PENGERTIAN UMUMMetode matrik adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang bersamaan dengan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan aritmatika.

kesetimbanganhubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasikompatibiliti,atau kontinuitas dari deformasi

metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method )metode fleksibilitas (flexibility method, atau force method)

Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan, dinyatakan secara matematis := gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat adanya lendutan. = lendutan pada titik-titik diskrit= menyatakan kekakuan dari struktur

kompabiliti; yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut.

persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-elemen pada struktur tersebut.

kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik diskrit dengan gaya-gaya dalam atau mencari berapa besar gaya luar di ujung elemen-elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen titik-titik diskrit.

matrik deformasi suatu matrik yang menyatakan hubungan kompatibiliti atau hubungan deformasi dan lendutan :dimana : = menyatakan deformasi dari elemen struktur = adalah matrik deformasi= menyatakan lendutan ditik diskrit

dimana :

= menyatakan gaya dalam elemen = adalah matrix kekokohan intern elemen= menyatan deformasi elemen

= dimana : = menytakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit = matrix statis = gaya dalam elemenMaka ketiga matrix di atas digabungkan, maka akan didapatkan hubungan :

Jadi salah satu tujuan terminal yang penting adalah proses analisa ini ialah dapat menurunkan matrik kekakuan struktur

Selanjutnya akan mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisa lendutan dan gaya dalam elemen.

Untuk analisa ini akan dimulai dengan mengambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai sasaran yang harus dihitung.

Untuk mengetahui dimana harus dipasang besaran lendutan yang akan dicari tersebut, maka harus diketahui dahulu beberapa derajat ketidak tentuan kinematis atau istilah lainnya derajat kebebasan (degree of freedom) dari struktur.

Derajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadiyang berhubungan dengan diberikannya suatu pembebanan pada struktur. Di bawah ini diberikan beberapa macam struktur bidang yang akan ditujukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.

(a)

(b)

(c)

struktur

Komponen bebas dari lendutan di titik pertemuan

Derajat ketidak-tentuan kinematis

D1

D2

D3

3 Dengan mengabaikan deformasi aksial dari eleme

D4

7

6

D1

D2

D3

D6

D4

D5

D7

D1

D3

D6

D5

D1

D2

D3

D4

D6

D5

D7

D8

D9

D10

D11

D12

12

(d)

(e)

(f)

(g)

Gambar 1.1 derajat ketidak-tentuan kinematis dari struktur ditunjukkan oleh banyaknya vector lendutan yang mungkin terjadi di titik bebas, dimana arah vector pada gambar menunjukkan arah vector yang positif.

DASAR PERHITUNGANDalam bab ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisa dari suatu konstruksi bidang (dua dimensi) dengan berdasarkan pada metode kekakuan.Sekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti ditunjukkan pada gambar 2.(a) selanjutnya akan diikuti urutan dari proses analisa.gambar konstruksi statis tak tentu

(b) derajat ketidak-tentuan kinematis : 3(c) diagram gaya luar ekivalen yang koresponding dengan lendutan D sebagai pengganti darisistem pembebanan pada gambar (a)(d) Struktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang

D1

D2

D3

D1

D2

D3

Q1

Q2

Q3

EI1

EI2

EI3

L1

L2

L3

(e) diberikan = 1 satuan(f) diberikan =1 satuan(g) diberikan =1 satuan

D1

d3

d2

d5

D2

d4

d6

D3

(h) diagram H-d, dimana merupakan reaksi elemen yang dikekang terhadap diberikannya deformasi.(i) diagram kesetimbanganGambar 1. 2 Analisa balok di atas beberapa perletakan.

d1

d2

d3

d4

d5

d6

H1

H2

H3

H4

H5

H6

H6

Q1

Q2

Q3

H2

H3

H4

H5

Langkah pertama ialah menyelidiki kompatibilitas dari struktur, dengan jalan memberikan berturut-turut lendutan dan (gambar 2.e, 2.f, dan 2.g).Mudah dapat kita lihat, bahwa :

atau disusun secara sistematis :bila dinyatakan dalam hubungan matrix : atau

Langkah kedua ialah menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit, seperti pada gambar 2.h.Dari sifat elastis elemen, didapatkan hubungan :

d1

d2

d3

d4

d5

d6

H1

H2

H3

H4

H5

H6

dimana := menyatakan deformasi yang terjadi di ujung elemen= menyatakan gaya dalam yang ada di ujung elemen, dalam hal ini momen lentur diinverskan, akan didapat :

Bila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matrix, maka :

atau :dimana matrix merupakan matrix :

Langkah ketiga adalah menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam :Melihat gambar

atau :dimana :Bila dinyatakan secara matrik :

Satu hubungan terminal, adalah mendapatkan hubungan :Dimana :untuk mendapatkan lendutan, maka dapat diinverskan sebagai :dimana := menyatakan gaya-gaya luar yang bekerja di titik-titik diskrit.menyatakan lendutan di titik bersangkutan yang berkoresponding dengan gaya .

ternyata didapatkan :prinsip kerja virtual. gaya luar virtualb. lendutan aktuilGamabar 1.3 konstruksi balok menerus pada mana dikerjakan gaya virtual.

Q*

D

Misalnya pada konstruksi yang sedang dibahas tersebut dikerjakan gaya virtual gambar (1.3a ) sehingga timbul gaya dalam pada elemennya, maka dari prinsip kerja virtuil akan didapatkan hubungan (yang dinyatakan dalam perkalian matrix). dengan melihat :

maka persamaan ( ) bisa ditulis ;Bila disederhanakan, akan memberikan :Dengan demikian persamaan, bisa ditulis :

Dengan demikian persamaan telah dipermudahkan, yaitu untuk menurunkan matrix kekakuan cukup hanya menurunkan dua matrik penbentuknya, yaitu matrix deformasi dan matrix kekokohan intern elemen . Untuk menghitung gaya dalam digunakan hubungan :atau

= matrik lendutan dititik diskrit.dimana :

selanjutnya akan diberikan beberapa contoh pemakaian metode kekakuan ini pada analisa struktur.Contoh 3.1 Di bawah ini akan dibahas secara singkat analisa dengan metode kekakuan dengan derajat ketidak-tentuan kinematik tingkat 1.

600 kg/mABCa. konstruksi yang akan dianalisab. konstruksi dasar yang dikekang c. momen primer (fixed-end moment)

6 m

4 m

EI

EI

-5000

+5000

-3200

+3200

Momen primer : d. derajat ketidak-pastian kinematis : 1e. gaya luar ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan .

D1

Q1=1800kg.m

f. diberikan satuan g. diagram H - d

D1

d3

d2

H3

d3

d4

H2

d2

d1

H4

h. diagram kesetimbangan

Gambar 1.4 balok diatas tiga tumpuanMelihat gambar 1.4 (f), dengan mudah akan didapatkan :

H3

H2

dari gambar 1.4 (g) :

dari persamaan: = =

Dengan mengubah gaya Q menjadi gaya titik ekivalen di ujung elemen (gambar 1.4.c dan e) dan dengan melihat persamaan (1.25) : dari persamaan (1.36) :

Gambar 1.5 Distribusi gaya dalam

hasil yang ditunjukkan oleh gambar 1.5 ialah menyatakan besarnya momen lentur (dalam hal ini sebagai momen batang, bukan sebagai momen titik) yang didistribusikan ke batang elemen AB dan BC sesuai dengan kekakuan masing-masing . jadi gaya dalam yang didapat dari hasil perhitungan ini bukan merupakan memen lentur yang sebenarnya bekerja.

Momen lentur yang sebenarnya bekerja bisa diperoleh dengan mengurangi gaya dalam dengan momen primer elemen struktur.

Penting untuk dicatat pula di sini, bahwa hasil momen akhir ini juga menyatakan momen batang bukan momen titik.Contoh 1.2 Sebagai contoh kedua akan dibahas suatau konstruksi kinematis tertentu seperti pada gambar 1.6 (a). a. konstruksi yang akan dianalisa dengan beban

b. struktur dasar yang dikekang c. derajat ketidak-tentuan kinematis : 2(d) diberikan = 1 satuan

d4

d3

d2

d1

D1

e. diberikan = 1 satuan f. diagram H-d

g. diagram kesetimbanganGambar 1.6 balok di atas 2 tumpuan

H3+H4

H1+H2

6

4

Langkah pertama yang dilakukan ialah menganggap konstruksi ini terdiri atas dua elemen diskrit. AC dan CB ( gambar 3.6 b). titik C segai titik diskrit mempunyai dua derajat kebebasan, yaitu translasi dan rotasi. Melihat gambar 3.6, akan didapat hubungan-hubungan sebagai berikut :

d4

d3

d2

d1

D1

selanjutnya dihitung matrix kekakuan :

selanjutnya akan bisa dihitung gaya dalam :

= EI = EI

Gambar 1.7 Distribusi gaya dalam Maka didapatkan hasil analisa ;

Bila dibandingkan hasil ini dengan rumus yang sudah diketahui :Ternyata hasilnya sama

Contoh 1.3Pada contoh soal selanjutnya ini, akan diperlihatkan bagaimana proses analisa bila konstruksi pada contoh 1.2 dikombinasikan dengan suatu perletakan elastis di titik C.(a) konstruksi yang akan dianalisa, dengan satu perletakan elastis dimana k = 0.5 EI

(b) derajat ketidak-tentuan kinematsi : 2(c) deberikan = 1 satuan

d4

d3

d2

d1

D1

(d) gaya ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan (e) penyederhanaan dari gambar (d)Gambar 1.8 konstruksi balok menerus di atas perletakan elastis.

kD1

D1

Q=-1000

kD1

Q=-1000-kD1

Persoalan pada contoh ini sebenarnya sama dengan contoh 1.2, karena memunyai elemen batang yang sama dengan derajat kebebasan yang sama pula . maka proses analisa tidak akan mendetail dibahas lagi disini, dan langsung akan matrik kekakuan :Proses selanjutnya akan terlihat adanya perbedaan dengan analisa contoh soal yang lalu, yaitu dalam menetapklan vector gaya yang bekerja, yang disamping ditentukan oleh gaya luar yang dikethui juga dipengaruhi oleh gaya pegas

berdasarkan hasil lendutan dan yang didapat, bisa dihitung gaya dalam yang timbul pada elemen struktur.

Dengan demikian didapatkan hasil analisa :

Dalam hal ini akan dibahas analisa dari konstruksi portal bidang. Diketahui dua macam konstruksi portal bidang , yaitu portal tanpa penggoyangan dan portal dengan penggoyangan, seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2. Dalam pasal ini akan dicoba dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan, dimana deformasi aksial dari elemen-elemennya diabaikan.

Portal tanpa penggoyangan.b. portal menerus tanpa pergoyangan

(c) portal dengan penggoyangan Gambar 1.2 konstruksi portal dengan titik hubung kaku

Contoh 1.1 Dalam pasal ini akan dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan, dimana deformasi aksial dari elemen-elemennmya diabaikan. (a) portal bidang yang akan dianalisa, dengan bentuk konstruksi dan system pembebanan yang simetris

600kg

600kg

Q=300kg/m

EI

EI

5 m

A

B

C

C

2 m

3 m

( b) struiktur dasar yang dikekang Momen primer :

B

C

D

A

cMomen primer

B

C

D

A

432

625

625

432

288

288

d. derajat ketidak-pastian kinematis : 2e. gaya ekivalen dititik yang koresponding dengan lendutan D

D1

D2

Q1=-193

Q2=-193

f. diberikan D =1 satuan

C

D1

d3

d2

g. diberikan = 1 satuan

h. Diagram H-d

d5

d4

D2

H1

d1

H2

H3

d2

d3

d4

H4

H5

d5

d6

H6

(i ) diagram kesetimbangan Gambar 1.3 Portal simetrisDengan memperhatikan gambar 1.3 akan didapatkan :

H3

H2

Q1

Q2

H5

H4

=

Dengan demikian : =

Dengan mengubah gaya-gaya luar menjadi gaya ekivalen terpusat di ujung elemen atau di titik-titik diskrit ( 1. 3.c dan e ), dan dengan melihat persamaan := =

Jadi putaran sudut dititik B dan C ialah sebesar :Dari persamaan ( 1.36)=

= Melihat momen primernya pada gambar (1.3.c), maka akan didapat :

a. Portal yang dianalisa

400kg

q= 600kg/m

A

B

C

D

F

G

2EI

2EI

2EI

EI

EI

2.00

2.00

1.00

5.00

5.00

2.00

1000kg

b. Struktur dasar yang dikekangMomen primer :

A

B

E

F

b. Momen primer c. Derajat ketidak-tentuan kinematsi : 2 (deformasi aksial diabaikan)

500

800

1250

1250

1250

500

1250

D1

D2

d. Gaya ekivalen Q dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan D e. Diberikan = 1 satuan

Q1=-450

Q2=-500

g. Diberikan = 1 satuanh. Diagram H-d Gambar 1.4 Portal menerus tanpa penggoyangan

H3

H2

H1

H6

H4

H7

H5

d1

d2

d3

d4

d5

d6

d7

d8

Dimulai dengan menghitung matrik dan

Matrik kekakuan struktur dapat dihitung berdasarkan persamaan :

=

Dengan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur maka akan didapat :

Sekarang ditinjau apakah kesetimbangan dititik-titik pertemuhan terpenuhi : = -126.27-800+926.27 = 0 (terpenuhi) = -1518.64 + 411.02 + 1107.62 = 0 (terpenuhi)

Setelah matrik kekakuan struktur di atas disusun sesuai dengan kebutuhan yaitu untuk mendapatkan matrik yang berukuran 3 x 3, maka dilakukan kondensasi statik. Matrik setelah dikakukan kondensasi adalah :

Setelah pada pasal yang lalu dibahas analisa portal tanpa penggoyangan, sekarang akan dicoba menganalisa kostruksi portal dengan pergoyangan, dimana deformasi aksial masih diabaikan. Contoh 1 :Di bawah ini diberikan satu contoh analisa portal sederhana dengan penggoyangan kesamping.

= Selanjutnya bisa dihitung matrik kekakuan struktur

= =

Dengan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur, maka akan didapat :

Contoh 2Dibawah ini akan dicoba menganalisa satu portal sederhana dengan pergoyangan sate arah yaitu mendataryang dikombinasikan dengan pegas, dengan kontanta pegas k. Beban-beban dan ukuran konstruksi diambil sama dengan contoh : 1.

untuk

Dengan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur , maka akan didapatkan :

Dengan memperhatikan gambar 3,14 dan memperhatikan bahwa deformasi aksial akibat diberikannya lendutan dan adalah sama dengan contoh-contoh yang lalu, maka akan dapat menurunkan matrik dan matrik .

Selanjutnya :

=

Momen akhir :

Pada pasal-pasal yang lalu, telah dibahas analisa struktur dengan sambungan kaku dimana deformasi normal masih diabaikan.Sekarang akan dapat dianalisa konstruksi rangka batang yang justru dianggap hanya mengalami deformasi normal (aksial) saja.Sebenarnya proses analisanya adalah sama dengan yang telah dilakukan pada pasal-pasal yang lalu, hanya berbeda pada cara memberikan vector lendutan, dimana hanya ada vector lendutan translasi saja, dan matrik S yang meyatakan hubungan gaya dalam dan deformasi, baik gaya dalam maupun deformasi yang timbul hanyalah bersifat aksial saja. Contoh terlihat di bawah ini.

Gamnbar 3.15 Konstruksi Rangka BatangMemperhatikan gambar 3.15, akan dengan mudah dapat ditentukan matrik , yaitu matrik yang menyatakan hubungan deformasi dan lendutan. Dari gambar 3.15 e, untuk

Dari gambar 4.15.f, untukDari gambar 4.15.g, untuk

Dari gambar 4.15.h, untuk Jadi matrik :

Sesuai dengan apa yang telah disinggung di bagian depan pada pasal ini, maka elemen-elemen pada konstruksi rangka batang ini hanya menderita deformasi aksial saja, yanmg dengan demikian hanya menimbulkan gaya dalam normal saja. Karena disini membahas konstruksi yang elastis, maka hokum Hooke akan berlaku karenanya Gambar 3.16 Batang yang menderita gaya normal H dan mengalami deformasi aksial d

d

L

AE

H

Dengan demikian :dimana menyatakan kekakuan aksial dari batang pada gambar.Dengan melihat persamaan ( ), maka jelas dapat diketahui bahwa matrik , akan terdirin dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :

Dengan demikian sekaran sudah dapat dihitung matrik kekakuan , yaitu:

untuk menghitung lendutan dipakai persamaan :

Selanjutnya:

Jadi gaya batang nomor :

Gambar d, untuk

Gambar e, untuk

Gambar f, untuk Gambar g, untuk

Gambar h, untuk Jadi atrik :

Matrik terdiri dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :

Matrik kekakuan :

Lendutan yang terjadi :

Selanjutnya :

Jadi dapat gaya-gaya ;