FUNGSI HAMILTON

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat rampatan

k

kk LpqH (1)

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari q

dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja :

)q(V)q,q(TL kkk (2)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh

k k

k

k k

k

k

kk T2q

Tq

q

LqLpq

(3)

Oleh karena itu :

k

kk VT)VT(T2LpqH (4)

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n

buah persamaan yang ditulis sebagai :

k

kq

Lp

(k = 1,2, …n) (5)

dan nyatakan dalam q dalam p dan q

)q,p(qq kkkk (6)

Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan variasi

kk q,p sebagai berikut :

k

k

k

k

k

kkkk qq

Lq

q

LpqqpH

(7)

Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling meniadakan, oleh karena

menurut defenisi kk q/Lp , oleh karena itu:

k

kkk qppqH (8)

Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

k

k

k

k

k

qq

Hp

p

HH (9)

Akhirnya diperoleh :

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan

persamaan Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2. Persamaan Hamilton

banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).

Contoh pemakaian.

1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu

dimensi.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

2xm2

1T dan 2Kx

2

1V (13)

Momentumnya dapat ditulis

xmx

Tp

atau

m

px (14)

Hamiltoniannya dapat ditulis :

k

k

qp

H

(11)

k

k

pq

H

(12)

22 x2

Kp

m2

1VTH (15)

Persamaan geraknya adalah :

xp

H

p

x

H

(16)

dan diperoleh :

xm

p pKx

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

0Kxxm (17)

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di

bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar

sebagai berikut:

)rr(2

mT 222 dan V=V(r) (18)

Jadi :

rmr

Tp r

m

pr r (19)

2mrT

p 2mr

p (20)

Akibatnya :

)r(V)r

pp(

m2

1H

2

2

2

r (21)

Persamaan Hamiltoniannya:

rp

H

r

,

rpr

H

,

p

H,

p

H (22)

Selanjutnya:

rm

p r (23)

r3

2

pmr

p

r

)r(V

(24)

2mr

p (25)

0p (26)

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

2p kons tan mr mh & (27)

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

r

)r(V

r

mhprm

3

2

r

(28)

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

H. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK GERAK DALAM MEDAN ELEKTROMAGNETIK

Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanika adalah gerak zarah bermuatan

dalam medan elektromagnetik. Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannya

dengan metode Lagrange.

Medan elektromagnetik mempunyai potensial yang bergantung dari kecepatan zarah. Oleh karena itu perlu dilakukan penanganan terlebih dahulu terhadap bentuk matematika

fungsi potensial itu, sehingga kemudian metode Lagrange dapat diterapkan.

Suatu zarah dengan massa m dan muatan q yang bergerak dalam medan listrik E dan

medan magnet berinduksi magnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya :

F = q E + q v x B (29)

Dalam ungkapan itu v merupakan kecepatan zarah.

Komponen gaya itu dalam arah X berbentuk:

yzxx BzByqEqF (30)

Menurut teori elektromagnet, fungsi potensial suatu medan elektromagnet terdiri dari

dua bagian berikut :

Potensial skalar Ф dan potensial vektor A

Masing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E dan induksi magnetik B melalui

hubungan :

t

AE

AB (31)

Jika medan tak bergantung waktu, maka :

ABdanE (32)

Medan E tidak terkait dengan B.

Perhatikanlah suatu fungsi U yang diungkapkan sebagai :

)t,r(Avq)t,r(qU (33)

Fungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu zarah bermuatan dalam suatu medan

elektromagnetik. Fungsi U tersebut dapat ditulis sebagai :

zyx AzAyAxqqU (34)

Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi

x

U

dt

d

x

U

(35)

Yang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan (127) ke x, ke x, dan kemudian ke t. Dua

yang pertama secara parsial. Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :

x

Az

x

Ay

x

Axq

xq

x

U zyx (36)

Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :

xAqx

U

(37)

Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan :

z

z

Ay

y

Ax

x

A

t

Aq

x

U

t

U xxxx

(38)

Sehingga bentuk persamaan 128 menjadi :

x

yzx

xzxyx

F

BzByqEq

z

A

x

Az

y

A

x

Ayq

t

A

xq

x

U

dt

d

x

U

Oleh karena itu :

xyzx FBzByqqE

x

U

tx

U

(39)

Dengan

zyx EˆEˆEˆE kji adalah kuat medan listrik

zyx BˆBˆBˆB kji adalah induksi magnetik

Persamaan 132 yang merupakan fungsi potensial untuk zarah yang bermuatan dalam sebuah

medan elektromagnetik, merupakan fungsi dari kedudukan dan kecepatan.

Seperti pembahasan-pembahasan sebelumnya fungsi Lagrange senantiasa menganggap bahwa fungsi potensial V hanya bergantung pada kedudukan saja yakni :

V = V (q1, q2, .......... q3N) (40)

Pertanyaan kita adalah apakah mungkin persamaan Lagrange dapat diterapkan dalam persoalan gerak zarah bermuatan listrik ?

Andaikan bahwa gaya-gaya rampatan Qk yang bekerja pada suatu sistem mekanika agar

dapat diturunkan dari suatu fungsi potensial skalar U yang bergantung dari kecepatan. Jika

hubungan antara Qk dan potensial U dinyatakan oleh

kk

kq

U

tq

UQ

(41)

dan fungsi Lagrange untuk sistem ini dinyatakan oleh :

L = T – U (42)

Berdasar pada pembahasan-pembahasan sebelumnya, hubungan antara T, Qk, qk, dan

kq dapat dinyatakan dengan

k

k

k q

TQ

q

U

t (43)

Substitusi 134 ke dalam 136 menghasilkan :

kkkk q

T

q

U

dt

d

q

U

q

T

t (44)

dan dapat ditulis juga dalam bentuk lain

0q

U

q

T

q

U

q

T

dt

d

kkkk

(45)

Apabila definisi umum fungsi Lagrange digunakan maka akan diperoleh :

0q

L

q

T

dt

d

kk

(46)

Berdasarkan pembahasan di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa, jika U merupakan fungsi potensial skalar yang bergantung pada kecepatan zarah v yang ditandai oleh hubungan

gaya rampatan

kk

kq

U

tq

UQ

(47)

maka persaman Lagrange untuk sistem mekanika yang dikuasai oleh U memiliki bentuk

0q

L

q

T

dt

d

kk

(48)

dengan fungsi Lagrange L = T - U

Untuk memecahkan persoalan apakah fungsi Lagrange di atas dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan gerak zarah dalam medan elektromegnetik, tinjaulah sebuah fungsi

potensial sebagaimana persamaan 127 seperti berikut:

zyx AzAyAxqqU

Untuk komponen gaya ke arah x berlaku :

x

U

tx

UFx

(49)

Dengan penalaran yang sama, juga dapat dilakukan untuk komponen Fy dan Fz. Jadi dengan

demikian fungsi Lagrange yang dimaksud dalam hal ini adalah :

t)q,(t),(q- M2

1L rAvrvv (50)

dimana m dan q masing-masing adalah massa dan muatan zarah, v adalah kecepatan zarah,

dan Ф (r ,t) serta A(r ,t) masing-masing adalah potensial skalar dan potensial vektor medan

elektromagnetik.

Contoh :

1. Tunjukkan bahwa A = rB2

1 merupakan vektor potensial untuk suatu medan

dengan induksi magnetik B.

Jawab :

AA 21

rBBrBrrB 21

Diketahui bahwa 3 r . Jadi suku pertama adalah 3B.

zˆyˆxˆz

By

Bx

B)( zyx kjiB

= B

Sehingga :

BrBA 221

Bila B merupakan medan yang konstan, suku 0 Br dan BA menurut definisi

A. Jadi untuk medan dengan induksi magnet yang tetap

rBA 21

Misalkan bahwa B = oˆBk maka dalam koordinat Cartesius :

021 BrkA

yˆxˆB021 ijA

xBˆyBˆ02

102

1 jiA

Dalam koordinat silinder :

rBA 21

rB021A

Arah A adalah dalam bidang r tegak lurus pada sumbu –z, dan dapat pula tegak lurus

pada sumbu r sendiri. Jadi dalam arah koordinat φ, sehingga A hanya terdiri dari

komponen Aφ = rB021 , Ar = Az = 0.

Gambar 2.8

Hubungan antara arah B dengan r

2. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B = B0 k̂ , maka dalam

koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = rBo21 dan Az = 0.

Jawab :

3. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B = B0 k̂ , maka dalam

koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = rBo21 dan Az = 0.

Jawab :

4. Bagaimanakah bentuk potensial skalar Φ dalam koordinat silinder, apabila medan listrik

juga searah dengan sumbu-z. Artinya E = E0 k̂ .

5. Tulislah fungsi Lagrange untuk suatu zarah (massa M dan muatan q) yang bergerak

dalam medan elektromagnetik dengan B = B0 k̂ dan E = E0 k̂ . Gunakan koordinat

silinder.

Jawab :

Sesuai dengan definisi : L = T - V

y

x

z

kB0

r

Fungsi Lagrange L untuk zarah dengan massa M dan mauatn Q dalam medan tersebut :

rBQrzQEzrrmL 021

0

2222

21 )(

2

021

0

2222

21 )( rBQrzQEzrrmL

6. Besaran fisika mana saja yang merupakan tetapan gerak dalam soal nomor 5 ?

Koordinat siklik dalam fungsi Lagrange di atas adalah φ, sehingga pφ merupakan

tetapan gerak.

Hal tersebut dapat diturunkan dari persamaan Lagrange

0LL

dt

d

Bila L tidak merupakan fungsi φ, maka

L= 0, dan oleh karena itu 0

L

dt

d

, yang

berarti bahwa pφ = tetap, atau

L= pφ = 0

2

2122 BQr Mr = tetap.

7. Tulis perangkat persamaan Lagrange untuk sistem di atas

Perangkat persamaan Lagrange untuk sistem diatas :

rmr

L

rQBmrr

L0

2

Dengan demikian :

rQBMrrm 0

2

2

o

2 rQB2

1rM

L

0L

Diperoleh : tan2

1 22 konsrQBrm o

Kemudian :

zmz

L

oEQ

z

L

Sehingga : oEQzm

Andaikanlah dicari solusi dengan r tetap, maka diperoleh dari persamaan Lagrange pertama

diatas :

oBQm 0

0 , atau m

BQ o

Sedangkan persamaan ketiga memberikan :

tetapm

EQz

Artinya gerak dipercepat dalam arah z.

Secara skematik solusi dengan m

BQ o diterangkan disamping.

Bagaimanakah lintasan bila diambil 0 ?s