Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA DASAR

Bab Bilangan Irasionaldan Logaritma

Drs. Sumardi Hs., M.Sc.

02FASILKOM

Teknik Informatika

Bagian Isi

• Bilangan Irasional- Berbagai bentuk akar dan operasinya

• Logaritma- Sifat-sifat dan rumus-rums logaritma

02.1. BILANGAN IRASIONAL

A. PENGERTIAN BILANGAN IRASIONAL

Bilangan irasional adalah bilangan tidak dapat diukur secara langsung,

kebanyakan bilangan ini berbentuk akar murni ( 2 , 5 , 7 ).

Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya

merupakan bilangan irasional. Misal : ,...49,16,9,4 . Bukan bentuk akar murni

karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4 dan 7, sedangkan bentuk akar murni contohnya

:

5 , 2 , 7 , 3 5 , 2 15 .

Bentuk akar n x , n disebut indeks yaitu bilangan yang lebih besar dari satu,

disebut tanda akar,.notasi untuk akar pangkat tiga 3 x ,sedangkan notasi untuk akar

kuadrat ditulis 2 x atau lebih sering disingkat x .

Bilangan rasional : bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau

desimal berulang .

Contoh : 1/3 = 0,33333333

2/7 = 0,285714285714........

Bilangan irasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

atau desimal berulang.

Contoh : 2 = 1,414213562....

Log 2 = 0,201029995....

= 3,141592654.....

B. SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR

Jika m dan n bilangan bulat, maka:

a. !

Contoh : aaaa 22 525

33 232

933

n mnm

aa

b. , 0n

Contoh : 2244

21

4cccc

23

462

4324 3 2222

c. , 0n

Contoh : 4 324 34 2 qpqp

155353

x . 7 = x7

nmm

nmn aaa

1

nnn baba

C. OPERASI ALJABAR

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan

Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada peubah-peubah

yang sejenis

Contoh : 3a + 2a = ( 3 + 2 ) a = 5a

7b - 3b = ( 7 – 3 ) b = 4b

3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak

sejenis.

Begitu pula dengan bentuk akar.Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan

jika sejenis.

Contoh : 3103463436

333253235

kbakbka

kbakbka

a. Operasi perkalian

Contoh : 1583452

6 7 . 3 x = 18 x7

5 3 15x

c. Operasi pembagian

ba

ba

Contoh : 36

186

18

24)22(2)24(2242825

4036

53406

xx

nmbanbma

a. Menarik akar kuadrat

Contoh : 2222252525

21025

(2 3 - 3 5 )2 = (2 3 )2 – 2. (2 3 ). (3 5 ) + (3 5 )2

= 4.3 - 12 15 + 9.5 = 12 - 12 15 + 45

= 57 - 12 15

2222 bbaaba

baba 2

LATIHAN SOAL 1 1. Ubahlan ke bentuk pangkat rasional

4

3 2a ………….. 5

5 45 ……………

2. 533253657

3. 432265 =

4. 24352 =

5. Jika x = 5332 dan y =

452

Maka x . y = …………..

6. Jika p = 3423 dan q =

3518

Maka (p – q)2 adalah ........

7. 50987527322 ……..

8. 272501237218 ………….

9. 505475

5372

329832

2112 ……

……….

D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat

tertentu, yaitu :

1. Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh :

x , x > 0 bentuk paling sederhana

53 xdanx bukan bentuk sederhana

Proses penyelesaian : 8

9 8 425 5 .5 5 5 5 5 625 5

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut. Contoh :

x

1 bukan bentuk sederhana

xx

bentuk sederhana

3. Tidak mengandung pecahan. Contoh :

25

bukan bentuk sederhana

210

bentuk sederhana

Proses penyelesaian bentuk pecahan didalam akar :

2

1a a b ab abb b b b b

4. Menyederhanakan Akar

ba)ba()ab2ba( 2

Contoh: 2224)24()2.4224(246 2

Contoh menyederhanakan bentuk akar yang lain:

1. 43412 x x 3 = 2 3

2. xxx 23 .2.48 = 24 x . x2

3. 5x3)5x3()5x3(.)8x3()5x3( 489

4.x

1 =

xx

xx

xx

x

2.1

5. 222

3 3 3 3 3 3 3 3 3 367 2 3 6 2 26 .2 6 2

= 1 3 2 6 1 62 2 .2 42 2

LATIHAN SOAL 2

1. 25

………..

2. x2

2 …………

3. 3 78x …………..

4. 13)2(5 x ………….

5. x32

……………..

6 3

xy

= ………….

7. 6 416x y = …………..

8.25ab

= ……………….

9. 3 14189

= …………..

10. 128 32 827

= ………..

E. MERASIONALKAN PENYEBUT YANG BENTUK AKARNYA JUMLAH ATAU SELISIH DARI DUA BILANGAN.

Sifat perkalian istimewa :

( a + b ) ( a – b ) = a2 - b2

( a + b ) disebut kawan (conjugate ) dari ( a – b ) dan ( a – b ) adalah kawan dari ( a + b

).Hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional.

( a + b ) ( a - b ) = ( a2 ) – ( b )2 = a2 - b

. 2 2a b a b a b a b

2 2

c a bc c a ba b a b a b a b

=

c a b

a b

2 22

c a b c a bc c a ba ba b a b a b a b

Contoh :

1.

2 2

10 4 6 10 4 6 10 4 610 10 4 6 4 616 6 104 6 4 6 4 6 4 6

2.

2

2

22

2 5 2 2 2 52 5 2 5 2 54 52 5 2 5 2 5 2 5

4 4 5 5 9 4 5 9 4 5

1 1

LATIHAN SOAL 3

1. 3

2 5

…………………… 2.

23 1

………………..

3. 7

5 3 2

……… 4.

5 2

5 2

………… 5.

2 5 3 25 5 2 2

…………..

02.2. LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

A. DEFINISI LOGARITMA Untuk menyelesaikan bilangan berpangkat seperti ;

22 = ..........; 33 = ........... ; 52 = ........

Bilangan pokok dan pangkatnya diketahui sehingga dapat menentukan hasilnya.

Bagaimana dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil

perpangkatannya diketahui ?

5x = 125 ; 10x = 100 ; 16x = 4

Soal diatas dapat diselesaikan dengan logaritma

5

10

16

5 125 log12510 100 log10016 4 log 4

x

x

x

ditulis xditulis xditulis x

Hubungan antara perpangkatan dan logaritma yaitu LOGARITMA ADALAH INVERS DARI PERPANGKATAN, secara umum ditulis sebagai berikut :

ax = b

Logaritma suatu bilangan b dengan bilangan pokok a adalah x

a log b = x

a disebut bilangan pokok logaritma atau basis

b disebut yang dilogaritmakan atau numerus

x. disebut hasil logaritma

a > 0 ; a 1 ; b > 0

Jika bilangan pokok 10, boleh tidak ditulis . contoh : 10 log 3 = log

Mengubah bentuk ax = b menjadi a log b = x

Contoh : 35 = 243 menjadi 3log 243 = 5

a 2/3 = 4 menjadi alog 4 = 32

Tuliskan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut !

2n = 8

33 = 27

Mengubah a log b = x menjadi a x = b Contoh :

3log 81= 4 menjadi 34 = 81 2log 6 = x menjadi 2x = 6

Tuliskan ke dalam bentuk bilangan berpangkat !

c. log 1000 = 3

d. 2 1lo g 12

e. 5 lo g 5 1

A. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

SIFAT 1 :

a log a = 1 , a log 1 = 0 ,

3

8

log 3 1log 8 1

3 log 1 = 0

SIFAT 2 : a log(b.c) = a log b + a log c

3 log 8 = 3log 2.4 = 3 log 2 + 3 log 4

2log 10 = 2log 2.5 = 2log 2 + 2log 5

3log 12

+ 3log 6 = 3log 12

.6 = 3log 3 = 1

SIFAT 3 :

a log cb = a log b – a log c

4 log 32

= 4 log 2 – 4log 3

5 5 53lo g lo g 3 lo g 88

3log 30 - 3log 10 = 3log 3 01 0

= 3log 3 = 1

5log 50 - 5log 2 = 5log 5 02

= 5log 25 = 5log 52 = 2 5log5 = 2

SIFAT 4 : a log bc = c . a log b

log 9 = log 32 = 2 log 3

22

1 1lo g lo g lo g 5 2 lo g 52 5 5

SIFAT 5 : a log b . b log c = a log c

6 log 3. 3 log 7 = 6 log 7 5 7 5 5 2 5log7. log25 log25 log5 2 log5 2

SIFAT 6 : a log 2 b = ( a log b )2

2 log 2 5 = ( 2log 5 )2

5log3 7 = ( 5log 7 )3

SIFAT 7 :

nal og b m =

nm

. a log b

52 log 34 =

54 2 log 3

33 2 32lo g 5 lo g 5

3

SIFAT 8 :

p log a = l o gl o g

t

t

ap

ba bloga bukti: dg bantuan log: a log b . log a = log b

alogblog . log a = log b log b = log b

4 log 5 = 4log5log

2

2

rumus penggantian bilangan pokok logaritma t > 0; 1

3log 7 = 3

3 3

lo g 3 1lo g 7 lo g 7

CONTOH SOAL : 1). 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = ?

Jawab :

3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log 2189x

= 3 log 81 = 3 log 34

= 4 3 log 3 = 4

2). Diketahui : Log 2 = 0,3010

Log 3 = 0, 4771

Log 5 = 0,6990

Log 7 = 0,8451

Hitung :

a. Log 491

b. log 15 c. Log 6

1 4 d. log 2

Jawab :

a. Log log491

2

17

= log 7 – 2 = -2 log 7 = -2 (0,8451) = - 1,6902

b. Log 15 = log 3. 5 = log 3 + log 5 = 0,4771 + 0,6990 = 1,1761

c. Log 3680,08451,04771,07log3log73log

146

d. Log 2 = log 2 ½ = 1/ 2 log 2 = 1/ 2 x 0,3010 = 0,1505

3. Ubahlah 2 log 6 menjadi logaritma dengan bilangan pokok 3 !

Jawab :

3

23

lo g 6log 6lo g 2

4. Jika 3 log 5 = P

a). 5 log 3 = ? b). 9 log 125 = ? c). 9 log 5 = ?

Jawab :

a). 3

33

log 3 1log 5log 5 P

b). 9 log 125 = 3 2log 53 = 32

3 log 5 = 2

3P

c). 9 log 5 = 3 2 log 5 ½ = 22/1 3log 5 =

4p

5. 3 log 64 x 4 log 36 x 6 log 3 =

Jawab :

3 log 43 x 4log 62 x 6 log 3 ½ =

3 3 log 4 x 2 4 log 6 x ½ 6 log 3 =

(3 x 2 x 1/2 ) 3 log 3 = 3.1 = 3

LATIHAN SOAL 1 : 1.4 log 6 = P 16 log 63 2. 5 log 7 = P 25 log 7 =

3. Diketahui : log 3 = 0,4771

Log 2 = 0,3010

Log 8 + log 6 – log 27

4. Diketahui : 4 log 3 = P

4 log 5 = q

4 log 8 = r

a. 4 log 40 =…..

b. 4 log 15 = …..

5. Jika 2 log a + 2 log b = 12, Berapa a. b = ….

6. Jika 32 log x = 64, maka x =….

7. 5 log x = a 5 log y = b 5 log z = c

35 2l o g x =

5 3l o g y z =

8. 9 log 125 x 25 log 81 = …….

9. 5 log 12 1/2 + 5 log 2 = ……

10. 2 log 1/3 + 2 log 24 = ……...

C. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1

Tentukan nilai – nilai logaritma berikut !

a. log 0,528

b. log 0,0528

c. log 0,00528

Jawab :

a. log 0,528 = log 5,28 X 10-1 = log 5,28 + log 10-1 = 0,723 - 1 = - 0,277

b. log 0,0528 = log 5,28 X 10-2 = log 5,28 + log 10-2 = 0,723 - 2 = - 1,277

c. log 0,00528 = log 5,28 X 10-3= log 5,28 + log 10-3 = 0,723 – 3 = - 2,277

D. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10

Tentukan nilai-nilai logaritma berikut !

a. log 382,6

b. log 4.008,5

c. log 27.054

Jawab :

a. log 382,6 = log 3,826 X 102 = log 3,826 + log 102 = 0,583 + 2 = 2,583

b. log 4.008,5 = log 4,0085 x 103 = log 4,0085 + log 103 = 0,603 + 3 = 3,603

c. log 27.054 = log 2,7054 x 104 = log 2,71 + log 104 = 0,433 + 4 = 4,433

SOAL 1 : BILANGAN AKAR

1. 96

1505424 = .........................

a. 0 b. 1 c. 2 e. -2 6 d. 3

2. x21

1x4

2

22

= ...........................

a. 2 2x b. 2 2x+1 c. 2 3x d. 2 3x+1 e. 2 3x+2

3. 3819 = ............................

a. 5 + 3 b. 5 − 3 c. 4 + 3 d. 4 − 3 e. 2 + 3

4. 3814 = ................

SOAL-SOAL PILIHAN GANDA

1. 2log 3 16 − 3log 4 27 = ................

a. 0 b. 121

c. 121

d. 127

e. 127

2. Jika log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r . Maka log 150 = .....................

a. 1 + p + q c. 1 + q + r e. 2pqr

b. 1 + p + r d. pqr

3. 5log 150 − 5log 24 + 5log 4 = .....................................

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

4. Jika log 2 = x maka log 5 = ...................

a. 1 – x b. 1 + x c. x d. 2x e. x2

5. Jika 2log 25 = x, maka 2log 0,04 = ........................

a. −1 b. 1 c. –x d. −4x e. 4x

SOAL 3: SOAL UAN

Materi Pokok : Bentuk akar, Eksponen, dan Persamaan eksponen

1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 2 ) – ( 4 – 50 ) adalah ….

a. – 2 2 – 3 b. – 2 2 + 5 c. 8 2 – 3 d. 8 2 + 3 e. 8 2 + 5

2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….

a. a2 b.

)1(2

baab

c.

2a d.

121

abb e.

abba

2)1(

3. Nilai dari ....1log.1log.1log 35 qrp

pqr

a. – 15 b. – 5 c. – 3 d, 15

1 e. 5

4. Nilai dari 23

1.

45

6 523

.

6

y 7

xyx

x untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

a. 29.221 b. 39.221 c. 318.221 d. 227.221 e. 221

Materi Pokok : Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

5. Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x

…

a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7

6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….

a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e. 32log

8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

a. x > 6 b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8

Terima KasihMochamad Heriyanto Permana, S.Sn.

Daftar Pustaka 1. Retno Hendrawati, “Logika Matematika”, Ir.MT, Bambang Haryanto, Penerbit

Informatika Bandung, 2002. 2. Seymour Lipschutz, “Matematika Diskrit Jilid I, Seri Schaum”, Penerbit Salemba

Teknika, Jakarta, 2002.

3. Jong Jek Siang,MSc, “Matematika Diskrit & Aplikasinya pd Ilmu Komputer”, ANDI Yogyakarta, 2002.

4. Browsing Internet.