lain bahwa kita mengandaikan bahwa p dan ~q adalah sesuatu yang benar.

Dari pengandaian tersebut, kita harus memunculkan suatu kontradiksi atau suatu fakta yang bertentangan dengan suatu fakta lain yang sebelumnya telah dikatahui kebenarannya.

Contoh 1: Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang membagi 2n2, maka bilangan n2+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna. Pembahasan: Karena d membagi 2n2 maka 2n2 = kd untuk suatu k bilangan asli.

Andaikan meruapakn bilangan kuadrat sempurna, maka dengan

. Maka haruslah merupakan bilangan kuadrat. Tetapi untuk suatu k bilangan



asli. Hal ini berati berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan sehingga tidak

mungkin bilangan kuadrat sempurna (Kontradiksi). Terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang membagi 2n2, maka bilangan n2+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna. Contoh 2:

Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa

bukan bilangan rasional.

Pembahasan:

Andaikan bahwa

bilangan rasional maka

dengan x dan y adalah

bilangan asli.

Maka berlaku Karena m dan n relatif prima maka tidak ada x dan y bilangan asli yang memenuhi (kontradiksi).

Terbukti, Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa

bukan bilangan

rasional.

D. Pembuktian dengan Contoh Penyangkal Untuk menjelaskan metode pembuktian ini, maka perhatikan contoh berikut:

Untuk setiap bilangan asli merupakan bilangan prima. Kita diminta untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas tidak benar. Dalam kasus seperti ini, kita cukup menunjukkan satu contoh sehingga menyebabkan pernyataan

tersebut tidak benar. Yakni, kita harus pilih nilai n bilangan asli sehingga bukan bilangan prima. Untuk itu, pilih n = 4, maka , dimana 21 bukan bilangan

prima. Pembuktian seperti inilah yang disebut metode pembuktian dengan contoh penyangkal.

E. Induksi Matematika Induksi Matematika adalah salah satu metode pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli.

1. Prinsip Induksi Sederhana Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin

membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: o P(1) benar, dan o Untuk semua bilangan bulat positif 1n , jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Contoh: Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Solusi:

(i) Basis Induksi: Untuk n = 1, Perhatikan 211 (Benar). (ii) Langkah Induksi: Andaikan untuk 1n pernyataan:

2)12(...31 nn adalah suatu yang benar. Akan ditunjukkan benar untuk



.)1()12()12(...531 2 nnn

Perhatikan bahwa:

)........(*)1(12)12(

)12()]12(...531[)12()12(...531

222

nnnnn

nnnn

(*) terbukti benar. Jadi, jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.

2. Prinsip Induksi Kuat Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin

membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat onn . Untuk membuktikan

pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa: o P(no) benar, dan o Untuk semua bilangan bulat positif onn , jika )(...,,1),( npnpnp oo benar maka

p(n+1) juga benar.

LATIHAN SOAL

1. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 652 nn adalah bilangan genap.

2. Jika k adalah bilangan asli, maka buktikan bahwa 2

)1(...321

nnn

3. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli

4. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli.

5. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku

.

6. Buktikan bahwa 3 habis membagi n3-n untuk setiap bilangan asli n. 7. Buktikan pernyataan: ”Untuk membayar biaya pos sebesar k sen )8( k selalu dapat

digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar. 8. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli lebih dari satu dapat difaktorkan sebagai

perkalian bilangan prima. 9. Suatu sistem tata surya berisi planet-planet yang jarak setiap dua planetnya berbeda. Di

setiap planet, terdapat satu astronom yang mengamati planet terdekat dengan planetnya. Jika jumlah planet dalam tata surya tersebut ganjil, buktikan bahwa terdapat sebuah planet yang tidak diamati oleh astronom dari planet lainnya.

Rujukan

Budhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV. Ricardo.

Eridani. 2010. Penyelesaian Masalah dalam Matematika, Makalah disajikan dalam acara “TOT Guru Pembina OSN SMA di Hotel Singgasana Surabaya”.

TIM JMM. 2008. Jurnal Mahkota Matematika: No. 8. Malang: Jurusan Matematika FMIPA UM.

Purwanto, Heri, dkk. 2006. Matematika Diskrit. Cirebon: PT Ercontara Rajawali.

metode pembuktian matematika

Documents