metode matematika untuk geofisika

8/19/2019 Metode Matematika Untuk Geofisika

1/47

Metode Matematika untuk Geofisika

Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi I

Revisi terakhir tgl: 2 Desember 2009

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas IndonesiaDipublikasikan pertama kali pada November 2008


2/47


3/47

Untuk

Nina Marliyani

Muflih Syamildan

Hasan Azmi


4/47

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan

(Supriyanto, 2007)


5/47

Kata Pengantar

Ini adalah buku ke-empat yang saya tulis dalam 2 tahun terakhir, semenjak saya kembali ke

Indonesia. Namun isi-nya masih tidak terlepas dari dunia komputasi dan analisis numerik

sebagaimana buku-buku karya saya sebelumnya. Kali ini, saya menulis buku untuk mem-

berikan catatan kuliah Metode Matematika untuk Geofisika di Departemen Fisika, FMIPA-UI.

Di dalam buku ini, algoritma numerik ditulis ke dalam bahasa pemrograman Matlab.

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede

Djuhana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun sepatutnya

berterima kasih kepada seluruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil

mata kuliah Metode Matematika untuk Geofisika PTA 2008/2009 program Pasca Sarjana Ilmu

Fisika di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat salah satu mata

air ilmu pengetahuan anak bangsa. Saya izinkan anda meng-copy dan menggunakan buku

ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Bagi yang ingin

berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email saya yang

tercantum di halaman depan buku ini.

Depok, 14 November 2008

Supriyanto Suparno

iii


6/47

iv


7/47

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar vi

Daftar Tabel vii

1 Matrik dan Komputasi 1

1.1 Pengenalan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Formulasi Masalah Inversi 17

2.1 Klasifikasi masalah inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

v


8/47

vi

2.3 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Daftar Pustaka 33

Indeks 35


9/47

Daftar Gambar

2.1 Data observasi perubahan temperatur terhadap kedalaman dari permukaan tanah 18

2.2 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii


10/47

viii DAFTAR GAMBAR


11/47

Daftar Tabel

2.1 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 18

2.2 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . 22

2.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ix


12/47

x DAFTAR TABEL


13/47

Bab 1

Matrik dan Komputasi

Objektif :

⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik.

⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.

⊲ Membuat script operasi matrik.

1.1 Pengenalan matrik

Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

An×m. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun

dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks, misalnya

aij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke- j.

A = (aij) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

(1.1)

Contoh 1: Matrik A2×3

A =

3 8 5

6 4 7

dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23 = 7.

Contoh 2: Matrik B3×2

B =

1 3

5 9

2 4

1


14/47

2 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI

dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan

b32 = 4.

1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer

Dalam bahasa pemrograman Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen

matrik A2×3, sesuai dengan Contoh 1 adalah

1 clear all

2 clc

3

4 A(1,1) = 3;

5 A(1,2) = 8;

6 A(1,3) = 5;7 A(2,1) = 6;

8 A(2,2) = 4;

9 A(2,3) = 7;

10 A

Sedangkan untuk matrik B3×2, sesuai Contoh 2 adalah

1 clear all

2 clc

3

4 B(1,1) = 1;

5 B(1,2) = 3;

6 B(2,1) = 5;

7 B(2,2) = 9;

8 B(3,1) = 2;

9 B(3,2) = 4;

10 B

Ini bukan satu-satunya cara menginisialisasi suatu matrik, disamping itu, ada juga cara lain

yang relatif lebih mudah. Misalnya untuk matrik A dan matrik B bisa ditulis sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 B=[ 1 3

8 5 9

9 2 4 ];

atau

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];

5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];


15/47

1.3. MACAM-MACAM MATRIK 3

1.3 Macam-macam matrik

1.3.1 Matrik transpose

Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom

menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranpose

adalah AT .

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

A =

3 8 5

6 4 7

AT =

3 6

8 4

5 7

1.3.2 Matrik bujursangkar

Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar

orde 3

A =

1 3 8

5 9 7

2 4 6

1.3.3 Matrik simetrik

Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama den-

gan matrik transpose-nya (AT ).

Contoh 5: Matrik simetrik

A =

2 −3 7 1

−3 5 6 −2

7 6 9 8

1 −2 8 10

AT =

2 −3 7 1

−3 5 6 −2

7 6 9 8

1 −2 8 10

1.3.4 Matrik diagonal

Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: Matrik diagonal orde 3

A =

11 0 0

0 29 0

0 0 61


16/47


1.3.5 Matrik identitas

Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecualielemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: Matrik identitas orde 3

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.3.6 Matrik upper-triangular

Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-

agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: Matrik upper-triangular

A =

3 6 2 1

0 4 1 5

0 0 8 7

0 0 0 9

1.3.7 Matrik lower-triangular

Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-

nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: Matrik lower-triangular

A =

12 0 0 0

32 −2 0 0

8 7 11 0

−5 10 6 9

1.3.8 Matrik tridiagonal

Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dis-

ekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: Matrik tridiagonal

A =

3 6 0 0

2 −4 1 0

0 5 8 −7

0 0 3 9


17/47

1.3. MACAM-MACAM MATRIK 5

1.3.9 Matrik diagonal dominan

Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi

|aii| >n

j=1,j=i

|aij | (1.2)

dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini

A =

7 2 0

3 5 −1

0 5 −6

B =

6 4 −3

4 −2 0

−3 0 1

Pada elemen diagonal aii matrik A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka

matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B,

|6| < |4| + | − 3|, | − 2| < |4| + |0|, dan |1| < | −3| + |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik

diagonal dominan.

1.3.10 Matrik positive-definite

Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi

x

t

Ax > 0 (1.3)

Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut

A =

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka

xtAx =

x1 x2 x3

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

x1

x2

x3

=

x1 x2 x3

2x1 − x2

−x1 + 2x2 − x3

−x2 + 2x3

= 2x21

− 2x1x2 + 2x2

2 − 2x2x3 + 2x

2

3

= x21

+ (x21

− 2x1x2 + x2

2) + (x2

2 − 2x2x3 + x

2

3) + x2

3

= x21 + (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2 + x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi

x21

+ (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2 + x23

> 0


18/47


kecuali jika x1=x2=x3=0.

1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dina-

makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang diny-

atakan sebagai berikut

a =

a11 a12 . . . a1m

=

a1 a2 . . . am

(1.4)

Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom

dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut

a =

a11

a21...

an1

=

a1

a2...

an

(1.5)

1.4 Operasi matematika

1.4.1 Penjumlahan matrik

Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrik C2×3

C =

9 5 3

7 2 1

dijumlahkan dengan matrik A2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3

D = A + C

D =

3 8 5

6 4 7

+

9 5 3

7 2 1

=

3 + 9 8 + 5 5 + 3

6 + 7 4 + 2 7 + 1

=

12 13 8

13 6 8

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara

matrik A2×3 dan C2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriktersebut, yaitu

d11 d12 d13

d21 d22 d23

=

a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13

a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23


19/47

1.4. OPERASI MATEMATIKA 7

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13 (1.6)

d21 = a21 + c21

d22 = a22 + c22

d23 = a23 + c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik

dij = aij + cij (1.7)

dimana i=1,2 dan j=1,2,3.

1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (1.7) lebih cepat

berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada persamaan (1.6),

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai

3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j

harus diletakkan di dalam looping indeks i. Pokoknya yang looping -nya paling cepat harus

diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling luar adalah looping yang indeksnya

paling jarang berubah.

Dalam matlab, algoritma penjumlahan dua matrik ditulis sebagai berikut:

1 for i=1:2

2 for j=1:3

3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

4 end

5 end

Sedangkan dalam Fortran77, operasi penjumlahan antara matrik ditulis sebagai berikut: A2×3

dan C2×3 adalah

1 do i=1,2

2 do j=1,3

3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)

4 end do

5 end do


20/47


Perhatikan kedua script di atas! Penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j.

Perlu dicatat bahwa ukuran matrik tidak terbatas hanya 2x3. Tentu saja anda bisa men-

gubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda. Jika ukuran matrik diny-atakan secara umum sebagai n x m, dimana n adalah jumlah baris dan m adalah jumlah kolom,

maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi

1 for i=1:n

2 for j=1:m

3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

4 end

5 end

sedangkan dalam Fortran77

1 do i=1,n

2 do j=1,m

3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)

4 end do

5 end do

Sekarang, mari kita lengkapi dengan contoh sebagai berikut: diketahui matrik A2×3

A =

3 8 5

6 4 7

dan matrik C2×3

C =

9 5 3

7 2 1

Program untuk menjumlahkan kedua matrik tersebut dalam matlab adalah:

1 clear all

2 clc

3

4 A(1,1) = 3;

5 A(1,2) = 8;

6 A(1,3) = 5;

7 A(2,1) = 6;

8 A(2,2) = 4;

9 A(2,3) = 7;

10 C(1,1) = 9;

11 C(1,2) = 5;

12 C(1,3) = 3;

13 C(2,1) = 7;

14 C(2,2) = 2;

15 C(2,3) = 1;

16 n=2

17 m=3

18 for i=1:n

19 for j=1:m

20 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

21 end

22 end


21/47


sedangkan dalam Fortran77

1 A(1,1) = 3

2 A(1,2) = 8

3 A(1,3) = 5

4 A(2,1) = 6

5 A(2,2) = 4

6 A(2,3) = 7

7 C(1,1) = 9

8 C(1,2) = 5

9 C(1,3) = 3

10 C(2,1) = 7

11 C(2,2) = 2

12 C(2,3) = 1

13 n=2

14 m=3

15 do i=1,n

16 do j=1,m

17 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)

18 end do

19 end do

1.4.3 Perkalian matrik

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama

sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran

sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A2×3 dikalikan dengan matrik

B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2

E2×2 = A2×3.B3×2

E =3 8 5

6 4 7

1 3

5 92 4

=

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4

=

53 101

40 82

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara

matrik A2×3 dan B3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

tersebut, yaitue11 e12

e21 e22

=

a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32

a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32


22/47


Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah

e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (1.8)e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (1.9)

e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (1.10)

e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (1.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

a dan b pada persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11). Perhatikan perubahan angka indeks

pertama pada elemen e seperti berikut ini

e1.. = ..

e1.. = ..

e2.. = ..

e2.. = ..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka indeks pertama dari elemen a

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks

yang polanya sama

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya,

masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), marilah kita perhatikan perubahan angka

indeks masih pada elemen e dan elemen b,

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2


23/47


Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks

yang polanya sama

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j




dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya,

masih dari persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11), mari kita perhatikan perubahan angka

indeks masih pada elemen a dan elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut

eij = ai1.b1 j + ai2.b2 j + ai3.b3 j




Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya

sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj




Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (1.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij =3

k=1

aikbkj (1.13)

dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik An×m yang dikalikan dengan ma-

trik Bm× p, akan didapatkan matrik En× p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi

eij =

mk=1 a

ikbkj (1.14)

dengan i=1,2,...,n; j=1,2..., p; dan k=1,2...,m.


24/47


1.4.4 Komputasi perkalian matrik

Komputasi operasi perkalian antara matrik A2×3 dan B3×2 dilakukan melalui 2 tahap; pertama

adalah memberikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen matrik E2×2 dengan cara (dalam matlab)

1 for i=1:2

2 for j=1:2

3 E(i,j)=0.0;

4 end

5 end

dalam Fortran77

1 do i=1,2

2 do j=1,2

3 E(i,j)=0.0

4 end do

5 end do

kedua adalah menghitung perkalian matrik dengan cara (dalam matlab)

1 for i=1:2

2 for j=1:2

3 for k=1:3

4 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*

B(k,j);

5 end

6 end

7 end

dalam Fortran77

1 do i=1,2

2 do j=1,2

3 do k=1,3

4 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)

5 end do

6 end do

7 end do

Sebentar.., sebelum dilanjut tolong perhatikan penempatan indeks i, j dan k pada script di atas.

Mengapa indeks i didahulukan daripada indeks j dan k? Ini bukan sesuatu yang kebetulan.

Dan ini juga bukan sekedar mengikuti urutan huruf abjad i,j,k. Sekali lagi ingin saya tegaskan

bahwa penempatan yang demikian semata-mata mengikuti aturan umum yaitu looping yang

indeksnya berubah paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling

luar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Kalau anda perhatikan dengan

teliti, pasti anda akan menemukan fakta bahwa indeks k

paling cepat berubah. Kemudiandisusul oleh indeks j. Lalu yang paling jarang berubah adalah indeks i. Itulah sebabnya,

penempatan urutan indeks pada script di atas harus dimulai dari i terlebih dahulu sebagai

looping terluar, kemudian indeks j , dan yang terakhir indeks k sebagai looping terdalam.


25/47


Tentu saja anda bisa mengubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda.

Jika ukuran matrik A dinyatakan secara umum sebagai n x m dan matrik B berukuran m x p,

maka bentuk pernyataan komputasinya dalam Matlab menjadi

1 for i=1:n

2 for j=1:p

3 E(i,j)=0.0;

4 end

5 end

6 for i=1:n

7 for j=1:p

8 for k=1:m

9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);10 end

11 end

12 end

dalam Fortran77

1 do i=1,n

2 do j=1,p

3 E(i,j)=0.0

4 end do

5 end do

6 do i=1,n

7 do j=1,p

8 do k=1,m

9 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j)

10 end do

11 end do

12 end do

dimana akan diperoleh hasil berupa matrik E yang berukuran n x p.

1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-

tara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana

m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pa-

da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat denganmengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y

y = Ax


26/47


y = 3 8 5

6 4 7

2

3

4

=

3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4

=

50

52

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara

matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

y1y2

=

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah

y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi =3

j=1

aijx j

dimana i=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan

dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1

dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi

yi =m

j=1

aijx j (1.15)

dengan i=1,2,... ,n.

1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom

Sama seperti perkalian dua matrik, komputasi untuk operasi perkalian antara matrik A beruku-

ran n x m dan vektor-kolom x berukuran m dilakukan melalui 2 tahap; pertama adalah mem-

berikan nilai 0 (nol) pada elemen-elemen vektor-kolom y yang berukuran n. Lalu tahap kedua

adalah melakukan proses perkalian. Kedua tahapan ini digabung jadi satu dalam program

berikut ini

1 for i=1:n

2 b(i,1)=0.0;


27/47

1.5. PENUTUP 15

3 end

4 for i=1:n

5 for j=1:m

6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

7 end

8 end

dan dalam Fortran

1 do i=1,n

2 b(i,1)=0.0

3 end do

4 do i=1,n

5 do j=1,m

6 b(i,1)=b(i,1)+A(i,j)*x(j,1)

7 end do

8 end do

1.5 Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar yang seringkali

dijumpai dalam pengolahan data fisika secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau

referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.

1.6 Latihan

Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut

A =

1 3 −6 −2

5 9 7 5.6

2 4 8 −1

2.3 1.4 0.8 −2.3

B =

8 1 4 21

3 10 5 0.1

7 −2 9 −5

2.7 −12 −8.9 5.7

x =

0.4178

−2.9587

56.3069

8.1

1. Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B.

2. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B.

3. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.

4. Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik B dan vektor x.


28/47


29/47

Bab 2

Formulasi Masalah Inversi

2.1 Klasifikasi masalah inversi

Dalam masalah inversi, kita selalu berhubungan dengan parameter model (M ) dan data (N );

yang mana jumlah dari masing-masing akan menentukan klasifikasi permasalahan inversi dan

cara penyelesaiannya. Bila jumlah model parameter lebih sedikit dibandingkan data observasi

(M < N ), maka permasalahan inversi ini disebut overdetermined. Umumnya masalah ini dis-

elesaikan menggunakan pencocokan (best fit ) terhadap data observasi. Dalam kondisi yang

lain dimana jumlah parameter yang ingin dicari (M ) lebih banyak dari pada jumlah datanya

(N

), maka masalah inversi ini disebut underdetermined

. Dalam kasus ini terdapat sekian banyak model yang dapat sesuai kondisi datanya. Inilah yang disebut dengan masalah non-

uniqness. Bagaimana cara untuk mendapatkan model yang paling mendekati kondisi bawah

permukaan? Menurut Meju, 1994 persoalan ini bisa diselesaikan dengan model yang param-

eternya berbentuk fungsi kontinyu terhadap posisi. Kasus yang terakhir adalah ketika jumlah

data sama atau hampir sama dengan jumlah parameter. Ini disebut evendetermined. Pada ka-

sus ini model yang paling sederhana dapat diperoleh menggunakan metode inversi langsung.

Pada bab ini, saya mencoba menyajikan dasar teknik inversi yang diaplikasikan pada mod-

el garis, model parabola dan model bidang. Uraian aplikasi tersebut diawali dari ketersediaan

data observasi, lalu sejumlah parameter model (unknown parameter) mesti dicari dengan teknik

inversi. Mari kita mulai dari model garis.

2.2 Inversi Model Garis

Secara teori, variasi temperatur bawah permukaan akan semakin meningkat ketika temper-

atur tersebut diukur semakin kedalam permukaan bumi. Misalnya telah dilakukan sebanyak

sepuluh kali (N = 10) pengukuran temperatur (T i) pada kedalaman yang berbeda beda (zi)

sebagaimana ditunjukan datanya pada Tabel 2.1.

17


30/47

18 BAB 2. FORMULASI MASALAH INVERSI

Tabel 2.1: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman

Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC )

1 z1 = 5 T 1 = 35.42 z2 = 16 T 2 = 50.13 z3 = 25 T 3 = 77.34 z4 = 40 T 4 = 92.35 z5 = 50 T 5 = 137.66 z6 = 60 T 6 = 147.07 z7 = 70 T 7 = 180.88 z8 = 80 T 8 = 182.79 z9 = 90 T 9 = 188.5

10 z10 = 100 T 10 = 223.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

Kedalaman (m)

T e m e p r a t u r e ( C e l c i u s )

Variasi Temperatur terhadap Kedalaman

Gambar 2.1: Data observasi perubahan temperatur terhadap kedalaman dari permukaan tanah

Source code untuk menggambar grafik tersebut dalam Matlab adalah

1 clear all

2 clc

3 % Data observasi

4 z = [5 16 25 40 50 60 70 80 90 100];

5 T = [34.4 50.1 77.3 92.3 137.6 147.0 180.8 182.7 188.5 223.2];

6

7 % Menampilkan grafik

8 plot ( z, T, ’b*’ )

9 xlabel(’Kedalaman (meter)’);

10 ylabel(’Temeprature (Celcius)’);

11 title(’Variasi Temperatur terhadap Kedalaman’)


31/47

2.2. INVERSI MODEL GARIS 19

Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus

berikut ini:

m1 + m2zi = T i (2.1)

dimana m1 dan m2 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut

model matematika. Sedangkan m1 dan m2 disebut parameter model atau biasa juga disebut

unknown parameter. Pada model matematika di atas terdapat dua buah parameter model,

(M = 2). Sementara jumlah data observasi ada empat, (N = 10), yaitu nilai-nilai kedala-

man, zi, dan temperatur, T i. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur

dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 + m2z1 = T 1

m1 + m2z2 = T 2

m1 + m2z3 = T 3

m1 + m2z4 = T 4

m1 + m2z5 = T 5

m1 + m2z6 = T 6

m1 + m2z7 = T 7

m1 + m2z8 = T 8

m1 + m2z9 = T 9m1 + m2z10 = T 10

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

1 z5

1 z6

1 z7

1 z8

1 z9

1 z10

m1m2

=

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

T 7

T 8

T 9

T 10

(2.2)

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (2.3)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-


32/47


patkan nilai m1 dan m2 pada vektor kolom m? Manipulasi1 berikut ini bisa menjawabnya

GT

Gm = GT

d (2.4)

dimana T disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:

GT Gm = GT d

[GT G]−1GT Gm = [GT G]−1GT d

m = [GT G]−1GT d (2.5)

1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu GT

G =

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

1 z5

1 z6

1 z7

1 z8

1 z9

1 z10

⇒ GT =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10

2. Lakukan perkalian matriks GT G

GT G =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

1 z5

1 z6

1 z7

1 z8

1 z9

1 z10

=

N

zi

zi

z2i

dimana N = 10 atau sesuai dengan jumlah data observasi; sementara i = 1, 2, 3, ..., 10.

1Matrik G biasanya tidak berbentuk bujursangkar. Akibatnya tidak bisa dihitung nilai invers-nya. Denganmengalikan matrik G dan transpose matrik G, maka akan diperoleh matrik bujursangkar


33/47


34/47


8 G = [1 z(1) ;

9 1 z(2) ;

10 1 z(3) ;

11 1 z(4) ;

12 1 z(5) ;

13 1 z(6) ;

14 1 z(7) ;

15 1 z(8) ;

16 1 z(9) ;

17 1 z(10) ];

18

19 % Perhitungan inversi

20 m = inv(G’*G)*G’*T’

Demikianlah contoh aplikasi teknik inversi untuk menyelesaikan persoalan model garis.

Anda bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki

bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu model garis:

y = m1 + m2x. Selanjutnya mari kita pelajari inversi model parabola.

2.3 Inversi Model Parabola

Kembali kita ambil contoh variasi temperatur terhadap kedalaman dengan sedikit modifikasi

data. Misalnya telah dilakukan sebanyak delapan kali (N = 8) pengukuran temperatur (T i)

pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pengukuran yang diperoleh adalah: Lalu ki-

Tabel 2.2: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman

Pengukuran ke-i Kedalaman (m) Temperatur (OC )

1 z1 = 5 T 1 = 21, 752 z2 = 8 T 2 = 22, 683 z3 = 14 T 3 = 25, 624 z4 = 21 T 4 = 30, 87

5 z5 = 30 T 5 = 40, 56 z6 = 36 T 6 = 48, 727 z7 = 45 T 7 = 63, 758 z8 = 60 T 8 = 96

ta berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap kedalaman memenuhi model matematika

berikut ini:

m1 + m2zi + m3z2

i = T i (2.8)

dimana m1

, m2

dan m3

adalah unknown parameter

. Jadi pada model di atas terdapat tiga buah model parameter, (M = 3). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai tem-

peratur T 1, T 2,..., dan T 8. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur dan

kedalaman sebagai sistem persamaan simultan yang terdiri atas 8 persamaan (sesuai dengan


35/47

2.3. INVERSI MODEL PARABOLA 23

jumlah data observasi):

m1 + m2z1 + m3z2

1 = T 1

m1 + m2z2 + m3z2

2 = T 2

m1 + m2z3 + m3z2

3 = T 3

m1 + m2z4 + m3z2

4 = T 4

m1 + m2z5 + m3z2

5 = T 5

m1 + m2z6 + m3z2

6 = T 6

m1 + m2z7 + m3z2

7 = T 7

m1 + m2z8 + m3z2

8 = T 8


1 z1 z21

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z2

7

1 z8 z28

m1

m2

m3

=

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

T 7

T 8

(2.9)

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (2.10)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-

patkan nilai m1, m2 dan m3 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (2.11)

dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:


36/47


1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt

G =

1 z1 z2

1

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z27

1 z8 z28

⇒ Gt =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21

z22

z23

z24

z25

z26

z27

z28

2. Tentukan GtG

GtG =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21

z22

z23

z24

z25

z26

z27

z28

1 z1 z21

1 z2 z22

1 z3 z23

1 z4 z24

1 z5 z25

1 z6 z26

1 z7 z27

1 z8 z28

=

N

zi

z2izi

z2i

z3i

z2i

z3i

z4i

dimana N = 8 dan i = 1, 2, 3, ..., 8.

3. Kemudian tentukan pula Gtd

Gtd =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21

z22

z23

z24

z25

z26

z27

z28

T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

T 6

T 7

T 8

=

T i

ziT iz2i T i

4. Sekarang persamaan (2.16) dapat dinyatakan sebagai

N

zi

z2izi

z2i

z3i

z2i

z3i

z4i

m1

m2

m3

=

T i

ziT iz2i T i

(2.12)


37/47

2.4. INVERSI MODEL BIDANG 25

Berdasarkan data observasi pada tabel di atas, diperoleh

8 219 8547219 8547 3934238547 393423 19787859

m1m2

m3

= 349, 8912894, 81

594915, 33

(2.13)

Program Matlab telah menyediakan sebuah baris perintah untuk menghitung elemen-

elemen m, yaitu

m=inv(G’*G)*G’*d

Sehingga operasi matriks di atas akan menghasilkan nilai m1 = 21, m2 = 0, 05 dan m3 =

0, 02.

Demikianlah contoh aplikasi teknik inversi untuk menyelesaikan persoalan model parabola.

Anda bisa mengaplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki

bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu model garis:

y = m1 + m2x + +m3x2. Selanjutnya mari kita pelajari inversi model bidang atau model 2-

dimensi (2-D).

2.4 Inversi Model Bidang

Dalam catatan ini saya belum sempat mencari contoh data observasi yang sesuai untuk model2-dimensi. Maka, saya ingin langsung saja mengajukan sebuah model matematika untuk 2-

dimensi berikut ini:

m1 + m2xi + m3yi = di (2.14)

dimana m1, m2 dan m3 merupakan unknown parameter yang akan dicari. Adapun yang berlaku

sebagai data adalah d1, d2, d3,...,di. Berdasarkan model matematika tersebut, kita bisa ny-

atakan

m1 + m2x1 + m3y1 = d1

m1 + m2x2 + m3y2 = d2

m1 + m2x3 + m3y3 = d3...

......

......

m1 + m2xN + m3yN = dN


1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

m1

m2

m3

=

d1

d2

d3...

dN


38/47


39/47

2.5. CONTOH APLIKASI 27

5. Sampai disini, jika tersedia data observasi, maka anda tinggal memasukan data tersebut

ke dalam persamaan di atas, sehingga nilai elemen-elemen m dapat dihitung dengan

perintah matlab


Langkah-langkah selanjutnya akan sama persis dengan catatan sebelumnya (model lin-

ear dan model parabola)

Anda bisa mengaplikasikan data pengukuran yang anda miliki, dengan syarat kasus yang

anda tangani memiliki bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan

ini, yaitu memiliki tiga buah model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan

bidang (atau 2-dimensi): d = m1 + m2x + m3y.

2.5 Contoh aplikasi

2.5.1 Menghitung gravitasi di planet X

Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera mengelu-

arkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu

vertikal ke atas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis adalah sebagai berikut

Plot data pengukuran waktu vs ketinggian diperlihatkan pada Gambar 2.2. Anda diminta un-

Tabel 2.3: Data ketinggian terhadap waktu dari planet X

Waktu (dt) Ketinggian (m) Waktu (dt) Ketinggian (m)

0,00 5,00 2,75 7,620,25 5,75 3,00 7,250,50 6,40 3,25 6,770,75 6,94 3,50 6,201,00 7,38 3,75 5,521,25 7,72 4,00 4,731,50 7,96 4,25 3,851,75 8,10 4,50 2,862,00 8,13 4,75 1,772,25 8,07 5,00 0,582,50 7,90

tuk membantu proses pengolahan data sehingga diperoleh nilai konstanta gravitasi di planet

tersebut dan kecepatan awal batu. Jelas, ini adalah persoalan inversi, yaitu mencari unkown

parameter (konstanta gravitasi dan kecepatan awal batu) dari data observasi (hasil foto gerak

sebuah batu).

Langkah awal untuk memecahkan persoalan ini adalah dengan mengajukan asumsi model

matematika, yang digali dari konsep-konsep fisika, yang kira-kira paling cocok dengan situasi

pengambilan data observasi. Salah satu konsep dari fisika yang bisa diajukan adalah konsep


40/47


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (detik)

T i n g g i ( m e t e r )

Gambar 2.2: Grafik data pengukuran gerak batu

tentang Gerak-Lurus-Berubah-Beraturan (GLBB), yang formulasinya seperti ini

ho + vot − 1

2gt2 = h

Berdasarkan tabel data observasi, ketinggian pada saat t = 0 adalah 5 m. Itu artinya ho = 5 m.

Sehingga model matematika (formulasi GLBB) dapat dimodifikasi sedikit menjadi

vot − 1

2 gt2

= h − ho (2.18)

Selanjut, didefinisikan m1 dan m2 sebagai berikut

m1 = vo m2 = −1

2g (2.19)

sehingga persamaan model GLBB menjadi

m1ti + m2t2

i = hi − 5 (2.20)

dimana i menunjukkan data ke-i.

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap elemen matrik kernel, yaitu dengan


41/47

2.5. CONTOH APLIKASI 29

memasukan data observasi kedalam model matematika (persamaan (2.20))

m1t1 + m2t2

1 = h1 − 5m1t2 + m2t

2

2 = h2 − 5

m1t3 + m2t2

3 = h3 − 5

...... =

...

m1t20 + m2t2

20 = h20 − 5


t1 t21

t2 t22t3 t

23

t4 t24

......

t19 t219

t20 t220

m1

m2

=

h1 − 5h2 − 5

h3 − 5...

h19 − 5

h20 − 5

Operasi matrik di atas memenuhi persamaan matrik

Gm = d

Seperti yang sudah dipelajari pada bab ini, penyelesaian masalah inversi dimulai dari pros-

es manipulasi persamaan matrik sehingga perkalian antara Gt dan G menghasilkan matriks

bujursangkar

GtGm = Gtd (2.21)

Selanjutnya, untuk mendapatkan m1 dan m2, prosedur inversi dilakukan satu-per-satu

1. Menentukan transpos matrik kernel, yaitu Gt

G =

t1 t21

t2 t22

t3 t23

t4 t24

... ...

t19 t219

t20 t220

⇒ Gt = t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t2

1 t2

2 t2

3 t2

4 . . . t2

19 t2

20


42/47


2. Menentukan GtG

GtG =

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21

t22

t23

t24

. . . t219

t220

t1 t2

1

t2 t22

t3 t23

t4 t24

......

t19 t219

t20 t220

=

t2i

t3i

t3i

t4i

dimana N = 20 dan i = 1, 2,...,N .

3. Kemudian menentukan hasil perkalian Gt

d

Gtd =

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21

t22

t23

t24

. . . t219

t220

h1

h2

h3

h4...

h19

h20

=

tihit2i hi

4. Sekarang persamaan (2.21) dapat dinyatakan sebagai

t2i

t3i

t3i

t4i

m1

m2

=

tihit2i hi

(2.22)

Berdasarkan data observasi, diperoleh

179, 4 689, 1

689, 1 2822, 9

m1

m2

=

273, 7

796, 3

Hasil operasi matriks ini dapat diselesaikan dengan satu baris statemen di matlab yaitu


Hasil inversinya adalah nilai kecepatan awal yaitu saat batu dilempar ke atas adalah sebesar

m1 = vo = 3,2009 m/dt. Adapun percepatan gravitasi diperoleh dari m2 dimana m2 = −1

2g =

-0,8169; maka disimpulkan nilai g adalah sebesar 1,6338 m/dt2.

Gambar 2.3 memperlihatkan kurva hasil inversi berserta sebaran titik data observasi. Garis

berwarna biru merupakan garis kurva fitting hasil inversi parabola. Sedangkan bulatan berwar-

na merah adalah data pengukuran ketinggian (m) terhadap waktu (dt). Jelas terlihat bahwagaris kurva berwarna biru benar-benar cocok melewati semua titik data pengukuran. Ini me-

nunjukkan tingkat akurasi yang sangat tinggi. Sehingga nilai kecepatan awal dan gravitasi

hasil inversi cukup valid untuk menjelaskan gerak batu di planet X.


43/47

2.6. KESIMPULAN 31

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (dt)

K e t i n g g i a n ( m )

Gambar 2.3: Grafik hasil inversi parabola

2.6 Kesimpulan

Dari sejumlah contoh pada bab ini, terlihat bahwa matrik kernel kerap kali berubah-ubah,

sesuai dengan model matematika. Jadi, model matematika secara otomatis akan mempen-

garuhi bentuk rupa matrik kernelnya.


44/47


45/47

Daftar Pustaka

[1] Burden, R.L. and Faires, J.D., (2001), Numerical Analysis, Seventh Edition, Brooks/Cole,

Thomson Learning Academic Resource Center.

[2] Haliday and Resnick, (2001), Fundamental of Physics, Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-

demic Resource Center.

33


46/47


47/47

Indeks

Positive-definite, 5

Transpose, 3

Tridiagonal, 4

Vektor-baris, 6

Vektor-kolom, 6

metode matematika untuk geofisika

Documents