mengenang jejak sebagian kecil bangsa indonesia yang ... · pdf fileberapakah m agar supaya...

1 |Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 2015

Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian

Sekolah Pada Awal Masa Kemerdekaan

UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS

TAHUN 1950

1. SMA 1950

Berapakah m agar supaya fungsi 2 2 2 2 1mx m x m selalu (definit) positif untuk tiap-tiap

nilai real dari x?

Solusi:

Syarat fungsi 2 2 2 2 1mx m x m selalu (definit) positif untuk tiap-tiap nilai real dari x adalah

0a dan 0D , sehingga

0m .... (1)

2

2 2 4 2 1 0D m m m

2 24 4 2 0m m m m

2 3 4 0m m

1 4 0m m

1 4m .... (2)

Dari (1) (2) diperoleh 0 4m .

2. PPT 1950

Salah satu akar dari 23 20 4 0x x a besarnya dua kali dari pada salah satu akar dari

22 3 3 0x x a . Hitunglah a.

Solusi:

Persamaan kuadrat 22 3 3 0x x a akar-akarnya adalah p dan q.

22 3 3 0p p a ... (1)

Persamaan kuadrat 23 20 4 0x x a akar-akarnya 2p dan r.

2 2 23 2 20 2 4 0 12 40 4 0 3 10 0p p a p p a p p a .... (2)

3 Persamaan – 2 Persamaan (2) menghasilkan:

11 11 0p a

p a

Sehingga,

22 3 3 0a a a

22 6 0a a

2 3 0a a

0atau 3a a

Jadi, nilai 3a .

3. HBS (Hogere Burger School)-AMS (Algemeene Middelbare School) 1950

Ditentukan: 2 22 1 3 4 0x a x a a . Buat harga a yangmana:

a. kedua akarnya nyata (real)?

b. jumlah kedua akar yang nyata itu positif?

c. hasilkali kedua akar yang nyata itu positif?

d. kedua akarnya positif?

Solusi:

a. Syarat keadua akarnya (real) adalah 0D .


2 22 1 4 1 3 4 0a a a

2 24 4 1 4 12 16 0a a a a

8 17 0a

17

8a

b. Syarat jumlah kedua akar yang nyata itu positif adalah 0D dan 1 2 0x x .

0D .

2 22 1 4 1 3 4 0a a a

2 24 4 1 4 12 16 0a a a a

8 17 0a

17

8a .... (1)

1 2 0x x

2 10

1

a

2 1 0a

1

2a .... (2)

Dari (1) (2) diperoleh 1 17

2 8a .

c. Syarat hasilkali kedua akar yang nyata itu positif adalah 0D dan 1 2 0x x

0D .

2 22 1 4 1 3 4 0a a a

2 24 4 1 4 12 16 0a a a a

8 17 0a

17

8a .... (1)

1 2 0x x 2 22 1 3 4 0x a x a a

2 3 40

1

a a

2 3 4 0a a

1 4 0a a

1atau 4a a .... (2)

Dari (1) (2) diperoleh 17

18

a atau 4a .

d. Syarat kedua akarnya positif adalah 0D , 1 2 0x x , dan 1 2 0x x .

0D .

2 22 1 4 1 3 4 0a a a

2 24 4 1 4 12 16 0a a a a

8 17 0a

17

8a .... (1)

17

8

41


1 2 0x x

2 10

1

a

2 1 0a

1

2a .... (2)

1 2 0x x 2 22 1 3 4 0x a x a a

2 3 40

1

a a

2 3 4 0a a

1 4 0a a

1atau 4a a .... (3)

Dari (1) (2) diperoleh 17

18

a .

4. PPT 1950

Ditentukan fungsi 2 2y x ax a . Buktikan bahwa grafik fungsi ini senantiasa memotong

sumbu X pada dua titik yang berlainan?

Solusi:

Syarat grafik fungsi 2 2y x ax a memotong di dua titik berlainan adalah 2 4 0D b ac .

2

4 1 2 0a a

2 4 8 0a a

2

4 4 1 8 16 0D

Karena diskriminan bentuk kuadrat 2 4 8a a kurang dari 0, maka untuk nilai a real grafik fungsi

2 2y x ax a memotong di dua titik berlainan.

5. SMA 1950

Dari deret ukur (deret geometri) turun tak terhingga dengan suku-suku real harga limit

jumlahnya sama dengan kuadrat suku pertama. Harga kebalikan suku kedua, harga

kebalikan suku ketiga, harga kebalikan suku keempat dikurangi dengan 8 merupakan deret

hitung (deret aritmetika). Tentukanlah suku pertama dan perbandingan (reden, rasio) dari

deret ukur tadi.

Solusi:

2

1

aS a

r

1a ar

1

1a

r

.... (1)

Deret hitung (deret aritmetika): 2 3 4

1 1 18

u u u .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

3 2 4 3

1 1 1 18

u u u u

2 3 2

1 1 1 18

arar ar ar

17

8

41

1

2


2 31 8r r ar r

2 312 1 8

1r r r

r

2 2 3 32 2 1 8r r r r r r

3 29 3 3 1 0r r r

23 3 1 3 1 0r r r

23 1 3 1 0r r

2 13 1 0(ditolak)atau

3r r

1 1 3

13 21

3

r a

6. PPT 1950

Pada sebuah deret ukur suku yang pertama ialah a dan perbandingannya (rasio) sama dengan

2 log 3x .

a. Untuk harga x yang manakah, maka ada had (limit) jumlah suku-suku deret itu?

b. Berapa besar limit itu?

Solusi:

a. 1r

2 log 3 1x

2 2log 3 log2x

3 2x

5x

b. Ambillah 1

rp

, sehingga

1 11

111

n

n

a r aS

r p

p

1lim 1

1 1 1 11 1 1

nn

a a a aS

rp

p p p

21 log 3

a

x

7. SMA bg B, 1950

Hitunglah x dari persamaan

a) 12

5 2 5550

log log52

xxx

b) 8 8 3

6

x

xx

a a

aa a

Solusi:

a) 12

5 2 5550

log log52

xxx

25 5 2 550log log5

2

xxx


2 2 4 2 55 2 5 5log

2

x x x

x

3 4 95 2 5x x x

3

3 9

2 51

2 5

x x

3 3 92 5 2 5x x

3

3 32 5 2 5x

3x

b) 8 8 3

6

x

xx

a a

aa a

8

38

6 2

x

x x

a a

aa a

8

3 68 2

x xx

a a

8 4 8

98

x x x

a a

5 8

98

x

a a

5 8

98

x

5 8 72x

5 80x

16x

8. SMA bg B, 1950

Sebuah parabool dengan puncak 1,2A

liwat titik 2,5B . Dari titik 2

1,3

C

dibuat

garis singgung pada parabool itu. Tentukan persamaan-persamaan parabool dan garis

singgung. Gambarkan kedua persamaan tersebut dalam satu grafik.

Solusi:

Persamaan parabolanya adalah 2

2 4

b Dy a x

a a

2

1 2y a x

2

2,5 1 2B y a x

2

5 2 1 2a

5 2a

3a

2 23 1 2 3 6 5y x x x

Ambillah persamaan garis singgungnya adalah y mx n .

2 21,

3 3C m n


2

3n m

2

3y mx m

223 6 5

3y mx m y x x

223 6 5

3mx m x x

23 3 2 9 18 15mx m x x

29 18 3 13 3 0x m x m

Syarat garis menyinggung parabola adalah 2 4 0D b ac , sehingga:

2

18 3 4 9 13 3 0m m

236 12 52 12 0m m m

2 16m

16 4m

Persamaan garis singgungnya adalah 2 2

4 4 4 43 3

y x x dan 2 1

4 4 4 33 3

y x x

9. SMA bg B, 1950

Carilah x (atau log x ) dari persamaan: 2log log15 1

log log log77 2

x

x xx x

Solusi: 2log log15 1

log log log77 2

x

x xx x

log15

log log 7log10log 7 2x x xx x x

log15log

log10 2

x

x

x

xx

x

log

log

158x

xx

x

Ambillah log xx y , sehingga

158y

y

2 8 15 0y y

3 5 0y y

X

Y

O 1

23 6 5y x x 1x

5

2

2 1 2

24 4

3y x

14 3

3y x


3 5y y

log log3 5x xx x

log log 3 log log 5x x x x

2 2log 3 log 5x x

log 3 log 5x x

10. PPT bg. B, 1950

Carilah x dalam

102

1 1log 3 log5

loglog

x x

xx

xx

.

Solusi:

102

1 1log 3 log5

loglog

x x

xx

xx

log 2 log 3 log5 log10x x x xx x

log 2 log 3 log5 log10 0x x x xx x

25 5 6log 0

10

xx x

2 5 61

2

x x

2 5 6 2x x

2 5 4 0x x

21 4 0x x

1(ditolak,bilanganpokok logaritma 1)atau 4(diterima)x x

11. PPT bg. B, 1950

Kalau ditentukan bahwa 5log 0,4x , hitunglah xy x .

Solusi:

Ambillah 5 0,4a , sehingga

1 1

log log0,4 0,6021 1 0,07965 5

a

1,2012a

log 1,2012 0,7988 2x

0,0629x

xy x

log log xy x

log logy x x

log 0,0629 0,7988 2 0,0756 0,9244 1y

0,8402y

12. SMA bg. B Peladjar Pedjuang, 1950

Carilah x dan y dari: 2 4 5 2 12 2 16x y x y

log log 3 4 log 2 log log 3 4 log 4x y x y

Solusi:


2 4 5 2 12 2 16x y x y 2 2 22 2

1632 2

x y x y

2 2 22 16 2 512x y x y

Ambillah 22x y p , sehingga

2 16 512 0p p

32 16 0p p

32 16p p

2 22 32(diterima) 2 16(ditolak)x y x y 2 52 2x y

2 5x y

5 2x y .... (1)

log log 3 4 log 2 log log 3 4 log 4x y x y

1

log log 3 4 log 2 log log 3 44

x y x y

1

log log 3 4 log 2log 3 44

x y x y

21

log log 3 4 log log 3 416

x y x y

21

3 4 3 416

x y x y

2

3 4 16 3 4 0x y x y

3 4 3 4 16 0x y x y

3 4 0x y (ditolak) atau 3 4 16 0x y .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

3 5 2 4 16 0y y

15 6 4 16 0y y

10 1y

1

10y

1 1 15 2 5 2 5 5

10 5 5x y


Dari persamaan: 2 29 3 9 18 0x kx k k , ditentukan 2 12x x . Berapakah k? Hitung juga harga

maksimum dari 2 21 2x x .

Solusi:

Akar-akar persamaan kuadrat 2 29 3 9 18 0x kx k k adalah 1 2danx x .

2 12x x .... (1)

1 2

3

9 3

k kx x

.... (2)

2

1 2

9 18

9

k kx x

.... (3)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:


1 1

32

9 3

k kx x

19

kx 2

2

9

kx

Substitusikan 19

kx dan 2

2

9

kx ke persamaan (3), sehingga

22 9 18

9 9 9

k k k k

2 22 9 81 162k k k

27 81 162 0k k

7 18 9 0k k

18

97

k k

22 2

1 2 1 2 1 22x x x x x x

2 23 9 182

9 9

k k k

2 22 18 36

9

k k k 21

2 49

k k

2

912

29

bk

a

2 2 21 2

max

19 2 9 4 5

9x x

14. PPT bg. B, 1950

Fungsi 2 2logy ax bx c menjadi = 0 untuk 0x dan untuk 6x . Harga maksimum = 2.

a. Berapakah besarnya c?

b. Buktikan dengan perhitungan bahwa 1

3a dan 2b . Isilah harga yang didapat untuk

a, b, dan c itu dalam bangun 2ax bx c yang akan kita sebut z.

c. Untuk harga-harga x yang manakah 0z . Berapakah y dalam hal ini?

d. Untuk harga z yang manakah z negatif? Apakah akibatnya bagi y?

e. Untuk harga x yang manakah z positif lebih kecil dari 1? Apakah tanda y dalam hal ini?

f. Untuk harga x yang manakah z lebih besar dari pada 1? Apakah tanda y?

g. Buatlah sesuai dengan ketentuan-ketentuan dan pendapatan-pendapatan tadi itu sebuah lukisan

2 logy z .

Solusi:

a. 2 20 logx y ax bx c

2 20 log 0 0a b c

20 logc

1c

b. 2 26 0 log 6 6 1x a b

36 6 1 1a b

36 6 0a b

6b a .... (1)

2 22 2

max

4 4 1log log 2

4 4

b ac b ay

a a


2 44

4

b a

a

2 4 16b a a

2 12b a .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2

6 12a a

236 12 0a a

12 3 1 0a a

10(ditolak) (diterima)

3a a

16 2

3b

212 1

3z x x

c. 212 1 0

3z x x

2 6 3 0x x

2

6 6 4 1 3

2 1x

6 36 12

2

6 48

2

6 4 3

2

3 2 3

3 2 3 3 2 3x x

Karena 0z , maka 2 log0y adalah tidak didefinisikan, karena numerus harus bernilai positif.

d. 212 1 0

3z x x

2 6 3 0x x

3 2 3 3 2 3 0x x

3 2 3 atau 3 2 3x x

Akibatnya fungsi y tidak mempunyai nilai (tidak terdefinisi) untuk interval tersebut.

e. 212 1 1

3z x x

2 6 3 3x x

2 6 0x x

6 0x x

0 6x x

Sehingga 0y .

f. 212 1 1

3z x x

2 6 3 3x x

2 6 0x x

6 0x x

0 6x

Sehingga 0y .

3 2 3 3 2 3 0 6

3 2 3 3 2 3 0 6


g. Grafik fungsi 2 2 21log log 2 1

3y z x x

15. PPT bg. B, 1950

Grafik fungsi x p

yqx r

melalui titik 1, 1 dan memotong dari sumbu-sumbu positif bagian-

bagian yang sama = 4. Tentukan p, q, dan r dan asymtot-asymtot dari garis lengkung itu.

Solusi:

1, 1x p

yqx r

1

11

p

q r

1q r p

1p q r .... (1)

4,0x p

yqx r

4

04

p

q r

4 0p

4p .... (2)

0,4x p

yqx r

0

40

p

q r

4r p .... (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh 4 4 1r r .

Substitusikan 4p dan 1r ke persamaan (1) sehingga diperoleh

4 1 1q

4q

13

4 14

4 1 4 1 4

xy

x x

Jadi, asymtot tegak 1

4x dan asymtot datar

1

4y .


Gambarlah grafik 2

2

2 5 7

8 16

x xy

x x

.

Solusi:

X

Y

O 1

2 2 21log log 2 1

3y z x x

1

2

2 1 6 3 4 5 1

3


Grafik memotong sumbu X, jika 0y , sehingga

2

2

2 5 70

8 16

x x

x x

22 5 7 0x x

2 7 1 0x x

7

12

x x

Jadi, koordinat titik potongnya adalah 3,5;0 dan 1,0 .

Grafik memotong sumbu Y, jika 0x , sehingga

2

2

2 0 5 0 7 7

160 8 0 16y

Jadi, koordinat titik potongnya adalah 7

0,16

.

2

2

2 5 7

8 16

x xy

x x

2

13 162

8 16

x

x x

2

13 162

4

x

x

Asymtot datar adalah 2y .

Asymtot tegak adalah 4x

Menentukan koordinat titik potong asymtot datar dengan grafik.

2

2

2 5 72

8 16

x x

x x

2 22 16 32 2 5 7x x x x

21 39x

39 13 6

121 7 7

x

Jadi, koordinat titik potongnya adalah 6

1 ,27

.

Suatu nilai y tercapai untuk nilai-nilai x yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat dalam x

berikut ini.

2

2

2 5 7

8 16

x xy

x x

2 28 16 2 5 7x y xy y x x

2 22 8 5 16 7 0x y x xy x y

22 8 5 16 7 0y x y x y

Persamaan kuadrat ini mempunyai akar-akar real, jika

2

8 5 4 2 16 7 0y y y

2 264 80 25 64 100 56 0y y y y

180 81 0y

81

180y

9

20y

Jadi, harga minimum relatifnya adalah 9

0,4520

y


2

2

7 2 5 7

20 8 16

x x

x x

2 27 56 112 40 200 140x x x x

247 144 28 0x x

2144 144 4 47 28

2 47x

144 26.000

94

144 161,2

94

144 161,20,2

94x

atau

144 161,23,3

94x

Jadi, koordinat titik minimum realtif adalah 9

0,2;20

dan

93,2;

20

.

Sketsa grafik fungsi 2

2

2 5 7

8 16

x xy

x x

.

Bersambung

X

Y

O 1

2

4

2 1 6 3 4 5

6

4x

2y

61 ,2

7

0,2; 0,45 3,3; 0,45

10

3,5;0

mengenang jejak sebagian kecil bangsa indonesia yang ... · pdf fileberapakah m agar supaya...

Documents