BAB IPENDAHULUANA. Latar BelakangKalkulus lanjut merupakan mata kuliah lanjutan dari kalkulus I yang telah dipelajapada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup, sehingga mahasiswa sangat dituntut untuk memiliki keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun dituntut aktif mencari bahan materi yang dipelajari.Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan diskusi diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa kebih menjadi maksimal. insyaAllah. B. Rumusan Masalah1. Apa itu Turunan Persial?2. Apakah kegunaan dan lambang dari Turunan Persial?3. Apa itu keterdeferensialan?4. Apa itu turunan total? C. Tujuan 1. Menjelaskan pengertian, kegunaan dan lambang turunan persial;2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; 3. Menjelaskan penyelesaian diferensial total. 4. Menjelaskan penyelesain turunan total.D. Manfaat1. Mahasiswa dapat apa itu turunan persial serta memahami penyelesaian turunan dengan aturan rantai baik itu dua variabel maupun banyak variabel;2. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih; 3. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian diferensian total dua variabel atau lebih.4. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan total5. Dapat menambah wawasan tentang pembelajaran turunanan persial, kegunaannya serta lambangnya.6. Sebagai sumber pembelajaran bagi seluruh kalangan yang membutuhkan makalah ini.STKIP PGRI Banjarmasin Kelas BanjarmasinKalkulus MultivariabelBAB IIPEMBAHASAN

A. Definisi, kegunaan, dan lambang turunan Persiala. Definisi Turunan PersialDalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.

1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

Contoh:

Tentukan fx dan fy fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2

Jawab:

Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.Contoh:1. z = 2x + y1.

z = ln 1. z = 1 2 1. xy + xz yz = 01. xy - e= 01. ln = 01. arc tan - 2z = 0Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:

Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.1. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah1. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh

=

dan

=

Asalkan limitnya ada.

Contoh :Tentukan turunan parsial pertama dari

a. z = Jawab

=

=

= .

=

=

=

=

=

=

=

= .

=

=

=

=

=

b. z = Sin (x+y)Jawab

=

=

=

= 2

= cos (x+y+)

= cos (x+y+) = 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)

=

=

=

= 2

= cos (x+y+)

= cos (x+) = 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

Asalkan limitnya ada.Contoh:1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini:

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.Jadi andaikan z = F(x,y) maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah Demikian pula, jika W = F(x,y,z)

Turunan parsial tingkat dua adalah

Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-nContoh

Tentukan dan dari fungsi berikut:1. z = Jawab

Dari z = , diperoleh

=

=

Sehingga

=

=

=

Dan =

= =

1. z = 1. z = sin 3x cos 4y b. Kegunaan Turunan PersialTurunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial.Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai

c. Lambang turunan parsialLambang bilangan persial adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf )

B. Differensial Total dan Turunan TotalDiferensial total dua variabel Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut: Contoh: 1). Misalkan z = x2y2 + x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya. Jawab = (2xy2 + 3x2 + y3 ) dx + (2x2y +3y2x)dy 2). Tentukan diferensial total untuk z= e- (x + Y) Jawab: = ( - e (x + y ))dx + (-1/2 e-1/2( x + y ))dy 2. Diferensia total tiga variabel Misalkan fungsi w = f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka diferensia total dari f dinyatakan dalam bentuk Contoh: 1). Carilah diferensial total dari w= 2x2 y + y2 x z +xz2 Jawab: = (4xy +y2z +z2)dx + (2x2 + 2yxz) dy + (y2x + 2 xz) dz 2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm , lebar 15 cm dengan kesalahan pengukuran 0,02 cm dan tinggi 10 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai pendekatan kesalahan pengukuran terbesar dari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya dalam persentase! Jawab: Misalkan panjang balok = x, lebar = y, dan tinggi = z, maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya adalah sebagai nilai pendekatan untuk . Jadi Diketahui =0,01 ,=0,02 =0,01 jadi kesalahan pengukuran pada panjang balok dx = 0,01 lebar dy= 0,02 dan tinggi =0,01. Jadi Jadi 8,5 3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjadi pada pengukuran volume balok adalah 8,5 cm3. Kemudian diketahui: Jadi kesalahan relative dari pengukuran volume balok adalah 3. Diferensial total n variable Jika z = f( x1 , x2,. xn ) maka Jika f(x1 , x2,. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,. xn bukan merupakan variabel independentMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

------------- (1) dan

------------- (2)Dari (1) dan (2) diperoleh:

dan Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz = + Bentuk di atas disebut diferensial total.Contoh.1. Jika r = dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang Differensial total

dr =

dimana dr , dx , dxdidapat

=

=

=

= cm1. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.Jawab. Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

I = I = I(r,h)

Diketahui r = 15 cm, h = 20, , Dengan definisi turunan totalI = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

= 2

Turunan Parsial Fungsi ImplisitTurunan Fungsi Implisit 2 Peubah Fungsi implisit dua peubah secara umum dinyatakan dengan F(x,y) = 0.Contoh 1. xy + yz + xz = 01. exy sin 1. x2 + y2 + z2 25 = 0

Untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial total.Karena f(x,y) = 0, maka df(x,y) = d(0)Atau

= 0

Carilah darib. f(x,y) = xy-ex sin y = 0 (fungsi implisit 2 peubah x dan y)

akan dicari , menurut definisi turunan total

=

= 1.

ln(x- arc tan = 0 (fungsi implisit 2 peubah x dan y)

=

=

=

Turunan Fungsi Implisit 3 Peubah Fungsi Implisit 3 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0Contoh:Contoh 1. xy + yz + xz = 01. exyz zsin 1. x2 + y2 + z2 25 = 0

Fungsi Implisit 4 PeubahBU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

1.

Atau ditulis dengan x+y+ 2uv = 0, x

2.

3. dan seterusnya.Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.

Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan .

Sehingga turunan parsialnya adalah dan seterusnya. Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.Contoh:1. Tentukan darix+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat

1----- 1

atau

2x---- 2

2x-0-y+0+2u atau 2u

Setelah di eliminasi didapat

= x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat

diturunkan terhadap (yang tidak boleh

1atau

1 -----(1)

2x atau

-------(2)Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh

1 ................................... . (2y-x)

. (2y) Didapat

(2y-x) 1

--------------------------------------------------------------- -

[(2y-x)-(2x-y)(2y)]= -2v(2y-x)+2u(2y)Diperoleh

=

1. Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan , dan

1. Mencari Persamaan 1)

.(1)

Persamaan 2)

.... (2) dikali dikali

Maka,

1. Mencari Persamaan 1)

.(1)

Persamaan 2)

(2) dikali dikali

Maka,

Jadi, , dan

Turunan Fungsi Implisit 6 peubah.

Bentuk Umumnya

u,v,dan w variable sejenis x,y, dan z variable sejenis

Contoh:

Atau

Akan dicari Dari persamaan di atas, diperoleh

1 - 0 2x Soal-soal.1. Carilah dari fungsi F(x,y,u,v) = = 0 dan F(x,y,u,v) = = 01.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

BAB IIILATIHAN SOALA. Turunan Persiala. Carilah turunan persial pertamanya1. z = ln 2. z = 36 x2 y23. z = 3 - 4. z = xy2 2x2 + 3y35. z = arc tan 6. F(x,y,z) = xy yz + xz7. F(x,y,z) = 8. F(x,y,z) = sin (xy) 2e9. F(x,y,z) = arc sin 2. Tentukan fx dan fy

1.

2.

3.

3. Tentukan fx, fy dan fz1.

2.

4. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat

a. +

= yz -

b. +

= xz -

c. Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y33. f(x,y) = tan-1(y2/x)4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)