MAKALAH

KAIDAH SEGI EMPAT DAN KOMPOSISI SIMPSON 3/8

DISUSUN OLEH :

Nama : 1. Muhammad Syaifudin (5140411083)

2. Arif Aminudin (5140411084)

Prodi : Teknik Informatika (B)

TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS BISNIS DAN TEKNOLOGI INFORMASI

UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA

2015/2016

KAIDAH SEGIEMPAT

Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x=x0 sampai x=x1

Luas satu pias adalah tinggi pias=f ( x0 )

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ h f ( x0 )

Atau (tinggi pias=f ( x1 ))

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ h f ( x1 )

jadi :

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ h f ( x0 )

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ h f ( x1 )

___________________ +

2∫x0

x1

f ( x ) dx ≈ h [ f ( x0 )+ f ( x1) ]

Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan 2, untuk menghasilkan :

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ h2 [f ( x0 )+ f ( x1 ) ]

Persamaan diatas ini dinamakan kaidah segiempat. Kaidah segiempat untuk satu pias

dapat kita perluas untuk menghitung

I=∫a

b

f ( x ) dx

yang dalam hal ini, I sama dengan luas daerah integrasi dalam selang [ a , b ]. Luas daerah

tersebut diperoleh dengan membagi selang [ a ,b ] menjadi n buah pias segiempat dengan

lebar h, yaitu pias dengan absis [ x0 , x1 ] , [ x1 , x2 ] , [ x2 , x3 ] ,... ,

dan pias [ xn −1 , xn ]. Jumlah luas seluruh pias segiempat itu adalah hampiran luas I .Kaidah

integrasi yang diperoleh adalah kaidah segiempat gabungan

∫a

b

f ( x )dx ≈ hf ( x0)+hf ( x1 )+hf ( x2 )+…+hf ( xn− 1 )

∫a

b

f ( x )dx ≈ hf ( x1 )+hf ( x2 )+hf ( x3 )+…+hf ( xn )

_________________________________________________ +

2∫a

b

f ( x ) dx ≈ hf ( x0 )+2 hf ( x1 )+2 hf ( x2 )+…+2 hf ( xn −1 )+hf ( xn )

Bagi setiap ruas persamaan hasil penjumlahan di atas dengan 2, untukmenghasilkan:

∫a

b

f ( x )dx ≈ h2

f ( x0 )+h f ( x1 )+h f ( x2 )+…+h f ( xn−1 )+ h2

f ( xn )

Jadi kaidah segiempat gabungan adalah:

f 0+2∑i=1

n− 1

f 1+ f n

f ( x ) dx ≈ h2 ( f 0+2 f 1+2 f 2+…+2 f n − 1+ f n )=h

2

∫a

b

❑

¿x

f (r ) , r=0,1,2 ,…,ndengan f r=¿

¿

Program Kaidah Segi Empat

Procedure segiempat (a, b : real; n:integer; var I : real);

{ Menghitung integrasi f(x) di dalam selang [a,b] dan julah pias adalah n dengan

menggunakan kaidah segiempat.

K.Awal : nilai a, b, dan n sudah terdefinisi

K.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah segi-empat.

}

var

h, x, sigma:real;

r : integer;

begin

h:=(b-a)/n; {lebar pias}

x:=a; {awal selang integrasi}

I:=f(a) + f(b);

sigma:=0;

for r:=1 to n-1 do

begin

x:=x+h;

sigma:=sigma + 2*f(x);

end;

I:=(I+sigma)*h/2; {nilai integrasi numerik)

End;

KAIDAH DAN KOMPOSISI SIMPSON 3/8

Sepeti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat

ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula.

Mislkan sekarang fungsi f ( x ) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas

daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah dibawah kurva

polinom derajat 3 tersebut parabola (Gambar 6.11). Untuk membentuk polinom interpolasi

derajat 3, dibutuhkan 4 biuah titik data, misalkan titik-titik tersebut

(0 , f (0 ) ) , ( h , f (h ) ) , (2h , f (2 h ) ) ,dan(3 h , f (3 h ) ) ..

Dengan cara penurunan yang sama seperti kaidah Simpson 1/3, diperoleh

∫0

3 h

f ( x )dx ≈ 3 h8 (f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )

Yang merupakan Kaidah Simpson 3/8

Galat kaidah Simpson 3/8 adalah

E ≈ − 3 h8

h5 f 0(iv ) (t ) , 0<t<3h

Jadi kaidah simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat di nyatakan sebagai

∫0

3 h

f ( x )dx ≈ 3 h8 (f 0+3 f 1+3 f 2+ f 3 )+O ( h5 )

Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah

∫a

b

f ( x )dx ≈ 3 h8 ( f 0+3 ∑

i=1i≠ 3,6,9

n− 1

f i+2 ∑i =3,6,9 ,…

n −3

f i+ f n)Namun penggunaan kaidah simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus

kelipatan tiga

Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah

Etot=− (b−a )h4

80f (iv ) (t ) , a<t <b

Etot=O (h4 )

Jadi, kaidah Simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

∫a

b

f ( x )dx ≈ 3 h8 ( f 0+3 ∑

i=1i≠ 3,6,9

n− 1

f i+2 ∑i =3,6,9 ,…

n−3

f i+ f n)+O ( h4 )

kaidah Simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah Simpson 1/3.

Namun dalam praktek, kaidah Simpson 1/3 biasanya lebih disukai dari pada kaidah

Simpson 3/8, karena dengan tiga titik (Simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang

sma dengan 4 titik (Simpson 3/8). Tapi, untuk n kelipatan tiga, kita hanya dapat

menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan kaidah Simpson 1/3

Metode Integrasi Numerik untuk h yang berbeda-beda

Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap,gunakan kaidah 1/3

simpson

Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga, gunakan

kaidan 3/8

Untuk sejumlah upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya gunakan kaidah

trapezium

Bentuk umum Metode Newton-Cotes

Bentuk umum metode Newton-cotes dapat di tulis sebagai

∫a

b

f ( x )dx=α h [w0 f 0+w1 f 1+w2 f 2+…+wn f N ]+E

Program Kaidah Simpson 3/8

Procedure simpson_3per8 (a, b :real; n:integer; var I:real);

{ Menghitung integrasi f(x) dalam selang [a,b] dengan jumlah pias n (n harus kelipatan

tiga)

K.Awal : harga a,b, dan n sudah terdefinisi(n kelipatan 3).

K.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah simpson 3/8.

}

var

h,x,sigma:real;

r:integer;

begin

h:=(b-a)/n; {jarak antara titik}

x:=a;

I:=f(a)+f(b); {Awal selang integrasi}.

Sigma:=0;

for r:=1 to n-1 do

begin

x:=x+h;

if r mod 3 = 0 then {r=3, 6, 9, ..., n-3}

sigma:=sigma + 2*(f x

else

Sigma:=sigma+ 3*f(x);

end;